湖北十堰市普通高中2025-2026学年下学期期末评价高二数学试卷（试卷+解析）

2025-2026学年度下学期高二年级期末评价

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设等比数列｛勺｝的前〃项和为S”，若%=4,§3=12,则公比g（）

1-I,、

A.2B.一一C.1或一一D.2或一1

22

2.曲线/（x）=Y—31nx在点处的切线方程为（）

A.y=-x+2B.y=x-2C.y=-x-2D.y=x+2

3.某医院有3名医生和5名护士，现从中随机选派2人参加一次社区义诊活动，则选出的2人中至少有I

名医生的选法共有（）

A.15种B.18种C.21种D.25种

4.在二项式的展开式中，常数项为（）

A.-160B.-60C.60D.160

5.已知某地区人群中某种疾病的发病率为0.02,现有一种检测方法：患病者检测呈阳性的概率为0.98,未

患病者检测呈阳性的概率为0.03.若在该地区随机抽取一人进行检测，结果呈阳性，则此人实际患病的概

率约为（）

A.0.25B.0.4C.0.5D.0.6

6.为了调查高二学生的选科意向与性别是否有关，随机调查了200名学生，得到如下2x2列联表：

选物理选历史合计

男生8030110

女生405090

合计12080200

附表:

尸（士认）0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

根据表中数据，得到的结论是()

A.有95%的把握认为选科意向与性别无关

B.有95%的把握认为选科意向与性别有关

C.有99%的把握认为选科意向与性别无关

D.有99%的把握认为选科意向与性别有关

7.已知数列｛4｝(非常数列)前〃项和为S“，［显|为等差数列，〃eN"且S?+l,S3+I,

5+1成等比数列，则Si。的值为()

A.-10B.80C.81D.90

2

8.设函数/(x)=(em-a)ln(x-〃)，若/")20恒成立，则里一〃的最小值为()

13「57

A.-B.—C.—D.一

2222

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设等差数列｛〃”｝的前“项和为S"，公差为d,则下列命题中正确的是()

A.若S&=%，则d<0B,若&=0,则％=。

C.若工人,则S5>S6D.若S3=S6，则59=0

10.已知随机变量X~8(〃,〃)，且E(X)=2,D(X)=l,则下列说法正确的是()

A.〃=4B.〃=0.5C.P(X=l)=0.2D.P(X<l)=0.5

11.已知函数/(x)的定义域为R.若函数/(2x—3)的图像关于点(2,1)对称，

f(3+x)+f(3-x)=10,令g(+)=/(i)-2x,则()

A./(3)=5B.〃X+4)=/3

C./(力的图像关于点(1,1)对称D.g(x)=g(x+4)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知离散型随机变量X的分布列为

且E（X）=2,则O（X）=.

13.已知函数/（x）=V-3x的图象与直线丁二。有三个不同的交点，则。的取值范围是.

14.将编号为1,2,3,4,5的5个小球放入编号为1,2,3,4,5的5个盒子中，每个盒子放

入1个小球，则恰好有2个小球的编号与盒子编号相同的放法共有一种.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知数列｛〃"｝满足q=旬=+1.

（1）求｛4｝的通项公式;

⑵设Z=log2（%+1），求数列的前〃项和s”.

16.某工厂生产一批零件，其质量指标X服从正态分布N（100,b2）现从该批零件中随机抽取9件，测得

它们的质量指标分别为：97,103,97,103,100,100,100,100,100（单位：分）.

（1）求样本均值亍和样本方差,/；

（2）若以样本均值作为〃的估计值，以样本方差作为人的估计值，估计该批零件质量指标在（96104）内

的概率.

（附：若Z~N（0,l）,则「（|Z|<2）*0.9545,P（|Z|<1）«0,6827）

17.某奶茶店为了研究日销售额V（单位：百元）与平均气温x（单位：C）之间的关系，统计了连续5天

的数据，如下表：

.V1214161820

y2529323440

（1）求>关于X的线性回归方程夕二八+4：

（2）若某日的平均气温为22。。，根据回归方程预测该日的销售额；

（3）计算样本相关系数一（精确到0.01）,并判断销售额与平均气温的相关程度.

（附：V35«5.92）

£(—)(y-刃

(参考公式：，；二『-----------

£(西-宁交＞-君2Z（y-»

/=|

18.甲、乙两人进行投篮比赛，规则如下：甲先投，每轮每人各投一次，先投中者获胜并结束比赛；若两

人均未投中，则进入下一轮，直至有人投中.己知甲每轮投中的概率为P,乙每轮投中的概率为4,且每轮

结果相互独立，。<〃，q<\.

