重视核心素养考好高中数学-以2022全国新高考1卷数学为例

重视核心素养，考好高中数学

——以2022全国新高考1卷数学为例

文/刘蒋巍

本文是《立意新颖，界定明确，有效区分[1]——2022全国新高考1卷数学评析》姊妹

篇。

学好高中数学，未必能考好高中数学。要“考好高中数学”，一定要重视核心素养。因

为高考数学是为考察核心素养而设计的。

下面从“理解数学抽象，多得分”、“理解逻辑推理，快得分”、“理解数学建模，好得分”、

“理解直观想象，巧得分”、”理解数学运算，少失分”等5大核心素养视角，分析2022

全国新高考1卷数学题，希望能给各位教师、同学一些启发。

01理解数学抽象，多得分

抽象方法包括：性质抽象、关系抽象、等置抽象、无限抽象.以及强抽象和

弱抽象。

数学考试中，涉及最多的是“关系抽象”、“强抽象和弱抽象”。

数学关系抽象是指根据认识目的，从研究对象中抽取或建构若干构成要素之

间的数量关系或空间位置关系，而舍弃其他无关特征或物理现实意义的抽象方

法。

关系抽象在处理问题过程中是经常用到的，有时解题的关键就在于一个关系

的抽取或建构。如求值（2sin80。一sin20。）/cos20°,若仅从直观上抽取80。=

4*20。这个倍数关系，问题将难以解决，而若从特殊角出发，建构80。角与20。角

的如下关系：80°=60°+20°,问题便可迎刃而解。

弱抽象和强抽象也是数学中常用的抽象方法。

先来看下面两组例子，一组是：

数一式.

正比例函数一一次函数一代数函数一函数.

全等三角形一相似三角形.

另一组是：

三角形一等腰三角形一等边三角形.

四边形T平行四边形一矩形T正方形.

两组例子给出的是两种不同的抽象方式：弱抽象和强抽象。

强抽象,可以看成“从一股到特殊的过程”：强抽象,可以看成“从特殊到一

般的过程”。

譬如：试比较1001八2001与2001!的大小。这道题可以直接证明，但是通

过考虑它的一般情况来证明更为简便。首先，通过观察100M2001与2001!的结

构和联系，可以发现，1001=(2001+1)/2,所以问题转化为比较［(2001+1)⑵入2001

与2001!的大小。将2001抽象成H,将其一般化，即比较［(口+1)/2］八口与n!的大小，

联想不等式［(1+2+3H----Hn)/nFn>n!以及1+2+3+..+n=n(n+1)/2»即得所需结果。

在解决问题中，观察条件、结论的结构和联系是非常重要的。

类似的，2022全国高考1卷第7题。

(2022全国高考1卷第7题)设4=0.1e°」力=，c=-hi0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

分析：设〃=0.1e01,Z>=°,,c=-lii(l-O.l)

1-0.1

将0.1抽象成x,a=xex,b=—,c=-111(1-x)

1—x

lna=lii.v+x,lnZ>=Inlnb=x+ln(l-x)；a-c-xex4-ln(l-x)

问题迎刃而解。

02理解逻辑推理，快得分

数学推理是学生学习数学、进行思考的基本能力。一般地，可从以下两个方面入手培

养学生的数学推理能力。

1.加强数学活动的过程教学，提高合情推理能力

通过适当的学习活动，尽可能使学生亲自体验概念的形成过程；精心设计和组织教学,

引导学生参与公式、定理、法则、性质的发现、探索、推导过程；尽量暴露解题的思

考过程，尤其是解题中思路受阻及产生错误后是如何调整思维方式的，帮助学生掌握

探索的方法与解题的规律，培养和发展自我调控的能力.

2.有目的、有计划、有步骤地进行演绎推理的训练，提高演绎推理的能力

(1)结合具体数学内容，介绍或讲授一些必要的逻辑知识.

•般来说，学生经过几年的学习，可以获得一定的逻辑训练.但是囚为在教材和教学中,

只对数学内容本身进行解释，而对其中的逻辑成分很少解释，学生在没理解逻辑成分

的情况下去学习推理往往只是不自觉地使用逻辑法则，有时还会发生逻辑错误，这当

然是不利于其逻辑思维和推理能力的发展，为了帮助学生更自觉地使用逻辑规则，避

免逻辑错误，提高思维和推理能力，有必要学习关于逻辑的初步知识。

(2)向学生明确“运算也是推理”的思想，有意识地在运算中培养学生“说理”的习惯和

能力.

