河南新乡市部分学校2025-2026学年高一年级下册7月期末数学试题（试卷+解析）

高一数学

注意事项：

1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.命题P：VXWRJMNO的否定为（）

A.HreR,凶<°B.R,|x|<0

C.R,|x|<0D.VXGR,|X|<0

2.样本数据9,12,17,11,15,16,10,8,18的上四分位数是（）

A.9B.10C.15D.16

3.下列函数中，是奇函数且在区间（0,+X））上单调递增的是（）

A./（X）=X2026B./（X）=X2026

2027

C./（”“一的D./（X）=X

4.袋子里装有4支钢笔，其中2支黑笔，2支红笔，从中随机取出2支，下列事件中与事件“都是黑笔”互

斥但不对立的是（）

A.“恰有I支红笔”B.“至多芍1支红笔”

C.“至少有1支黑笔”D.“至少有1支红笔”

5.如图，一个冰淇淋玩具由一个圆锥和一个与圆锥有公共底面的半球组成，且两部分体积相等，则圆锥的

母线长与底面半径的比值是（）

A.72B.2C.5D.3

6.设全集。=2,集合A={x|工=6k+1,%£Z},8={x|x=6Z+3,攵£Z},C={x\x=6k-\,kEZ],

则”,(ADBDC)=()

A.{X|X=2〃,％£Z}B.{X|X=6^+1,A:GZ}

C.{x|x=6A+2/wZ}D.{x\x=6k-2,keZ]

7.已知％,另是两个不共线的单位向量，向量"=+则是“4>0且〃<。"

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知5个实数％,4，%，%，%的取值均为2，4，6,8中的一个（每个数至少出现一次），则％,

%：%，%，%的方差的最大值为（）

104104n136

A.---B.—D.——

5255

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设里数z=3+4i,则（）

A.z=3-4iB.|z|=7C.z2=-7+24iD.-^GR

11z+2i

10.如图，正方体ABCD-A乌GR的棱长为2,Q为线段4A上一动点，则（）

A.三棱锥Q-BOG的体积为定值

7171

B.直线QC与耳。的夹角的大小的取值范围是

42_

C.QD+QC的最小值为2+J&

D.当AQ=2。。时，平面4Q0截该正方体所得截面的面积为2遍

11.设对任意的平面向量三二(x,y)进行一次"R变换''后得到一个新向量尺(同二(一2)，,2月，对正连续进

行〃次“R变换”得到的向量记作R"(再).设2,2为平面内的非零向量，则下列说法正确的是()

A.对任意的Z，石，R(Z+B)=R(Z)+R(B)恒成立

B.对任意的1，""4(4=16/?〃他)

C若九,〃>0,则卜(崩+闻卜小同+“R例

D・若问=|*1，则(砌•忸一网矶的最小值为一5

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数/(1)=tan15一2]+1的图象的一个对称中心的坐标是.

13.如图，在平行四边形A8CQ中，AB=2AD=6,且荏.而=6，/是边C。上靠近点C的三等分

点，则M4・"后=________

14.若关于x的不等式sinxNcos(gx+彷3£2,。£(0,2兀))恒成立，则。的所有可能取值共有

个.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某校举行了一-次数学竞赛活动，有100名学生参加，将他们的成绩(单位：分,满分为100分)进行整

理后，按[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分为5组，得到如图所示的频率分布直方图.

(2)估计这10()名学生的成绩的中位数;

(3)从成绩在［80,100］内的学生中随机抽取5名学生进行座谈，求这次考了89分的小明被抽中的概率.

16.在△ABC中，内角A，B,。的对边分别为。，b,c,且2a—c=2Z?cosC.

(1)求8；

(2)若。+。=7,。是8C的中点，求AO的最小值及此时AACD的面积.

17.某校为培养学生的劳动意识，开展了“劳动小能手''实践活动,活动结束后，学校根据学生的劳动时长及

表现给予相应的劳动实践积分.现从该校随机抽取5()名学生，调查其劳动实践积分数据、整理如下表：

劳动实践积分人数

310

220

115

05

(1)从该校全体学生中随机抽取1名学生，估计这名学生的劳动实践积分不低于2分的概率.

(2)假设每名学生的劳动实践积分互不影响，从该校全体学生中随机抽取2名学生.

(i)估计这2名学生的劳动实践积分之和为2分的概率；

(ii)估计这2名学生的劳动实践积分之差的绝对值不低于I分的概率.

