2026年秋高一数学中档题专练专题3-2 函数的单调性与最值（原卷版）

专题3-2函数的单调性与最值

【题型1】单调性的概念与判断...................................................................................................1

【题型2】利用解析式或函数图像得出函数的单调区间...........................................................3

【题型3】定义法讨论函数的单调性...........................................................................................4

【题型4】利用单调性比较大小...................................................................................................6

【题型5】求函数的最值或值域...................................................................................................7

【题型6】利用单调性解不等式...................................................................................................8

【题型7】在某区间上单调求参数范围.......................................................................................9

【题型8】分段函数单调性问题..................................................................................................11

【题型9】根据函数的最值或值域求参数.................................................................................11

【题型10】分段函数值域问题...................................................................................................12

【题型11】复合函数单调性........................................................................................................13

【题型12】不等式恒成立问题...................................................................................................14

【课后作业】.................................................................................................................................15

【题型1】单调性的概念与判断

一、增函数、减函数的概念

一般地，设函数fx的定义域为A，区间DA：

如果对于D内的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说fx在区

间D上是增函数．

如果对于D内的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说fx在区

间D上是减函数．

知识点诠释：

（1）属于定义域A内某个区间上；

（2）任意两个自变量x1,x2且x1x2；

或

（3）都有f(x1)f(x2)(f(x1)f(x2))；

（4）图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．

上升趋势下降趋势

二、函数单调性的判断方法

（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．

（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．

（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的

单调区间．

三、单调函数的运算性质

若函数f(x)与g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质：

（1）f(x)与f(x)C（C为常数）具有相同的单调性.

（2）f(x)与f(x)的单调性相反.

（3）当a0时，af(x)与f(x)单调性相同；当a0时，af(x)与f(x)单调性相反.

（4）若f(x)≥0，则f(x)与f(x)具有相同的单调性.

a

（5）若f(x)恒为正值或恒为负值，则当时，f(x)与具有相反的单调性；

a0f(x)

a

当时，f(x)与具有相同的单调性.

a0f(x)

（6）f(x)与g(x)的和与差的单调性（相同区间上）:

简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.

1．已知函数fx是R上的增函数，函数gx是R上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（）

A．fxgxB．fxgxC．gxfxD．fxgx

2．（多选）当xa时，函数值y随x的增大而增大，称函数为增函数.下列函数中，当x1时是增

函数的有（）

22

A．y2x1B．y2xC．yD．y

x1x

【巩固练习1】已知函数fx在0,上单调递增，则对实数a0,b0，“ab”是“fafb”

的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【巩固练习2】下列四个函数中，在x0,上为增函数的是（）

1

A．fxB．fxx23xC．fx3xD．fxx

x1

【巩固练习3】已知函数f(x)在R上是增函数，则下列说法正确的是（）

1

A．yf(x)在R上是减函数B．y在R上是减函数

f(x)

C．y[f(x)]2在R上是增函数D．yaf(x)(a为实数）在R上是增函数

【题型2】利用解析式或函数图像得出函数的单调区间

单调性与单调区间

①单调区间的定义：如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间D上

具有单调性，D称为函数f(x)的单调区间．

②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．

【注意】

（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，

故单调区间的端点若属于定义域，则区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．

（2）单调区间D定义域I.

（3）遵循最简原⊆则，单调区间应尽可能大；

（4）单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；

3．函数y(x4)2的单调递减区间是.

4．已知yfx的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（）

A．[1,3]B．[1,2]和[4,5]C．[1,2]D．3,1和2,4

x

5．函数fx的单调递增区间为

1x

【巩固练习1】函数yx22x3，x2,2的单调递减区间为．

4x3

【巩固练习2】函数fx的单调递增区间为.

