2025-2026年陕西省人教版高一数学必修第十六册数列综合练习题

2025-2026年陕西省人教版高一数学必修第十六册数列综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A为6n-3=3(2n-1)，与通项公式不符；选项B为2n+1，不符合等差性质；选项C为3n，不符合首项和公差；选项D为4n-1，不符合通项公式。正确答案为A。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1。当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时成立，故b_n=2^{n-1}，b_4=2^3=8。正确答案为A。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_10的值为（）A.55B.90C.100D.120解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，可得c_2=c_1+2×1=3，c_3=c_2+2×2=7，c_4=c_3+2×3=13，观察发现c_n-c_{n-1}=2(n-1)，累加可得c_n=c_1+2(1+2+…+(n-1))=1+2×n(n-1)/2=n^2-n+1，故c_10=10^2-10+1=91。正确答案为A。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=±3。选项A为3，选项C为-3，均符合条件。需进一步验证d_1，当q=3时d_1=6/3=2，d_4=2×3^3=54成立；当q=-3时d_1=-2，d_4=-2×(-3)^3=-54不成立。正确答案为A。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.12C.15D.18解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2。当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_n=2n，e_3=2×3=6。正确答案为A。6.若数列{f_n}的前n项和U_n=3^n-1，则f_5的值为（）A.242B.243C.244D.245解析：由数列前n项和与通项关系f_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时f_1=U_1=2。当n≥2时f_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=3^n-3^{n-1}=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故f_n=2×3^{n-1}，f_5=2×3^4=162。正确答案为A。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则该数列的公差d等于（）A.1B.2C.3D.4解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3=3a_2=12，a_4+a_5+a_6=3a_5=18，可得a_5=6，a_2=4，故公差d=a_5-a_2=6-4=2。正确答案为B。8.若数列{h_n}满足h_1=2，h_{n+1}=2h_n+n，则h_6的值为（）A.112B.113C.114D.115解析：由递推关系h_{n+1}=2h_n+n，可得h_2=2×2+1=5，h_3=2×5+2=12，h_4=2×12+3=27，观察发现h_n=2^n+n(n-1)/2，累加验证成立，故h_6=2^6+6×5/2=64+15=79。正确答案为A。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=1，i_3=8，则该数列的前5项和S_5等于（）A.31B.63C.127D.255解析：由等比数列通项公式i_n=i_1q^{n-1}，代入i_1=1，i_3=8可得q^2=8，解得q=2√2。前5项和S_5=1×(1-2^5)/(1-2√2)=31。正确答案为A。10.已知数列{j_n}的前n项和V_n=n(n+1)/2，则j_4的值为（）A.10B.11C.12D.13解析：由数列前n项和与通项关系j_n=V_n-V_{n-1}（n≥2），当n=1时j_1=V_1=1。当n≥2时j_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n-1，验证n=1时成立，故j_n=2n-1，j_4=2×4-1=7。正确答案为A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式a_n=_________。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，两式相减得5d=15，解得d=3，a_1=10-4×3=2，故a_n=2+3(n-1)=3n-1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_6=_________。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1。当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时成立，故b_n=2^{n-1}，b_6=2^5=32。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+3n，则c_7=_________。解：由递推关系c_{n+1}=c_n+3n，可得c_2=c_1+3×1=5，c_3=c_2+3×2=11，观察发现c_n-c_{n-1}=3(n-1)，累加可得c_n=c_1+3(1+2+…+(n-1))=2+3×n(n-1)/2=3n^2-n/2，故c_7=3×7^2-7/2=147-7/2=140.5。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_4=16，则该数列的公比q=_________。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=4，d_4=d_1q^3=16，两式相除得q^2=4，解得q=±2。需进一步验证d_1，当q=2时d_1=4/2=2，d_4=2×2^3=16成立；当q=-2时d_1=-4/2=-2，d_4=-2×(-2)^3=-16不成立。故q=2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_5=_________。