18.已知函数/(x)=Asin(s-e)(A>0,G>0g<e<7T的部分图象如图所示.

⑵若VX］,”今兀，恒有|/(斗)一/仇)归。，求实数。的最小值；

⑶若-衿,恒有［“X)了—械(x)—4W0,求实数〃的取值范围.

19.如图，仕四棱锥产一A8C。中，A4_L平面A8C。，且底面A/CO是矩形，PA=AD=2AB=4M

是梭PO的中点.

（1）求证：/W_L平面PCO；

（2）求直线CO与平面4cM所成角的正弦值；

（3）若。是四棱锥P-4BC。外接球上的一点，求点Q到平面AMC的最大距离.

高一数学

注意事项：

1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.命题P：VXWRJMNO的否定为（）

A.HreR,凶<°B.R,|x|<0

C.R,|x|<0D.VXGR,|X|<0

【答案】B

【解析】

【详解】由全称量词命题的否定可知，命题P的否定为玉GR，W<0.

2.样本数据9,12,17,II,15,16,10,8,18的上四分位数是（）

A.9B.10C.15D.16

【答案】D

【解析】

【分析】根据上四分位数定义，结合百分位数的计算步骤计算即可.

【详解】将数据按从小到大排列:8,9,10,11,12,15,16,17,18.

因为9x75%=6.75,所以上四分位数为第7个数，即16.

3.卜.列函数中，是奇函数且在区间（0,+8）上单调递增的是（）

A.〃X）=/°26B.

C./（x）=x2027D.-7

【答案】D

【解析】

【分析】应用函数奇偶性定义结合幕函数的单调性判断即可.

）202

【详解】对于人：/3=婷26定义域为（-00,0）5（）,48）,"_力=（_力一6二厂2026=70所以

/(.。二广20^为偶函数，不符合题意：

2O262O26

对于B：/(x)=d期定义域为(9,-)，/(-X)=(_X)=X=/(X),所以〃同=/26为偶函

数，不符合题意；

对于C：八“二/027定义域为(y,O)u(O,y),/(—戈卜廿力的丁一厂的二一八耳，所以

/(X)=X◎27为奇函数，但是在区间(。,内)上单调递减，不符合题意；

对于D:/(力=//定义域为(一8,十8),/(-X)=(-x)^7=-X2027=-f(x),所以/%)=f27为

奇函数，是在区间((),”)上单调递增，符合题意；

4.袋子里装有4支钢笔，其中2支黑笔，2支红笔，从中随机取出2支，下列事件中与事件“都是黑笔”互

斥但不对立的是()

A.“恰有1支红笔”B.“至多有1支红笔”

C.“至少有1支黑笔”D.“至少有1支红笔”

【答案】A

【解析】

【分析】应用互斥事件及对立事件定义判断求解.

【详解】从4支笔中任取2支的所有情况为：2支黑笔、2支红笔、I支黑笔I支红笔，

对于A：事件“都是黑笔”与“恰有1支红笔”不可能同时发生，且不是必有一个发生，二者互斥不对

立，符合题干要求：

对于B：“至多有1支红笔”包含1红1黑、2黑的情况，与“都是黑笔”不互斥，不符合题干要求；

对于C：“至少有1支黑笔”包含1红1黑、2黑的情况，与“都是黑笔”不互斥，不符合题干要求；

对于D：“至少有1支红笔”包含1红1黑、2红的情况，与“都是黑笔”为对立事件，不符合题干要

求；

5.如图，一个冰淇淋玩具由一个圆锥和一个与圆锥有公共底面的半球组成，且两部分体积相等，则圆锥的

母线及与底面半径的比值是()

A.V2B.2C.V5D.3

【答案】C

【解析】

【分析】应用球及圆锥的体积公式计算，再结合圆锥的几何特征求解.

【详解】设半球与圆锥的公共底面半径为小圆锥的高为〃，

2112

则半球体积为一%/,圆锥体积为一万产力，由两部分体积相等可得一；r，〃=—乃一,解得力=2〃，

3333

圆锥母线长[=Jy+〃2=yjr2+（2/-）2=也r'

因此母线长与底面半径的比值为石.