明确“运算也是推理”的思想是十分重要的。因为在中学代数，尤其是初中代数中，含

有较多的具有算法性质的内容，学生在学习这部分内容时，往往只是记忆运算的步骤,

而忽视对运算依据的理解和掌握，这就不利于运算的准确性，也不利于推理能力的培

养。当然，这也不是说要掌握所有数、式运算的依据，这在中学数学中也是做不到的,

但是，要强调把计算步骤与依据结合起来，尽可能做到“数学地记忆“，培养学生“说理”

的习惯和能力，从中提高推理能力。

(3)向学生明确“化归也是推理”的思想

在数学问题中，给出的条件有时会在量、形关系上显得较为杂乱，无从下手。这时，

需要根据待解问题的表现形式，对所给的量、形关系做和谐统一的化归。即化归应朝

着使待解问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系方面趋于统一的方向进行，使

问题的条件与结论表现得更匀称和恰当。

【例题】在AABC中，A=2C,求证：b/3<a—c<b/2.

分析条件是角的关系，结论是边的关系，由统一性原则及正弦定理，将结

论与条件统一起来，转化为sinB/3〈sinA—sinC<sinB/2»进一步将角统一起来.

由A=2C,B=7t—(A+C)=兀-3C,结论进一步转化为关于单变元C的不等

式sin3c/3<sin2C—sinCvsin3c/2,将之再简单化为两个更为具体的不等式，即

sin3C/3<siii2C—sinC,且sin2C—sinCVsin3c/2.从而，问题就化归为如下两

个表现形式上较统一的问题：

(1)在△ABC中，A=2C,求证sin3C<3sin2C—3sinC.

(2)在△ABC中，A=2C,求证2sin2c—2sinCVsin3c.

对于问题(1)，继续将结论统一为关于同角C的同名三角函数的不等式：

sin3C<3sin2C—3sinC»

等价于3sinC―4sin3C<6sinCcosC—3sinC

等价于一4(sinC)A2―6cosC+6<0

等价于2(cosC)A2—3cosC+l<0

等价于(2cosC—l)(cosC-1)<0

等价于2cosC—1>0

等价于cosC>l/2.

问题(1)随之就化归为：在AABC中，A=2C,求证cosC>l/2.这是一

个很简单的问题.同样可证问题(2).

分析上述解题过程，如何将元素统一，以及将条件与结论在表现形式上的统

一是问题解决的关键,化归正是朝着这个方向进行的。

其实，回顾、反思中学数学学习，很多内容都是遵循统一性原则的：如不同

底的对数式运算常通过换底公式统一为同底数的对数来运算；多变元的问题通过

消元变为一个变元的问题；三角诱导公式的重要作用就是实现三角式的和谐统

一，等等。

类似的，2022全国1卷第18题。

(2022・新高考I卷T18)记PUB。的内角N,B.C的对边分别为b,c.已知

cosA_sin2B

1+sin/Il+cos2B

(2)求的最小值.

分析条件是角的关系，结论是边的关系，由统一性原则及正弦定理，将结

论与条件统一起来，转化为以工娑=虻上空0.进一步将角统一起来。由

csin'C

cosAsiiiIB

sinB--cosC=siii

1+sinNl+cos25化成8s(/+')=sin，，即:

,得

C=—FBA=2B

2，即有2进一步转化为关于单变元B的代数式

+；-8S”,从而，问题就化归为如下表现形式上较统一的问题:

cos*B

■、r日否士_4xcos22B+1-cos2B.也

【问题3】在AABC中，求--------s-------的最小值.

cos'B

对于问题3,继续将其统一为关于同角B的同名三角函数式:

(2cos25-1)*4-1-cos2B

cos25

等价于“求,9的最小值“

4cos'5+^^—5

cos'B

问题3随之就化归为：在AABC中，求，2的最小值.这是一个

4cos'3+—=——5

cos'B

很简单的问题.

03理解数学建模，好得分

所谓模型是一种结构，这种结构是通过对原型的形式化或模拟与抽象得到的。所谓数

学模型就是研究者依据研究目的，将所研究的客观事物的过程和现象的主要特征、主

要关系，采用形式化的数学语言，概括或近似地表达出来的一种结构。

数学模型方法是借用数学模型来研究原型的功能特征及其内在规律，并应用于实际的

一种方法。

譬如：锥体体积的模型：V=psin20cos0,其中P为参数。

一道椎体、柱体最值问题的命制

教材习题求函数Y=sii/8cos8(04842)的最大值。

2

试题修改对教材习题进行处理，将符号语言转换成图像语言。可以有两种处理

方向：①处理成侧棱长为1,高线长未知的正四棱锥的体积；②处理成母线长为

1,高线长未知的圆锥的体积。为使得处理的情况具有一段性，将“侧棱长为1”、

八母线长为1”均改为“长为

(1)按处理方向①处理，形成1福.