解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2。当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_n=2n，e_5=2×5=10。6.若数列{f_n}的前n项和U_n=3^n-1，则f_3=_________。解：由数列前n项和与通项关系f_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时f_1=U_1=2。当n≥2时f_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故f_n=2×3^{n-1}，f_3=2×3^2=18。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3=_________。解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5。8.若数列{h_n}满足h_1=1，h_{n+1}=h_n+2n，则h_8=_________。解：由递推关系h_{n+1}=h_n+2n，可得h_2=h_1+2×1=3，h_3=h_2+2×2=7，观察发现h_n=n^2-1，累加验证成立，故h_8=8^2-1=63。9.在等比数列{i_n}中，若i_1=2，i_3=16，则该数列的前4项和S_4=_________。解：由等比数列通项公式i_n=i_1q^{n-1}，代入i_1=2，i_3=16可得q^2=8，解得q=2√2。前4项和S_4=2×(1-2^4)/(1-2√2)=30。10.已知数列{j_n}的前n项和V_n=n(n+1)/2，则j_6=_________。解：由数列前n项和与通项关系j_n=V_n-V_{n-1}（n≥2），当n=1时j_1=V_1=1。当n≥2时j_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n-1，验证n=1时成立，故j_n=2n-1，j_6=2×6-1=11。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则该数列是等差数列。（）解：由数列前n项和与通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时a_1=S_1=5。当n≥2时a_n=2n^2+3n-(2(n-1)^2+3(n-1))=4n+1，验证n=1时成立，故a_n=4n+1，该数列的公差为4，是等差数列。正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=1，b_4=16，则该数列的公比q=±2。（）解：由等比数列通项公式b_n=b_1q^{n-1}，代入b_1=1，b_4=16可得q^3=16，解得q=2或q=-2。正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+n，则该数列的前5项和为55。（）解：由递推关系c_{n+1}=2c_n+n，可得c_2=2×1+1=3，c_3=2×3+2=8，观察发现c_n=2^n-n+1，累加可得S_5=31。错误。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，a_4+a_5+a_6=18，则该数列的公差为2。（）解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3=3a_2=12，a_4+a_5+a_6=3a_5=18，可得a_5=6，a_2=4，故公差d=a_5-a_2=2。正确。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_n=2n。（）解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2。当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_n=2n。正确。6.在等比数列{f_n}中，若f_2=6，f_4=54，则该数列的公比q=3。（）解：由等比数列通项公式f_n=f_1q^{n-1}，代入f_2=f_1q=6，f_4=f_1q^3=54，两式相除得q^2=9，解得q=3。正确。7.若数列{g_n}的前n项和U_n=2^n-1，则g_n=2^{n-1}。（）解：由数列前n项和与通项关系g_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时g_1=U_1=1。当n≥2时g_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时成立，故g_n=2^{n-1}。正确。8.在等差数列{h_n}中，若h_1+h_2+h_3=9，h_4+h_5+h_6=15，则该数列的公差为2。（）解：由等差数列性质h_1+h_2+h_3=3h_2=9，h_4+h_5+h_6=3h_5=15，可得h_5=5，h_2=3，故公差d=h_5-h_2=2。正确。9.若数列{i_n}满足i_1=2，i_{n+1}=i_n+2n，则i_6=20。（）解：由递推关系i_{n+1}=i_n+2n，可得i_2=i_1+2×1=4，i_3=i_2+2×2=8，观察发现i_n=n(n+1)，故i_6=6×7=42。错误。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=3，j_3=27，则该数列的前5项和S_5=120。（）解：由等比数列通项公式j_n=j_1q^{n-1}，代入j_1=3，j_3=27可得q^2=9，解得q=3。前5项和S_5=3×(1-3^5)/(1-3)=120。正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知数列{a_n}的前n项和S_n=3n^2-2n，求该数列的通项公式a_n。解：当n=1时a_1=S_1=1。当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5，验证n=1时成立，故a_n=6n-5。2.在等差数列{b_n}中，若a_1=5，a_4=13，求该数列的前10项和S_10。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_4=13可得13=5+3d，解得d=3/2，故a_n=5+(n-1)×3/2=3/2n+7/2，前10项和S_10=10×(5+3/2×10+7/2)/2=275。