2025-2026年浙江省苏教版高中二年级数学第四章函数练习题

2025-2026年浙江省苏教版高中二年级数学第四章函数练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若f(a)=0，则a的值为（）A.0B.1C.-1D.2解析：由f(a)=0可得ln(a+1)-a=0，即ln(a+1)=a。令g(x)=ln(x+1)-x，分析g(x)的单调性：g′(x)=1/(x+1)-1，令g′(x)=0得x=0，当x∈(-1,0)时g′(x)>0，g(x)递增；当x∈(0,+∞)时g′(x)<0，g(x)递减。又g(0)=0，故ln(a+1)=a的解为a=0。2.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为（）A.1B.2C.3D.4解析：f(x)可分段表示为：当x<-2时f(x)=-2x-1；当-2≤x≤1时f(x)=3；当x>1时f(x)=2x+1。显然f(x)在x=-2或x=1处取得最小值3。3.若函数f(x)=x³-3x+q在x=1处取得极值，则q的值为（）A.-1B.1C.2D.3解析：f′(x)=3x²-3，由f′(1)=0得3-3=0，满足条件。代入f(1)=1³-3×1+q=0，解得q=2。4.函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极小值，则a的取值范围是（）A.(0,1)B.[1,+∞)C.(-∞,0)D.(0,1]解析：f′(x)=e^x-a，由f′(1)=e-a=0得a=e。当x∈(1,+∞)时f′(x)>0，f(x)递增；当x∈(-∞,1)时f′(x)<0，f(x)递减。故x=1处为极小值点，需a=e。5.函数f(x)=√(x²+1)-ln(x+1)在区间(-1,0)上的单调性为（）A.递增B.递减C.先增后减D.无法确定解析：f′(x)=x/(√(x²+1))-(1/(x+1))，令h(x)=x/(√(x²+1))-(1/(x+1))，分析h(x)在(-1,0)上的符号：当x∈(-1,0)时，x/(√(x²+1))∈(-1/√2,0)，1/(x+1)∈(1,1/2)，故h(x)<0，f(x)递减。6.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期为（）A.πB.2πC.3πD.4π解析：T₁=2π/1=2π，T₂=2π/2=π，T=LCM(T₁,T₂)=2π。7.函数f(x)=x/(x²-1)在区间(1,+∞)上的值域为（）A.(0,1/2)B.(1/2,+∞)C.(0,1)D.(0,1/2)∪(1,+∞)解析：f′(x)=-2x/(x²-1)²，当x∈(1,+∞)时f′(x)<0，f(x)递减。又f(2)=2/3，f(x)→0(x→+∞)，值域为(0,2/3)。8.若函数f(x)=x³+px+q在x=1和x=-1处取得相同函数值，则f(2)的值为（）A.4B.5C.6D.7解析：f(1)=1+p+q=f(-1)=-1-p+q，得p=0。f(x)=x³+q，f(2)=8+q。又f(1)=1+q=-1+q，解得q=-1，f(2)=7。9.函数f(x)=e^x/(x+1)在x=0处的切线方程为（）A.y=x+1B.y=xC.y=2x+1D.y=2x解析：f′(x)=e^x(x+1)-e^x/(x+1)²，f′(0)=1，f(0)=1，切线方程为y-1=1(x-0)，即y=x+1。10.函数f(x)=|x-1|•sin(x)在区间(0,2π)上的零点个数为（）A.2B.3C.4D.5解析：零点满足|x-1|=0或sin(x)=0。x=1或x=kπ(k=1,2,3)，共4个零点。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=ln(2x+1)-x在定义域上的最大值为________。参考答案：1/2解析：f′(x)=2/(2x+1)-1=(1-2x)/(2x+1)，令f′(x)=0得x=1/2。当x∈(-1/2,1/2)时f′(x)>0，f(x)递增；当x∈(1/2,+∞)时f′(x)<0，f(x)递减。f(1/2)=ln(2)-1/2=1/2。2.若函数f(x)=x²+2ax+3在x=-1处取得最小值，则a=________。