湖南省常德市汉寿一中2025-2026学年高二（上）期末数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省常德市汉寿一中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|y=−x2+2x+3}，A.{x|0≤x≤3} B.{x|−1≤x≤3} C.{x|0≤x≤1} D.{x|−1≤x≤1}2.已知复数z满足iz=2+bi(i是虚数单位)的实部与虚部相等，那么b=(

)A.−2 B.1 C.2 D.43.有4个大小质地相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机抽取两次，每次取一个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第一次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为4”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为5”，则(

)A.甲和乙相互独立 B.甲和丙相互独立 C.甲和丁相互独立 D.丁和丙相互独立4.已知向量a=(2,1)，|a|=22|A.−2 B.−1 C.0 D.15.南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为(

)A.172 B.183 C.191 D.2116.已知实数x，y满足3x2+3xy+y2=3A.2 B.3 C.3 D.7.已知三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BC⊥BD，AB=AD=BD=43，BC=6，则三棱锥A−BCD的外接球的表面积(

)A.100π3 B.36π C.100π D.8.已知点C(2,0)、点D(1,−1)，若点E为曲线Γ：y2−x2=1(x≥0,y≥1)上一点，则三角形A.有最大值，无最小值 B.无最大值，有最小值

C.既有最大值，也有最小值 D.既无最大值，也无最小值二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=2sin(2x+5π12)+2sin(2x+πA.f(x)的图象关于直线x=5π8对称

B.f(x)的图象关于点(5π8,0)对称

C.f(x)在(−5π8,0)上单调递减

10.已知双曲线C：x2−y2=1的左右顶点分别为A1，A2，P为C在第一象限内的一点，线段A1P与C的渐近线分别相交于M，A.存在点P，使得A1P⋅OM=0 B.A1M=11.数列{an}满足a1=1，A.数列{an}为等差数列 B.an=n(n+1)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.记p=1×2×3×⋯×2026，则1log2p+13.中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线为y=±34x，则双曲线的离心率是

14.设集合S={x∈R+|xn=n,n∈N+}，则集合S中最小的元素是

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足_____，_____，请在①Sn+1=2Sn+1，②a2=2，③Sn=an+1−1这三个条件中选择两个，补充在前面的两条横线处，并给出下列问题的解答．

(1)求{an}的通项公式；

(2)又知递增的等差数列{bn}满足b16.(本小题15分)

如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，E为AB的中点.将△ADE沿DE折起，使A到达A′，连接A′B，A′C，得到四棱锥A′−BCDE．

(1)证明：DE⊥A′B；

(2)当二面角A′−DE−B的平面角在[π4,3π4]内变化时，求直线17.(本小题15分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a3+a4=46，S8=160．

(1)求{an}的通项公式和Sn18.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22且过点(1,62)，过点P(4,2)作椭圆C两条切线，切点分别为A、B．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求直线AB的方程；

(3)过点P(4,2)作直线l交椭圆C于D，19.(本小题17分)

已知函数f(x)=alnx−x(a∈R)．

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若g(x)=12x2−x+f(x)，设x1，x2(1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】AD

10.【答案】BCD

11.【答案】BCD

12.【答案】1

13.【答案】54或514.【答案】13

15.【答案】解：(1)选①Sn+1=2Sn+1，②a2=2；

可得S2=a1+a2=2S1+1=2a1+1，

即有a1=a2−1=2−1=1，

当n≥2时，由Sn+1=2Sn+1，可得Sn=2Sn−1+1，

上面两式相减可得an+1=Sn+1−Sn=2Sn+1−(2Sn−1+1)=2an，

由a2=2a1，

则数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，

则an=2n−1；

选②a2=2，③Sn=an+1−1；

由a2=2，S1=a2−1，可得a1=1，

当n≥2时，Sn=an+1−1，Sn−1=an−1，

即有a16.【答案】解：(1)证明：在菱形ABCD中，E为AB的中点，∠BAD=60°，

∴DE⊥AB，

在翻折过程中，恒有DE⊥A′E，DE⊥BE，

又A′E∩BE=E，A′E⊂平面A′BE，BE⊂平面A′BE，

∴DE⊥平面A′BE，

又A′B⊂平面A′BE，

∴DE⊥A′B；

(2)由题意及(1)得，∠A′EB为二面角A′−DE−B的平面角，记其为θ，则θ∈[π4,3π4]，

以EB的方向为x轴的正方向，ED的方向为y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则E(0,0,0),A′(2cosθ,0,2sinθ),D(0,23,0),C(4,23,0)，

∴EA′=(2cosθ,0,2sinθ),ED=(0,23,0)，

设平面A′DE的法向量n=(x,y,z)，

则EA′⋅n=0ED⋅n=0，即2xcosθ+2zsinθ=023y=0，

则可取n=(sinθ,0,−cosθ),A′C=(4−2cosθ,23,−2sinθ)，

则cos<A′C17.【答案】an=4n+2；Sn=2n18.【答案】解：(1)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22且过点(1,62)，

可得ca=22,1a2+32b2=1,a2=b2+c2，解得a2=4，b2=2，c2=2，

∴椭圆C的标准方程为x24+y22=1．

(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

直线PA的斜率存在，y1≠0，设直线PA的方程为：y−y1=k(x−x1)，

联立y−y1=k(x−x1)x24+y22=1，消去y整理得：(1+2k2)x2+4k(y1−kx1)x+2(y1−kx1)2−4=0，

则Δ=16k2(y1−kx1)2−4(1+2k2)[2(y1−kx1)2−4]=0，

化简得：(4−x1219.【答案】解：(1)由f(x)=alnx−x，x>0，可得f′(x)=ax−1=a−xx，

当a≤0时，f′(x)=ax−1=a−xx<0恒成立，

所以f(x)在(0,+∞)上单调递减；

当a>0时，令f′(x)=0，得x=a，

若x∈(a,+∞)，则f′(x)<0，此时f(x)单调递减；

若x∈(0,a)，则f′(x)>0，此时f(x)单调递增；

综上，当a≤0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；

当a>0