2027年高考数学一轮复习：导数的概念与运算

第14讲导数的概念与运算

知识梳理

知识点一：导数的概念和几何性质

1、概念

函数/（X）在x=处瞬时变化率是lim丝=1加/"°_'"）_〃/）,我们称它为函数

At>oAV>0

），=/（可在X=/处的导数，记作/'（X。）或）（一.

知识点诠释：

①增量以可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0.AtfO的意义：以与（）之

间距离要多近有

多近，即|二-0|可以小于给定的任意小的正数；

②当ArfO时，△），在变化中都趋于0,但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在

一个常数与

包=丛且3无限接近；

AxAx

③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即

是位移在这一时

刻的瞬间变化率.即/小）=lim包=lim,（•0+-）-/6）.

AITOMAV->OA*

2、几何意义

函数y=f（x）在x=x,处的导数/'（%）的几何意义即为函数y=f（x）在点P（x0,%）处

的切线的斜率.

3、物理意义

函数s=s⑺在点（处的导数sa）是物体在，。时刻的瞬时速度y,即v=/（z0）；

i，=贝，）在点％的导数M&）是物体在/0时刻的瞬时加速度a,即a=/4）.

知识点二：导数的运算

1、求导的基本公式

基本初等函数导函数

f（x）=c（C,为常数）/v)=o

/⑴=(ae0/'")=叱

/(x)=ax(。>0,"1)f\x)=a'Ina

/(x)=logx(fl>0,fl*l)fM-

(txlna

/(x)="f\x)=ex

f(x)=\nx/v)=l

X

f(x)=sinxJ'\x)=cosx

f(x)=cosx/(x)=-sinx

2、导数的四则运算法则

(1)函数和差求导法则："㈤土g(x)]'=/'(x)土/⑶;

(2)函数积的求导法则："(x)g(R=_r(x)g(x)+/(x)g'Cr)；

(3)函数商的求导法则：g(x)wO,则[3J"'"'

g(x)g'(x)

3、复合函数求导数

复合函数)，=的导数和函数y=/("),〃=g(x)的导数间关系为久=”处：

【解题方法总结】

I、在点的切线方程

切线方程y-/(升))=/'(%)(％-不))的计算：函数y=/(x)在点4(%，/(七))处的切线方

程为，—(%)(『),抓住关键卮篇

2、过点的切线方程

设切点为PC%,%),则斜率2=八％),过切点的切线方程为:y-%=r(M)(%F，

又因为切线方程过点4〃?，〃)，所以-然后解出小的值•(/有几个

值，就有几条切线)

注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外.

必考题型全归纳

题型一：导数的定义

【例1】（2024•全国-高三专题练习）已知函数力的图象如图所示，函数

的导数为丁=/'（可，则（）

A.7'（2）＜八3）〈八3）一＞2）B./⑶＜/'⑵⑶一/⑵

C.（2）＜/（3）-/（2）＜，⑶D.r（3）＜/（3）-/（2）＜/'⑵

【答案】D

【解析】由/（"）图象可知/（3）＜八3）-/（2）一/（2）,

即/⑶＜〃3）-〃2）＜/（2）.

故选：D

【对点训练1】（2024•云南楚雄•高三统考期末）已知某容器的高度为20cm,现在向容

器内注入液体，且容器内液体的高度力（单位：cm）与时间/（单位：s）的函数关系式为

/?二，+/，当时，液体上升高度的瞬时变化率为3cm/s,则当1=%+1时，液体上升

高度的瞬时变化率为（）

A.5cm/sB.6cm/sC.8cm/sD.1Ocm/s

【答案】C

【解析】由力=；/+/,求导得：〃，=产+2/.

当时，"=r：+2f°=3,解得，o=l（/。=一3舍去）.

故当"4+1=2时,液体上升高度的瞬时变化率为22+2x2=8cm/s.

