2026年考研数学一高等数学多元函数微分习题集

2026年考研数学一高等数学多元函数微分习题集一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将所选项前的字母填在题后的括号内。）1.设函数f(x,y)在点(1,1)处可微，且f(1,1)=1，∂f/∂x(1,1)=2，∂f/∂y(1,1)=3，则lim(x→1,y→1)[f(x,y)-f(1,1)-∂f/∂x(1,1)(x-1)-∂f/∂y(1,1)(y-1)]/[(x-1)²+(y-1)²]的值为（）A.1B.2C.3D.02.函数f(x,y)=x³-3xy²+y³在点(1,1)处的梯度向量是（）A.(0,0)B.(3,-3)C.(3,3)D.(-3,3)3.设z=arctan(x/y)，则∂²z/∂x∂y在点(1,1)处的值为（）A.-1/2B.1/2C.-1D.14.函数f(x,y)=x²+y²-2x+4y+5在区域D:x²+y²≤4内的最小值和最大值分别为（）A.1,13B.-1,13C.1,15D.-1,155.设函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0，若f(x,y)在D内不恒为常数，则f(x,y)在D内（）A.必有驻点B.必有极值点C.必有最大值和最小值D.必有切平面6.设函数f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，若f(x,y)满足f(tx,ty)=t²f(x,y)，则f(1,1)的值为（）A.0B.1C.2D.无法确定7.函数f(x,y)=x²y-y³在点(1,1)沿方向向量(1,1)的方向导数为（）A.1B.2C.3D.48.设函数f(x,y)在区域D:x²+y²≤1上连续，且在D内满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0，若f(0,0)=1，f(1,0)=0，则f(0,1)的值为（）A.1B.0C.-1D.29.设函数f(x,y)在点(1,1)处具有连续的一阶偏导数，且f(1,1)=1，∂f/∂x(1,1)=2，∂f/∂y(1,1)=3，则函数g(t)=f(1+t,1+2t)在t=0处的导数g'(0)的值为（）A.2B.3C.5D.810.设函数f(x,y)在区域D:x²+y²≤1上具有连续的一阶偏导数，且满足∇f(x,y)•(x,y)=x²+y²，若f(0,0)=0，则f(1,0)的值为（）A.1B.0C.-1D.2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将答案填在题中横线上。）1.设函数f(x,y)在点(1,1)处可微，且f(1,1)=1，∂f/∂x(1,1)=2，∂f/∂y(1,1)=3，则函数f(x,y)在点(1,1)处的全微分df在点(1,1)处的线性近似值为________。2.函数f(x,y)=x²+y²-2x+4y+5在点(1,-2)处的梯度向量为________。3.设z=ln(x²+y²)，则∂²z/∂x²+∂²z/∂y²的值为________。4.函数f(x,y)=x³-3xy²+y³在点(0,0)处的Hessian矩阵为________。5.设函数f(x,y)在区域D:x²+y²≤4上连续，且在边界x²+y²=4上f(x,y)=0，则在D内f(x,y)的最大值为________。6.设函数f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，若f(x,y)满足f(x,y)=x²+y²g(x,y)，其中g(x,y)在点(0,0)处连续且g(0,0)=1，则f(1,1)的值为________。7.函数f(x,y)=x²y-y³在点(1,1)沿方向向量(1,-1)的方向导数为________。8.设函数f(x,y)在区域D:x²+y²≤1上连续，且在边界x²+y²=1上f(x,y)=x，则在D内f(x,y)的最小值为________。9.设函数f(x,y)在点(1,1)处具有连续的一阶偏导数，且f(1,1)=1，∂f/∂x(1,1)=2，∂f/∂y(1,1)=3，则函数g(t)=f(1+t,1-t)在t=0处的导数g'(0)的值为________。10.设函数f(x,y)在区域D:x²+y²≤1上具有连续的一阶偏导数，且满足∇f(x,y)•(x,y)=x²-y²，若f(0,0)=0，则f(1,0)的值为________。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。请将判断结果填在题后的括号内，正确填“√”，错误填“×”。）1.若函数f(x,y)在点(0,0)处可微，则f(x,y)在点(0,0)处必连续。（）2.若函数f(x,y)在点(0,0)处偏导数存在，则f(x,y)在点(0,0)处必可微。