2026年江苏省中考数学压轴题专项训练习题

2026年江苏省中考数学压轴题专项训练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（3，0），且其顶点在直线y=x上，则该二次函数的解析式为（）A．y=2x²-4x+2B．y=-2x²+4x-2C．y=2x²-4x-2D．y=-2x²+4x+2解析：由题意知抛物线与x轴交于点A（1，0）和B（3，0），故可设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3）。又因为顶点在直线y=x上，设顶点为（h，k），则h=k。抛物线顶点坐标为（（1+3）/2，-a（1-1）（3-1）/4）=（2，-a），代入h=k得2=-a，即a=-2。因此解析式为y=-2（x-1）（x-3）=-2x²+8x-6，化简后为y=-2x²+4x-2。故选B。2.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E、F分别在AD、BC上运动，连接BE、CF，当四边形BECF的面积为6时，BE与CF的夹角θ的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．90°解析：设BE与CF交于点O，连接AO。由矩形性质知AB∥CD，BC∥AD，故∠BOC=∠BAC=90°。四边形BECF的面积S=（BE×CF）/2=6，即BE×CF=12。在△ABE中，由勾股定理得AE=√（AB²-EB²）。同理在△BCF中，CF=√（BC²-BF²）。因为AB=4，BC=3，代入得BE×CF=√（16-EB²）×√（9-BF²）=12。解得EB²+BF²=25。由矩形面积公式S矩形=AB×BC=12，S四边形BECF=S矩形-S△ABE-S△BCF=12-（1/2）×4×EB-（1/2）×3×BF=6，化简得EB+BF=4。结合EB²+BF²=25，解得EB=BF=2。因此BE=CF=2√2，∠BOC=45°。故选B。3.某校为了解学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图。根据图中信息，下列结论正确的是（）A．本次调查的总人数为50人B．认为“非常了解”的学生人数比“比较了解”的多10人C．认为“不太了解”的学生所占的百分比是20%D．若该校共有2000名学生，则认为“非常了解”的学生约有600人解析：由扇形统计图可知，“非常了解”占比为30%，“比较了解”占比为40%，故“非常了解”比“比较了解”多10个百分点。由条形统计图可知，“非常了解”人数为15人，“比较了解”人数为5人，故实际多10人。因此B正确。总人数为（15/30%）=50人，故A正确。认为“不太了解”占比为1-30%-40%=30%，故C错误。若该校共有2000名学生，则认为“非常了解”的学生数为2000×30%=600人，故D正确。综合来看，B选项最符合题意。4.已知关于x的一元二次方程x²+mx-2=0的两个实数根分别为α、β，且满足α²+αβ+β²=9，则实数m的值为（）A．-5或1B．-3或5C．-7或3D．-9或7解析：由根与系数关系知α+β=-m，αβ=-2。由α²+αβ+β²=（α+β）²-αβ=9，代入得m²+2=9，解得m=±√7。故选D。5.在平面直角坐标系中，点A（1，2）、B（3，0）是两个定点，点P是直线y=x上的动点，则PA+PB的最小值为（）A．2√2B．2√3C．3√2D．4√2解析：作点A关于直线y=x的对称点A'（2，1），连接A'B交直线y=x于点P，此时PA+PB=A'B。由两点间距离公式得A'B=√（（3-2）²+（0-1）²）=√2。故选A。6.已知反比例函数y=（k-1）/x的图象经过点（2，-3），则关于x的一元二次方程kx²-（k-1）x-6=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定解析：将（2，-3）代入y=（k-1）/x得k-1=-6/2=-3，即k=-2。代入方程得-2x²+3x+6=0，判别式△=3²-4×（-2）×6=9+48=57＞0，故有两个不相等的实数根。故选A。7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D、E分别在AB、AC上，且DE∥BC，若AD=2，则四边形DECB的面积与△ADE的面积之比为（）A．2：1B．3：1C．4：1D．5：1解析：由DE∥BC，得△ADE∽△ABC。相似比为AD/AB=2/（3+4）=2/7，故DE/BC=2/7，CE/AC=2/7。DE=（2/7）×4=8/7，CE=（2/7）×3=6/7。四边形DECB的面积为（1/2）×BC×AC-△ADE的面积=（1/2）×3×4-（1/2）×2×（6/7）×3=6-18/7=30/7。△ADE的面积为（1/2）×2×（6/7）×3=18/7，故面积比为（30/7）:（18/7）=5:3。故选D。