故选：C

【对点训练2】（2024•河北衡水•高三衡水市第二中学期末）已知函数/（X）的导函数是

/So+]A。-"%）

尸（x）,若r（/）=2,1lim（）

Av->0Ax

A.；B.1C.2D.4

【答案】B

【解析】因为r（/）=2

/（%+〈心）-/（拓）1/（/+〈―）一/（/）i

所以lim---------=--------------=-lim—-----=T/U）=I

A3Ax2A3-Ax2

2

故选：B

【对点训练3】（2024•全国-高三专题练习）若函数/（%）在小处可导，且

limf（"0+2A”）_/（U）=l,则/（%）=（）

…。2。'

A.1B.-1C.2D.3

【答案】A

【解析】由导数定义可得lim/00+2，U）_/。。）=广（）,

2To2Axv7

所以r（为）=i.

故选：A.

【对点训练4】（2024•高三课时练习）若/"）在/处可导，则r（%）可以等于（）.

B.lim/k+,卜/优一醺）

A.

As。Ax-Ar

C.］而/（1+2醺）一/（文「、）D+M—/（*°—2a）

L*•Illi.

“TOAXAiOAA-

【答案】A

【解析】由导数定义尸（占）=lim/（/+-）—/（•％）,

/（入。）-/（%-Ai）]而/（“。）一”风2）

对于A,_III11A满足:

七一（小一以）6-*0Ar

小尸㈣生喘静A蚂，

对于B,

小。）总啊小。+纥ML"B不满足:

/（七+2-）一/（七—板）

对于C,小)咂爷踞望*3M-

小。)=汕。/区+2A3S。,c不满足;

/（占+词―/（/一2刈=./（A+Ar）-/（%-2Ar）

对于D,r(/)=]叫

、，Aif0（天+祠一（与-2Av）心"3Ax

小。尸加小2/"3),D不满足

故选：A.

【解题方法总结】

对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接

写出.

题型二：求函数的导数

[例2](2024•全国-高三专题练习)求下列函数的导数.

(l)/(.r)=(-2.r+l)2；

（2）〃x）=ln（4x-l）；

⑶/Gy

(4)/(x)=J5x+4；

【解析】(I)因为/(x)=(-2x+l)2=4f_4x+l,所以广(x)=8x—4.

(2)因为/(切=皿4工-1),所以尸(力=士.

4x—1

(3)因为〃x)=23z,所以r(“)=3x2fn2

(4)因为/(£>=由'所以/'(、)=：-=5告7

【对点训练5】(2024•高三课时练习)求下列函数的导数：

(l)y=(3x2+2x+l)cosx；

小、3x2+x\[x-5\fx+\

(2)y=----------T=-----------：

（3）y=x18+sinx-lnx；

1

(4)y=2cosx-3xlog3x；

⑸y=3'sinx-310g3”；

(6)y=e*cosx+tanx.

(解析】(1)y'=(3x2+2r+l)cosx+(3x:+2x+1)•(cos%)'

=(6x+2)cosx-(3x2+2A+l)sinx.

(2)户3/+咋5&+]=3)+x_5+J；,

\/x

311-1o1i_2

所以)，'=3x±x2+]__.x2=一/一一x2+1.

2222

(3)y=l8x17+cosx-i.

X

rV

(4)y=(2)COSX+2(COSA)-3(x)log3j：+x(log3x)

VV

=(21n2)cosx-2sinx-3log3x-3log3e.

(5)/=(3r)sinx+3，(sinx)'_3.:？=(3'ln3卜inx+3'cosx----31og,e.

/八sinx

(6)j=etcosx+tan.v=etcosx+----

cosx

,/.、，(sin.V)cos.r—(cos.r)sin.r

y=(e)cosx+e(cosx)+-----------------------

'7cos"x

=evcosx-ersinx+—

COSX

【对点训练6】(2024•海南•统考模拟预测)在等比数列｛q｝中，/=2,函数

/(X)=；MX-4)(X-42)L(x-6)，则/'⑼二-

【答案】-16

a)(x-a)L(x-%)]+gx[(x-q)(x-4)L(1-%)]'

【解析】因为/(»)=0[上}2

所以%.

