2023年人教版七7年级下册数学期末解答题复习试卷附答案

2023年人教版七7年级下册数学期末解答题复习试卷附答案

一、解答题

1.如图1，用两个边长相同的小正方形拼成一个大的正方形.

（1）如图2,若正方形纸片的面积为1dm?,则此正方形的对角线4C的长为_dm.

（2）如图3,若正方形的面积为16cm2,李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积

为12cm2的长方形纸片，使它的长和宽之比为3：2,他能裁出吗？请说明理由.

2.喜欢探究的亮亮同学拿出形状分别是长方形和正方形的两块纸片，其中长方形纸片的长

为3dm,宽为2dm,且两块纸片面积相等.

（1）亮亮想知道正方形纸片的边长，请你帮他求出正方形纸片的边长；（结果保留根号）

（2）在长方形纸片上截出两个完整的正方形纸片，面积分别为2dm2和3dm一亮亮认为两

个正方形纸片的面积之和小于长方形纸片的总面积，所以一定能截出符合要求的正方形纸

片来，你同意亮亮的见解吗？为什么？（参考数据：V2-1.414,V3«1.732）

3.如图，用两个边长为15&的小正方形拼成一个大的正方形，

（1）求大正方形的边长？

（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为

4：3,且面积为720cm2?

4.如图，在3x3的方格中，有一阴影正方形，设每一个小方格的边长为1个单位.请解决

下面的问题.

（1）阴影正方形的面积是?（可利用割补法求面积）

（2）阴影正方形的边长是?

（3）阴影正方形的边长介于哪两个整数之间？请说明理由.

5.求下图4x4的方格中阻影部分正方形面积与边长.

二、解答题

6.已知直线八8〃CD,点P、Q分别在48、C。上，如图所示，射线P8按逆时针方向以每

秒12。的速度旋转至以便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按逆时针方向每秒3°旋转

至Q。停止，此时射线P8也停止旋转.

（1）若射线P8、QC同时开始旋转，当旋转时间10秒时，Pd与Q。的位置关系为；

（2）若射线QC先转15秒，射线P8才开始转动，当射线P8旋转的时间为多少秒时，

PB'Z/QC.

（各用困）QC（各用困）~~Q

7.己知：如图（1）直线八8、CD被直线MN所截，Z1=Z2.

（1）求证：AB//CD；

（2）如图（2）,点E在48,C。之间的直线M/V上，P、。分别在直线48、CD±,连接

PE、EQ,PF平分N8PE,QF平分/EQD,则NPEQ和NPFQ之间有什么数量关系，请直接

写出你的结论；

(3)如图(3),在(2)的条件下，过P点作PH〃EQ史CD于点H,连接PQ,若P。平

分，EPH,ZQPF：ZEQF=1：5,求NPHQ的度数.

8.如图1,M/VIIPQ,点C、8分别在直线MN、PQ上，点4在直线MN、PQ之间.

(1)求证：/GA8=NMC4+/P84

(2)如图2,CDIIAB,点E在PQ上,4ECN=，CAB,求证：ZMCA=Z.DCEx

(3)如图3,8F平分NA8P,CG平分NACN,AFWCG.若/CA8=60°,求NAF8的度数.

9.如图，已知直线A8//射线CO,NCEB=110°.P是射线上一动点，过点P作

PQ//EC交射线CD于点Q,连接C尸.作NFCf—NFC。，交直线A3于点尸，CG平分

NECF.

(1)若点P,F,G都在点E的右侧.

①求NPCG的度数；

②若ZEGC-ZECG=30。，求NCPQ的度数.(不能使用“三角形的内角和是180。〃直接解

题)

(2)在点尸的运动过程中，是否存在这样的偕形，使/EGC:/EFC=3:2?若存在，直

接写出NCPQ的度数；若不存在.请说明理由.

10.如图1,把一-块含30’的直角三角板28c的8c边放置于长方形直尺OEFG的"边上.

(1)根据图1填空：Z1=°，Z2=。：

(2)现把三角板绕8点逆时针旋转c。.

①如图2,当〃=25。，且点C恰好落在0G边上时，求/I、N2的度数；

②当0。<〃<180。时，是否会存在三角板某一边所在的直线与直尺(有四条边)某一边所

在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有〃的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请

说明理由.

关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由.

13.问题情境

（1）如图1,已知A8//CD,NP8A=125°,ZPCD=155',求N8PC的度数.佩佩同学的

思路：过点。作进而尸N//CO,由平行线的性质来求N8PC,求得N8PC

■

问题迁移

（2）图2,图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两直角边与直尺的两

边重合/人。△=90°,£＞尸〃。6A4与"）相交于点上，有一动点〃在边〃。上运动，连接

PE,PA,记NPED=Na,/PAC=邛.

①如图2,当点尸在C。两点之间运动时，请直接写出NAPE与2//月之间的数量关

系；

②如图3,当点尸在B,/）两点之间运动时，/4所与N。,/〃之间有何数量关系？请判断

并说明理由.