8.已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，且当x=-2时，y=5；当x=1时，y=-4，则该抛物线与x轴的交点坐标为（）A．（1，0），（-3，0）B．（2，0），（-4，0）C．（0，0），（-2，0）D．（3，0），（-1，0）解析：由对称轴x=-1，得-（b/2a）=-1，即b=2a。代入y=ax²+2ax+c，得当x=-2时，4a-4a+c=5，即c=5。当x=1时，a+2a+c=-4，即3a+5=-4，解得a=-3。故抛物线为y=-3x²-6x+5。令y=0，得-3x²-6x+5=0，解得x=（-1±√19）/3。故选B。9.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC边上的动点，且∠AEF=45°，则AE+EF的最小值为（）A．1B．√2C．√3D．2解析：作点E关于BC的对称点E'，连接E'F交BC于点F，此时AE+E'F为最小值。由正方形性质知∠E'CB=45°，∠E'CB+∠BFC=90°，故∠BFC=45°。在△E'BF中，E'F=√（（1-0）²+（1-0）²）=√2。故选B。10.已知函数f（x）=x²-2x+1，若关于x的不等式f（x）≥kx的解集为x≤1或x≥3，则实数k的取值范围是（）A．k≤1B．k=1C．k≥1D．k=3解析：f（x）=x²-2x+1=（x-1）²，不等式为（x-1）²≥kx。令g（x）=（x-1）²-kx，由题意知g（x）=0的两根为1和3。故1+3=（k+1）/1，解得k=3。故选D。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若一个圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则该圆锥的侧面积为________cm²。解析：圆锥侧面积S=πrl=π×3×5=15πcm²。2.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，BC=6，则AB的长度为________。解析：由正弦定理得AB/sin60°=BC/sin45°，即AB=6×（√3/2）/（√2/2）=3√6。3.若关于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²=0有两个相等的实数根，则m的值为________。解析：判别式△=4（m+1）²-4m²=0，解得m=-1/2。4.已知直线y=2x+1与抛物线y=x²-4x+3相交于A、B两点，则线段AB的长度为________。解析：联立方程组得x²-6x+2=0，两根之差|x₁-x₂|=√△/a=√8/1=2√2，故AB=√2|x₁-x₂|=2。5.在直角坐标系中，将点A（2，3）先沿x轴向左平移3个单位，再沿y轴向上平移2个单位，得到的点的坐标为________。解析：坐标变为（2-3，3+2）=（-1，5）。6.若一个样本的方差s²=4，则这个样本的标准差为________。解析：标准差s=√s²=√4=2。7.已知扇形的圆心角为120°，半径为4，则扇形的面积为________。解析：面积S=（1/3）×π×4²=16π/3。8.若函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（1，2）和（-1，0），则k+b的值为________。解析：k=（2-0）/（1-（-1））=1，b=2-k=1，故k+b=2。9.已知正五边形的边长为2，则其内切圆的半径为________。解析：内切圆半径r=（2sin72°）/（1+2cos72°）≈1.75。10.若不等式组2x-a＞1和x+1＜3的解集没有公共部分，则a的取值范围是________。解析：解不等式组得x＞（a+1）/2和x＜2，无解需（a+1）/2≥2，即a≥3。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若一个三角形的两边长分别为3和5，则第三边长一定大于2且小于8。解析：正确，由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。2.若样本数据为5，6，7，8，9，则这组数据的平均数与众数相等。解析：错误，平均数为7，众数为无。3.若抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的图象开口向上，则它的顶点是该抛物线的最低点。解析：正确，开口向上时顶点为最低点。4.若两个相似三角形的相似比为1：2，则它们的面积比也为1：2。解析：错误，面积比应为1：4。5.若关于x的一元二次方程x²+mx+n=0的两个根为α、β，则α²+β²=（α+β）²。解析：错误，α²+β²=（α+β）²-2αβ。6.若一个圆柱的底面半径为3，高为4，则它的侧面积为12π。解析：错误，侧面积应为2π×3×4=24π。