因为数歹IJ｛q｝为等比数歹U，所以6%=44=d=4,

于是/'（0）=丁432=-16.

故答案为：-16

【对点训练7】（2024•辽宁大连•育明高中校考一模）己知可导函数/（",g（x）定义域

均为R,对任意工满足+=x-l,且〃1）=1，求/'。）+，

【答案】3

【解析】由题意可知，令X=l,则/（l）+2x|2xgtxl|=l-l,解得

/0）=_1

22,

由J（x）+2x2g（gx=4一1,得以（力+（2巧1d+2/g（3=（x-l）r，即

令x=l,得/⑴+4xlxg（；xl+『xg（；xl即r⑴+曲（£|+/]£|=1,

解得广⑴+，（g：

故答案为：3.

【对点训练8】（2024•河南-高三校联考阶段练习）已知函数/"）的导函数为尸（x）,且

〃戈）=/..（l）+x+2,贝/1）=.

【答案】-1

【解析】因为y（x）=dr（i）+x+2,则r（x）=w（i）+i,故r⑴=27⑴+i,故

/'⑴一

故答案为：-1.

【对点训练9】（2024•全国•高三专题练习）已知函数/。）=八0把2-/，则，（0）=

【答案】-2

【解析】山函数/0）=,/''⑼e2\6-，求导得；7。）=2八0把2、3、，当x=0时,

/'(0)=2/(0)+1,解得八。)=一1,

2xx

因此，fW=-e-e-t所以八0）=-2.

故答案为：-2

【解题方法总结】

对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本

函数求导问题.

题型三：导数的几何意义

方向1、在点P处切线

【例3】（2024•广东广州・统考模拟预测）曲线），=（2I-1）3在点（1,1）处的切线方程为

【答案】6x-y-5=0

【解析】函数的导函数为）/=6（24-1）2,

所以函数y=（2x-l）3在X=1处的导数值），'|日=6,

所以曲线y=（2x-l）3在点（1/）处的切线斜率为6,

所以曲线y=（2x—l）3在点（1,1）处的切线方程为y—l=6（x—1）,即61-），-5=0,

故答案为：6xy5=0.

【对点训练101（2024•全国-高三专题练习）曲线/G）=ln（x+2）+］在点（0J（0））处的

切线方程为.

【答案】x-2y+21n2+3=。

3

【解析】因为/。）=1心+2）+不

所以ZU）--

x+2

则r（o）=；，

3

X/（0）=ln2+-,

所以曲线在点（0J（0））处的切线方程为），-ln2-1=；x.

即x-2)，+2ln2+3=0.

故答案为：x-2y+21n2+3=0.

【对点训练11】(2024•全国•高三专题练习)己知函数=以2+cos(/x),

尸(x)为f(x)的导函数.若广(力的图象关于直线x=l对称，则曲线产/(力在点(2,/(2))

处的切线方程为

【答案】)'=~

【解析】尸(1)=/+苏一六皿仁.),

/\

兀TC

令g(x)=V+26，h(x)=--sin-x,则/'(x)=g(")+〃(x),

令=keZ,解得x=2A+l,keZ,

当&=0时，x=l,所以直线x=l为〃(x)的一条对称轴，

故g(x)的图象也关于直线x=l对称，则有-弓=1,解得〃=一1,

7.

/(2)=-p八2)=0,

故切线方程为)，=Y.

故答案为；=

【对点训练121(2024•湖南-校联考模拟预测)若函数/(*=++("2*(X£R)是

奇函数，则曲线)=/")在点(4/⑷)处的切线方程为.

【答案】24x-.y-32=0

【解析】因为=—2)F(xeR)是奇函数，

所以/(一力+〃力=0对WwR恒成立，

即一九/+(；1—2)/+^^+(2-2)/=2(2—2)犬=0对.£1＜恒成立，

所以4=2,则/(x)=2x\故:(力=6/，所以/(2)=2x2'=16,./(2)=6x22=24,

所以曲线y=/(x)在点(2J6)处的切线方程为)，-16=24(工-2),

化简得24x-y-32=0.