6.设全集。=2,集合A={x|/=6k+1,左cZ},B={x\x=6k+3,k^Z},C={x|x=6左一1,kEZ},

则4，（Au3uC）=（）

A.[x\x=2.k,kFZ}R.{x|x=6*+1«eZ}

C.{x|x=64+2,4wZ}D.{x\x=6k-2,keZ}

【答案】A

【解析】

【详解】A={x|x=2x3A+l,A£Z},B={x|x=2x（3A+l）+l,AwZ},

C={X|X=2X（3A:-1）4-1,Z;GZ},

其中女,3A+l,3Z-l,ZeZ组成了所有整数，

则AuBuC={xk=2Z:+lMEZ},①（4<JBDC）={X|X=2Z,Z：£Z}

7.己知Z，丐是两个不共线的单位向量，向量。=而+〃〃（/1,〃£1<）,则“工.£>2.石”是“4>0且〃V。”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由7坂是不共线的单位向量可得4.B=cos"l，由"二>"/可得（2一〃）（1一那与>0,进而

讨论几一〃>0和4>0日〃v0的充分件和必要性即可.

【详解】已知色5是不共线的单位向量，故国|二出|=1,设两向量夹角为。£（。,兀）,

则ab=cos夕v1，

ca>cbom（1-〃）=（4汗+〃6）•（值一5）

=2町?+（4一丸）25-“5|2=（丸一一万.5）〉（）

因为1一限行>（），所以不等式等价于％>0.

充分性：若2—〃>0,无法推出4>0且〃<0,例如九二一1,〃=一2满足2—〃>0,

但不满足4>0且〃<0,充分性不成立;

必要性：若%>0且4<0,必有4一">0,即".）>2不，必要性成立.

所以33>2•b是％>0且4<。的必要不充分条件.

X.已知5个实数q,a2t对的取值均为2，4.6,8中的一个（每个数至少出现一次），则见，

生，小，①，牝的方差的最大值为（）

Dc.——136

5

【答案】C

【解析】

【分析】根据己知结合方差公式计算求解.

【详解】已知5个实数片,。2，。3，。4，%均为2，4,6,8中的数,

当重复值取2或8时波动性最大，

当重复值取2时;平均数为2+4+：+8+2二★所以方差为

JJ

136，

5=^25

当重复值取8时，平均数为2+4+6+8+8=5。,所以方差为

55

525

所以得到方差最大值为署.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设复数z=3+4i,则（）

_..z—]

A.z=3—4iB.z=7C.z2=—7+24iD.-sR

z+2i

【答案】ACD

【解析】

【详解】复数z=3+4i,则三=3-43A正确；

[z|=j9+16=5,B错误;

z2=（3+4i）2=9+24i+16i2=-7+24i,C正确;

3口二4D正确.

z+2i3+6i3

10.如图，正方体的棱长为2,。为线段A。1上一动点，则（）

A.三棱锥的体枳为定值

B.直线QC与片。的夹角的大小的取值范围是

C.QO+。。的最小值为2+几

D.当AQ=2。。时，平面片。。截该正方体所得截面的面积为2"

【案】AD

【解析】

【分析】对于A：可证AQJ/平面8Z）G，可知点Q到平面8OG的距离为定值，进而可知三极维Q-8OC；

的体枳为定值；对于B：可证4/JJ.平面AC。，即可得用。J.QC,即可判断B；对于C：当点。为AR

的中点时，则QD±AD]tQC1AD.,即可分析最值;对于D：作辅助线，分析可知截面为四边形B、NDM,

进而可求截面面积.

【详解】对于选项A：因为AB//GR,AB=QD]f可知四边形ABC；仅为平行四边形，则八

旦平面8QC],8（；0：平面8。。]，可得月0//平面80。1，

又因为,可知点。到平面8。。1的距离为定值,

且么BDG的面积为定值，所以三棱锥Q-BQG的体积为定值，故A正确;

