群论基础入门试题及答案

群论基础入门试题及答案整理考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题1.设(G,·)是一个群，e是其单位元，a∈G，则a的逆元记作_______，满足a·a⁻¹=_______。2.若群(G,·)中的运算·满足交换律a·b=b·a对所有a,b∈G成立，则称G为_______群。3.设G是一个群，H是G的一个非空子集，若H对于G中的运算_______，并且H中每个元素的逆元也在H中，则H是G的一个子群。4.整数集合Z在加法运算'+'下构成一个群，该群的单位元是_______，元素-5的逆元是_______。5.非零有理数集合Q*在乘法运算'*'下构成一个群，该群的单位元是_______。6.二面体群D₃（正三角形对称群）的阶是_______，它可以表示为{e,r,r²,s,sr,sr²}，其中r是旋转，s是反射，满足r³=e,s²=e,rs=sr²。7.群(Z/nZ)*是模n整数全体在乘法下构成的可换群，其元素个数等于_______。8.设G是一个群，a∈G，k为正整数，a的k次幂aᵏ定义为_______（用a和单位元e表示）。9.设G是一个群，a∈G，如果a²=e，则称a为_______元素。10.设G是一个群，H和K是G的两个子群，则H∩K也是G的一个_______。二、判断题（请判断下列命题的真假，正确的打√，错误的打×）1.任何群G都至少有两个子群，即G本身和单位元组成的单元素子群。()2.若群G中的元素a满足a²=e，则a必是单位元。()3.群G的任何子集都可以生成G的一个子群。()4.有限群G的任何非空子集，只要对G的运算封闭，就一定是G的子群。()5.若H是群G的子群，K是H的子群，则K也是G的子群。()6.阿贝尔群的任何子群都是阿贝尔群。()7.若群G中存在一个元素a，使得G中每个元素都可以表示为a的幂，则a称为G的生成元。()8.群G的陪集可以构成G的一个划分。()9.对称群S₃是阿贝尔群。()10.整数集合Z在乘法运算'*'下构成一个群。()三、选择题（每小题只有一个正确答案，请将正确答案的字母序号填在括号内）1.下列哪个集合和指定的运算不构成群？(A)集合Q*（非零有理数）在乘法下(B)集合Z（整数）在加法下(C)集合N（非负整数）在加法下(D)集合R\{0}（非零实数）在乘法下2.设G是一个群，a,b∈G，下列说法错误的是？(A)a⁻¹存在且唯一(B)(a⁻¹)⁻¹=a(C)(ab)⁻¹=b⁻¹a⁻¹(D)若ab=ba，则称a和b是可换的3.设G是一个群，H是G的子群，a∈G，则aH和Ha都是G的陪集，下列说法正确的是？(A)aH=Ha(B)aH和Ha不可能相等(C)aH和Ha的交为空集(D)如果aH∩Ha≠∅，则aH=Ha4.下列哪个是二面体群D₄（正方形对称群）的子群？(A){e,r²}(B){e,r,r²,s}(C){e,r,r²,sr}(D){e,s,rs,r²s}（其中r是旋转90度，s是关于某条对边的反射）5.设G是一个群，a∈G，如果a⁵=e且a²≠e，则a的阶是？(A)1(B)2(C)5(D)无法确定6.有限群G的阶（元素个数）n必是其任意元素a的阶的_______。(A)因数(B)倍数(C)素数倍(D)平方7.阶为6的有限群G，其一定不是_______群。(A)阿贝尔(B)非阿贝尔(C)有子群阶为3(D)有子群阶为28.设H是群G的子群，|G|=12,|H|=3，则G中包含H的子群个数是？(A)1(B)2(C)3(D)49.在整数加法群(Z,+)中，子群3Z（所有3的倍数）的生成元是？(A)0(B)3(C)1(D)-310.下列哪个群是阿贝尔群？(A)整数全体在加法下(B)非零实数全体在乘法下(C)n阶对称群Sn(D)n阶交错群A_n四、简答题1.请给出群的定义，并解释其中的四个条件（封闭性、结合律、单位元、逆元）。2.解释什么是子群，并给出判断一个非空子集H是群G的子群常用的两种方法（不要求证明，只需说明条件）。3.列举三个不同的群，并说明它们的运算是什么。4.解释什么是阿贝尔群，并举例说明一个有限阿贝尔群和一个无限阿贝尔群。5.什么是群G的阶？什么是元素a在群G中的阶？两者之间有什么关系？五、证明题1.设G是一个群，a,b∈G，证明：a⁻¹b⁻¹∈(ab)⁻¹。2.设G是一个群，H是G的一个子群，证明：如果H是G的子群，则G中每个元素都属于H的某个陪集，且H的所有陪集彼此不相交。3.设G是一个群，a∈G，证明：如果a²=e，则a=a⁻¹。4.设G是一个群，H和K是G的两个阿贝尔子群，证明：H∩K也是G的一个阿贝尔子群。5.