故答案为：24x-.y-32=0

方向2、过点尸的切线

【对点训练13](2024•江西-校联考模拟预测)已知过原点的直线与曲线y=hu•相切,

则该直线的方程是.

【答案】y=-x

e

【解析】由题意可得r(x)=L

设该切线方程y=心，且与相切于点(小,为)，

=1叫)，整理得1叫)=1,

k=/(xo)=—

入0

工，%=e,可得k=—,***y=-x.

e.e

故答案为：y=-x.

e

【对点训练14】(2024•浙江金华•统考模拟预测)已知函数”另=丁-3+1,过点

P(2,0)存在3条直线与曲线y=/(x)相切，则实数〃的取值范围是.

(19、

【答案】

【解析】由外力=3/-%设切点为(孙明则切线斜率为八山)=3/一匹

所以，过2(2,0)的切线方程为)，=(3机2-«)(A-2),

\n=(3/??2-a)(m-2),,

综上，｛3，即(3〃广~。)(〃?-2)=m-cun+1,

n=m-am+1

所以2a=-2〃P+6〃/+l有三个不同〃?值使方程成立，

即y=2a与g(〃?)=-2m3+6〃/+1有三个不同交点，而gr(m)=-6m2+12m,

故(-oo,0)、(2,+co)上gS)vO,g(m)递减,(0,2)上g'(M>0,g(/»)递增;

所以g(⑺极小值为g(0)=l,极大值为g(2)=9,故Iv2av9时两函数有三个交点,

综上,。的取值范围是5)

故答案为：

【对点训练15】(2024•浙江绍兴•统考模拟预测)过点(-：,。］作曲线y=V的切线，写

出一条切线方程：.

【答案】尸0或)，=3x+2(写出一条即可)

【解析】由)，=V可得),，=3f,

设过点(-：，“作曲线y=V的切线的切点为(小，为)，则先=£，

则该切线方程为yf=3x：(x-.”),

将(-；，。］代入得Y=3%(-Jf),解得%=0或％=T,

故切点坐标为(0,0)或

故切线方程为，=0或y=3x+2,

故答案为：y=o或y=3x+2

【对点训练16］(2024•海南海口-校联考模拟预测)过工轴上一点。(/,0)作曲线

C:)，=(x+3)e'的切线，若这样的切线不存在，则整数1的一个可能值为.

【答案】T,-5,-6,只需写出一个答案即可

【解析】设切点为(如(小+3)记)，因为y=(x+4)e］所以切线方程为

)-(七+3)e"=($+4)叫一%).

因为切线，经过点尸,所以-(xo+3)e“=(xo+4)e"ff),

由题意关于％的方程片-上-3)%-4-3=0没有实数解，

则A=(-3)2+4(4r+3)v0,解得—7</<—3.

因为/为整数，所以，的取值可能是-6,-5,-4.

故答案为：-4,-5,-6,只需写出一个答案即可

【对点训练17］(2024•全国-模拟预测)过坐标原点作曲线y="+2)e*的切线，则切点

的横坐标为.

【答案】-1十或一1一yJ3

【解析】由y=(」+2)eF得y=(x+3)e\设切点坐标为(%%)，

所以切线斜率k=(%+3)小，又因为%=(%+2)c%,

则切线方程为)」(改)+2)”=(%+3)小,(工一天)，

把(0,。)代入并整理可得片+2%-2=0,解得玉=-1+白或小=-l-G.

故答案为：-1+G或-1-6

【对点训练18](2024•广西南宁-南宁三中校考模拟预测)若过点?(1M)(〃WR)有〃条

直线与函数/(x)=(x-2)e，的图象相切，则当〃取最大值时，。的取值范围为.