对于选项B：因为A8CO为正方形，则AC_L3D,

又因为BBi1平面ABCD,ACu平面ABCD,则AC1BB],

且BDcBB】=B,平面BBRD,可得AC平面8A。。,

由々Ou平面BB、D\D可得AC1B、D,

同理可证：AR上,

且ACIAD,=AfAC,ARu平面AC。，可得gQ_L平面AC",

又因为QCu平面AC，，则耳。_LQC,

7F

所以直线QC与片。的夹角的大小为5,是定值，故B错误；

对于选项C：因为△ACR为等边三角形，△4OR为等腰直角三角形（4。=。。）,

当点。为4R的中点时，则QC±ADit

即此时Q。，QC均取到最小值，且QC=#AA=遥，QD=；AD1=e,

所以QQ+QC的最小值为血+6，故C错误：

对于选项D：设QOIA。=M,

因为A。//AR，则年"二4（=:，即AQ=2MR,可知点〃为A仅的中点，

f\LiAt/，

设AO，3c的中点分别为E,N,连接4七，EN,DN,B、N,

因为EN/1AB,EN=AB,且A4//A3,=AB,

则E7V〃44，EN=Ag,可知四边形AqNE为平行四边形，则A£//4N,

又因为AM//力E,A.M=DE,可■知四边形AEQM为平行四边形，则AE//OM,

可得用N//OM,可知平面用。。截该正方体所得截面为四边形4NOM,

且B、M=B、N=DM=DN=遂,4。=26，

所以所求截面的面积为S=2S.wo=2xgx26xJ（石『―（石『=2瓜’故D正确.

11.设对任意的平面向量三二（x,y）进行一次“R变换”后得到一个新向量R网=（-2y,2x）,对雨连续进

行〃次"/?变换''得到的向量记作*'（〃；）.设2,万为平面内的非零向量，则下列说法正确的是（）

A.对任意的Z，s，RR+石）=R（Z）+R0）恒成立

B.对任意的£,r+4p）=i6r（a）

c.若力，〃＞（）,则,（41+4坂）|=/1/?（£）+〃

D.若同明=1,则[Z-R(矶1万-网矶的最小值为一5

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用变换”定义，结合向量的加减数乘与数量积的坐标公式，根据选项要求逐一计算分析即

可判断.

【详解】对于A,设。=(芭,)[),5=(七,%)，则〃+b=(N+JX+%)，

R(a+&=(-2(y,+y2\2a+x,))=(-2yi,2%)+(-2%，2x,)=R(a)+R(b)，故A正确;

对于B,设。=(x,y)，则R(a)=(-2y,2x),R2(a)=(-4x,-4y)=-4a,

R\a)=R2(R2Q))=R2(_4c；)=-4X(—4£)=16c；,

故对VMGN”,/r，伍)=尸(R〃㈤)=16/T(a),故B正确;

2

对于C，因为对=(x,y).R(ni)—(—2y,2x)JR(rn)\—^4y2+4x2=2^x2+y

则R(而+〃〃)卜2以万+闻，邓⑸+“R何=2(2同+〃冲，

因+41a|+〃出|当且仅当方向相同时成立，

R.1+闷=邓⑸+〃,例不能恒成立，故C错误;

对于D,设£=(N，X)3二(/,%)，则于0)=(-2加〃),£(母=(一2%,2叫)，

又因同=司=1,不妨设〈41〉=。£[0,兀],则=不X2+y、2=cos6，

故[。-R⑺]•[6-R(矶=((%,)，])一(一2加2%))・((々,%)-(-2%，2X2))

=(%+2yl,y-2内)•+2y2,%一2々)=(内+2yl)(x2+2y2)+(yt-2xt)(y2-2x2)

=g+2，%+2%y+4yM+K)'2-2W凹-2，%+-也

4xx

=内工2+4yly2十)1，2十\2=5(玉)2+y%)=5COS0,

因。£[0,兀],贝底05。£[-1,1],故["R(初｛b—R(5)]的最小值为一5,即D正确.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数/(x)=tan(5-卷)+1的图象的一个对称中心的坐标是.

【答案】信1卜答案不唯一，符合（依+专1）仕uZ）的点均对）

【解析】

YITKTT7TX兀

【详解】令-------=一，keZ,解得x=Kr+—,(kwZ),故/(x)=tan+1的对称中心为

21226''2~n

H+—JGZ).

6J

13.如图，在平行四边形ABC。中，AB=2AD=6,且而.而=6，〃是边C。上靠近点C的三等分

点，则丽丽=

【答案】3

【解析】

【分析】根据题意选定而.而为一组基向量，将讨，丽分别用基向量表示，利用向量数量积的运算律

计算即得.

【详解】因M是平行四边形ABC力的边CD上靠近点C的三等分点,

则必演=怦_丽）•（祝+闻=_而_评）.（；通一时

=^AD+-ABAD--AB2=9+-x6--x36=3.

3939

14.若关于x的不等式siav>cos（〃以+彷（3wZ、（pw（0,2兀））恒成立，则（P的所有可能取值共有

个.