设G是一个群，a是G的一个元素，证明：生成由a生成的子群<a>的最小子集就是{aᵏ|k∈Z}。试卷答案一、填空题1.a⁻¹;e2.阿贝尔（或交换）3.封闭性4.0;-55.16.67.φ(n)（欧拉函数值）8.a·a·...·a（共k个a，或aᵏ）9.幺（或自逆）10.子群二、判断题1.√2.×3.×4.×5.√6.√7.√8.√9.×10.×三、选择题1.C2.C3.D4.A5.C6.A7.A8.C9.B10.A四、简答题1.群的定义：一个非空集合G，配备一个二元运算·，满足以下四个条件：*封闭性：对任意a,b∈G，都有a·b∈G。*结合律：对任意a,b,c∈G，都有(a·b)·c=a·(b·c)。*单位元存在性：存在一个元素e∈G，对任意a∈G，都有e·a=a·e=a。*逆元存在性：对任意a∈G，都存在一个元素a⁻¹∈G，使得a·a⁻¹=a⁻¹·a=e。2.子群定义：群G的非空子集H，如果对于G中的运算·也构成一个群，则称H是G的子群。常用方法：*子群判别法1：设H是G的非空子集，若对任意a,b∈H，都有a·b⁻¹∈H，则H是G的子群。*子群判别法2（有限群）：设G是有限群，H是G的非空子集，若H对G的运算封闭，则H是G的子群。3.例子1：整数全体在加法下，记为(Z,+)。例子2：非零有理数全体在乘法下，记为(Q*,*)。例子3：整数模n在乘法下，记为(U(n),*)，例如(Z/5Z)*={1,2,3,4}在乘法下。4.阿贝尔群定义：满足交换律a·b=b·a对所有a,b∈G成立的群G，称为阿贝尔群（或交换群）。例子1（有限阿贝尔群）：整数模4在加法下，(Z/4Z,+)={0,1,2,3}，+。例子2（无限阿贝尔群）：有理数全体在加法下，(Q,+)。5.群G的阶：群G中元素的个数，记作|G|。元素a在群G中的阶：使aᵏ=e成立的最小正整数k（如果存在），记作|a|。关系：元素a的阶|a|一定整除群的阶|G|（拉格朗日定理推论）。五、证明题1.证明：设G是一个群，a,b∈G。需要证明a⁻¹b⁻¹∈(ab)⁻¹。由逆元的定义，(ab)⁻¹是满足(ab)·(ab)⁻¹=e的元素。计算：(ab)·a⁻¹b⁻¹=a·(b·a⁻¹)·b⁻¹由结合律，变为a·(a⁻¹·b)·b⁻¹由逆元定义，a⁻¹·b是b·a的逆元，所以a·(a⁻¹·b)=e。因此，(ab)·a⁻¹b⁻¹=e。这表明a⁻¹b⁻¹是ab的逆元，即a⁻¹b⁻¹∈(ab)⁻¹。证毕。2.证明：设G是一个群，H是G的一个子群，a∈G。要证明a属于H的某个陪集。考虑陪集aH={ah|h∈H}。由于H是子群，单位元e∈H，所以a·e=a∈aH。因此，G中每个元素都属于H的某个陪集。要证明H的所有陪集彼此不相交。假设存在aH∩bH≠∅，设x∈aH∩bH。则存在h₁,h₂∈H，使得x=ah₁=bh₂。因此，a=bh₂h₁⁻¹。由于H是子群，h₁⁻¹∈H，h₂∈H，所以bh₂h₁⁻¹∈H。这意味着a∈H。既然a∈H，则aH=H（因为H是H的陪集）。同理，b∈H，则bH=H。因此，aH∩bH=H∩H=H。这与aH∩bH≠∅矛盾。所以，H的所有陪集彼此不相交。证毕。3.证明：设G是一个群，a∈G，如果a²=e，则证明a=a⁻¹。由逆元的定义，a⁻¹是满足a·a⁻¹=e的元素。计算：a·a=e。由结合律和逆元定义，a·a=a·(a·a⁻¹)=(a·a)·a⁻¹=e·a⁻¹=a⁻¹。所以，a=a⁻¹。证毕。4.证明：设G是一个群，H和K是G的两个阿贝尔子群，证明H∩K也是G的一个阿贝尔子群。首先证明H∩K是G的子群：1.非空性：H和K都是G的子群，所以e∈H且e∈K。因此e∈H∩K，H∩K非空。2.封闭性：任取a,b∈H∩K。则a,b∈H且a,b∈K。由于H和K是子群，所以a·b∈H且a·b∈K。因此a·b∈H∩K。封闭性成立。3.逆元存在性：任取a∈H∩K。则a∈H且a∈K。由于H和K是子群，所以a⁻¹∈H且a⁻¹∈K。因此a⁻¹∈H∩K。逆元存在性成立。所以H∩K是G的子群。其次证明H∩K是阿贝尔群：任取a,b∈H∩K。则a,b∈H且a,b∈K。由于H和K是阿贝尔群，所以a·b=b·a（在H中）且a·b=b·a（在K中）。因此，a·b=b·a（在G中）。所以H∩K是阿贝尔群。证毕。5.证明：设G是一个群，a是G的一个元素，证明生成由a生成的子群<a>的最小子集就是{aᵏ|k∈Z}。<a>的定义是a的所有幂的集合，即<a>={aᵏ|k∈Z}，其中a⁰=e，aᵏ=a·a·...·a（k次，k为正整数），a⁻ᵏ=a⁻¹·a⁻¹·...·a⁻¹（k次，k为正整数）。最小子集的含义是包含<a>的最小集合，即该集合等于<a>，并且没有真子集也包含<a>。显然，{aᵏ