2x3

【巩固练习3】已知函数fxx25x6，则函数fx的单调递增区间是（）

5555

A．,B．,C．2,和3,D．,2和,3

2222

【题型3】定义法讨论函数的单调性

证明函数单调性的步骤

，

（1）取值．设x1x2是f(x)定义域内一个区间上的任意两个量，且x1x2；

（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；

（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；

（4）得出结论．

1

6．已知函数fx2x2（x0，aR），用单调性的定义证明fx在2,上是增函数.

x

a

7．已知函数fxx2(x0,aR),若fx在2,是增函数，求实数a的范围.

x

x2a

【巩固练习1】已知函数fx，且f12．

x

(1)求函数fx的解析式；(2)用定义证明函数fx在1，上是增函数.

b51

【巩固练习2】已知函数fxaxa,bR，图象经过点2,，且f1.

x132

(1)求a,b的值；(2)判断并用定义证明函数yfx在区间1,上的单调性.

x

【巩固练习3】已知f(x)(xa).

xa

(1)若a2，试证明f(x)在,2内单调递增；

(2)若a0且f(x)在1,内单调递减，求a的取值范围.

【题型4】利用单调性比较大小

单调性定义的等价形式

（1）函数fx在区间a,b上是增函数：

任取x1,x2a,b，且x1x2，fx1fx20；

fx1fx2

任取x1,x2a,b，且x1x2，0；

x1x2

任取x1,x2a,b，且x1x2，x1x2fx1fx20；

xx

12

任取x1,x2a,b，且x1x2，0．

fx1fx2

（2）函数fx在区间a,b上是减函数：

任取x1,x2a,b，且x1x2，fx1fx20；

fx1fx2

任取x1,x2a,b，且x1x2，0；

x1x2

任取x1,x2a,b，且x1x2，x1x2fx1fx20；

xx

12

任取x1,x2a,b，且x1x2，0．

fx1fx2

8．已知f(x)在(0,)上单调递减，且x00，则下列结论中一定成立的是（）

A．fx01fx0B．fx01fx0

C．fx01fx0D．fx01fx0

9．函数yfx为定义在R上的减函数，若a0，则（）

A．faf2aB．fa2fa

C．fa2afaD．fa2afa1

【巩固练习1】函数yfx为定义在R上的单调增函数，若t0，则（）

A．f(t)f(2t)

B．f(t2)f(t)

C．f(t2t)f(t)

D．f(t2t)f(t1)

x21

【巩固练习2】已知函数fx.

4x

(1)利用函数的单调性定义证明fx在1,上单调递增；

1

(2)若t1，试比较ft，f2的大小.

t

【题型5】求函数的最值或值域

利用函数的单调性求最值的常用结论

（1）如果函数yfx在区间[a,b]上单调递增，在区间[b,c]上单调递减，那么函数yfx，

x[a,c]在xb处有最大值fb；

（2）如果函数yfx在区间[a,b]上单调递递减，在区间[b,c]上单调递增，那么函数yfx，

x[a,c]在xb处有最小值fb.

【注意】对于定义域为闭区间的函数，还需要确定函数在端点处的函数值的大小，将其与所求出的

最值进行比较，值最大（小）者即为函数的最大（小）值。

10．已知函数fxx22x,x2,5，则函数的最大值为（）

A．15B．10C．0D．1

882

11．当x0,,时，则函数y的值域为（）

5585x

1

A．,0B．,

4

11

C．,0,D．0,

44

【巩固练习1】函数f(x)2x2x11x1的值域是（）

99

A．0，1B．，1C．1，2D．，2

88

【巩固练习2】函数f(x)＝－x＋在上的最大值是（）

11

�[−2,−3]

A．B．－C．－2D．2

38

2x13

【巩固练习3】函数y在区间2,4上的值域为（）

x3

A．3,5B．5,3C．,35,D．,35,

【题型6】利用单调性解不等式

基本方法：先把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式(组)，并注意是否有定义域的限制

（1）若f(x)为增函数，则f(m)f(n)mn

（2）若f(x)为减函数，则f(m)f(n)mn

【简记】增函数脱“f”不变号，减函数脱“f”要变号，主要定义域限制

12．（2024·高一·青海西宁·期末）若函数yfx在R上是减函数，且fm2fm，则实数m

的取值范围是.