14.已知直线A5〃。，M,N分别为直线AB,C。上的两点且NMM）=70。，P为直线

CQ上的一个动点.类似于平面镜成像，点N关于镜面〃尸所成的镜像为点Q,此时

/NMP=4QMP,乙NPM=/QPM,乙MNP=/MQP.

（1）当点P在N右侧时：

①若镜像。点刚好落在直线A8上（如图1）,判断直线"N与直线PQ的位置关系，并说

明埋由；

②若镜像。点落在直线43与CZ＞之间（如图2）,直接写出N8MQ与NOPQ之间的数量

关系；

（2）若镜像，Q_L。。，求N8MQ的度数.

15.已知：如图1,AB/CD,点E,尸分别为AB,C£＞上一点.

EE

A------------------BA------------------B

(1)在AB,CD之间有一点M(点M不在线段E/上)，连接ME,MF,探究

ZAEM,/EMF,/MFC之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应

的数量关系，选其中一个进行证明.

(2)如图2,在AB,CO之两点M,N,连接WN,NF,请选择一个图形写出

ZAEM,/EMN,/MNF,NNPC存在的数量关系(不需证明).

四、解答题

16.(1)如图1,NBAD的平分线4E与N8CD的平分线CE交于点E,ABWCD,

ZADC=5Q°tNA8c=40°,求NAEC的度数；

(2)如图2,/外。的平分线4£与/88的平分线*交于点£,ZADC=a\N48c邛。，

求NAEC的度数；

(3)如图3,PQJ_MN于点。，点4是平面内一点，A8、AC交MN于B、C两点，4。平

ZADP

分NBAC交PQ于点D,请问国贰2函的值是否发生变化？若不变，求出其值；若改

变，请说明理由.

17.如图①，将一副直凭三角板放在同一条直线AB上，其中NONM=30。，ZOCD=

45°.

图①图②图③

（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E,

求/CEN的度数；

（2）将图①中的三角板OMN绕点。按逆时针方向旋转，使NBON=30。，如图③，MN

与CD相交于点E,求NCEN的度数；

（3）将图①中的三角板。MN绕点。按每秒30。的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的

过程中，在第秒时，直线MN恰好与直线CD垂直.（直接写出结果）

18.Rt^ABC中，NC=90。，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点.令

ZPDA=Z1,ZPEB=Z2,ZDPE=Za.

（1）若点P在线段AB上，如图（1）所示，且Na=50。，则/1+/2=。：

（2）若点P在边AB上运动，如图（2）所示，则/a、/I、N2之间的关系为：:

（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，则Na、Nl、N2之间有何关系？

（4）若点P运动到△ABC形外，如图（4）所示，则Na、Z1,/2之间的关系为：―

19.已知48〃8,点E是平面内一点，NCOE的角平分线与N48E的角平分线交于点F.

（1）若点E的位置如图1所示.

①若NABE=6Q°,ZCDE=80°,则NF=°；

②探究/F与/BED的数量关系并证明你的结论：

（2）若点E的位置如图2所示，NF与N8ED满足的数量关系式是—.

（3）若点E的位置如图3所示，/8£为锐角，且/七弓/尸+45。，设NF=a,则cr的取

值范围为

20.已知，AB//CD,点足为射线尸G上一点.

（1）如图1,写出NE4尸、ZAED.NE0G之间的数量关系并证明；

（2）如图2,当点石在用延长线上时，求证：NE4尸=NAEO+NEOG；

（3）如图3,A7平分N胡石，/X交AI于点］,交AE于点K,且NED/：ZCD/=2:1,

Z4£D=20°,Z/=30°,求NEK。的度数.

【参考答案】

一、解答题

1.（1）:（2）不能，理由见解析

【分析】

（1）由正方形面积，可求得正方形边长，然后利用勾股定理即可求出对角线K；

（2）利用方程思想求出长方形的长边，然后与正方形边长比较大小即可.

【详解】

解：

解析：（1）（2）不能，理由见解析

【分析】

（1）由正方形面积，可求得正方形边长，然后利用勾股定理即可求出对角线长;

（2）利用方程思想求出长方形的长边，然后与正方形边长比较大小即可.

【详解】

解：（1）V正方形纸片的面积为1曲广，

正方形的边长AB=BC=\dm,

「♦AC=y/AB2+BC2=y/2dm•

故答案为：y/2.

（2）不能；

根据题意设长方形的长和宽分别为3.7〃和2封7〃.

•..长方形面积为：2Mx=,

解得：X=yjl,»

一.长方形的长边为3技•〃?.

3后>4，

他不能裁出.

【点睛】

本题考查了算术平方根在长方形和正方形面积中的应用，灵活的进行算术平方根计算及无

理数大小比较是解题的关淀.