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=2c_n+n，求该数列的前5项。解：由递推关系c_{n+1}=2c_n+n，可得c_2=2×1+1=3，c_3=2×3+2=8，c_4=2×8+3=19，c_5=2×19+4=42。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=4，d_4=16，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=4，d_4=d_1q^3=16，两式相除得q^2=4，解得q=±2。需进一步验证d_1，当q=2时d_1=4/2=2，d_4=2×2^3=16成立；当q=-2时d_1=-4/2=-2，d_4=-2×(-2)^3=-16不成立。故q=2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，求该数列的通项公式a_n。解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=1。当n≥2时e_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n-1，验证n=1时成立，故e_n=2n-1。6.在等差数列{f_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，求该数列的公差d。解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5，又a_3=a_1+2d，故a_1=5-2d，无法确定d的具体值。7.若数列{g_n}的前n项和U_n=2^n-1，求该数列的前4项和S_4。解：由数列前n项和与通项关系g_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时g_1=U_1=1。当n≥2时g_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}，验证n=1时成立，故g_n=2^{n-1}，前4项和S_4=1+2+4+8=15。8.在等比数列{i_n}中，若i_1=2，i_3=16，求该数列的前3项和S_3。解：由等比数列通项公式i_n=i_1q^{n-1}，代入i_1=2，i_3=16可得q^2=8，解得q=2√2，前3项和S_3=2×(1-2^3)/(1-2√2)=6。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年生产设备数量为10台，以后每年比前一年多生产5台，求第10年生产设备数量。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=10，d=5，n=10，可得a_{10}=10+9×5=55台。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年人口数量。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.1，n=5，可得a_5=100×1.1^4≈133.1万。3.某企业投资回报率为每年20%，已知第一年投资为100万元，求第5年投资总额。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.2，n=5，可得a_5=100×1.2^4≈248.83万元。4.某学校图书馆藏书量每年增加200本，已知2020年藏书量为5000本，求2025年藏书量。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5000，d=200，n=5，可得a_5=5000+4×200=5800本。5.某产品价格每年上涨5%，已知2020年价格为100元，求2024年价格。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.05，n=4，可得a_4=100×1.05^3≈115.76元。6.某工厂生产效率每年提高10%，已知2020年生产效率为100件/天，求2023年生产效率。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100，q=1.1，n=3，可得a_3=100×1.1^2=121件/天。7.某城市道路长度每年增加2公里，已知2020年道路长度为100公里，求2026年道路长度。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=100，d=2，n=6，可得a_6=100+5×2=110公里。8.某企业员工工资每年上涨8%，已知2020年工资为5000元，求2025年工资。解：由等比数列通项公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=5000，q=1.08，n=5，可得a_5=5000×1.08^4≈7346.55元。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.A5.A6.A7.B8.A9.A10.A二、填空题1.3n-12.323.140.54.25.106.187.58.639.3010.11三、判断题1.√2.√3.×4.√5.√6.√7.√8.√9.×10.√四、简答题1.解：当n=1时a_1=S_1=1。当n≥2时a_n=S_n-S_{n-1}=3n^2-2n-[3(n-1)^2-2(n-1)]=6n-5，验证n=1时成立，故a_n=6n-5。2.解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_4=13可得13=5+3d，解得d=3/2，故a_n=5+(n-1)×3/2=3/2n+7/2，前10项和S_10=10×(5+3/2×10+7/2)/2=275。3.解：由递推关系c_{n+1}=2c_n+n，可得c_2=2×1+1=3，c_3=2×3+2=8，c_4=2×8+3=19，c_5=2×19+4=42。4.解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=4，d_4=d_1q^3=16，两式相除得q^2=4，解得q=±2。需进一步验证d_1，当q=2时d_1=4/2=2，d_4=2×2^3=16成立；当q=-2时d_1=-4/2=-2，d_4=-2×(-2)^3=-16不成立。故q=2。5.解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=1。当n≥2时e_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n