【答案】(T-e)

【解析】设过点户(1,〃)的直线/与/(x)的图象的切点为k)，(xu-2)e"),

因为r(x)=(xT)e'，

所以切线/的斜率为/'(%)=(%—l)e“，

所以切线/的方程为丁一(再一2)e"=(玉)—l)e"(x-x0),

将p(l,a)代入得a-5-2)e"=(与-l)e%(1-玉)，

即。=(%-1户(170)+(7-22=(一4+3小一3k&,

设g(x)=(-丁+3x-3)—,则g，(x)=(-/+3x-3)ev+(-2x+3)e1=(-x2+x)er,

由g'(x)=。，得x=0或JV=1,

当xvO或％>1时,g'(K)<0,所以g(x)在(YO⑼上单调递减;

当Ovxvl时，g'(x)>0.所以g(x)在(0.1)上单调递增,

所以月(%)极小值=月(。)=一3小@)极大值=8⑴=y.

X-X2+3X-3=-P--Y--<0,所以g(x)<0恒成立，

<2/4

所以g(x)的图象大致如图所示,

由图可知，方程a=（一4+3x。一3）e”最多3个解,

即过点©R）的直线最多有3条，

即〃的最大值为3,此时-3<o<-e.

【对点训练19】（2024•全国•模拟预测）已知函数/⑴=白、/，⑴一+1,其导函数为

/（%）,则曲线过点尸。』）的切线方程为.

【答案】），=1或y=3x—8

【解析】设切点为"（线,%）,由/（“Wd+r⑴f+i,得r（x）=d+2/'⑴x,

・••/'⑴=1+2/⑴，得/⑴=7,・・./（刈=：/-/+|,/，（力=/一2.一

，切点M为飞，;片一片+“，,”（七）=片一2%，

•••曲线”X）在点M处的切线方程为）=64-片+1]=（片-2x°）a-.%）①，

又•・•该切线过点P（3，l）,・・・1—]3片7：+1）=（片—2%）（3-%），解得.％=0或%=3.

将七=0代入①得切线方程为V=1;

将/=3代入①得切线方程为y-1=3（x—3）,即），=3A-8.

，曲线/（x）过点尸（3.1）的切线方程为y=1或y=3A-8.

故答案为：），=1或），=31一8

方向3、公切线

【对点训练20】（2024•云南保山•统考二模）若函数/（x）=41nx+l与函数

g（x）=1x2-2M"0）的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（）

1

A.B.—,+oo

■3

2

C.D.

间353

【答案】A

4

【解析】由函数〃%)=41n%+l,可得/("=一，

.1

4

因为々>0,设切点为(，⑷2+1),则/(/)=7，

44

则公切线方程为尸41n/-l=-(xT),即y=-x+4lnf-3,

4

与尸%=2”联立可得二22+-

/x-4In/+3=0,

­

所以△=(2+3)-4xlx(3-41nr)=0,整理可得I+

*a^-3-4ln/

a>0j

又叫,>。,可得3一4血>0,解得0<r<e4J

华+1.，+4m-

令，其中0</<e4,可得/(/)=

硝)=2

3-4lnz(3-4ln/)

4

令*(/)=/+4加/-1,可得“⑺=1+->0,函数0⑺在0,e4上单调递增，且夕⑴=0,

I\>

当0々<1时，。(/)<0,即〃'(/)<0,此时函数/()单调递减，

当1</</时，6(/)>。，即，'〃)>。，此时函数/?(/)单调递增，

所以〃")min=Ml)=3,且当，一>0+时，/?(，)—，所以函数/?(，)的值域为[3,内)，所以

->3Mf/>0,解得即实数。的取值范围为(0,9.

433

故选：A.

【对点训练21](2024•宁夏银川•银川一中校考二模)若直线y=K(x+l)-l与曲线产e，

相切，直线y二七。+1)-1与曲线y二皿X相切，则椎2的值为.