2.（1）；（2）不同意，理由见解析

【分析】

（1）设正方形边长为，根据两块纸片面积相等列出方程，再根据算术平方根的

意义即可求出x的值；

（2）根据两个正方形纸片的面积计算出两个正方形的边长，计算两个

解析：（1）疯m；（2）不同意，理由见解析

【分析】

（1）设正方形边长为xdm,根据两块纸片面积相等列出方程，再根据算术平方根的意义

即可求出X的值；

（2）根据两个正方形纸片的面积计算出两个正方形的边长，计算两个正方形边长的和，并

与3比较即可解答.

【详解】

解：（1）设正方形边长为Wm,则V=2x3,由算术平方根的意义可知x=#，

所以正方形的边长是疯m.

（2）不同意.

因为：两个小正方形的面积分别为2dm2和3dm2,则它们的边长分别为J5dm和

Gdm.V2+V3即两个正方形边长的和约为3.klm,

所以3.1>3,即两个正方形边长的和大于长方形的长，

所以不能在长方形纸片上截出两个完整的面积分别为2（1:^和3dm2的正方形纸片.

【点睛】

本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是读懂题意并熟知算术平方根的概念.

3.（1）30：（2）不能.

【解析】

【分析】

（1）根据已知正方形的面积求出大正方形的面积，即可求出边长；

（2）先求出长方形的边长，再判断即可.

【详解】

解：（1）.•.大正方形的面积是：

大正

解析:（1）30；（2）不能.

【解析】

【分析】

（1）根据已知正方形的面枳求出大正方形的面枳，即可求出边长；

（2）先求出长方形的边长，再判断即可.

【详解】

解：（1）•••大正方形的面积是：2x（15x/2）2

大正方形的边长是：^x（15x/2）"=5/900=30；

（2）设长方形纸片的长为4x，n,宽为3xcm,

则4x・3x=720,

解得：x=屈,

4x=74x4x60=^/960>30,

所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为4：

3,且面积为720cm2.

故答案为（1）30；（2）不能.

【点睛】

本题考查算术平方根，解题的关键是能根据题意列出算式.

4.（1）5；（2）；（3）2与3两个整数之间，见解析

【分析】

（1）通过割补法即可求出阴影正方形的面积；

（2）根据实数的性质即可求解；

（3）根据实数的估算即可求解.

【详解】

（1）阴影正方形的

解析：（1）5；（2）石；（3）2与3两个整数之间，见解析

【分析】

（1）通过割补法即可求出阴影正方形的面积；

（2）根据实数的性质即可求解;

（3）根据实数的估算即可求解.

【详解】

（1）阴影正方形的面积是3x3-4xgx2xl=5

故答案为：5；

（2）设阴影正方形的边长为x,则X2=5

Ax=75（-石舍去）

故答案为：逐；

(3),/<小<M

2<75<3

・•・阴影正方形的边长介于2与3两个整数之间.

【点睛】

本题考查了无理数的估算能力和不规则图形的面积的求解方法：割补法.通过观察可知阴

影部分的面枳是5个小正方形的面枳和.会利用估算的方法比较无理数的大小.

5.8；

【分析】

用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为

8,然后利用正方形面积公式求8的算术平方根即可.

【详解】

解：正方形面积=4X4-4XX2X2=8；

正方形的边

解析：8；2&

【分析】

用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8,然后利

用正方形面积公式求8的算术平方根即可.

【详解】

解：正方形面积=4X4-4XJX2X2=8；

正方形的边长=血=2拒.

【点睛】

本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于。，即x2=a,那么这个正数x

叫做。的算术平方根.记为6.

二、解答题

6.(1)PBZ±QC；(2)当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，

PB'IIQC'

【分析】

(1)求出旋转10秒时，NBPB，和NCQU的度数，设PB，与QC咬于O,过。作

0EIIAB,根

解析：(1)PB'±QC；(2)当射线P8旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB'WQC

【分析】

(1)求出旋转10秒时，N8P&和NCQC的度数，设「8与。。交于。，过。作。EIMB,根

据平行线的性质求得NP0E和NQOE的度数，进而得结论；

(2)分三种情况：①当0VK15时，②当15〈区30时，③当30<tV45时，根据平行

线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间.

【详解】

解：（1）如图1,当旋转时间30秒时，由已知得NBP?=l（Txl2=120。，ZCQC=

3°xl0=30°,

过。作OEIIAB,

,/ABWCD,

/.4811OfIICD,

...ZPOE=180°-ZBPB1=60°,ZQOE=NCQC=30°,

ZPOQ=90°,

PB'±QC,

故答案为：P8'J_Q。；

B

E・

二八

D-(I5E)~~Q------------j

(2)①当0Vt15时,如图，则N8PB'=12t°,ZCQC=45°+3t°,

,/ABWCD,PB'WQC,

/.ZBPB'=NPEC=NCQC,

即12t=45+33

解得，t=5；

C1

B.

