2026-2027学年数学四年级奥数等差数列（含答案）

/等差数列知识梳理知识梳理按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项。第二个数叫第二项，…，最后一个数叫做末项。（1）1，2，3，4，5，…，100；（2）1，3，5，…，33；（3）5，10，15，…，105。

这三个数列都有共同的规律：从第二项起，每一项与它前面一项的差都相等，这样的数列叫等差数列。后项与前项的差叫该数列的公差。如第一个数列中，公差=2-l=1；第二个数列中，公差=3-l=2；第三个数列中，公差=10-5=5。等差数列的求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2以及另外两个重要公式：（1）项数=（末项-首项）÷公差+l（2）末项=首项+公差×（项数-1）典型例题典型例题【例1】★把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？【小试牛刀】2，5，8，11，14……是按照规律排列的一串数，第21项是多少？【例2】★从1开始的奇数：1，3，5，7，……其中第100个奇数是_____。【小试牛刀】观察右面的五个数：19、37、55、a、91排列的规律，推知a=________。【例3】★2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个．【小试牛刀】1、3、5、7、9、11、是个奇数列，如果其中8个连续奇数的和是256，那么这8个奇数中最大的数是多少？【例4】★在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第_______个数是1994．【小试牛刀】5、8、11、14、17、20、，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？【例5】★★⑴如果一个等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.⑵如果一个等差数列的第3项为16，第11项为72，求它的第6项.【小试牛刀】已知一个等差数列第8项等于50，第15项等于71.请问这个数列的第1项是多少？【例6】★一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列各项的和是多少？【小试牛刀】有20个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大3．这20个数相加，和是多少？【例7】★★已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7，，问2009是这个数列的第多少项？【小试牛刀】已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、，问:这个数列中第2000个数是多少？第2003个数是多少？【例8】★★如图2，用火柴棍摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当N=5时，按这种方式摆下去，当N=5时，共需要火柴棍

