2026年江苏省部编版高中数学选修第二册第7章综合测试卷

2026年江苏省部编版高中数学选修第二册第7章综合测试卷一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在选修第二册第7章中，若函数f(x)＝ln(x2－4x＋3)的定义域为D，则集合D与集合{1,2,3,4}的交集为（）A.{1}B.{2}C.{3}D.{1,3}解析：函数f(x)＝ln(x2－4x＋3)的定义域需满足x2－4x＋3＞0，解得x∈(－∞,1)∪(3,+∞)，故D＝(－∞,1)∪(3,+∞)。集合{1,2,3,4}与D的交集为{1,3}，选项D正确。本题考查对数函数定义域的求解及集合运算，需掌握二次函数图像与不等式解集的关系。2.若向量a＝(2cosθ－1,3sinθ)与向量b＝(－1,2)垂直，则θ的取值范围是（）A.{θ|θ＝kπ－π/4，k∈Z}B.{θ|θ＝kπ+π/4，k∈Z}C.{θ|θ＝kπ，k∈Z}D.{θ|θ＝kπ+π/2，k∈Z}解析：向量垂直的条件为a•b＝0，即(2cosθ－1)×(－1)＋3sinθ×2＝0，化简得2cosθ－1－6sinθ＝0，即cosθ－3sinθ＝1/2。令t＝tanθ，则方程变为1－3t＝1/2t，解得t＝1/5，即θ＝arctan(1/5)+kπ。选项A正确。本题综合考查向量垂直的坐标表示及三角函数性质，需掌握向量点积运算与三角恒等变形。3.已知点A(1,0)，B(－1,0)，动点P满足|PA|－|PB|＝2，则点P的轨迹方程为（）A.x2－y2＝1B.x2＋y2＝1C.y＝x2D.y＝－x2解析：|PA|－|PB|＝2为双曲线的几何定义，焦点为A、B，实轴长为2。双曲线标准方程为x2/a2－y2/b2＝1，其中a＝1，c＝1，b＝√(c2－a2)＝√2，故方程为x2－y2/2＝1。选项A正确。本题考查双曲线定义与标准方程，需区分椭圆与双曲线的几何特征。4.在选修第二册第7章中，若复数z＝1＋i与复数w＝a－bi(a,b∈R)的乘积为纯虚数，则a与b的关系为（）A.a2＋b2＝1B.a2－b2＝0C.a+b＝1D.a-b＝0解析：z•w＝(1+i)(a－bi)＝(a＋b)+(a－b)i为纯虚数，需满足实部a＋b＝0且虚部a－b≠0，即a＝－b且b≠0。选项B正确。本题考查复数乘法运算及纯虚数概念，需注意纯虚数的条件是实部为0且虚部不为0。5.已知函数f(x)＝2sin(2x＋π/3)，则其最小正周期为（）A.π/2B.πC.2πD.3π/2解析：正弦函数y＝Asin(ωx+φ)的周期T＝2π/|ω|，此处ω＝2，故T＝π。选项B正确。本题考查三角函数周期公式，需掌握ω与周期T的负倒数关系。6.在选修第二册第7章中，若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，d＝－1/2，则Sn取最大值时n的值为（）A.4B.5C.6D.7解析：等差数列前n项和Sn＝na1＋n(n－1)d/2＝2n－n(n－1)/4，令f(n)＝2n－n(n－1)/4，求导f'(n)＝2－(n－1)/2，令f'(n)＝0得n＝5。检验n＝4、5、6时，Sn＝7、6.5、5，最大值为n＝4时。选项A正确。本题考查等差数列求和与最值问题，需结合导数法与数列性质分析。7.已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4与直线l：y＝kx－1，若直线l与圆C相切，则k的值为（）A.－3/4B.3/4C.－4/3D.4/3解析：圆心(1,－2)，半径r＝2。直线l到圆心的距离d＝|k×1－(－2)－1|/√(k2+1)＝2，化简得|k+1|＝2√(k2+1)，平方后解得k＝－3/4。选项A正确。本题考查直线与圆相切的条件，需掌握点到直线距离公式与圆的几何性质。8.在选修第二册第7章中，若某工厂生产某种产品的成本函数为C(x)＝100＋2x＋0.01x2(x为产量)，则当产量x＝100时，边际成本为（）A.2B.3C.102D.102.01解析：边际成本为成本函数的导数，C'(x)＝2＋0.02x，当x＝100时，C'(100)＝2＋0.02×100＝4。选项B正确。本题考查边际成本概念，需掌握导数在经济学中的应用。9.已知函数f(x)＝x3－3x2＋2，则其单调递增区间为（）A.(－∞,0)B.(0,2)C.(2,+∞)D.(－∞,0)∪(2,+∞)解析：f'(x)＝3x2－6x，令f'(x)＞0得x∈(－∞,0)∪(2,+∞)。选项D正确。本题考查函数单调性与导数的关系，需掌握导数符号与单调区间的对应关系。10.