【答案】3

【解析】

【分析】利用正弦、余弦函数的值域均为［-1,1］的特征，分整数啰=0和口工（）两类情况讨论，结合诱导公

式、三角函数恒等条件求解符合夕£（0,2兀）的取值总个数。

【详解】分以下情况讨论：

当〃）=（）时，若sinxNcos。恒成立.

sinXG[-1,1],要使不等式对任意x恒成立,需cos夕4sin%的最小值一1，

・•・cos^9=-l,e=兀.

当000时,sinxNcos（5+°）恒成立，由诱导公式可得sinx2sinGX+0+大卜恒成立,

兀'

,/sinxe[-l,l],sincox+(p-\r-G

若上述不等式对任意x恒成立，仪当sinx=sin（公r+夕+]J对任意％恒成立,

:.69=±1.

当，。=1时，sinx=sin（x+夕+对任意x恒成立，

n…

0+5=2kli,keZ,解得。=-g+2E,keZ,

3兀

,:（pe（0,2n）,(p=—.

2

当。二一1时，sinx=sin—x+9+g对任意大恒成立，

由诱导公式可得sin|_x+o+]兀=-sin(x一0一]=sin^x-^-^兀+K

2J2

•jlTl

**•-（p——+7T=2^71,ksZ,解得/=,—2E,kwZ,

*：（pG（0,2TI）,：.0=].

综上，。的所有可能取值为:、兀、至，共3个.

22

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某校举行了一次数学竞赛活动，有100名学生参加，将他们的成绩（单位：分，满分为100分）进行整

理后，按[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,1（叫分为5组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中。的值；

(2)估计这100名学生的成绩的中位数;

(3)从成绩在［80,100］内的学生中随机抽取5名学生进行座谈，求这次考了89分的小明被抽中的概率.

【答案】(1)6F=0.010

(2)78.(3)-

9

【解析】

【分析】(1)根据频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1列方程，即可求解。：

(2)频率分布直方图中将所有小矩形面积二等分的点对应的值为中位数；

(3)由直方图求成绩在［80,100］内的学生在样本中的频率，再计算对应的人数，利用古典概型概率公式

求结论.

【小问1详解】

由题可得(。+0.020+0.025+0.035+f/)x10=l,

即(0.080+2a)xl0=l,解得々=0.010.

【小问2详解】

因为(0.010+0.020)X10=0.3v0.5,而(0.010+0.020+0.025)xl0=0.55>0.5,

所以中位数〃?在［70,80)内.

由中位数的定义可得0.3+(70)x0.025=0.5，解得m=78.

所以估计这100名学生的成绩的中位数为78.

【小问3详解】

由［80,100］的频率为(0.035+0.010)x10=0.45,

可得［80J00］内的总人数为100x0.45=45,

所以这次考了89分的小明被抽中的概率为3

459

16.在中，内角A，B,C的对边分别为。，b,c,且2a-c=2/>cosC.

(1)求3：

(2)若〃+c=7,。是8C的中点，求AO的最小值及此时△ACD的面积.

【答案】⑴B

⑺xn—向v_573

（2）A°min=WS^ACD=—^~

【解析】

【分析】（1）应用余弦定理计算求解；

（2）应用余弦定理结合二次函数值域计算得出AO最小值，再计算面积求解.

【小问1详解】

由余弦定理可得2。-c=2Z?cosC=2。X"+"—'="+"一’

laba

整理得acn/+c?—/,

所以c°s8二史会]_

2

又B«0,兀），所以8=.

【小问2详解】

因为。+。=7,所以々=7—c.

因为。为BC的中点，所以由余弦定理可得

AD2=AB2+BD2-2AB-BDcos—=c2+f—-—=c2+f^———=-（c-2）2+—,

3{2）2I2）244

当c=2时，A。取得最小值，且A£>..■二巨，此时a=5,

nun2

所以SAA6=；SA.c=；xgx〃xcxsin5=gx；x5x2x等二¥・

17.某校为培养学生的劳动意识，开展了“劳动小能手”实践活动,活动结束后，学校根据学生的劳动时长及

表现给予相应的劳动实践积分.现从该校随机抽取50名学生，调查其劳动实践枳分数据，整理如卜.表:

劳动实践积分人数

310

220

115

05

(1)从该校全体学生中随机抽取1名学生，估计这名学生的劳动实践积分不低于2分的概率.

(2)假设每名学生的劳动实践积分互不影响，从该校全体学生中随机抽取2名学生.

(i)估计这2名学生的劳动实践积分之和为2分的概率；

(ii)估计这2名学生的劳动实践积分之差的绝对值不低于1分的概率.

