2025-2026年四川省人教版高三数学第二十七章数列与函数综合练习题

2025-2026年四川省人教版高三数学第二十七章数列与函数综合练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.3nC.6n+3D.3n-6解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.若数列{b_n}满足b_1=1，b_n+1=b_n+2n（n≥1），则b_10的值为（）A.191B.192C.193D.194解析：由递推关系b_n+1=b_n+2n，可得b_n=b_1+2(1+2+…+n)=1+2×n(n+1)/2=n(n+1)+1，故b_10=10×11+1=111。选项B正确。3.函数f(x)=log_2(x^2-2x+3)在区间[1,3]上的最小值是（）A.-1B.0C.1D.2解析：令t=x^2-2x+3=(x-1)^2+2，则t在[1,3]上取值范围是[2,6]，故f(x)=log_2(t)在[2,6]上单调递增，最小值为log_2(2)=1。选项C正确。4.已知函数g(x)=2^x-ax在x=1处取得极值，则a的值为（）A.2B.3C.4D.5解析：g'(x)=2^xln2-a，由题意g'(1)=2ln2-a=0，解得a=2ln2≈2.885，但选项中无此值，重新检查题意发现应为g'(1)=0，即2ln2-a=0，解得a=2ln2≈2.885，选项中最接近的是A。5.若数列{c_n}的前n项和S_n=2^n-n，则c_5的值为（）A.16B.32C.48D.64解析：由S_n=2^n-n，可得c_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，故c_5=2^4-1=15。选项A正确。6.函数h(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,2]上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4解析：h'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令h'(x)=0得x=0或x=2，h(-2)=-16，h(0)=2，h(2)=0，由零点判定定理，函数在[-2,0]和[0,2]上各有一个零点。选项B正确。7.已知等比数列{d_n}的前n项和为81，公比为2，则首项d_1的值为（）A.27B.32C.36D.40解析：由等比数列前n项和公式S_n=d_1(1-q^n)/(1-q)，代入S_n=81，q=2，可得81=d_1(1-2^n)/(1-2)，解得d_1=81×(-1)/(2^n-1)，当n=4时，d_1=81×(-1)/15=36。选项C正确。8.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值是（）A.1B.2C.3D.4解析：f(x)表示数轴上点x到1和-2的距离之和，当x=-2时，f(x)取得最小值3。选项C正确。9.若函数k(x)=ax^2+bx+c在x=1和x=-1处取得相同函数值，则b的值为（）A.0B.1C.-1D.2解析：由k(1)=k(-1)得a+b+c=a-b+c，解得b=0。选项A正确。10.已知数列{e_n}满足e_1=1，e_n+1=3e_n+2，则e_5的值为（）A.97B.99C.101D.103解析：由递推关系e_n+1=3e_n+2，可得e_n+1+1=3(e_n+1)，即{e_n+1}是首项为2，公比为3的等比数列，故e_n+1=2×3^{n-1}，e_5=2×3^4-1=97。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.等差数列{a_n}中，若a_3+a_7=12，则a_5+a_9=______解：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=6，同理a_5+a_9=2a_7=12，答案为12。2.数列{b_n}的前n项和S_n=3^n-1，则b_4=______解：b_n=S_n-S_{n-1}=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，b_4=2×3^3=54，答案为54。3.函数f(x)=2^x在区间[0,1]上的平均变化率为______解：平均变化率=(f(1)-f(0))/(1-0)=(2-1)/1=1，答案为1。4.若函数g(x)=x^2+px+q在x=-1处取得极小值，则p=______解：g'(x)=2x+p，由g'(-1)=0得-2+p=0，解得p=2，答案为2。5.等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，则c_3=______解：由等比数列性质c_4=c_2q^2，得q^2=54/6=9，故q=3，c_3=c_2q=6×3=18，答案为18。6.函数h(x)=sin(x+π/4)在区间[-π/2,π/2]上的最大值是______解：h(x)在[-π/2,π/2]上取值范围是[-√2/2,√2/2]，最大值为√2/2，答案为√2/2。7.若数列{d_n}满足d_n+1=2d_n-1，且d_1=2，则d_5=______解：由递推关系d_n+1-1=2(d_n-1)，可得{d_n-1}是首项为1，公比为2的等比数列，d_n-1=2^{n-1}，d_5=2^4+1=17，答案为17。8.函数k(x)=x^3-3x在x=1处的切线方程是______解：k'(x)=3x^2-3，k'(1)=0，k(1)=-2，切线方程为y=-2，答案为y=-2。9.已知函数f(x)=log_3(x+1)，则f(2)=______解：f(2)=log_3(2+1)=log_3(3)=1，答案为1。10.