D—^------

/您用西QC

B1

②当15V区30时，如图，则N4P8'=12t-180。，ZCQC=3t+45°,

A8IICD,PB'WQC,

：.Z8P8'=N8EQ=NCQC,

即12t-180=45+3f,

解得，t=25；

9

③当30Vt“5时，如图，则N8P8，=12t-360。，ZCQC=3t+45°,

C’

D-(各用一)'b

\

\、

、

VABWCD,PB'WQC,

/.Z8P8'=NBEQ=/CQC,

即12t-360=45+36

解得，t=45：

综上，当射线P8旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB'WQC.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，第(1)题关键是作平行线，第(2)题关键是分情况讨

论，运用方程思想解决几何问题.

7.(1)见解析；(2)NPEQ+2NPFQ=360°；(3)30°

【分析】

(1)首先证明N1=/3,易证得AB〃CD；

(2)如图2中，ZPEQ+2ZPFQ=360°.作EH〃AB.理由平行线

解析：(1)见解析：(2)ZPFQ+2ZPFQ=360°；(3)30°

【分析】

(1)首先证明N1=N3,易证得48〃C。；

(2)如图2中，NPEQ+2NPFQ=360°.作EH〃AB.理由平行线的性质即可证明；

(3)如图3中，设NQPF=y,ZPHQ=x.NEPQ=z,则NEQF=NFQH=5y,想办法沟建

方程即可解决问题；

【详解】

(1)如图1中,

Z2=Z3,Z1=Z2,

Z1=Z3,

AB//CD.

(2)结论：如图2中，NPEQ+2NPFQ=360。.

理由：作EH〃;48.

•/AB//CD,EH//AB,

/.EH//CD,

：.Z1=Z2,Z3=Z4,

Z2+Z3=Z1+Z4,

ZPEQ=N1+Z4,

同法可证：ZPFQ=NBPF+ZFQD,

,/ZBPE=2ZBPF,Z£QD=2ZFQD,Z1+Z8P£=180°,Z4+ZEQD=180°,

...Z1+Z4+ZEQO+N8PE=2X1800,

即NPEQ+2(NFQO+NBPF)=360°,

ZPEQ+2ZPFQ=360°.

(3)如图3中，设NQPF=y,ZPHQ=x.NEPQ=z,则NEQF=NFQ〃=5y,

EQ//PH,

ZEQC=ZPHQ=x,

/.x+10y=180°,

,/AB//CD,

ZBPH=APHQ=x,

•:PF平分NBPE,

ZEPQ+NFPQ=NFPH+NBPH,

：.ZFPH=y+z-x,

,/PQ平分NEPH,

Z=y+y+z-x,

x=2y,

12V=180°,

y=15°,

.,.x=30°,

/.ZPHQ=30°.

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识.（2）中能正确作出辅助线是解

题的关键；（3）中能熟练掌握相关性质，找到角度之间的关系是解题的关键.

8.（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°.

【分析】

（1）过点A作ADIIMN,根据两直线平行，内错角相等得到NMCA=NDAC,

ZPBA=ZDAB,根据角的和差等量代换即可得解；

（2）

解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120\

【分析】

（1）过点4作40IIMM根据两直线平行，内错角相等得到NMCA=N04C,ZPBA=

NDAB，根据角的和差等品代换即可得解；

（2）由两直线平行,同旁内角互补得到••.、NC48+N48=180。,由邻补角定义得到

/ECM+/£C/V=180。，再等量代换即可得解；

（3）由平行线的性质得到，/EA8=120。-NGC4再由角平分线的定义及平行线的性质

得到NGC4-ZABF=60°,最后根据三角形的内角和是180。即可求解.

【详解】

：.AD\\MNWPQ,

/.ZMCA=ZDAC,ZPBA=NDAB,

ZCAB=ZDAC+ZDAB=ZMCA+ZPBA,

即：ZC4B=ZMCA+APBAi

(2)如图2,CDIIAB,

：.ZCAB+ZACD=180°,

ZECM+AECN=180°,

,/ZEC/V=ZCAB

/.ZECM=NACD,

UPZMC4+ZACE=Z.DCE+Z.ACE,

：.ZMCA=^DCEx

(3)VAFWCG,

/.ZGCA+A£AC=180°,

ZCAB=60°

即NGC4+ZCAB+N£48=180°,

ZFAB=180°-600-ZGCA=120°・ZGCA,

由(1)可知，ZCAB=ZMCA+AABP,

.「8F平分NA8P,CG平分N4C/V,

ZACN=2Z.GCA,ZABP=2Z.ABF,

又•「ZMCA=1800-ZACN,

ZCAB=180°-2ZGCA+2ZABF=6Q°,

：.ZGCA-/A8F=60°,

,/ZAFB+NABF+N@8=180°,

/.ZAFB=180°・4FAB■乙FBA

=180°-(1200-ZGCA)-ZABF

=180°-120°+ZGCA-ZABF

=120、

【点睛】

本题主要考杳了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关

键.