【答案】1

【解析】设/(X)=/,则r(x)=e1设切点为($，X),则匕=1,

x,x

则切线方程为y-y=e"（i-X1）,gpy-e=e'（x-x｝）,

直线y=K（x+l）-l过定点（T,T）,

所以—1一9=炉（一1—芭），所以斗炉=1,

设g（x）=lnx,则＜（x）=一，设切点为“2，％），则区=一，

则切线方程为）'一%=,（~9）,即y-ln9='a-占），

“2X2

宜线产K（X+1）-1过定点

所以TTn%=—（-l-x2）,所以％Inx2=1,

X2

则X，*是函数/“）=e'和？。）=InK的图象与曲线y=」交点的横坐标，

X

易知/"）与g（x）的图象关于直线y=x对称，而曲线也关于直线）=工对称，

X

因此点（N,y）,（“2，/）关于直线）'=x对称，

T,

从而x2=e,内=Inx2,

所以&水,=—=1.

七

故答案为：1.

【对点训练22】（2024•河北邯郸•统考三模）若曲线y=e，与圆（工-4+9=2有三条公

切线，则〃的取值范围是—•

【答案】（1，田）

【解析】曲线尸e'在点（.％,.%）处的切线方程为y-*=e“（x-.q）,

由于直线y—e%=e"（x—%）与圆（x-a）2+）i=2相切，得卜"尸"。"二夜（*）

⑺+厂

因为曲线5=/与圆（一a），+）3=2有三条公切线，故（*）式有三个不相等的实数根，

即方程62%低-4-1）：：-2）二2有三个不相等的实数根.

令g（x）=e21（x-"1『-2）,则曲线），=g（x）与直线），=2有三个不同的交点.

显然，^(x)=2e2*(x-t7-2)(x-«+l).

当汇£（/,4—1）时，当工七卜/-1，。+2）时，/（x）<0,当xs（a+2,+co）时,

g'(x)>。，

所以,g（x）在（Y0,aT）上单调递增,在（aT,a+2）上单调递减,在+2,也）上单调递

增;

(j：—a—1)2—2

且当XT7O时，g（'=->0，当XT+8时,

j?(x)=e2'((x-67-l)2-2)^+oo,

g(«-l)>2eWf>1

因此，只需即《

g(〃+2)<2'-e2(fl+2)<2,

解得a>l.

故答案为：（1,+℃）

【对点训练23]（2024•湖南长沙•湖南师大附中校考模拟预测）若曲线G:/。）=/+4

和曲线G：g（x）=21nx恰好存在两条公切线，则实数。的取值范围为.

【答案】（一1,」8）

2

【解析】由题意得fM=2x,g\x）=-,（x>0）,

x

设与曲线f（x）=V+a相切的切点为（XX+。），与曲线g*）=2lnx相切的切点为

（x,,21nx2）,

则切线方程为>=2*（x—xj+x；+Q,即y=2x,x-X12+a,

22

y=—（x-x2）+21nx2,即y=—x+2lnx2-2,

Wx2

2x.=—,,

由于两切线为同一直线，所以为，得。二片一21114一2（%>0）.

一x；+a=21nji2-2

令（p[x}=JC-2\x\x-2（x>0）,则（p\x）=2A--=20+1）。——,

XX

当Ovxvl时，（p\x）<0,Q（x）在（0,D单调递减,

当x〉l时，(p[x}＞0,以X)在(1,48)单调递增.

即有工=1处玄外取得极小值，也为最小值，且为以D=T.

又两曲线恰好存在两条公切线，即〃=奴工)有两解，

结合当X-0时，/趋近于0，坨工趋于负无穷小，故仪4)趋近于正无穷大，

当XT+8时，/趋近于正无穷大，且增加幅度远大于Inx的增加幅度，故。(幻趋近于正无

由此结合图像可得a的范围是(-1,y)，

故答案为：(-1,也)

【对点训练24】(2024•江苏南京•南京师大附中校考模拟预测)已知曲线C：/*)=/与

曲线G：g(x)=讹向(。＞0)有且只有一条公切线，则。=.

【答案】$4

【解析】设曲线y=fM在x=再处的切线与曲线y=g(x)相切于％二七处，

f\x)=2x,故曲线y=/■»在％"处的切线方程为y7：=(％-A,),

整理得y=2中7；.

g'(x)=aeI,故曲线y=g(X)在元=%处的切线方程为y-g""=ae凶(x-x,),

整理得y=m⑶x—讹w一1).