在选修第二册第7章中，若某班级有男生30人，女生20人，现要随机抽取5人参加活动，则恰好抽到3名男生和2名女生的概率为（）A.1/12B.1/10C.3/8D.1/4解析：P＝C(30,3)×C(20,2)/C(50,5)＝(30×29×28)/(50×49×48×47×46)≈0.1。选项B正确。本题考查超几何分布，需掌握组合数与古典概型计算方法。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝|x－1|＋|x+2|的最小值为________。参考答案：3解析：f(x)表示数轴上x到1和－2的距离之和，最小值出现在x＝－2与x＝1之间，即f(－2)＝3。本题考查绝对值函数性质，需掌握绝对值三角不等式。2.已知向量a＝(1,2)，向量b＝(－1,λ)，若向量a与向量b的夹角为120°，则λ＝________。参考答案：－3解析：cos120°＝(a•b)/(|a|×|b|)＝(1×(－1)+2λ)/√(1+4)×√(1+λ2)，化简得－1/2＝(－1+2λ)/√(5+5λ2)，平方后解得λ＝－3。本题考查向量数量积与夹角公式，需注意三角函数符号。3.双曲线x2－4y2＝16的渐近线方程为________。参考答案：y＝±1/2x解析：双曲线x2/a2－y2/b2＝1的渐近线方程为y＝±(b/a)x，此处a＝4，b＝2√3，故渐近线为y＝±√3/2x。选项有误，正确答案应为y＝±1/2x。4.若复数z＝1+i与复数w＝a－bi(a,b∈R)的乘积为纯虚数，则a2＋b2＝________。参考答案：1解析：z•w＝(1+i)(a－bi)＝(a＋b)+(a－b)i为纯虚数，需满足a＋b＝0且a－b≠0，即a＝－b且b≠0。故|z|•|w|＝√2×√(a2+b2)＝1，解得a2+b2＝1。5.函数f(x)＝sin(2x－π/4)＋1的图像关于y轴对称的函数为________。参考答案：sin(2x+π/4)+1解析：函数y＝Asin(ωx+φ)关于y轴对称需满足φ＝kπ+π/2，此处φ＝－π/4，故对称函数为sin(2x+π/4)+1。6.等比数列{an}中，若a1＝1，q＝2，则前5项和S5＝________。参考答案：31解析：等比数列前n项和公式S＝a1(1－qn)/(1－q)，代入得S5＝1×(1－25)/(1－2)＝31。7.圆x2＋y2－4x＋6y－3＝0的圆心坐标为________。参考答案：(2,-3)解析：圆方程配方得(x－2)2＋(y＋3)2＝16，圆心为(2,－3)。8.若函数f(x)＝x3－3x2＋2在x＝1处的切线斜率为________。参考答案：0解析：f'(x)＝3x2－6x，f'(1)＝3×12－6×1＝0。9.从6名男生和4名女生中随机选出3人，则至少有1名女生的概率为________。参考答案：3/5解析：P(至少1名女生)＝1－P(全男生)＝1－C(6,3)/C(10,3)＝3/5。10.已知函数f(x)＝e－x，则其反函数f－1(x)的图像关于________对称。参考答案：y=x解析：指数函数与其反函数图像关于y=x对称。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若函数f(x)＝sin2x＋cos2x，则其最小正周期为π。参考答案：正确解析：f(x)＝1/2(1－cos2x)+1/2(1+cos2x)＝1，为常数函数，周期为任意非零数，但最小正周期为0。2.双曲线x2/a2－y2/b2＝1的离心率e满足e＞1。参考答案：正确解析：双曲线离心率e＝√(1+b2/a2)＞1。3.若复数z＝a+bi(a,b∈R)的模为|z|＝1，则z的平方为纯虚数。参考答案：错误解析：z2＝(a+bi)2＝a2－b2+2abi，若a2+b2＝1，则z2＝2abi为纯虚数。4.函数f(x)＝x3在区间(－1,1)上单调递增。参考答案：正确解析：f'(x)＝3x2≥0，故单调递增。5.若向量a＝(1,2)，向量b＝(3,4)，则向量a与向量b共线。参考答案：错误解析：向量共线需存在λ使a＝λb，此处无λ满足1＝3λ且2＝4λ。6.圆x2＋y2－2x＋4y－1＝0与x轴相切。参考答案：正确解析：圆心(1,－2)，半径√(12+22)＝√5，圆心到x轴距离为2，等于半径。7.等差数列{an}中，若a1＝－2，d＝3，则a100＝298。参考答案：正确解析：a100＝a1+99d＝－2+99×3＝297。8.函数f(x)＝ln(x2－1)的定义域为(－∞,－1)∪(1,+∞)。参考答案：正确解析：x2－1＞0得x∈(－∞,－1)∪(1,+∞)。9.若复数z＝1+i与复数w＝2－i的乘积为纯虚数。参考答案：错误解析：z•w＝(1+i)(2－i)＝3+i，非纯虚数。10.函数f(x)＝sin2x的图像与函数g(x)＝cos2x的图像完全相同。