参考答案：1解析：f′(x)=2x+2a，由f′(-1)=0得-2+2a=0，a=1。3.函数f(x)=|x+1|+|x-2|在区间(-∞,+∞)上的值域为________。参考答案：[3,+∞)解析：f(x)分段为：当x<-1时f(x)=-2x+1；当-1≤x≤2时f(x)=3；当x>2时f(x)=2x-1。最小值为3。4.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期为________。参考答案：π解析：f(x)=√2sin(2x+π/4)，T=2π/2=π。5.若函数f(x)=x³-3x+q在x=2处取得极值，则q=________。参考答案：10解析：f′(x)=3x²-3，由f′(2)=12-3=0得x=2为驻点。f(2)=8-6+q=0，q=-2。6.函数f(x)=e^x/(x+1)在x=0处的二阶导数为________。参考答案：1解析：f′(x)=e^x(x+1)-e^x/(x+1)²，f′′(x)=e^x(x+2)-2e^x/(x+1)³，f′′(0)=1。7.函数f(x)=x/(x²-1)在x=2处的切线斜率为________。参考答案：-4/3解析：f′(x)=-2x/(x²-1)²，f′(2)=-4/9。8.函数f(x)=|x-1|•sin(x)在x=π处的函数值为________。参考答案：-sin(π)解析：f(π)=|π-1|•sin(π)=0。9.若函数f(x)=x³+px+q在x=1和x=-1处取得相同函数值，则f(0)=________。参考答案：0解析：f(1)=1+p+q=f(-1)=-1-p+q，得p=0。f(x)=x³+q，f(0)=q。又f(1)=1+q=-1+q，解得q=0，f(0)=0。10.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)在区间(0,π/2)上的最大值为________。参考答案：√2解析：f′(x)=cos(x)-2sin(2x)=cos(x)-4sin(x)cos(x)=cos(x)(1-4sin(x))，令f′(x)=0得sin(x)=1/4，x=arcsin(1/4)。f(0)=1，f(π/2)=0，f(arcsin(1/4))=√2sin(arcsin(1/4))=√2/4≈0.3536，最大值为√2。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.函数f(x)=x³-3x+1在区间(-2,2)上存在唯一一个零点。参考答案：正确解析：f(-2)=-5<0，f(0)=1>0，f(2)=5>0。f′(x)=3x²-3，驻点x=±1。f(-1)=3>0，f(1)=-1<0，存在两个零点。2.函数f(x)=e^x-x在x=0处取得极小值。参考答案：正确解析：f′(x)=e^x-1，f′(0)=0。当x∈(-∞,0)时f′(x)<0，f(x)递减；当x∈(0,+∞)时f′(x)>0，f(x)递增。3.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期为π。参考答案：错误解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，T=2π/1=2π。4.若函数f(x)=x³+px+q在x=1和x=-1处取得相同函数值，则p=0。参考答案：正确解析：f(1)=1+p+q=f(-1)=-1-p+q，得p=0。5.函数f(x)=|x-1|+|x+2|在x=-1处取得极小值。参考答案：正确解析：f(x)分段为：当x<-2时f(x)=-2x-1；当-2≤x≤1时f(x)=3；当x>1时f(x)=2x+1。x=-1处为转折点，f(x)从递减转为递增。6.函数f(x)=ln(x+1)-x在定义域上单调递减。参考答案：正确解析：f′(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)，当x∈(-1,+∞)时f′(x)≤0，f(x)单调递减。7.函数f(x)=x/(x²-1)在区间(1,+∞)上无最小值。参考答案：正确解析：f′(x)=-2x/(x²-1)²<0，f(x)单调递减。f(x)→0(x→+∞)，无最小值。8.函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期为π/2。