【答案】⑴-

5

177

(2)(i)—；(ii)—

10010

【解析】

【分析】(1)应用频率计算求解；

(2)(i)应用古典概型，独立事件概率乘积公式及互斥事件概率和公式计算求解；(ii)古典概型及独立

事件概率乘积公式，对立事件概率公式计算解题.

【小问1详解】

由题表可知从样本中随机抽取1名学生，

其劳动实践积分不低于2分的频率为31型=I,

505

3

・••估计这名学生的劳动实践积分不低于2分的概率为二.

5

【小问2详解】

由题可知，劳动实践积分为0分、1分、2分、3分的概率分别为

_[5_2_型12_1

5O-loJ5O-To150-5J50-5,

(i)这2名学生的劳动实践积分之和为2分的情况有2人都是1分或I人0分、1人2分，共2种.

33122117

；・估计这2名学生的劳动实践积分之和为2分的概率为一x—4---x—+—x—=---.

101()1()551()100

(ii)随机抽取2名学生，其积分之差的绝对值不低于1分的对立事件是积分之差的绝对值低于I分，即为

0分，所有的情况为｛0分,0分｝,｛1分,1分｝,｛2分,2分｝,｛3分,3分卜

概率为也会3_322113

X-------F—X--f--X—=

1010555510

37

・•・估计这2名学生的劳动实践积分之差的绝对值不低于1分的概率为1-6二m.

18.已知函数/(x)=4sin(公vA>0,口>0,^<(P<R的部分图象如图所示.

（2）若%，人2七*71，恒有|/（历）一/（七）|=〃，求实数。的最小值；

⑶若Vis,恒有［/（I）］之一械（同一4三0,求实数〃的取值范围.

【答案】（1）/（x）=2sin2x-y^

⑵2+6

（3）［-3,0］.

【解析】

7T

【分析】（1）先由图象最值确定振幅A，再代入己知点坐标结合。的取值范围］＜（p＜兀求解0,最后代入

最高点（窄,2）的坐标，结合周期的取值范围确定。，即可得到函数/（x）=Asin（5—。）的解析式.

（2）先求解pTl时/（X）的值域，VxpX2ep7l,归。恒成立等价于/（x）在该区

间上的最大值与最小值的差不大于。，据此可求得。的最小值.

（3）先求解xw-4：时/（戈）的取值范围，通过换元/=/。）将原不等式［/*）『一械（幻-440转化

为二次函数8（，）=/一〃，-4在/曰［一2,1］上的恒成立问题，结合二次函数的图象性质，只需区间端点处函

数值小于等于0即可求解〃的取值范围.

【小问1详解】

由题意得A=2,所以/（x）=2sin（〃zr—0）.

因为/（X）的图象经过点他一©，代入可得0=2依+三或2阮+」，keZ,

\，33

I271

又彳＜兀，所以8=二-

1J

(7jr、(2兀7兀切2兀、

再将言,2代入/(x)=2sin(ox----,可得2sin=2,

11Z/I3

24*

解得口=2+半，ksZ⑺.

设“X)的最小正周期为丁，观察图象可得了=号＞工，解得()＜。＜,,

21C

结合(*)式可得0=2,所以/("=2sin2上

【小问2详解】

71271壮,sin2^2兀

若工£二，兀，则2x一eG

6333IT

所以f(x)=2sin2x-手

G-A2

\3

要使对任意的%,修€已，兀，恒有|/(%)一/(工2)归。，只需/(X)max-/d＜〃，

即〃22-(—々)=2+石，故”的最小值为2+J5.

【小问3详解】

若xe，则2x-三£一看，一看'所以/(%)2,1].

令/=/3,则[/(X)]2-H/'(X)-4＜0,XE一；(恒成立，等价于g(1)=/一”—4W0,

，£12,1]恒成立,

所以卜(一2)=(-2)23(-2)一4工。,

解得一3W〃40,即实数〃的取值范围为[-3,0].

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，A4_L平面ABCD，旦底面ABCD是矩形，PA=AD=2AB=4,M

是棱PD的中点.

p

M

(1)求证：AMJ_平面PC。；

(2)求直线CO与平面ACM所成角的正弦值；

(3)若。是四棱锥尸一ABC。外接球上的一点，求点Q到平面AMC的最大距离.

【答案】(1)因为B4J_平面4BC。，COu平面ABCO,所以％_LCD,

又四边形ABC。是矩形，所以CDJ_D4,

又B4u