（）3.若函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，则∂²f/∂x∂y=∂²f/∂y∂x。（）4.若函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0，则f(x,y)在D内必为常数。（）5.若函数f(x,y)在点(0,0)处可微，则f(x,y)在点(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在。（）6.若函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且在D内满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0，则f(x,y)在D内必为调和函数。（）7.若函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且在D内满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0，则f(x,y)在D内必为常数。（）8.若函数f(x,y)在点(0,0)处可微，则f(x,y)在点(0,0)处沿任意方向的方向导数都等于其梯度向量的模长。（）9.若函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且在D内满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0，则f(x,y)在D内必为调和函数。（）10.若函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且在D内满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0，则f(x,y)在D内必为常数。（）四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。请将答案写在答题卡上。）1.简述函数f(x,y)在点(0,0)处可微的定义。2.简述函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数的定义。3.简述函数f(x,y)在点(0,0)处沿方向向量(1,1)的方向导数的计算方法。4.简述函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且在D内满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0的函数的性质。5.简述函数f(x,y)在点(0,0)处可微的几何意义。6.简述函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且在D内满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0的函数的求解方法。7.简述函数f(x,y)在点(0,0)处沿任意方向的方向导数的计算方法。8.简述函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且在D内满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0的函数的物理意义。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题卡上。）1.求函数f(x,y)=x²+y²-2x+4y+5在区域D:x²+y²≤4上的最小值和最大值。2.求函数f(x,y)=x³-3xy²+y³在点(1,1)处的梯度向量，并判断该点是否为极值点。3.求函数z=arctan(x/y)在点(1,1)处的全微分。4.求函数f(x,y)=x²y-y³在点(1,1)沿方向向量(1,-1)的方向导数。5.求函数f(x,y)=x²+y²-2x+4y+5在点(1,-2)处的切平面方程。6.求函数f(x,y)=x³-3xy²+y³在点(0,0)处的Hessian矩阵，并判断该点是否为极值点。7.求函数f(x,y)=x²y-y³在区域D:x²+y²≤1上的最大值和最小值。8.求函数f(x,y)=x²+y²-2x+4y+5在区域D:x²+y²≤4上的最大值和最小值。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D解析：由可微的定义，f(x,y)在点(1,1)处的全增量Δf=f(x,y)-f(1,1)可以表示为Δf=f(1,1)+∂f/∂x(1,1)Δx+∂f/∂y(1,1)Δy+o(Δx²+Δy²)，其中Δx=x-1，Δy=y-1。因此，Δf-∂f/∂x(1,1)Δx-∂f/∂y(1,1)Δy=o(Δx²+Δy²)。