9.(1)①35°；(2)55°；(2)存在，或

【分析】

(1)①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NPCG的度数；

②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NECG=ZGCF=20°

解析：(1)①35°；(2)55°；(2)存在，52.5。或7.5。

【分析】

(1)①依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NPCG的度数；

②依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到NECG=NGCF=20。，再根据PQIICE,

即可得出/CPQ=ZECP=6(T；

(2)设NEGC=3x,ZEFC=2x,则NGCF=3x-2x=x,分两种情况讨论：①当点G、F在点E

的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可.

【详解】

解：(1)®：AB\\CD,

/.ZCEB+N£CQ=180°,

ZCEB=110°,

/.ZECQ=70°,

,/ZPCF=ZPCQ,CG平分/ECF,

ZPCG=ZPCF+ZFCG=yZQCF+yZFCf=yZECQ=35°；

②;4811CD,

：.ZQCG=ZEGC,

•「ZQCG+ZECG=NECQ=70。,

ZEGC+N£CG=70°,

又ZEGC-Z£CG=30°,

/.ZEGC=50°,ZECG=20\

：.ZECG=ZGCF=20°,ZPCF=ZPCQ=y(70°-40°)=15°,

PQIICE,

/.ZCPQ=ZFCP=ZFCQ-ZPCQ=70o-15°=55°.

(2)52.5。或7.5。，

设NEGC=3x°,ZEFC=2x°,

,：AB\\CD,

NQCG=NEGC=3x。，，QCF=,EFC=2x0,

则/GCF=ZQCG-ZQCF=3x°-2x0=x%

ZPCF=NPCQ=gNFCQ=gNEFC=x°t

贝"ECG=ZGCF=NPCF=ZPCD=x°,

ZECD=70°f

4x=70°,解得x=17.5°,

ZCPQ=3x=52.5°；

②当点G、F在点E的左侧时，反向延长C。到”,

ZEGC=3x°,ZEFC=2x°,

NGCH=NEGC=3x0,/FCH=NEFC=2x0,

ZECG=NGCF=NGCH-ZFCH=x°,

,/ZCGF=180°-3x°,NGCQ=70°+x°,

180-3x=70+x,

解得x=27.S,

ZFCQ=NECF+Z.ECQ=27.5°x2+70o=125°,

/.ZPCQ=^NFCQ=62.5°,

ZCPQ=ZECP=62.5°-55°=7.5°,

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相

等是解题的关键.

10.(1)120,90；(2)①Nl=120°-n°,Z2=90°+n°；②见解析

【分析】

(1)根据邻补角的定义和平行线的性质解答；

(2)①根据邻补角的定义求出NABE,再根据两直线平行，同位角相

解析：(1)120,90：(2)/2=90°+。°；②见解析

【分析】

(1)根据邻补角的定义和平行线的性质解答：

(2)①根据邻补角的定义求出/48E,再根据两直线平行，同位角相等可得N1=NA8£,

根据两直线平行，同旁内角互补求出NBCG,然后根据周角等于360。计算即可得到N2；

②结合图形，分AB、BC、AC三条边与直尺垂直讨论求解.

【详解】

解：(1)Z1=180°-60°=120°,

Z2=90°；

故答案为：120,90；

(2)①如图2,

oooo

ZABE=180-60-n=120-n°f

D6IIEF,

Z1=Z28E=120°-〃°,

Z8CG=1800-ZCBF=180°-。'，

ZACB+NBCG+N2=360°,

Z2=360°-/ACB-ZBCG

=360°-90°-(180")

=90°+。°：

②当/?=30。时,•/Z4BC=60°,

NA8F=30°+60°=90°,

AB±DG(EF)；

当〃=90。时，

ZC=ZCBF=90°,

BC±DG(EF),ACA.DE(GF)；

当c=120°时，

/.AB±DE(GF).

【点睛】

本题考查了平行线角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性

质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键.

三、解答题

11.(1)146°；(2)ZAOG+ZNEF=90°；(3)见解析

【分析】

(1)作CP〃a,则CP//a〃b,根据平行线的性质求解.

(2)作CP〃a,由平行线的性质及等量代换得NAOG+NN

解析：(1)146°；(2)NAOG+NNEF=90°；(3)见解析

【分析】

(1)作-CPHa,则CP〃。//b,根据平行线的性质求解.

（2）作CP〃a,由平行线的性质及等量代换得/A0G+N/V£F=N4CP+NPC8=90。.

（3）分类讨论点P在线段GF上或线段GF延长线上两种情况，过点P作。，b的平行线求

解.

【详解】

解：（1）如图，作CP〃⑦

b

丁a//b,CP//a,

・•.CP//a//b,

NAOG=NACP=56°,NBCP+NCEF=180°,

Z8cp=180。-/CEF,

Z4CP+Z8cp=90°,

ZAOG+180°-ZCEF=90°,

ZCEF=180°-90°+ZAOG=146°.