根。【小试牛刀】观察下面的序号和等式，填括号．序号等式1357 【例9】★★★四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？【小试牛刀】学校进行书法大赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。如果有16人参加比赛，一共要进行多少场比赛？【例10】★★盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。这时盒子里共有多少只乒乓球？【例11】★★★求下列方阵中所有各数的和：1、2、3、4、……49、50；2、3、4、5、……50、51；3、4、5、6、……51、52；……49、50、51、52、……97、98；50、51、52、53、……98、99。【小试牛刀】求下列方阵中100个数的和。0、1、2、3、……8、9；1、2、3、4、……9、10；2、3、4、5、……10、11；……9、10、11、12、……17、18。【例12】★★若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？【小试牛刀】若干人围成8圈，一圈套一圈，从外向内各圈人数依次少4人，如果共有304人，最外圈有几人？【例13】★★★自然数按一定规律排成下表，问第60行第5个数是几？【小试牛刀】有一个六边形点阵，如下图，它的中心是一个点，算做第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点……这个六边形点阵共100层，问，这个点阵共有多少个点？【例14】★★★100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？【例15】★★★把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？拓展训练拓展训练1.1、4、7、10、13、…这个数列中，有6个连续数字的和是159，那么这6个数中最小的是几？2.对于数列4、7、10、13、16、19……，第10项是多少？49是这个数列的第几项？第100项与第50项的差是多少？3.如果一等差数列的第4项为21，第10项为57，求它的第16项．4.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和．5.有20个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大3．这20个数相加，和是多少？6.有许多等式:；；；那么第10个等式的和是_______7.在等差数列中4、10、16、22、……中，第48项是多少？508是这个数列的第几项？8.全部三位数的和是多少？9.求从1到2000的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。10.用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形,用这样的等边三角形，按下图所示铺满一个大的等边三角形,如果这个大的等边三角形的底边能放10根火柴棒,那么这个大的等边三角形中一共要放多少根火柴棒?一次朋友聚会，大家见面时总共握手28次。如果参加聚会的人和其余的每个人只握手一次，问参加聚会的共有多少人？12.（第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛预赛B卷）下面的数的总和是____．012…49123…50484950…98495051…9813.将自然数按下面的形式排列12345678910111213141516171819202122232425……问：第10行最左边的数是几？第10行所有数的和是多少？答案典型例题【例一】该数列为等差数列，首项为101，公差为2，第21个数的项数为21.则101+（21-1）×2=141【小试牛刀】此数列为一个等差数列，将第21项看做末项。末项=2+（21-1）×3=62【例2】【小试牛刀】19+18=37，37+18=55，所以a=55+18=73【例3】方法一：利用等差数列的“中项定理”，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数的平均值，五个连续偶数的中间一个数应为，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60．【小试牛刀】我们可以找中间的两个数其中一个为，那么这8个数为：，，，，，，，，根据题意可得：，所以，最大的奇数是．【例4】每个数比前一个数大7，根据求通项的公式得，列式得：即第285个数是1994．【小试牛刀】它是一个无限数列，所以项数有无限多项．第项首项公差，所以，第201项，对于数列5，8，11，，65，一共有：，即65是第21项．【例5】⑴要求第8项，必须知道首项和公差．第6项第4项公差，所以，公差；第4项首项公差，首项，所以，首项；第8项首项公差．⑵公差，首项，第6项．【小试牛刀】71-50=21。21÷（15-8）=3（公差）。50=首项+（8-1）×3。所以首项=29【例6】根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：．【小试牛刀】末项是：，和是：【例7】偶数项的排列规律是：1、3、5、7， 奇数项的排列规律是：2、4、6、8，方法一：可以看出两个数列都是等差数列．由于2009是奇数，所以在偶数项数列中，它的项数是：，所以在整个数列中，2009的项数是，所以2009是这个数列的第2010项．方法二：仔细观察能发现，在整个数列中，奇数的项数是该数，偶数的项数是该数，所以2009是这个数列的第项．【小试牛刀】奇数项的排列规律是：2、4、6、8，偶数项的排列规律是：3、6、9、12，可以看出奇数项与偶数项都成等差数列，先求出要求的两个数各自在等差数列中的项数：第2000个数在偶数项等差数列中是第个数，第2003个数在奇数项等差数列中是第个数，所以第2000个数是，第2003个数是．【例8】找规律3，3+6，3+6+9…,N=5时，需要火柴棍3+6+9+12+15=45【小试牛刀】可以这样想：⑴表中各竖行排列的规律是什么？(等差数列)⑵表中这四个括号，应先填哪一个？为什么？这个括号里的数怎么求？应先填左起第一个，因为它是序号，表示了其他三个括号里的数在各自的等差数列中所在的位置，即各自的项数．第一个括号：，；第二个括号：；第三个括号：根据等差数列通项公式：或；第四个括号：根据等差数列通项公式：或答案为；；；【例9】根据以上分析，可以把本题转化为求一个等差数列的和即44+43+42+…+3+2+1=（44+1）×44÷2=990（次）【小试牛刀】15+14+13+…+3+2+1=（15+1）×15÷2=120（场）【例10】一只球变成3只球，实际上多了2只球。第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋…＋10）＝2×55＝110（只）。加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）。综合列式为：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。【例11】每一横行数列之和：第一行：（1+50）502=1275第二行：（2+51）502=1325第三行：（3+51）502=1375……第四十九行：（49+98）502=3675第五十行：（50+99）502=3725方阵所有数之和：1275+1325+1375+……+3675+3725=（1275+3725）502=125000【小试牛刀】900【例12】a+a=S2n=912216=114（人）外圈人数=（90+114）2=102（人）内圈人数=（114-90）2=12（人）【小试牛刀】52人【例13】从两个方面考虑：（1）先看组成这张表的数：1，3，5，7，9，….这是一个公差为2的等差数列.第60行第5个数是这数列中的一项，已知首项和公差，知道第60行第5个数是数列中的第几项即可求解.而这个项数就是排列第60行第5个数时所用去数的个数.（2）从表的排法来看，每行的数的个数也是等差数列：1，3，5，7，….第60行第5个数也就是排完59行后又排5个数.59行所排数的个数就是1，3，5，7，…，中的第59项.所以，第59行所用数的个数为：1＋2×（59-1）＝117（个），从第一行排到第59行所用数的总个数为：（1＋117）×59÷2=3481（个），到第60行第5数共用去数的个数为：3481＋5＝3486（个），第60行第5个数是数列1，3，5，7，…中第3486项，为：1＋2×（3486-1）＝6971【小试牛刀】第100层有点：6+（99-1）6=6+986=699=594（个）点阵只有点：1+（6+594）992=1+600992=29701（个）答：这个点阵共有点29701个。【例14】要求和，我们可以先把这50个数算出来.100个连续自然数构成等差数列，且和为8450，则：首项+末项=8450×2÷100=169，又因为末项比首项大99，所以，首项=（169-99）÷2=35.因此，剩下的50个数为：36，38，40，42，44，46…134.这些数构成等差数列，和为（36+134）×50÷2=4250.【例15】由题可知：由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210÷7=30，所以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15，第6个数是40.拓展训练拓展训练【1.】设这个数为：，，，，，，它们的和是，所以，那么最小数为19．【2.】可以观察出这个数列是公差为3的等差数列．根据刚刚学过的公式：第项首项公差，项数(末项首项)公差，第项第项公差第10项为：，49在数列中的项数为：第100项与第50项的差：．【3.】要求第16项，必须知道首项和公差．第10项－第4项公差，所以，公差6