所以，lim(x→1,y→1)[f(x,y)-f(1,1)-∂f/∂x(1,1)(x-1)-∂f/∂y(1,1)(y-1)]/[(x-1)²+(y-1)²]=lim(x→1,y→1)o(Δx²+Δy²)/(Δx²+Δy²)=0。2.B解析：函数f(x,y)=x³-3xy²+y³的偏导数为∂f/∂x=3x²-3y²，∂f/∂y=-6xy+3y²。在点(1,1)处，∂f/∂x=3(1)²-3(1)²=0，∂f/∂y=-6(1)(1)+3(1)²=-3。因此，梯度向量为∇f(1,1)=(0,-3)。3.A解析：函数z=arctan(x/y)的偏导数为∂z/∂x=1/(1+(x/y)²)•(1/y)=y/(x²+y²)，∂z/∂y=1/(1+(x/y)²)•(-x/y²)=-x/(x²+y²)。因此，∂²z/∂x∂y=∂/∂y[y/(x²+y²)]=1/(x²+y²)-2xy/(x²+y²)²=(x²-y²)/(x²+y²)³。在点(1,1)处，∂²z/∂x∂y=(1-1)/(1+1)³=0-1/8=-1/8。4.A解析：函数f(x,y)=x²+y²-2x+4y+5的驻点满足∂f/∂x=2x-2=0，∂f/∂y=2y+4=0，解得驻点为(1,-2)。在驻点(1,-2)处，f(1,-2)=1²+(-2)²-2(1)+4(-2)+5=1+4-2-8+5=0。在边界x²+y²=4上，f(x,y)=x²+y²-2x+4y+5=4-2x+4y+5=9-2x+4y。在边界上，x²+y²=4，所以y=±√(4-x²)。因此，f(x,y)在边界上的最大值和最小值分别为9-2x+4√(4-x²)和9-2x-4√(4-x²)。当x=-2时，f(x,y)取得最大值13；当x=2时，f(x,y)取得最小值-1。5.A解析：由题意，f(x,y)在D内不恒为常数，且在D内满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0。根据调和函数的性质，若f(x,y)在D内不恒为常数，则f(x,y)在D内必有驻点。6.A解析：由f(tx,ty)=t²f(x,y)可知，f(x,y)是关于t的二次齐次函数。令x=1，y=1，则f(t,t)=t²f(1,1)。由f(0,0)=0可知，f(t,t)=t²f(1,1)。因此，f(1,1)=f(1,1)。7.C解析：函数f(x,y)=x²y-y³在点(1,1)处的梯度向量为∇f(1,1)=(2x,x²-3y²)=(2,-2)。方向向量(1,-1)的单位向量为(1/√2,-1/√2)。因此，方向导数为∇f(1,1)•(1/√2,-1/√2)=2(1/√2)+(-2)(-1/√2)=√2+√2=2√2。8.B解析：由题意，f(x,y)在D内满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0。根据调和函数的性质，f(x,y)在D内必为调和函数。由f(0,0)=1，f(1,0)=0可知，f(x,y)在D内必为常数。因此，f(0,1)=0。9.C解析：函数g(t)=f(1+t,1+2t)的导数为g'(t)=∂f/∂x(1+t,1+2t)•1+∂f/∂y(1+t,1+2t)•2。在t=0处，g'(0)=∂f/∂x(1,1)+2∂f/∂y(1,1)=2+2(3)=8。10.A解析：由∇f(x,y)•(x,y)=x²+y²可知，f(x,y)满足拉普拉斯方程。根据调和函数的性质，f(x,y)在D内必为调和函数。由f(0,0)=0可知，f(x,y)在D内必为常数。因此，f(1,0)=1。二、填空题1.7解析：由可微的定义，f(x,y)在点(1,1)处的全微分df=∂f/∂x(1,1)dx+∂f/∂y(1,1)dy=2dx+3dy。因此，df在点(1,1)处的线性近似值为2dx+3dy。2.(2,-4)解析：函数f(x,y)=x²+y²-2x+4y+5的偏导数为∂f/∂x=2x-2，∂f/∂y=2y+4。在点(1,-2)处，∂f/∂x=2(1)-2=0，∂f/∂y=2(-2)+4=0。因此，梯度向量为(0,0)。3.2/x²+2/y²解析：函数z=ln(x²+y²)的偏导数为∂z/∂x=2x/(x²+y²)，∂z/∂y=2y/(x²+y²)。因此，∂²z/∂x²+∂²z/∂y²=2(1/x²+1/y²)=2/x²+2/y²。4.[[6,-6],[-6,6]]解析：函数f(x,y)=x³-3xy²+y³的偏导数为∂f/∂x=3x²-3y²，∂f/∂y=-6xy+3y²。二阶偏导数为∂²f/∂x²=6x，∂²f/∂y²=6y，∂²f/∂x∂y=-6y，∂²f/∂y∂x=-6y。因此，Hessian矩阵为[[6,-6],[-6,6]]。5.9解析：由题意，f(x,y)在边界x²+y²=4上f(x,y)=0。根据极值原理，f(x,y)在D内的最大值必在边界上取得。在边界上，f(x,y)=x²+y²-2x+4y+5=4-2x+4y+5=9-2x+4y。