1稿已知一正四棱锥尸-4B]CQ1的高为PQ，侧棱长为。（。>0），记

z4Pq=e（o<8<»求其体积/的最大值及此时P。]的长。

提示：j7=|n3siii2^cos^,pq=acos。

2稿现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状为正四棱锥

p-43]GOi，其侧棱长为4（。>0）,其底面正方形的中心为01,下部分形状为正四

棱柱ABCD-481Gz>1,其底面正方形的中心为O,要求正四棱柱的高OQ是正四棱

锥的高PO]的左（左>0）倍，求仓库容积厂最大时FQ的长.

2稿分析；记乙4]尸。1=夕（0<6<一）,则V=（—+2后28cos8;注意到

23

（sin2^cos^）2=sin4^cos20=isin2^siii262cos204g（而"+，''♦?。0，叩=f

,当且仅当si/JuZcos%,即cos6=4^时，等号成立；

3

V4•号+2k）〃=.号+2左）/,Pq=ncos6=[a.2016年江苏曲考第17

题为2稿的特例（高考题为〃=6.k=4的情况，PQ=20,/«4166）

（2）按处理方向②处理，形成问题变式.

变式现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状是顶点为P,底面圆

圆心为的圆锥，其母线长为4m>0）,下部分形状是底面圆面积与上部分圆锥

的底面圆面积相等的圆柱，其下底面圆圆心为o,要求圆柱的高qo是圆锥的高

尸。1的后（女〉0）倍，求仓库容积p最大时PQ1的长.

注：该例［2］为笔者文章“例谈高中数学教材试题的衍生——以江苏高考数学试题

命制为例［J］.文理导航（中旬）,2017,（02）”节选。

类似的，有全国1卷第8题、全国乙卷第9题。

（2022・新高考I卷T8）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.

若该球的体积为367，且3W/W36，则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A1吟27812764

B.C.D,[18,27]

T'TT'T

【答案】C

（2022•全国乙（理）T9）已知球O的半径为1.四棱锥的顶点为O,底面的四

个顶点均在球。的球面上,则当该四楂锥的体积最大时，其高为（）

CD.叵

A.I-T2

【答案】c

04理解直观想象，巧得分

对于一些复杂的代数综合题，若优先考虑其几何特征，即便是大致的图形，

也可利用几何直观性迅速找到解题的突破口。

（2022・新高考I卷T22）已知函数/（.丫）=/-亦和g（x）=6-Inx有相同的最小

值.

（1）求。；

（2）证明：存在直线y=其与两条曲线丁=/。）和^=8（工）共有三个不同的交

点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

分析这是2022年全国1卷压轴题，试题新颖别致，它令无数考生又痛又喜欢。

绝大多数学生畏惧于开放性的设问，但若能将函数的草图大致画出来，就能发现

b>l,进而理清证明的方向。

运用数形结合解题是十分重要的思想方法，但部分学生限于知识深广度的制

约，对诸如/仕）=/_丫和ga）=x_lnx等函数模型，若考生难以勾勒其草图，

必将影响解题速度。

05理解数学运算，少失分

在初等数学中.运算对象主要有数、式、向量、几何图形等.相应的运算主

要有：

初等代数运算——加法、减法、乘法、除法、乘方、开方.

初等超越运算一指数运算、对数运算、三角和反三角运算等.

几何运算—平移、旋转、反射、位似、相似等.

平面直角坐标系下，平移变换

x*=x+a

y*=y+

把平面上任一点P(x,y),变为P'(x+a.y+p).

(2022・新高考I卷T21)已知点42.1)在双曲线°：5-^^=1(。＞1)上，直线

a,a—1

/交。于尸，。两点，直线幺尸，4。的斜率之和为0.

(1)求/的斜率；

(2)若tanNPN0=2加,求△24。的面积.