12内=优*(II

改I#=_讹叫/-1)(2)

由(1)再结合。＞0知N＞。，将⑴代入⑵,得一x：二—2%氏一1),

解得内=2(9T)且W＞1，

将再=2(占-1)代入(1)，解得4(/—1)=讹口且占＞1,

即a=4（1）且白〉i,令，=电+],则〃=当3，：>2.

令砌=竺Z,/?（）=空二，

ee

4

则/9）在区间（2,3）单调递增，在区间（3,+oo）单调递减，旦刈3）=

又两曲线有且只有一条公切线，所以。=名义只有一个根，由图和。〉0知〃=之.

efe

4

故答案为：—.

e

【对点训练25]（2024•福建南平・统考模拟预测）已知曲线），=〃lnx和曲线），二./有唯

一公共点，且这两条曲线在该公共点处有相同的切线/,则/的方程为.

【答案】2\/ex-y-e=0

【解析】设曲线g*）=〃Inx和曲线/（工）=/在公共点（％,光）处的切线相同，

则r（"=2xg（"=q,

­\

由题意知/a）=g（%）j（E）=g（厢）,

2x=—,

即，0/，解得a=2e%=公r，

x；=aIn/

故切点为（五,e）,切线斜率为2=/'（$）=26，

所以切线方程为y-e=2v「（x-人），&P2yJex-y-e=0,

故答案为：2\/ex->--e=0

方向4、己知切线求参数问题

【对点训练263（2024•江苏-校联考模拟预测）若曲线,v=#nx有两条过（c.〃）的切线.

则a的范围是.

【答案】(fe)

【解析】设切线切点为(2。)，因，(Mnx)=lnx+l,则切线方程为：

)，=(lnx0+l)(x-xo)4-xolnxo=(in/+l)x-x0.

因过(e,a),则a=(in%+l)e-由题函数/(x)=(inx+1)e-4图象

与直线y=。有两个交点./(x)=--1=匚工

得/")在(0，e)上单调递增，在(e,+功上单调递减.

据此可得〃x)大致图象如下.则由图可得，当〃e(8,e)时，曲线y=xlnx有两条过(c,a)

的切线.

故答案为：(f，e)

【对点训练27】(2024•山东聊城•统考三模)若直线y=x+〃与曲线y=e*•相切,

则b的最大值为()

A.0B.IC.2D.e

【答案】B

【解析】设切点坐标为(拓为)，因为y=ex-ar,

所以y=e'-a,故切线的斜率为：记-〃=1,

e"=a+l,则毛=1可。+1).

又由于切点(如％)在切线)'=工+人与曲线丁=er-av±,

所以/+〃=e"-ar0,所以人=(a+l)_%)(a+l)=(a+l)[l_ln(〃+l)].

令a+l=f,则b=[(Inf),设fa)=f(l-lnr),

(i>

z

/(O=(l-lnr)+r--=-lnr,令/”)=0得：t=\,

\1)

所以当/«o,i)时，r⑺>o,/⑺是增函数；

当时,r⑺<0,/⑺是减函数.

所以/⑺皿=/⑴=】•

所以〃的最大值为：1.

故选:B.

【对点训练28】（2024•重庆•统考三模）已知直线丁=如一。与曲线），=x+@相切，则实

x

数4=（）

143

A.0B.—C.—D.一

252

【答案】C

【解析】由丁=X+q且X不为（），得y'=l-W

XX

32A

所以手［—算：=xo+¥［，可得Ao=_2,ci=—.