1

13．已知函数f(x)是定义在区间[0,)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x1)f

3

的x的取值范围是________

14．（多选）已知函数fx满足：任意给定xR，都有fx3f1x，且任意x1，x22,，

fx1fx2

0x1x2，则下列结论正确的题号是（）

x1x2

25

A．faa1fB．任意给定xR，fxf2

4

C．f0f3D．若fmf1，则1m5

【巩固练习1】已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x22)f(x)，则x的取值范围是．

【巩固练习2】（多选）已知函数f(x)在R上是减函数，且ab0，则下列说法正确的是（）

A．f(a)f(b)0B．f(a)f(b)0

C．f(a)f(b)0D．f(a)f(b)f(a)f(b)

【巩固练习3】已知fx是定义在1,1上的增函数，且fx1f13x，则x的取值范围

是.

【巩固练习4】已知函数fx在R上有定义，且f00．若对任意给定的实数x1,x2x1x2，均

有x1x2fx1fx20恒成立，则不等式x1f12x0的解集是．

【题型7】在某区间上单调求参数范围

已知函数的单调性求参数范围的题，是高中数学的重点及难点，这种题型主要有以下几个主要类型

及对应方法：

（1）直接法

（2）数形结合

（3）结合单调性定义的等价形式

（4）分段函数单调性问题注意比较端点位置

（5）注意定义域的限制

15．如果函数yx21ax2在区间4,上单调递增.那么实数a的取值范围是（）

A．,9B．,3

C．5,D．,7

16．已知函数f(x)x2ax1在区间[1,2]上是单调函数，则实数a的取值范围是

17．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（）

2

��=−�+��+12,6�

A．B．

C．2,6D．−∞,2∪6,+∞

4,12−∞,4∪12,+∞

18．已知函数fxx2ax2在1,2上单调递减，则a的取值范围是（）

A．2,1B．2,1C．2,1D．2,1

【巩固练习1】若函数f(x)x22(a1)x3的单调递增区间是(,3]，则实数a的值为.

【巩固练习2】函数fx72axx2在区间1,1上单调递减，则a的取值范围为.

【巩固练习3】（2024·高一·浙江杭州·期末）如果函数fxax22x3在区间(,4)上是单调递增

的，则实数a的取值范围（）

11

A．aB．a

44

11

C．a0D．a0

44

【题型8】分段函数单调性问题

分段函数单调性问题的解题方法主要归纳为以下步骤：

1、明确分段点：首先确定分段函数的分段点。

2、分别判断：在每个分段内，利用导数或单调性定义判断函数的单调性。

3、比较分段点：检查分段点处的函数值或左右极限，确定分段连接处是否影响整体单调性。

4、综合结论：综合各分段内的单调性，得出整个分段函数的单调性结论

ax5,x1

19．已知函数f(x)1是R上的减函数，则a的范围是（）

,x1

x

A．[4,0)B．[4,)C．(,4)D．(,0)

x2ax5,x1

fx1fx2

20．已知函数f(x)a满足对任意x1x2，都有0成立，则a的范围

,x1x1x2

x

是（）

A．3,0B．

3,2C．(,2]D．(,0]

3a1x,x1

已知函数是增函数，则实数a的取值范围为

【巩固练习1】fx2.

x2axa,x1

5

ax,x,2

2

【巩固练习2】若函数fx在R上单调递增，则a的取值范围为（）

a

x2a,x2,

x

A．0,4B．1,2

C．1,4D．2,

【题型9】根据函数的最值或值域求参数

1、函数的最大值

（1）定义：对于函数y＝f(x)其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，都

有f(x)≤M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最大值，

记作ymax＝f(x0).

（2）几何意义：函数的最大值对应函数图象的最高点的纵坐标。

2、函数的最小值

（1）定义：对于函数y＝f(x)，其定义域为D，如果存在x0∈D，f(x)＝M，使得对于任意的x∈D，

都有f(x)≥M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值，即当x＝x0时，f(x0)是函数y＝f(x)的最小值，

记作ymin＝f(x0).