参考答案：错误解析：f(x)=√2sin(2x+π/4)，T=2π/2=π。9.若函数f(x)=x³+px+q在x=1处取得极大值，则f(x)在x=1处可导。参考答案：正确解析：极大值点处f′(x)=0且f′(x)符号由正变负，f(x)在x=1处可导。10.函数f(x)=|x-1|•sin(x)在区间(0,2π)上恰有两个零点。参考答案：错误解析：零点满足|x-1|=0或sin(x)=0。x=1或x=kπ(k=1,2,3)，共4个零点。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.求函数f(x)=x³-3x+1在区间[-2,2]上的最大值和最小值。参考答案：最大值3，最小值-5解析：f(-2)=-5，f(0)=1，f(2)=5。驻点x=±1，f(-1)=3，f(1)=-1。最大值为max{5,3,1,-5}=3，最小值为min{-5,3,1,-1}=5。2.求函数f(x)=e^x/(x+1)在x=0处的切线方程。参考答案：y=x+1解析：f(0)=1，f′(x)=e^x(x+1)-e^x/(x+1)²，f′(0)=1。切线方程为y-1=1(x-0)，即y=x+1。3.判断函数f(x)=x³-3x+1在区间(-2,2)上是否存在唯一一个零点。参考答案：存在两个零点解析：f(-2)=-5<0，f(0)=1>0，f(2)=5>0。f′(x)=3x²-3，驻点x=±1。f(-1)=3>0，f(1)=-1<0，存在两个零点。4.求函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)在区间(0,π/2)上的最大值。参考答案：√2解析：f(x)=√2sin(2x+π/4)，当2x+π/4=π/2时f(x)取得最大值√2，此时x=π/8。5.求函数f(x)=|x-1|+|x+2|在区间(-∞,+∞)上的最小值。参考答案：3解析：f(x)分段为：当x<-2时f(x)=-2x-1；当-2≤x≤1时f(x)=3；当x>1时f(x)=2x+1。最小值为3。6.求函数f(x)=x/(x²-1)在x=2处的切线方程。参考答案：y=-4/3(x-2)+5/3解析：f(2)=2/3，f′(x)=-2x/(x²-1)²，f′(2)=-4/3。切线方程为y-2/3=-4/3(x-2)，即y=-4/3x+10/3。7.判断函数f(x)=ln(x+1)-x在定义域上是否单调递减。参考答案：是解析：f′(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)，当x∈(-1,+∞)时f′(x)≤0，f(x)单调递减。8.求函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)的最小正周期。参考答案：π解析：f(x)=√2sin(2x+π/4)，T=2π/2=π。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1.已知函数f(x)=x³-px+q在x=1和x=-1处取得相同函数值，且f(0)=2。求f(2)的值。解：由f(1)=f(-1)得1-p+q=-1+p+q，p=0。又f(0)=q=2，f(x)=x³+2。f(2)=2³+2=10。2.求函数f(x)=e^x/(x+1)在定义域上的单调区间。解：f′(x)=e^x(x+1)-e^x/(x+1)²=(x+1)²e^x-xe^x-e^x/(x+1)²=(x²+2x)e^x-e^x/(x+1)²=(x²+2x-1)e^x/(x+1)²。令f′(x)=0得x=-1±√2。当x∈(-1-√2,-1+√2)时f′(x)<0，f(x)递减；当x∈(-∞,-1-√2)和(-1+√2,+∞)时f′(x)>0，f(x)递增。3.求函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)在区间(0,π/2)上的最大值和最小值。解：f(x)=√2sin(2x+π/4)，当2x+π/4=π/2时f(x)取得最大值√2；当2x+π/4=3π/2时f(x)取得最小值-√2。但x∈(0,π/2)时2x+π/4∈(π/4,5π/4)，故最小值为-√2。4.已知函数f(x)=x³-3x+q在x=1处取得极值，且f(0)=1。求q的值及f(x)的极值。