(2)/AOG+/NEF=90°.理由如下：

如图，作CP〃弧则CP〃a〃b,

/.Z40G=ZACP,Z8CP+ZCEF=180°,

,/ZNEF+NCEF=180°,

/.Z8cp=NNEF,

'：ZACP+N8CP=90°,

ZAOG+ANEF=90°.

(3)如图，当点P在GF上时，作PA/〃a,连接PQ,OP,则PN〃a〃b,

a

b

ZGOP=NOPN,ZPQF=ZNPQ,

ZOPQ=ZOPN+NNPQ=NGOP+NPQF,

,/ZGOC=ZGOP+NPOQ=135°,

ZGOP=135°-ZPOQ,

/.ZOPQ=1350-NPOQ+NPQF.

如图,当点P在GF延长线上时，作PA/〃a,连接PQ,OP,则PN〃a〃b,

ZOP/V=ZOPQ+NQPN,

：.ZGOP=NOPQ+NPQF,

：.1350-ZPOQ=NOPQ+NPQF.

【点睛】

本题考查平行线的性质的应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，通过添加辅助线及分

类讨论的方法求解.

12.(1)72°；(2)30秒或110秒；(3)不变，ZBAC=2ZBCD

【分析】

(1)根据NBAM+NBAN=180。，ZBAM：ZBAN=3：2,即可得到NBAN的度

数；

(2)设A灯转动t秒,

解析：(1)72。；(2)30秒或110秒；(3)不变，Z3AC=2ZBCD

【分析】

(1)根据N84M+N84N=180。，ZBAM：ZBAN=3：2,即可得到/8AN的度数：

(2)设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0<tV90时，根

据2t=1・(30+t),可得片30；当90<tV150时，根据1・(30+t)+(2M80)=180,可得

t=110；

(3)设灯4射线转动时间为t秒,根据N847=21-108。，N88=126。-/8C4=t-54。，即可得

出N84C：ZBCD=2：1,据此可得N84C和N88关系不会变化.

【详解】

解：(1),/ZBAM+Z.BAN=18Q°,ZBAM：ZBAN=3：2,

2

/.Z84N=180°x二=72°,

5

故答案为：72；

(2)设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，

①当0VtV90时，如图1,

,/PQIIMN,

ZP8D=ZBDA,

,/ACWBD,

ZCAMMBDA,

：.ZCAM=APBD

2t=l・(30+t),

解得f=30；

②当90VtV150时，如图2,

,/PQIIMN,

ZP8D+N804=180°,

,/ACWBD,

：.ZCAN"BDA

/.ZP8D+NCAN=18Q°

：.1*(30+t)+(2M80)=180,

解得t=110,

综上所述，当t=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行;

(3)NMC和N8CD关系不会变化.

理由：设灯A射线转动时间为t秒，

QBDP

：.ZBAC=72°-(1800-2t)=2t-108°,

又•••ZABC=1080-t,

：.Z8C4=180°-NABC-ZBAC=180°-t,而NACD=126°,

Z88=126"8cA=126。(180°-t)=f-54°,

/.ZBAC：ZBCD=2：1,

即N8AC=2NBCD,

.•./BAC和/BCD关系不会变化.

【点睛】

本题主要考杳了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想

进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.

13.(1)80；(2)①；②

【分析】

(1)过点P作PGIIAB,则PGIICD,由平行线的性质可得NBPC的度数；

(2)①过点P作FD的平行线，依据平行线的性质可得NAPE与Na,N0之

间的数量关系；

解析：(1)80；(2)®ZAPE=Za+Z/?;(2)ZAPE=Z/3-Za

【分析】

(1)过点P作PGIMB,则PGIICO,由平行线的性质可得N8PC的度数；

(2)①过点P作F。的平行线，依据平行线的性质可得/APE与Na,N6之间的数量关

系；

②过P作PQIIDF,依据平行线的性质可得N6=/Q%,/a=/QPE,即可得到

ZAPE=/APQ-Z.EPQ=/6-Za.

【详解】

解：(1)过点P作PGIIA8,贝UPGIICD,

由平行线的性质可得N8+Z8PG=180°,ZC+NCPG=180°,

乂ZPBA=12S0,ZPCD=155°f

Z8PC=360°-125°-155°=80°,

故答案为：80：

(2)①如图2,

过点P作FD的平行线PQ,

则DFWPQIIAC,

Za=zEPQ,Z0=ZAPQ,

ZAPE=NEPQ+NAPQ=Na+Z6,

ZAPE与Na,Z6之间的数量关系为NAPE=Aa+Z6：

B

图2

②如图3,4APE与，a,N6之间的数量关系为N4PE=/6-/a：理由:

过P作PQIIDF,

B

图3

•「DFWCG,

：.PQIICG,

Z6=ZQPA,Za=ZQPE,

：.ZAPE=WAPQ-AEPQ=N6-Za.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得

出结论.

14.(1)①，证明见解析，②，(2)或.