(1)求甲在第一轮获胜的概率；

(2)设比赛共进行了X轮(即第X轮有人投中，且前X—1轮均无人投中)，求X的分布列和数学期

望E(X)；

(3)若p=0.6,q=OA,求甲最终获胜的概率.

19已知函数〃x)=Inx—依+1R)

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若/(另《。对任意x>0恒成立，求实数。的取值范围;

(3)求证：当〃£N*时，ln(〃+l)vl+'+L+…

v723n

2025-2026学年度下学期高二年级期末评价

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.设等比数列｛6｝的前〃项和为S”，若%=4,§3=12,则公比g()

1-I,、

A.2B.一一C.1或一一D.2或一1

22

【答案】C

【解析】

【详解】若4=1,则S3=3%=12,q=4,%=4符合；

4

若#1,则%=4=%/?，解得

q

6/|(1)

S3=-^=12,代入q=W，

i-qq-

4(1

得到『,二]2,即得4(l_/)=12d(l-q)

i-q

即(l_q)(2/_q_l)=0,因qwl,则得2/_q_]=(),

解得q=-;.

综上可得，9=1或一」.

2

2.曲线/(x)=Y—在点(1./。))处的切线方程为()

A.y=-x+2B.y=x-2C.y=-x-2D.y=x+2

【答案】A

【解析】

【分析】由导数的几何意义可得切线斜率，再由直线的点斜式方程即可得解.

3

【详解】由/(司=/-311=>/”(可=2式一一，

所以曲线/(x)=f-31nx在点刀=1处的切线的斜率为广(1)=—1,而/(l)=l-31nl=l,

因此切线方程为y-l=(-l)-(x-l)=>y=—x+2.

3.某医院有3名医生和5名护士，现从中随机选派2人参加一次社区义诊活动，则选出的2人中至少有1

名医生的选法共有（）

A.15种B.18种C.21种D.25种

【答案】B

【解析】

【分析】采用直接法或间接法，结合组合知识求解即可.

【详解】方法一：总选法C；=28,全护士C；=10,故至少有I名医生的选法28-10=18.

方法二：至少有1名医生的选法C；C；+C；=3x5+3=18.

4.在二项式（工-；）6的展开式中，常数项为（）

x~

A.-160B.-60C.60D.160

【答案】C

【解析】

2r

【详解】通项Tr+l=C"6T•（-2丫x-=晨（-2//如，

令6—3r=0得r=2,常数项C；・4=60.

5.已知某地区人群中某种疾病的发病率为0.02,现有•种检测方法：患病者检测呈阳性的概率为0.98,未

患病者检测呈阳性的概率为003.若在该地区随机抽取一人进行检测，结果呈阳性，则此人实际患病的概

率约为（）

A.0.25B.0.4C.0.5D.0.6

【答案】B

【解析】

【分析】用贝叶斯公式求解，先明确患病、未患病、阳性三类事件的基础概率与条件阳性概率，算出患病且

阳性的分子、全体阳性人群的分母，两者相除得到阳性前提下真实患病的概率.

【详解】设事件A为“实际患病”，事件3为“检测结果呈阳性”，

P（A）=0.02,P（A）=1-0.02=0.98,P（B|A）=0.98,P（5同=0.03,

所以P（AI8）=P（"）尸胡力=°必。98=04

P（A）P（叫A）+P⑷尸伍区）0.02x0.98+0.98x0.03

6.为了调查高二学生的选科意向与性别是否有关，随机调查了200名学生，得到如下2x2列联表：

选物理选历史合计

男生8030110

女生405090

合计12080200

附表:

产（七次）0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

根据表中数据，得到的结论是（）

A.有95%的把握认为选科意向与性别无关

B.有95%的把握认为选科意向与性别有关

C.有99%的把握认为选科意向与性别无关

D.有99%的把握认为选科意向与性别有关

【答案】D

【解析】

【分析】计算卡方，根据独立性检验即可求解

【详解】零假设"。为选科意向与性别无关，

,200(80x50-30x40)

Z110x90x120x80到6.5>6.635,

故有99%把握选科意向与性别有关.