当x=-2时，f(x,y)取得最大值9。6.1解析：由f(x,y)=x²+y²g(x,y)可知，f(1,1)=1²+1²g(1,1)=2g(1,1)。由f(0,0)=0可知，f(0,0)=0²+0²g(0,0)=0。因此，g(1,1)=1/2。因此，f(1,1)=2(1/2)=1。7.√2解析：函数f(x,y)=x²y-y³在点(1,1)处的梯度向量为∇f(1,1)=(2x,x²-3y²)=(2,-2)。方向向量(1,-1)的单位向量为(1/√2,-1/√2)。因此，方向导数为∇f(1,1)•(1/√2,-1/√2)=2(1/√2)+(-2)(-1/√2)=√2+√2=2√2。8.-1解析：由题意，f(x,y)在边界x²+y²=1上f(x,y)=x。根据极值原理，f(x,y)在D内的最小值必在边界上取得。在边界上，f(x,y)=x。因此，f(x,y)在D内的最小值为-1。9.5解析：函数g(t)=f(1+t,1-t)的导数为g'(t)=∂f/∂x(1+t,1-t)•1+∂f/∂y(1+t,1-t)•(-1)。在t=0处，g'(0)=∂f/∂x(1,1)-∂f/∂y(1,1)=2-3=-1。10.1解析：由∇f(x,y)•(x,y)=x²-y²可知，f(x,y)满足拉普拉斯方程。根据调和函数的性质，f(x,y)在D内必为调和函数。由f(0,0)=0可知，f(x,y)在D内必为常数。因此，f(1,0)=1。三、判断题1.√解析：由可微的定义，f(x,y)在点(0,0)处的全增量Δf=f(x,y)-f(0,0)可以表示为Δf=f(0,0)+∂f/∂x(0,0)Δx+∂f/∂y(0,0)Δy+o(Δx²+Δy²)，其中Δx=x-0，Δy=y-0。因此，f(x,y)在点(0,0)处必连续。2.×解析：函数f(x,y)在点(0,0)处偏导数存在不一定可微。例如，f(x,y)=|x|+|y|在点(0,0)处偏导数存在，但不可微。3.√解析：由克莱罗定理，若函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，则∂²f/∂x∂y=∂²f/∂y∂x。4.√解析：由调和函数的性质，若函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且在D内满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0，则f(x,y)在D内必为常数。5.√解析：由方向导数的定义，f(x,y)在点(0,0)处沿方向向量(1,1)的方向导数为∇f(0,0)•(1,1)=∂f/∂x(0,0)+∂f/∂y(0,0)。因此，f(x,y)在点(0,0)处沿任意方向的方向导数都存在。6.√解析：由调和函数的定义，若函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且在D内满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0，则f(x,y)在D内必为调和函数。7.×解析：若函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且在D内满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0，则f(x,y)在D内必为调和函数，但不一定为常数。8.×解析：f(x,y)在点(0,0)处沿方向向量(1,1)的方向导数为∇f(0,0)•(1,1)=∂f/∂x(0,0)+∂f/∂y(0,0)。梯度向量的模长为||∇f(0,0)||=√[∂f/∂x(0,0)²+∂f/∂y(0,0)²]。9.√解析：由调和函数的定义，若函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且在D内满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0，则f(x,y)在D内必为调和函数。10.×解析：若函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且在D内满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0，则f(x,y)在D内必为调和函数，但不一定为常数。四、简答题1.函数f(x,y)在点(0,0)处可微的定义：若函数f(x,y)在点(0,0)处的全增量Δf=f(x,y)-f(0,0)可以表示为Δf=AΔx+BΔy+o(Δx²+Δy²)，其中A=∂f/∂x(0,0)，B=∂f/∂y(0,0)，o(Δx²+Δy²)表示高阶无穷小，则称f(x,y)在点(0,0)处可微。2.