【分析】

⑴①根据和镜像证出，即可判断直线与直线的位置关系，②过点Q作

QFIICD,根据平行线的性质证即可；

⑵过点(^作QFIICD,根据点P的位置不同，

解析：(1)①MNHPQ,证明见解析，②4BMQ+/DPQ=700,(2)160。或20。.

【分析】

⑴①根据A8//8和镜像证出=,即可判断直线MN与直线尸。的位置关

系，②过点Q作QFIICD,根据平行线的性质证N8W2+N。0Q=N"QP即可；

⑵过点Q作QFIICD,根据点P的位置不同，分类讨论，依据平行线的性质求解即可.

【详解】

(1)①MN11PQ,

证明：•「AB//CD,

：.乙NPM=NQMP,

•「/NMP=NQMP、/NPM=NQPM,

NNMP=NQPM,

/.MN//PQ.

②过点Q作QFIICD,

ABI/CD,

：.AB//CD//QFt

：./BMQ=Z1,Z2=4QPD,

4BMQ+4DPQ=4MQP,

■「/MNP=4MQP=70。,

：.ZBMQ+/DPQ=700；

(2)如图，当点P在N右侧时，过点Q作QFIICD,

同(1)得，AB//CD//QFt

：.ZFQP+/NPQ=180°,NFQM=/BMQ,

•「PQ工CD,

NNPQ=9。。,

ZFQP=90°,

•「/MND=4PQM=70°,

NFQM=20°,

NBMQ=20。，

如图，当点。在N左侧时，过点Q作QFIICD,同(1)得，AB//CD//QF,

同理可得，NFQP=90。,

「NMND=70。，

/MNP=/PQM=\\0。,

：.NFQM=20°,

AB//QF,

N/'QM+N8MQ=180。，

/.ZB/V/(2=16()°：

综上，N8MQ的度数为160。或20。.

【点睛】

本题考查了平行线的性质与判定，解题关键是恰当的作辅助线，熟练利用平行线的性质推

导角之间的关系.

15.（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）过点M作MPIIAB.根据平行线的性质即可得到结论：

（2）根据平行线的性质即可得到结论.

【详解】

解：⑴NEMF=ZAEM+ZMFC.ZAEM+ZE

解析：（1）见解析：（2）见解析

【分析】

（1）过点M作MPIIAB.根据平行线的性质即可得到结论；

（2）根据平行线的性质即可得到结论.

【详解】

解：（1）NEMF=ZAEM+ZMFC.ZAEM+ZEMF+ZMFC=360o.

证明：过点M作MPIIAB.

,/ABIICD,

MPIICD.

Z4=Z3.

,/MPIIAB,

/.Z1=Z2.

•/ZEMF=Z2+Z3,

ZEMF=Z1+Z4.

ZEMF=ZAEM+ZMFC；

图1

证明：过点M作MQIIAB.

,/ABIICD,

/.MQIICD.

ZCFM+Z1=180°；

,/MQIIAB,

ZAEM+Z2=180°.

ZCFM+Z1+ZAEM+Z2=360°.

,/ZEMF=Z1+Z2,

/.ZAEM+ZEMF+ZMFC=360°；

(2)如图2第一个图:ZEMN+ZMNF-ZAEM-ZNFC=180°；

过点M作MPIIAB,过点N作NQIIAB,

/.ZAEM=Z1,ZCFN=Z4,MPIINQ,

/.Z2+Z3=180°,

,/ZEMN=Z1+Z2,ZMNF=Z3+Z4,

ZEMN+ZMNF=Z1+Z2+Z3+Z4,ZAEM+ZCFN=Z1+Z4,

ZEMN+ZMNF-ZAEM-ZNFC

=Z1+Z2+Z3+Z4-Z1-Z4

=Z2+Z3

=180°；

如图2第二个图：ZEMN-ZMNF+ZAEM+ZNFC=180°.

过点M作MPIIAB,过点N作NQIIAB,

ZAEM+Z1=180°,ZCFN=Z4,MPIINQ,

/.Z2=Z3,

ZEMN=Z1+Z2,ZMNF=Z3+Z4,

ZEMN-ZMNF=Z1+Z2-Z3-Z4,ZAEM+ZCFN=180°-Z1+Z4,

ZEMN-ZMNF+ZAEM+ZNFC

=Z1+Z2-Z3-Z4+180°-Z1+Z4

=180°.

图2

【点睛】

本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

四、解答题

16.(1)ZE=45°；(2)ZE=；(3)不变化，

【分析】

(1)由三角形内角和定理，可得ND+NECD=NE+NEAD,

ZB+ZEAB=ZE+ZECB,由角平分线的性质,可得NECD二NECB二N

解析：(1)NE=45°；(2)NE=2三区；(3)不变化，!

22

【分析】

(1)由三角形内角和定理,可得ND+NECD=NE+NEAD,ZB+ZEAB=ZE+ZECB,由角平

分线的性质，可得/ECD=/ECB=1/BCD,ZEAD=ZEAB=-ZBAD,则可得/E=」

222

(ZD+ZB),继而求得答案：

(2)首先延长BC交AD于点F,由三角形外角的性质，可得/BCD=NB+NBAD+/D,又

由角平分线的性质，即可求得答案.