S

7.已知数列｛4｝（非常数列）前”项和为S“，J请为等差数列，q=7,且S?+l,S3+I,

S5+I成等比数列，则S10的值为（）

A.-10B.80C.8ID.90

【答案】B

【解析】

s

【分析】由题意可得数列1卜的首项为—1,设其公差为〃，由S2+1,S3+1,S5+1成等比数列和数列

n

{q}(非常数列)，求得d=i,从而得S”=1-2〃，再将〃=10代入求解即可.

s

【详解】因为为等差数列，4=-1,

n

所以数列的首项为-1,设其公差为d,

n

S

则，•二一1+(〃-1”,

n

所以S“=-n+n(n-\)d,

所以S2+l=2d-1,S3+l=6J-2,S5+l=20J-4,

又因为S2+I,S3+l,邑+1成等比数列，

所以(S3+1)2=02+l)(Ss+l),

即(6d-2尸=(2d—1)(204-4).

解得d=0或d=i,

当d=0时，S“=一〃，

当〃22,〃wN“时，S〃T=-(/?-1),

所以/=s“-s1T=-1,为常数数列，不满足题意，故舍去；

2

当d=i时，Slt=-n+n(n-1)=M-27:,

当〃之2,”wN*时，S“_]=(〃-if一2(〃一1),

所以凡二邑-5-=2〃-3,不是常数数列，满足题意，

所以d=l,

所以S”=〃2-2%

所以S[o=l()2-2x10=80.

2

8.设函数/("=(1"-a)ln(x-〃)，若/(x)N0恒成立，则今一/7的最小值为()

【答案】C

【解析】

2

【分析】先根据ln(x-b)与在相同区间的符号相同，可得4,。的关系，再将B-8写成关于。的函

数，利用导数分析函数的单调性，求其最小值.

【详解】由ln(x-〃)之0=>X-/)21=>工之。+1；由ln(x-〃)<0=>〃<x</?+].

若〃WO,则已川一〃之()恒成立，则(巳㈤一。)111(不一与20在(〃/+1)上不成立.

若〃>0,由已川一=x+121na=xNlna-l；由v(J=x<lna-1.

由(e'"-4)ln(x-〃)20恒成立，可得：b+\=\na-\b=\na-2.

所以土—huY-Inq+Z,a>0.

22

2

设g(〃)=g-lno+2,a>0.

则g'(a)=〃=——-♦a>0.

aa

，/、[«>0，/、

由？(4)>0=><。2]>0n〃>1；由g(a)〈0n0<a<L

所以g(〃)在(0,1)上单调递减,在(L中功上单调递增.

所以g(。)的最小值为：^(l)=^-lnl+2=|.

22

即工一人的最小值为2.

22

故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设等差数列｛〃”｝的前〃项和为S〃，公差为d,则下列命题中正确的是()

A.若S,nSg,则d<0B.若S,=0,则6=0

C.若§4〉§6,则S5>S6D.若S3=S(,,则§9=0

【答案】BD

【解析】

【详解】等差数列伍”｝的前〃项和为s〃，公差为d,

A选项：若S4=S§,则%+4+%+%=。，即2(%+卬)=0，。5=一仆，d不一定为负,可能d=0

且〃5=0,故A错；

B选项：S5=56=。=>。3=°，故B正确；

C选项：S4>S6n6+。6<0,不能判断〃6的正负，即S5-S6=-&无法判断正负，故C错；

D选项：S3=S6=>+rz6=0=>3a5=0=>a5=0,则S9=9%=0,故D正确.

10.已知随机变量X~3(〃,p),且顼X)=2,D(X)=1,则下列说法正确的是()

A.〃=4B,p=0.5C.P(X=l)=0.2D.P(X<l)=0.5

【答案】AB

【解析】

【详解】由E(X)="〃=2,O(X)=〃〃(1-〃)=1,联立解得〃=0.5,,i=4,A,B正确；

p(X=l)=C；(0.5)4=0.25wD.2,C错误；

P(X<l)=P(X=O)+P(X=l),

P(X=())=C：-(O.5)°-(l-O.5)4°=0.0625,尸(X=1)=0.25,

则P(X<1)=0.25+0.0625=0.3125w0.5,D错误.

11.已知函数f(x)的定义域为R.若函数〃2工一3)的图像关于点(2,1)对称,

/(3+x)+/(3-x)=10,令g(x)=〃x)-2x,则()

A./⑶=5B./(x+4)=/(x)

C.7(x)的图像关于点(1,1)对称D.g(x)=g(x+4)

【答案】ACD

【解析】

【分析】令x=0,代入/(3+x)+/(3-x)=3即可判断选项A；利用函数〃力关于点(9)对称，则

/(4+x)+/(a-x)=2Z;的关系，进行赋值，结合周期函数的定义，即可判断选项B,C,D.