数列{e_n}的前n项和S_n=n^2+n，则e_3=______解：e_n=S_n-S_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n，e_3=2×3=6，答案为6。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}是等差数列，则{a_n^2}也是等差数列。（×）解：反例：a_n=n，则a_n^2=n^2，a_{n+1}^2-(a_n^2)=2n+1，不是等差数列。2.函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上单调递增。（√）解：f'(x)=3x^2≥0，函数单调递增。3.若数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-n，则{b_n}是等比数列。（×）解：b_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1，不是等比数列。4.函数g(x)=|x|在x=0处取得极小值。（√）解：g'(x)=-1当x<0，g'(x)=1当x>0，x=0处取得极小值。5.若函数h(x)=ax^2+bx+c在x=1和x=-1处函数值相等，则b=0。（√）解：h(1)=h(-1)得a+b+c=a-b+c，解得b=0。6.数列{c_n}满足c_n+1=c_n+2，则{c_n}是等差数列。（√）解：c_n+1-c_n=2，是等差数列。7.函数k(x)=sin(x)在区间[0,2π]上单调递减。（×）解：k(x)在[0,π]上单调递增，在[π,2π]上单调递减。8.若数列{d_n}是等比数列，则{d_n^2}也是等比数列。（√）解：设公比为q，则(d_{n+1})^2=(d_nq)^2=q^2(d_n^2)，是等比数列。9.函数f(x)=log_a(x)在a>1时单调递增。（√）解：对任意x1<x2，log_a(x2)-log_a(x1)=log_a(x2/x1)>0，单调递增。10.数列{e_n}的前n项和S_n=n^2，则e_n=2n。（×）解：e_n=S_n-S_{n-1}=n^2-[（n-1）^2]=2n-1，不是2n。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求等差数列{a_n}中，若a_1=5，a_5=15，求该数列的通项公式。解：由a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，a_5=15可得15=5+4d，解得d=2.5，故a_n=5+(n-1)×2.5=2.5n+2.5。2.求数列{b_n}的前n项和S_n，若b_n=3n-2。解：S_n=3(1+2+…+n)-2n=3×n(n+1)/2-2n=3n^2/2+n/2，答案为3n^2/2+n/2。3.求函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最大值和最小值。解：f'(x)=2x-4，令f'(x)=0得x=2，f(1)=0，f(2)=-1，f(3)=0，故最大值为0，最小值为-1。4.求函数g(x)=|x-1|+|x+2|的最小值。解：分段函数g(x)={x+3,x<-2；-x-1,-2≤x≤1；x-1,x>1}，当x=-2时取得最小值1。5.求等比数列{c_n}中，若c_1=2，公比q=3，求c_5的值。解：c_n=c_1q^{n-1}，c_5=2×3^4=162。6.求函数h(x)=sin(2x+π/4)在区间[0,π/2]上的零点。解：令sin(2x+π/4)=0，得2x+π/4=kπ，x=kπ/2-π/8，在[0,π/2]上取k=1，x=3π/8。7.求函数k(x)=x^3-3x^2+2的极值点。解：k'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)，令k'(x)=0得x=0或x=2，k''(x)=6x-6，k''(0)=-6<0，k''(2)=6>0，故x=0处取得极大值，x=2处取得极小值。8.求数列{e_n}的前n项和S_n，若e_n=2n-1。解：S_n=2(1+2+…+n)-(n)，S_n=2×n(n+1)/2-n=n^2，答案为n^2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产一种产品，第1年产量为a吨，以后每年比前一年增产10%，求第5年的产量。解：第5年产量=a(1+10%)^4=a×1.1^4≈1.4641a吨。2.某城市人口增长率为每年5%，若当前人口为100万，求5年后的人口数量。解：5年后人口=100万×(1+5%)^5≈127.63万。3.某投资项目的年利率为6%，求5年后的本息和（本金为1万元）。解：本息和=1万×(1+6%)^5≈133.82万。4.某林场种植树木，第1年种植100棵，以后每年比前一年多种植20%，求第4年种植的树木数量。解：第4年种植=100×(1+20%)^3=100×1.2^3≈172.8棵。5.某商品售价为100元，若销售量与价格成反比，当售价为80元时，销售量为100件，求售价为120元时的销售量。解：设销售量为x，100/80=120/x，x=96件。6.某工厂生产一种产品，固定成本为2000元，每件产品成本为50元，售价为80元，求保本销售量。解：保本销售量=2000/(80-50)=50件。7.某城市人口增长率为每年3%，若当前人口为200万，求10年后的人口数量。解：10年后人口=200万×(1+3%)^10≈266.77万。8.某投资项目年收益率为8%，求3年后的本息和（本金为2万元）。解：本息和=2万×(1+8%)^3≈251.97万。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.C4.A5.A6.B7.C8.C9.A10.A二、填空题1.122.543.14.25.186.√2/27