/+1x~+\芭+15

故选：C

【对点训练29】（2024•海南-校联考模拟预测）已知偶函数

/（耳=①-1）/-物+C-1-1在点（1、/（1））处的切线方程为x+y+l=（）,则^=（）

A.-IB.0C.1D.2

【答案】A

【解析】因为/（x）是偶函数,所以/（一力=（々_1）■+如+c_dT=1（x）,即b=0；

由题意可得：/(l)=t/-l-3/?+c-J-l=-(l+l)=>

故选：A

【对点训练30】（2024•全国•高三专题练习）己知M是曲线y=+上的任一

点，若曲线在M点处的直线的倾斜角均是不小于9的锐角，则实数。的取值范围是（）

4

A.[2,400)C.(-oo,2]

【答案】B

【解析】函数yulnx+gV+ai的定义域为（0,+8）,且）/=1+%+〃，

因为曲线丁=1。式+4/+仃在其上任意一点M点处的切线的倾斜角均是不小于［的锐常,

24

所以，y'=1+x+aN【an£=I对任意的x>（）恒成立，则1-aVx+L

x4x

当x>。时，由基本不等式可得工+,22«1=2,当且仅当x=l时，等号成立，

所以，i-a<2,解得。2-1.

故选:B.

【对点训练31】（2024•全国•高三专题练习）己知〃?>0,〃>0,直线y=Lr+〃?+l与

e

曲线y=lnx-〃+2相切，则L+1的最小值是（）

mn

A.16

【答案】D

【解析】对y=lnx—〃+2求导得）』=一,

由y'=一=一得X=e,则一•e+〃?+1=Ine—〃+2,即机+〃=1,

xce

^rl;l—+-=(7^+n)|—+-!­]=2+—+—^2+2=4,

当且仅当，〃=〃=1时取等号.

故选：D.

方向5、切线的条数问题

【对点训练32】（2024•河北-高三校联考阶段练习）若过点（见〃）可以作曲线y=log”

的两条切线，则（）

A.m>log,nB.n>log?mC.m<log,nD.n<log,m

【答案】B

【解析】作出函数V=log?x的图象，由图象可知点（〃"力在函数图象上方时，过此点可以

作曲线的两条切线,

所以〃>log”，,

【对点训练33］（2024•全国•高三专题练习）若过点（，，〃）可以作曲线），=】nx的两条切

线，则（）

A.a<\nbB.b<\naC.Inb<aD.\na<b

【答案】D

【解析】

-lnx=—(x-x),又切线过点

x00

(a,b),则力一］n.%=---/?+l=lnx0+—,

X。小

设〃x)=lnx+q,函数定义域是(0,一函则直线y"+l与曲线/(x)=lnx+g有两个不同

XX

的交点，，(用=,一二二三，

XX-X-

当aWO时，r*)>0恒成立，f。)在定义域内单调递增，不合题意；当a〉0时，

0<x<〃时，/V)<0,f(x)单调递减，

时，/(%)>0,/")单调递增，所以/(x)min=/(〃)=lna+l,结合图像知

Z?+l〉In。+1,即b>ln。.

故选：D.

【对点训练34】(2024•湖南•校联考二模)若经过点(4〃)可以且仅可以作曲线丁=1联的

一条切线，则下列选项正确的是()

A.a<0B.b=In67C.a=\nbD.或/?=ln。

【答案】D

【解析】设切点尸(如1列).因为y=lnx,所以析=L

X

所以点P处的切线方程为了-1叫)=’(4-小)，

又因为切线经过点(。㈤，所以〃-瓜％=，("•%),UP^+l=lnA0+—.

Aoxo

令/(x)=lnx+@a>0),则y=〃+l与/(x)=ln_r+@(x>o)有且仅有1个交点，

XX

小―=呼,

''XFX2

当时，/彳勾>0恒成立，所以单调递增，显然X-+8时，/(X)TKO,于是符

合题意；

当。>0时，当0cxe。时，r(x)<0,/J)递减，当工>。时，/J)递增，所

以/⑴…=/(〃)=松+1,

则1=Ina+1,即b=Ina.

综上，a<O^b=\na.

故选：D

方向6、切线平行、垂直、重合问题

【对点训练35］（2024•全国•高三专题练习）若函数/（x）=lnx+x与g（x）=--的图