解：f′(x)=3x²-3，由f′(1)=0得x=1为驻点。f(0)=q=1。f(1)=1-3+q=0，q=2。f′(x)符号变化：x∈(-∞,1)时f′(x)<0，f(x)递减；x∈(1,+∞)时f′(x)>0，f(x)递增。f(x)在x=1处取得极小值-2。5.求函数f(x)=|x-1|•sin(x)在区间(0,2π)上的零点个数。解：零点满足|x-1|=0或sin(x)=0。x=1或x=kπ(k=1,2,3)，共4个零点。6.已知函数f(x)=x³-px+q在x=1和x=-1处取得相同函数值，且f′(1)=0。求f(x)在x=2处的函数值。解：由f(1)=f(-1)得1-p+q=-1+p+q，p=0。又f′(1)=3-0=0，矛盾。需重新分析：f′(x)=3x²-p，f′(1)=3-p=0，p=3。f(x)=x³-3x+q，f(2)=8-6+q=2+q。7.求函数f(x)=e^x/(x+1)在定义域上的值域。解：f′(x)=(x²+2x)e^x-e^x/(x+1)²=(x²+2x-1)e^x/(x+1)²。令f′(x)=0得x=-1±√2。当x∈(-1-√2,-1+√2)时f′(x)<0，f(x)递减；当x∈(-∞,-1-√2)和(-1+√2,+∞)时f′(x)>0，f(x)递增。f(-1-√2)→+∞，f(-1+√2)→-∞，值域为(-∞,f(-1+√2))∪(f(-1-√2),+∞)。8.已知函数f(x)=sin(2x)+cos(2x)在区间(0,π/2)上的最大值为√2，求f(x)的最小正周期。解：f(x)=√2sin(2x+π/4)，T=2π/2=π。【标准答案及解析】一、单项选择题1.D2.C3.C4.B5.B6.A7.A8.D9.B10.C解析：1.由ln(a+1)=a得a=0；2.分段函数最小值为3；3.驻点x=1处f′(x)=0；4.极小值点需a=e；5.导数小于0递减；6.周期为2π；7.递减函数无最小值；8.驻点x=1处f′(x)=0；9.切线斜率f′(0)=1；10.零点x=1或kπ。二、填空题1.1/212.113.[3,+∞)14.π15.1016.117.-4/318.019.020.√2解析：11.极值点x=1/2；12.驻点x=-1处f′(x)=0；13.分段函数最小值为3；14.周期为π；15.驻点x=2处f′(x)=0；16.二阶导数f′′(0)=1；17.切线斜率f′(2)；18.特殊值f(π)=0；19.对称性f(0)=0；20.最大值√2。三、判断题1.×22.√23.×24.√25.√26.√27.√28.×29.√30.×解析：21.存在两个零点；22.极小值点；23.周期为π；24.对称性p=0；25.转折点；26.单调递减；27.无最小值；28.周期为π；29.极值点处可导；30.四个零点。四、简答题1.最大值3，最小值-5解析：端点值f(-2)=-5，f(0)=1，驻点x=±1，f(-1)=3，f(1)=-1。最大值为max{5,3,1,-5}=3，最小值为min{-5,3,1,-1}=-5。2.切线方程为y=x+1解析：f(0)=1，f′(x)=e^x(x+1)-e^x/(x+1)²，f′(0)=1。切线方程为y-1=1(x-0)，即y=x+1。3.存在两个零点解析：f(-2)=-5<0，f(0)=1>0，f(2)=5>0。f′(x)=3x²-3，驻点x=±1。f(-1)=3>0，f(1)=-1<0，存在两个零点。4.最大值√2解析：f(x)=√2sin(2x+π/4)，当2x+π/4=π/2时f(x)取得最大值√2，此时x=π/8。5.最小值为3解析：f(x)分段为：当x<-2时f(x)=-2x-1；当-2≤x≤1时f(x)=3；当x>1时f(x)=2x+1。最小值为3。6.切线方程为y=-4/3(x-2)+5/3解析：f(2)=2/3，f′(x)=-2x/(x²-1)²，f′(2)=-4/3。切线方程为y-2/3=-4/3(x-2)，即y=-4/3x+10/3。7.是解析：f′(x)=1/(x+1)-1=(1-x)/(x+1)，当x∈(-1,+∞)时f′(x)≤0，f(x)单调递减。8.最小正周期为π解析：f(x)=√2sin(2x+π/4)，T=2π/2=π。五、应用题1.10解析：由f(1)=f(-1)得1-p+q=-1+p+q，p=0。又f(0)=q=2，f(x)=x³+2。f(2)=2³+2=10。2.递增区间(-∞,-1-√2)和(-