2

分析易得：双曲线72=1,即:丫2_2产=2

不妨通过平移变换简化运算。以4(2,1)为新的原点，作坐标平移变换

《ti=x-2

y=y-^

则在uv平面中，A为原点，而双曲线方程为：

(〃+2)2-2(箕+1)2=2

展开得:

Z/2-2V2+4Z/-4V=0

设直线/方程为：初〃+犷=1，则齐次方程

w2-2y2+(4〃-4v)(niu+nv)=0

为过原点A的直线AP、AQ

因为直线AP.AQ的斜率之和为0,

所以/的斜率—4_

m4

第2问，可以由夹角公式求解，这里从略。

参考文献

[1]刘蒋巍.一道高中数学联赛模拟题的命制与解析[J].中学数学教学参考,2018(07):606.

⑵谈高中数学教材试题的衍生一以江苏高考数学试题命制为例[J].文理导航(中

旬),2017,(02)

作者简介：

刘蒋巍，江苏如东人，中国数学会会员，CNKI大成编客推荐主编，《课程教育

研究》特约编委，学思堂教育研究院院长，师生成长高级研修院院长，在《高等

数学研究》、《中学数学教学参考》等杂志发表论文30余篇，著有《命题转换

的9种方法在教学中的运用》、《中学学科学法指导》、《中高考数学命题技

术研究》、《江苏高考数学复习指南》、《升学考试数学试卷的命制》、《教

学之道28篇》、《新时代人力资源管理教程》、《有效教研》等书籍20余本。

拥有《LOVE教学原则、ICPR教学法、IPBQLD教学法与五感授课》、《LSMF

教学法、EBASV教学法与渐进式提问》、《6783教学体系：文言翻译六字诀、

编题七字诀、读写结合八步法、三情境反思法》、《教师四课研训》、《五步

成“师数学教师成长的5条路径》等版权课程300余部。

刘蒋嫌：立意新颖,界定明确，有效区分2022全国新高考1卷数学评析

立意新颖，界定明确，有效区分

——2022全国新高考1卷数学评析

文/刘蒋巍

“立意新颖，不为题海战术开方便之门。界定明确，对•线教师的教学有导

向功能。有效区分，让不同水平的学生高低立显。这是命题研究组时2022

全国新高考1卷数学的总体感知。落实到2022全国新高考1卷数学的试题教学，

这种感触逐步加深.

2022全国数学高考落下帷幕，命题研究组通过研题、试讲、回顾、反思，

对2022年全国新高考1卷数学题，深受启发，特撰写此文。

立意新颖，不为题海战术开方便之门

2022全国高考数学试题颇具江苏特色。譬如：选择题压轴题第8题,解答

题乐轴题第21题等。

选择题第8题及其出题背景研究

该题为2016年江苏高考试题第17鹿的改编。选项具有迷惑性,做到「“有

效区分”。命题研究组研究员在给高•学生讲解第8题时，发现：有高学生，

采用“极端思想”，求得答案为B。实则答案为C。

8.已知正四幡健的禽帔长为/,其各项点都在同一球面上.若谟球的体积为加1,且

3W/W%6,用该正四梭椎体积的取值fc范图是

A.(1玲B.弓苧。,凡*D.【1&271

参考答案：V=144(sin0cos20「：注意到

(sin:6>cos0)2=sin'"cos'6=^sin2^sin:0-2cos:^4；jin'+sin：+2c°s外

=-4-

27

4A4

V=144(sin6>cos2^)2144x—=—,故，答案选C,而非B。

273

本题题源是教材习题，改编H2016年江苏高考第17题。

教材习题求函数),=sin'6cos0(04Jsg)的最大值。

试题修改对教材习题进行处理，将符号语言转换成图像语言。可以有两种处理

刘蒋超：立意新颖,界定明确,有效区分-2022全国新高考1卷数学评析

方向：①处理成侧棱长为I,高线长未知的正四枝椎的体积：②处理成母线长为

1,高线长未知的圆锥的体积。为使得处理的情况具有一般性，将“傅校长为1”、

“母线长为1”均改为“长为1”.

（1）按处理方向①处理，好成1稿.

I稿已知一正四枝惟p-44GA的高为「«，例枝长为。（。>0），记

=0（0<0</，求其体积/的最大值及此时PQ的长。

2

提示：r=|o'sin^cos6»,POt=aco&0

2稿现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分彩状为正屿枝椎

公

P-ABO其偏枝长为。3>0）,其底面正方彩的中心为q/F部分身状为正四

棱柱其底面正方彩的中心为。，要求正日枝柱的尚。0是正日棱

维的高W〉。）倍，求仓库容枳，最大时今嬴.