【详解】解：由/(3+x)+/(3—x)=10,令x=0,则”3)+〃3)=10,

所以/(3)=5,A正确；

由函数/(2x—3)的图像关于点(21)对称，令，=21一3,当工=2时，t=],

所以的图像关于(1,1)对称，即/(X)的图像关于点(1/)对称，C正确；

由/(3+力+/(3-司=1。，用工+1替换x得/(4+力+/(2-力=10①,

又/(x)的图像关于点(1』)对称，则/(1+力+/(1-工)=2,

用工一1替换上得/(X)+〃2T)=2②，

①-②得/(4+x)-/("=8,所以/(4+x)=/(x)+8,B错误；

由g(x)=/(x)-2x,则g(x+4)=/(x+4)-2(x+4),

由上可知/(4+x)=/(x)+8,

所以g(x+4)=/(x)+8-2(x+4)=/(x)-2x=g(x),D正确.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知离散型随机变量X的分布列为

且E(X)=2,则。")=.

【答案】|

3

【解析】

【分析】首先利用分布列的性质和数学期望的公式列方程求出入利用方差的公式求解o(x).

【详解】由分布列的性质可知。+,+8=1,a+b=-,

33

14

由期望公式可得E(X)=lx〃+2x§+3x/?=2,即a+3Z;=§,

所以4=1,Z?=-,

33

故。(X)=(l—2)2xg+(2—2『xg+(3—2)2、：二：

13.已知函数/(工)=/一3工的图象与直线丁=。有三个不同的交点，则。的取值范围是.

【答案】（-2,2）

【解析】

【分析】

【详解】令/"（x）=3/-3=0,得工=±1,

可得极大值为/（-1）=2,极小值为/⑴二-2.

y=/（元）的大致图象如图所示，观察图象，得当一2＜。＜2时伶有三个不同的交点.

14.将编号为I,2,3,4,5的5个小球放入编号为1,2,3,4,5的5个盒子中，每个盒子放

入1个小球，则恰好有2个小球的编号与盒子编号相同的放法共有一种.

【答案】20

【解析】

【详解】第一步，从5个盒子中选出2个盒子，使其小球编号与盒子编号相同：C；=10；

第二步，剩余3个盒子与3个小球，编号全错位（错排），有2种放法；

由分步乘法，总数为10x2=20.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知数列｛〃"｝满足％=1,4+1=2〃“+1.

（1）求｛q｝的通项公式；

（2）设a=log,（%+l），求数列，丁:|的前几项和S“.

【答案】（1）〃“二2”-1；

⑵5=—.

【解析】

【分析】（1）根据已知递推式得%+|+1=2（4+1）,再由等比数列的定义写出通项公式；

11

（2）由（1）及已知得厂「二一^一百，再应用裂项相消法求和.

【小问1详解】

由%+1=2。“+1,则4H[+1=2（4+1）,而q+1=2,

所以｛4+1｝是首项、公比均为2的等比数列，则%+1=2",

所以《=2”-1；

【小问2详解】

,f

由（1）bn=log2（a„+1）=log2（2）=w,

1111

所以一=-；—八二-------

。也+i〃（〃+l）n〃+l

所以白卜】--4=｛r

kk+\Jn-\77+1

16.某工厂生产一批零件，其质量指标X服从正态分布N（100,b2）.现从该批零件中随机抽取9件，测得

它们的质量指标分别为:97,103,97,103J00J00,100,100,100（单位：分）.

（1）求样本均值万和样本方差$2；

（2）若以样本均值作为〃的估计值，以样本方差作为/的估计值，估计该批零件质量指标在（96,104）内

的概率.

（附:若Z~N（0,l）,则P（|Z[<2）a0.9545,P（|z|<1）«0.6827）

【答案】（1）1=100,52=4

（2）0.9545

【解析】

【分析1（1）先代入9组样本数据求和除以样本容量算出样本均值工=100,再计算每组数据与均值差值的

平方和，除以样本容量9得到保留两位小数的样本方差/=4；

（2）方法一:观察区间（96,104）距均值的距离近似为20,直接套用附给的P（0<2卜0.9545快速估算概

率；

方法二:先保留精确分布参数.通过标准化变换将所求概率转化为标准正态分布区间概率，算出分界值略大于

2,再结合附表近似得到结果.