7.若一个样本的极差为8，则这个样本的标准差一定大于2。解析：正确，标准差至少为极差的一半。8.若一个直角三角形的两条直角边长分别为6和8，则它的斜边长为10。解析：正确，由勾股定理得√（6²+8²）=10。9.若一个圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高不变，则它的体积扩大到原来的2倍。解析：错误，体积扩大到原来的4倍。10.若两个函数y=f（x）和y=g（x）的图象关于y=x对称，则f（x）=g（x）。解析：错误，应为f（x）=g（y）。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，求△ABC的面积。解析：由海伦公式s=（5+6+7）/2=9，面积S=√[9×（9-5）×（9-6）×（9-7）]=√[9×4×3×2]=12√2。2.若关于x的方程（m-1）x²-2x+1=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。解析：需满足m-1≠0且△=4-4（m-1）＞0，解得m＜1且m≠1。3.已知函数y=（k-1）x²+kx+1的图象开口向上，求k的取值范围。解析：需满足k-1＞0，即k＞1。4.若一个圆柱的底面半径为2，侧面展开后得到一个矩形，该矩形的周长为20，求圆柱的高。解析：设高为h，则2π×2+2h=20，解得h=7-2π。5.已知样本数据为：5，7，7，9，10，求这个样本的中位数和众数。解析：排序后为5，7，7，9，10，中位数为7，众数为7。6.若一个等腰三角形的底边长为6，腰长为5，求这个三角形的面积。解析：作高AD，由勾股定理得BD=3，AD=4，面积S=（1/2）×6×4=12。7.已知直线y=3x-2与抛物线y=x²+x+c相交于两点，且这两点关于y轴对称，求c的值。解析：对称点横坐标互为相反数，故3x₁=-x₂，解得x₁=-1/2，代入得y=-5/2，故c=-5/2。8.若一个正方体的棱长为3，求它的表面积和体积。解析：表面积S=6×3²=54，体积V=3³=27。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某校组织学生参加植树活动，甲班有m名学生，乙班比甲班多5名学生，若两班学生人数之比为3：4，求m的值。解析：由3m=4（m+5），解得m=20。2.已知一个圆锥的底面半径为3，母线长为5，求它的全面积。解析：侧面积S侧=π×3×5=15π，底面积S底=π×3²=9π，全面积S全=15π+9π=24π。3.某商品原价为100元，先提价20%，再降价20%，求该商品现在的价格。解析：提价后为100×1.2=120，降价后为120×0.8=96元。4.已知在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，求∠B的大小（精确到1°）。解析：由余弦定理cosB=（25+36-49）/（2×5×6）=-4/30=-2/15，∠B≈112°。5.若一个样本的方差s²=9，样本容量为n=10，求这个样本的标准差。解析：标准差s=√9=3。6.已知函数f（x）=x²-4x+3，求f（x）在区间[-1，3]上的最大值和最小值。解析：对称轴x=2，f（-1）=8，f（2）=-1，f（3）=0，故最大值为8，最小值为-1。7.某工程队计划修建一条长1000米的道路，实际每天比计划多修10米，结果提前5天完成任务，求原计划每天修建多少米。解析：设原计划每天修x米，则（1000/x-1000/（x+10））=5，解得x=50。8.已知在直角坐标系中，点A（1，2）、B（3，0），点P是直线y=x上的动点，求PA+PB的最小值。解析：作点A关于直线y=x的对称点A'（2，1），连接A'B交直线y=x于点P，此时PA+PB=A'B=√（（3-2）²+（0-1）²）=√2。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.B3.B4.D5.A6.A7.D8.B9.B10.D二、填空题1.15π12.3√613.-1/214.215.（-1，5）16.217.16π/318.219.约1.7520.a≥3三、判断题1.√22.×23.√24.×25.×26.×27.√28.√29.×30.×四、简答题1.12√2，由海伦公式s=9，S=√[9×4×3×2]2.m＜1且m≠1，△=4-4（m-1）＞0且m-1≠03.k＞1，由a-1＞04.h=7-2π，2π×2+2h=205.中位数7，众数76.12，作高AD，BD=3，AD=47.c=-5/2，对称点横坐标互为相反数8.表面积54，体积27五、应用题1.m=20，3m=4（m+5）2.24π，S侧=15π，S底=9π3.96元，100×1.2×0.84.∠B≈112°，cosB=-2/155.3，s=√96.最大值8，最小值-1，f（-1）=8，f（2）=-17.x=50，1000/x-1000/（x+1