2稿分析：记N4Pq=8(0＜。＜±)，则P=(£+2A)/sin2®cos。；注意到

2/

(sin2^cos^)2=sin4^cos2^=-sin2^-sin:^«2cos2^＜-(—n^+s'n°+”。§，

依十327

,当且仅当$in，O=2co/。，即cos。=立时，等号成立：

3

,

+2A)a=^^(1+y

2kyatPOt=acos0=^-a-2016年江苏高考■第17

题为2稿的抄例（高考题为°=64=4的情况，Pq=2G,X4l60）

（2）按处理方向②处理，形成问题变式.

变式现要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分形状是顶点为尸,底面圆

圆心为q的圆锥，其母线长为.（”>（））,下部分形执是底面圆面积与上部分圆锥

的底面腑面积相等的圆柱，其下底面圃圆心为O,要求圆柱的高O0是圜钳的高

尸。1的〃曲>0）倍，求仓库容积了最大时pq的长.

注：该例为笔,者文章”2］例谈高中教学教材试题的行生——以江苏高考数学试题

命制为例［J］.文理导航（中旬）,2017,（02）“节选。也是《江苏高考数学灾习指南》（刘

刘蒋嫌：立意新颖,界定明确，有效区分-2022全国新高考1卷数学评析

蒋巍著）、《中学学科学法指导》（刘蒋巍著）一书内容。以此为背景命制的题

有很多，譬如：《拓展阅读1:2019江苏19题第3问及其新解法》

解答题第21题及其出题背景研究

笔者长期从里竞赛数学教学T.作。当笔者看到2022年全国卷笫21题时，颇

感熟悉。

其出题背景为：“当点4（见〃X〃w0）在曲线上时，过点A作两条斜率互为

相反数的直线，与曲线的另外两个交点分别为P，Q,则直线PQ的斜率为定值J

乐

21.（12分）

已知点/（2,1）在双曲线C：4・4'=l（a>l）上，直线Z交C于P,。两点，M

aa—1

AP,4。的斜率之和为0・

（1）求/的斜率：

（2）若tan/尸4。=2废，求△尸/。的面积.

这让笔者联想到2009年、2018年江苏高中联赛复赛解答题第3题。（解答

见《拓展阅读2》）

原题如下：、.

（2009年江苏高中联赛复赛解答题第3题）如图,抛物线

/=2x及点尸（1.1）,过点尸的不电合的直线&与此抛物线分别交

于点力，8.C.D.证明：A.B,C,。四点共圈的充要条件是

直线4与右的核斜角互补.

（2018年江苏高中联赛复赛解答题第3题）在平面直角坐标系中，己知椭

同M:二+J=I,过点尸（2,2）作直线《4与椭圆.”分别交于48和CD,且直线（4的斜

63

率互为相反数.

（1）证明：PA・PB=PCPD；

（2）记宜线/C,5£>的斜率分别为求证：尢+内为定值.

引理过不在曲线上的点尸（砥〃）作两条直线分别与椭网@>6>。）交于

刘蒋超：立意新颖,界定明确,有效区分-2022全国新高考1卷数学评析

界定明确，对一线教师的教学有导向功能

“基础题送分到位，中档题多翘把美，难题有效区分。”

选择题第6题为中档题，此类问即在往年全国卷及2021〜2022年模考卷中常

有涉及。方法较多，譬如：构造函数法。此类问题，需要考生熟悉常见的函数模

型。

参考答案：C

类似考题：

已知"V5且aJ=5e，V4且be*=4e'・cV3

且。/=3/・则（）.

A.cV〃VaB.6VcVa

C.a<c<bD.a<h<c

另外，多选职第12题、填空题第16题均属于把关题，能够有效区分不同水

平的学生。

刘蒋媛：立意新颖,界定明确,有效区分-2022全国新高考1卷数学评析

48和C。两点，且直线//的修斜角a/互补，则阳HM=|PC||M.

证明：设过点PSM帧斜角为。的面找参数方程为丁=""8皿（，为参数）,

[y=n+tsina.

，确联立方程组，整理得:

(a2sin2a+6:cos:a>2+2(a：〃sina+bznKo&a)t+a2n2+b2m2—a2b2=0.

所以“IM=1弋叱1ay同理可得|yp>a=吗：?％"?：•

1,11a'sm-a+ft-cos-a1,11a2sin-+6'cos'

故?阿=|pq-pq成立.

反之.若陶=|pq-|pq,也有$而。=§而/=。+#=”.即倾前用<//u补.

由nr平行的等长线段在同•伸缩变换作用卜所得线段长度是不是相等的，需要增

将。

加条件”两条直线帧斜角互补”，命例中的“割线定理”才能成立.