【小问1详解】

_97+103+97+103+KX)+100+1(X)+1(X)+100⑺八

x=---------------------------------------------------------------------=100,

9

9=1^(97-100)2+(103-100)2++(100-100)2]

36

计算得各偏差平方和为9+9+9+9+0+0+0+0+0=36,故『二§二4.

【小问2详解】

方法一：

由题意，估计X〜7V(1OO,4)，则=2

因为区间(96,104)即(100—2x2,100+2x2)可近似看作(〃一2(7,〃+2。)，

尸(96<X<104)=P(|Z|<2卜().9545

方法二：

由题意，取〃=亍=100,^2=4,则。=2,即X〜N(100,4).

标准化变换〜N(0,l)P(96<XvlO4)=pj^^<Zv^^]=P(-2<Z<2).

(J122J

结合题干给出P(lZ|<2)«0.9545,可估计该批零件质量指标落在(96,104)内的概率约为0.9545.

17.某奶茶店为了研究日销售额》(单位：百元)与平均气温x(单位：°C)之间的关系，统计了连续5天

的数据，如下表：

X1214161820

y2529323440

(1)求)'关于x的线性回归方程»=凉+4；

(2)若某日的平均气温为22。。，根据回归方程预测该日的销售额；

(3)计算样本相关系数，•(精确到0.01),并判断销售额与平均气温的相关程度.

(附：V35«5.92)

£(—)(y-刃

(参考公式：，；二『-----------

£(西-宁交＞-君2Z(y-»

/=|

【答案】(1)y=\.75x+4

(2)4250元(3)r«0.99,正相关

【解析】

【分析】(1)先计算元歹，进而计算/；,右,即可求解;

(2)根据(1)当x=22时，计算》即可求解；

(3)根据相关系数〃的公式计算即可.

【小问1详解】

由题意得：r=i(l2+14+16+1X+20)=16,y=1(25+20+32+34+40)=32,

5

222

计算Z(xi-x)=(-4)2+(-2＞+0+2+4=40,

i=l

5

Z(3-5)(y,—y)=(—4)x(—7)+(—2)x(—3)+0x0+2x2+4x8=28+6+0+4+32=70,

f-i

-70人

故。=一=1.75,。=9—^=32—1.75x16=4,

40

所以回归方程为»=L75x+4；

【小问2详解】

当x=22时，＞'=1.75x22+4=42.5(百元)，

所以预测该日的销售额为4250元；

【小问3详解】

由题意得：次(乂-JO?=(-7)2+(-3)2+02+22+82=49+9+0+4+64=126,

/=1

70_70

—^^0.99,

740x126-1273571.04

表明销售额与平均气温高度正相关.

18.甲、乙两人进行投篮比赛，规则如下：甲先投，每轮每人各投一次，先投中者获胜并结束比赛；若两

人均未投中，则进入下一轮，直至有人投中.已知甲每轮投中的概率为P,乙每轮投中的概率为夕，且每轮

结果相互独立，Ov〃，q<\.

（1）求甲在第一轮获胜的概率；

（2）设比赛共进行了X轮（即第X轮有人投中，且前X-1轮均无人投中），求X的分布列和数学期

望E（X）；

（3）若〃=0.6,q=0.4,求甲最终获胜的概率.

【答案】（1）P

（2）X的分布列P（X=2）=［（l-〃）（l-q）］iW-（l-p）（l-g）］M=l,2,3,•,

E（x）=—!—

p+q-pq

（3）P=—

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【解析】

【分析】（1）甲首轮获胜只需首次投篮命中，独立事件直接得概率〃；

（2）X表示比赛轮数，前左-1轮两人全未投中、第4轮有人投中，符合几何分布，利用几何分布期望公式

化简求出E（X）；

（3）甲获胜为无穷互斥事件，以每轮两人均未命中的概率为公比构造无穷等比级数求和，代入数值算出最

终概率.

【小问1详解】

甲在第一轮获胜只需第一轮甲投中，所以概率为

【小问2详解】

每轮两人均未投中的概率为（1-p）（l-幻，则

产（X=%）=［（1-〃）（1-幻］1•U一（1一”）（1一/］,攵=1,2,3,…

即X服从参数为1一（1一〃）（1一切的几何分布，

故E（X）=------!------=——-——.

1一（1一〃）（1一夕）p+q-pq

【小问3详解】

甲最终获胜的事件可以在第Z轮甲投中，旦前（2-1）轮均无人投中：

甲获胜的概率p=£c(i-〃)(1一夕)]J।「P”~~-=——

y1-(1-p)(l-^)p+q-pq

0.60.6_15

代入〃=0.6,q=0.4,得产二~