函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数的定义：若函数f(x,y)在区域D上的所有点(x,y)处都具有二阶偏导数，且这些二阶偏导数在D上连续，则称f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数。3.函数f(x,y)在点(0,0)处沿方向向量(1,1)的方向导数的计算方法：设函数f(x,y)在点(0,0)处可微，则f(x,y)在点(0,0)处沿方向向量(1,1)的方向导数为∇f(0,0)•(1,1)=∂f/∂x(0,0)+∂f/∂y(0,0)。4.函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且在D内满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0的函数的性质：若函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且在D内满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0，则f(x,y)在D内必为调和函数。5.函数f(x,y)在点(0,0)处可微的几何意义：若函数f(x,y)在点(0,0)处可微，则f(x,y)在点(0,0)处的切平面存在，且切平面方程为z=f(0,0)+∂f/∂x(0,0)x+∂f/∂y(0,0)y。6.函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且在D内满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0的函数的求解方法：若函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且在D内满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0，则f(x,y)在D内必为调和函数。调和函数的求解方法包括分离变量法、积分因子法等。7.函数f(x,y)在点(0,0)处沿任意方向的方向导数的计算方法：设函数f(x,y)在点(0,0)处可微，则f(x,y)在点(0,0)处沿方向向量(u,v)的方向导数为∇f(0,0)•(u,v)=∂f/∂x(0,0)u+∂f/∂y(0,0)v。8.函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且在D内满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0的函数的物理意义：若函数f(x,y)在区域D上具有二阶连续偏导数，且在D内满足∂²f/∂x²+∂²f/∂y²=0，则f(x,y)在D内必为调和函数。调和函数在物理学中具有广泛的应用，例如在电学中，电势函数是调和函数；在流体力学中，速度势函数是调和函数。五、应用题1.求函数f(x,y)=x²+y²-2x+4y+5在区域D:x²+y²≤4上的最小值和最大值。解：首先求函数f(x,y)的驻点。由∂f/∂x=2x-2=0，∂f/∂y=2y+4=0，解得驻点为(1,-2)。在驻点(1,-2)处，f(1,-2)=1²+(-2)²-2(1)+4(-2)+5=1+4-2-8+5=0。然后求函数f(x,y)在边界x²+y²=4上的最大值和最小值。在边界上，f(x,y)=x²+y²-2x+4y+5=4-2x+4y+5=9-2x+4y。当x=-2时，f(x,y)取得最大值13；当x=2时，f(x,y)取得最小值-1。因此，函数f(x,y)在区域D:x²+y²≤4上的最小值为-1，最大值为13。2.求函数f(x,y)=x³-3xy²+y³在点(1,1)处的梯度向量，并判断该点是否为极值点。解：函数f(x,y)=x³-3xy²+y³的偏导数为∂f/∂x=3x²-3y²，∂f/∂y=-6xy+3y²。在点(1,1)处，∂f/∂x=3(1)²-3(1)²=0，∂f/∂y=-6(1)(1)+3(1)²=-3。因此，梯度向量为∇f(1,1)=(0,-3)。由于梯度向量为零向量，因此该点不是极值点。3.求函数z=arctan(x/y)在点(1,1)处的全微分。解：函数z=arctan(x/y)的偏导数为∂z/∂x=1/(1+(x/y)²)•(1/y)=y/(x²+y²)，∂z/∂y=1/(1+(x/y)²)•(-x/y²)=-x/(x²+y²)。在点(1,1)处，∂z/∂x=1/(1+1)=1/2，∂z/∂y=-1/(1+1)=-1/2。因此，全微分为dz=1/2dx-1/2dy。4.求函数f(x,y)=x²y-y³在点(1,1)沿方向向量(1,-1)的方向导数。解：函数f(x,y)=x²y-y³在点(1,1)处的梯度向量为∇f(1,1)=(2x,x²-3y²)=(2,-2)。方向向量(1,-1)的单位向量为(1/√2,-1/√2)。因此，方向导数为∇f(1,1)•(1/√2,-1/√2)=2(1/√2)+(-2)(-1/√