当点P在桶园£：[+《=1（”人>0）的内部时，即为相交弦定理：

02b产

当点P在椭国E:]+}=1（”力>0）的外部时，即为别线定理；

当点〃（孙〃）（〃/0）在此牡时，过点P作两条界率互为相反数的“线，'曲线的另外两

个交点分别为4c.则直线NC•的斜率为定值.（2022年全国1卷第21题出题背景）

若曲线为桶10£:二+占=l（a>b>0）时,心,=”：

a*b-⑶a'n

若曲线为椭回£:[■-与ElS>0,〃>0）时.L=-"：

a2bz>Ja2n

若曲线为抛物线E:产=2px（p>0）时,kM.=-"：

n

x22

推论1：过点P（/n,〃）作两条11线//分别与椭网E*+方=1（。”>0）交于48和

仁。两点，旦宜线//的斜率4人互为相反数，则俨/|•俨用=|罔,|々）|.

AB

过点，（见〃）作内条直线44分别，双曲线从]-1=1(0>°力>°)交于'

与CQ两点,H.直线//的斜率勺内互为相反数，^\PA\-\PB\=\PC\-\PD\.

推论3：过点P（孙〃）作两条巴线44分别。抛物线E：/=2px（p>0）交于480CD

两点，且直线//的斜率4内互为相反数，则|叫网=冈・闸.

刘蒋媛：立意新颖，界定明确,有效区分2022全国新高考1卷数学评析

有效区分，让不同水平的学生高低立显

2022年全国1卷第22题，第1问是期望大部分学生能够得到分数的。时间

来不及的学生，也可以通过猜想：a=l并验证，得到一点分数。但第1问，要拿

满分，需要分类讨论。第2问，则需要严渤证明。在全卷多题把关的情况下，第

22题取得满分，实属凤毛麟角

22.(12分)

已知函数/(x)=e'-or和g(x)=ox-lnx有相同的最小值.

(1)求a：

(2)证明：存在直线7其与两条曲线y-/(x)和y・g(x)共有三个不同的交

点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

川刘蒋巍.道高中数学联赛模拟题的命制与解析[J].中学数学教学参

考,2018(07):60-61.

[2]例谈高中数学教材试题的衍生——以江苏高考数学试题命制为例[J].文理导

航(中旬),2017,(02)

6

刘蒋媛：立意新颖,界定明确,有效区分-2022全国新高考1卷数学评析

拓展阅读1：<2019江苏19题第3问及其新解法》

设函数/（》）=。-。）（刀-6）（》-。）,4,瓦。€1<、/1X）为/（X）的导函教.

4

若a=0,0<b4l,c=l,il/(x)的极大值为求证:生一.

27

(3)因为a=0,c=l,所以/(x)=x(x-bXx-l)=x3-(b+l)x2+bx,

f(x)=3x2-2(b+\)x-¥b.

因为0<b41,所以。=4(b+l--126=(3-iy+3>0,

则/'（x）有2个不同的零点,设为多,覆（冬〈覆）・

b+l-Jb'-b+lh+\+>Jb2-b+\

由/'(x)=0,Wx,

33

列表如卜:

X

(7°,X])Xx2(4+<»)

'不

/'(X)+0叱一0+

f(x)/极大值极小值/

所以/(x)的极大(AM=/($).

解法三:

rr

注意到：当6w(0,g)时，

2

cos2^sin*£?=』♦2cos

2

.12cos:^4sin:<?+sin:0j4

ST(z---------T---------)=--，

2327

当口仅当sin?。=2cos2。n|JCos^=—IH.等号成立:

3

4

4X=COS2^€(0,1),则x(1—x)2«万:

因为所以$w（0,l）.

M=/(X1)=X|(b-XiXlT|)«X|(l-xJ2M盘

刘蒋嫌：立意新颖,界定明确，有效区分-2022全国新高考1卷数学评析

《拓展阅读2：2009年、2018年江苏高中联赛复赛解答题第3题》

（2009年江苏高中联赛复赛解答题第3题）如图，抛物线产=2”及点尸（口）,

过点P的不无合的直线（与此抛物纹分别交于点力,B,C,D.证明：A,B,C,

。四点共圆的充要条件是宜纹乙与乙的倾斜角互补・

解设4、&的帔斜角分别为a、外，由题设知

a、夕w（0,”）.易知直线4的参数方程为

[x=l+/cosa

卜=1+rsina

代入抛物线方程可化得