（2）几何意义：函数的最小值对应图象最低点的纵坐标。

21．若函数fxaxba,bR的定义域是1,2，值域是2,3，则ab．

3x2

【巩固练习1】已知函数y,x(1,m]的最小值为8.则实数m的值是（）

x1

A．-1B．1C．2D．3

【巩固练习2】已知函数fxx24x，xm,4的值域是0,4，则实数m的取值范围是（）

A．,2B．0,2C．0,2D．2,4

【题型10】分段函数值域问题

处理分段函数问题，重点是画图分析

1

xt,x0

22．（23-24高一上·山东聊城·期中）设函数fxx，若f0是fx的最小值，

22

x2txt,x0

则实数t的取值范围是（）

A．1,2B．1,0

C．1,2D．0,2

x24x,x4

23．已知函数fxa有最大值，则实数a的取值范围为（）

,x4

x

A．[0,16]B．(,16]C．[16,)D．(,0][16,)

ax1,xa

【巩固练习1】设函数fx2，若fx存在最小值，则a的最大值为（）

x2,xa

22

A．1B．1C．D．-

22

x1,xk

【巩固练习2】已知k0，函数f(x)2有最大值，则实数k的取值范围是．

,xk

x

【题型11】复合函数单调性

复合函数的单调性：“同增异减”

判断复合函数yfgx的单调性的步骤，

第一步：定义域优先，拆分前必须确定函数的定义域。

第二步：将复合函数分解成y=f(u)与u=g(x)。

第三步：分别确定这两个函数的单调性。

第四步：用"同增异减"判断函数yfgx的单调性

“同增异减”的意思如下图：

ugxyfuyfgx

增增增

增减减

减增减

减减增

1

24．函数y的单调增区间为（）

65xx2

55

A．,B．6,

22

55

C．,1和1,D．（,6）6,

22

25．函数fx32xx2的单调递增区间是．

26．已知f(x)82xx2，若g(x)f2x2，则g(x)（）

A．在区间(1,0)内是减函数B．在区间(0,1)内是减函数

C．在区间(2,0)内是增函数D．在区间(0,2)内是增函数

1

【巩固练习1】函数fx的单调增区间是．

x24x5

【巩固练习2】已知fxx2，若gxf1x2，则gx（）

A．在区间0,1内递减B．在区间1,0内递减

C．在区间,0内递增D．在区间0,内递增

【巩固练习3】（多选）已知函数f(x)在R上单调递增，函数g(x)在(,0)上单调递增，在[0,)上

单调递减，则（）

A．函数f(f(x))在R上单调递增

B．函数f(g(x))在(,0)上单调递增

C．函数g(g(x))在(,0)上单调递减

D．函数g(f(x))在[0,)上单调递减

【题型12】不等式恒成立问题

高一不等式恒成立问题的解题策略主要包括：先确定参数范围，将不等式转化为关于参数的函数；

然后分析函数性质，利用单调性、最值等求解参数；最后验证解的正确性。

27．对于0m4中的任意m，不等式x2mx4xm3恒成立，则x的取值范围是（）

A．1x3B．x1C．x3D．x1或x3

21

28．函数fxxx1，gxxa，若x,1，x2,3，使得fx1gx2，求实数

122

a的取值范围.

【巩固练习1】已如函数f(x)x2mx1，若对任意x[m,m1]都有f(x)0成立，求m的取值

范围.

x24x,2x3

2

【巩固练习2】已知fxx2，gxax1，若任给x12,4，存在x22,1．使

,3x4

x

得fx1gx2，则实数a的取值范围是．

【课后作业】

1．已知函数yx22x3的单调递增区间为.

57

2．已知fx关于x2对称，且fx在0,2上单调递减，则f1，f，f的大小顺序是

22

（）

5757

A．ff1fB．f1ff

2