(3)由三角形内角和定理，可得

ZA7)P+9O°=ZACB+ZDACZADP+ZDFO=ZABC+£OEB,利用角平分线的性质与三

角形的外角的性质可得答案.

【详解】

解：(1)TCE平分/BCD,AE平分NBAD

11

ZECD=ZECB=-ZBCD,ZEAD=ZEAB=-ZBAD,

22

,/ZD+ZECD=ZE+ZEAD,ZB+ZEAB=ZE+ZECB,

ZD+ZECD+ZB+ZEAB=ZE+ZEAD+ZE+ZECB

/.ZD+ZB=2ZE,

ZE=-(ZD+ZB),

2

,/ZADC=50°,ZABC=40°,

/.ZAEC=-x(50°+40°)=45°；

2

E

图1

(2)延长BC交AD于点F,

,/ZBFD=ZB+ZBAD,

ZBCD=ZBFD+ZD=ZB+ZBAD+ZD,

,/CE平分NBCD,AE平分/BAD

/.ZECD=ZECB=-ZBCD,ZEAD=ZEAB=-ZBAD,

22

,/ZE+NECB=ZB+ZEAB,

/.ZE=ZB+ZEAB-ZECB=ZB+ZBAE--ZBCD

2

=ZB+ZBAE--(ZB+ZBAD+ZD)

2

二!(NB-ZD),

2

ZADC=a°,ZA8c=0°,

即NAEC="^.

2

图2

ZADPZADPI

(3)|/AC8—NA8C|的值不发生变化‘''\ZACB-ZABC\~2'

理由如下：

如图，记与PQ交于E,A。与C8交于“，

.PQA.MN,

NDOC=NBOE=900,

、：ZAOP+90。=ZACB+ZDAC①，

ZADP+ZDFO=ZABC+NOEB（2）,

/.①一②得：90°-ZDFO=^ACB-^ABC+ADAC-ZOEB,

90。-ZDEO+4OEB-ADAC=AACB-ZABC,

•「ZADP=90°-乙DFO、ZOEB-ZEAD=/ADP,

AD平分NBAC,

/BAD=/CAD,

々OEB-£CAD=ZADP,

2ZADP=^ACB-Z/WC,

.ZADP1

"\ZACB-ZABC\~2'

Q

图3

【点睛】

此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质以及常平分线的定义.此题难度较大，

注意掌握整体思想与数形结合思想的应用.

17.(1)105°；(2)135°；(3)5.5或11.5.

【分析】

(1)在4CEN中，用三角形内角和定理即可求出；

(2)由NBON=30。，NN=30。可得MNIICB,再根据两直线平行，同旁内角

解析：(1)105°；(2)135°；(3)5.5或11.5.

【分析】

(1)在△CEN中，用三角形内角和定理即可求出；

(2)由N8ON=30。，NN=30°可得MNIIC8,再根据两直线平行,同旁内角互补即可求出

zCEN的度数.

(3)画出图形，求出在MN_LCD时的旋转角，再除以30。即得结果.

【详解】

解：(1)在△CE/V中，NC£N=180°—NECN-Z.CNE=18Q°-45°-30°=105°；

(2),/ZB0N=3Q°tZN=30°,

ZBON=Z.N,

/.MNWCB.

/.ZOCD+ZCEA/=180°,

Z08=45°

ZCEN=180°-45°=135°；

(3)如图,MN_LC。时，旋转角为360。-90。-45。-60。=165。，或360。一(60。-45。)

=345。，所以在第1650+30・=5.5或345°-?300=11.5秒时,直线MN恰好与直线CD垂直.

【点睛】

本题以学生熟悉的三角板为载体，考查了三角形的内角和、平行线的判定和性质、垂直的

定义和旋转的性质，前两小题难度不大，难点是笫(3)小题，解题的关键是画出适合题意

的几何图形，弄清求旋转侑的思路和方法，本题的第一种情况是将旋转角N00M放在四边

形。OMF中，用四边形内角和求解，第二种情况是用周角减去N00M的度数.

18.(1)140°；(2)Z1+Z2=90°+a；(3)Zl=90°+Z2+a,理由见解

析;(4)N2=90°+Z1-a.

【详解】

试题分析：(1)根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出N1+N2

解析:(1)140°：(2)Z1+Z2=90°+a；(3)Zl=90°+N2+a,理由见解析;⑷N2=90°+N1

-a.

【详解】

试题分析：(1)根据四边形内角和定理以及邻补角的定义，得出N1+N2=NC+Na,进而

得出即可；

(2)利用(1)中所求的结论得出Na、Zl.N2之间的关系即可；

(3)利用三角外角的性质，得出/1=ZC+Z2+a=90°+Z2+a；

(4)利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出Na、Nl、N2之间的关系.

试题分析：(1)Z1+/2+