参考答案：错误解析：f(x)＝1/2(1－cos2x)，g(x)＝1/2(1+cos2x)，图像关于x＝π/4对称。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x，求其最小正周期。解：f(x)＝2cos2x－sin2x＝cos2x+1－sin2x＝cos(2x+π/4)+1，周期T＝2π/|ω|＝2π/2＝π。2.若向量a＝(3,4)，向量b＝(1,2)，求向量a与向量b的夹角θ。解：cosθ＝(a•b)/(|a|×|b|)＝(3×1+4×2)/(5×√5)＝11/5√5，θ＝arccos(11/5√5)。3.已知双曲线x2－4y2＝16，求其焦点坐标。解：a＝4，b＝2√3，c＝√(a2+b2)＝√(16+12)＝√28，焦点为(±√28,0)。4.若复数z＝1+i与复数w＝a－bi(a,b∈R)的乘积为纯虚数，求|z|•|w|的值。解：z•w＝(1+i)(a－bi)＝(a＋b)+(a－b)i为纯虚数，需a＋b＝0且a－b≠0，即a＝－b且b≠0。|z|＝√2，|w|＝√(a2+b2)＝√2，故|z|•|w|＝2。5.已知函数f(x)＝x3－3x2＋2，求其极值点。解：f'(x)＝3x2－6x，令f'(x)＝0得x＝0或x＝2。f''(0)＝6＞0，f''(2)＝6＜0，故x＝0为极小值点，x＝2为极大值点。6.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，d＝－1/2，求Sn取最大值时n的值。解：Sn＝na1＋n(n－1)d/2＝2n－n(n－1)/4，令f(n)＝2n－n(n－1)/4，求导f'(n)＝2－(n－1)/2，令f'(n)＝0得n＝5。检验n＝4、5、6时，Sn＝7、6.5、5，最大值为n＝4时。7.已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4与直线l：y＝kx－1，若直线l与圆C相切，求k的值。解：圆心(1,－2)，半径r＝2。直线l到圆心的距离d＝|k×1－(－2)－1|/√(k2+1)＝2，化简得|k+1|＝2√(k2+1)，平方后解得k＝－3/4。8.若函数f(x)＝x3－3x2＋2，求其单调递增区间。解：f'(x)＝3x2－6x，令f'(x)＞0得x∈(－∞,0)∪(2,+∞)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝ln(x2－4x＋3)，求其定义域。解：x2－4x＋3＞0，解得x∈(－∞,1)∪(3,+∞)。2.若向量a＝(2cosθ－1,3sinθ)与向量b＝(－1,2)垂直，求θ的取值范围。解：a•b＝0，即(2cosθ－1)×(－1)＋3sinθ×2＝0，化简得cosθ－3sinθ＝1/2。令t＝tanθ，则方程变为1－3t＝1/2t，解得t＝1/5，即θ＝arctan(1/5)+kπ。3.已知点A(1,0)，B(－1,0)，动点P满足|PA|－|PB|＝2，求点P的轨迹方程。解：|PA|－|PB|＝2为双曲线的几何定义，焦点为A、B，实轴长为2。双曲线标准方程为x2/a2－y2/b2＝1，其中a＝1，c＝1，b＝√(c2－a2)＝√2，故方程为x2－y2/2＝1。4.已知复数z＝1+i与复数w＝a－bi(a,b∈R)的乘积为纯虚数，求a与b的关系。解：z•w＝(1+i)(a－bi)＝(a＋b)+(a－b)i为纯虚数，需满足实部a＋b＝0且虚部a－b≠0，即a＝－b且b≠0。5.已知函数f(x)＝2sin(2x＋π/3)，求其最小正周期。解：正弦函数y＝Asin(ωx+φ)的周期T＝2π/|ω|，此处ω＝2，故T＝π。6.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，d＝－1/2，求Sn取最大值时n的值。解：Sn＝na1＋n(n－1)d/2＝2n－n(n－1)/4，令f(n)＝2n－n(n－1)/4，求导f'(n)＝2－(n－1)/2，令f'(n)＝0得n＝5。检验n＝4、5、6时，Sn＝7、6.5、5，最大值为n＝4时。7.已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4与直线l：y＝kx－1，若直线l与圆C相切，求k的值。解：圆心(1,－2)，半径r＝2。直线l到圆心的距离d＝|k×1－(－2)－1|/√(k2+1)＝2，化简得|k+1|＝2√(k2+1)，平方后解得k＝－3/4。8.若函数f(x)＝x3－3x2＋2，求其极值点。解：f'(x)＝3x2－6x，令f'(x)＝0得x＝0或x＝2。f''(0)＝6＞0，f''(2)＝