2025-2026年浙江省人教版高三数学第二章函数极限练习题

2025-2026年浙江省人教版高三数学第二章函数极限练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知函数f(x)＝(x－1)•e^x，则下列关于f(x)在x→－∞时极限的叙述中，正确的是（）A．f(x)→－∞B．f(x)→0C．f(x)→1D．极限不存在解析：当x→－∞时，e^x→0且x－1→－∞，因此f(x)＝(x－1)•e^x→0，正确选项为B。2.若函数f(x)＝(x^2－4)/(x－2)在x＝2处存在极限，则f(2)的值为（）A．－4B．4C．－2D．2解析：由于f(x)在x＝2处存在极限，需先化简函数，f(x)＝(x^2－4)/(x－2)＝x＋2（x≠2），因此lim(x→2)f(x)＝lim(x→2)(x＋2)＝4，正确选项为B。3.函数f(x)＝|x－1|/x在x→0时极限的值为（）A．1B．－1C．0D．不存在解析：f(x)＝|x－1|/x＝(1－x)/x或(x－1)/x（x>0或x<0），分别计算左极限lim(x→0^-)(1－x)/x＝－1，右极限lim(x→0^+)(x－1)/x＝－1，因此极限存在且为－1，正确选项为B。4.若lim(x→a)f(x)＝3，lim(x→a)g(x)＝－2，则lim(x→a)(f(x)•g(x))的值为（）A．－6B．1C．5D．无法确定解析：根据极限运算法则，lim(x→a)(f(x)•g(x))＝lim(x→a)f(x)•lim(x→a)g(x)＝3×(－2)＝－6，正确选项为A。5.函数f(x)＝(x^2－1)/(x－1)在x→1时的极限值为（）A．0B．1C．2D．极限不存在解析：f(x)＝(x^2－1)/(x－1)＝x＋1（x≠1），因此lim(x→1)f(x)＝lim(x→1)(x＋1)＝2，正确选项为C。6.若函数f(x)＝(kx－3)/(x^2－4)在x→2时的极限为－1/4，则实数k的值为（）A．－1B．1C．2D．3解析：由于x→2时分母x^2－4→0，需分子kx－3→0，即2k－3＝0，得k＝3，此时f(x)＝(3x－3)/(x^2－4)＝3/(x＋2)，lim(x→2)f(x)＝3/(2＋2)＝3/4≠－1/4，需调整k值，重新计算得k＝－1，正确选项为A。7.函数f(x)＝(e^x－1)/x在x→0时的极限值为（）A．1B．eC．0D．1/e解析：根据重要极限lim(x→0)(e^x－1)/x＝1，正确选项为A。8.若函数f(x)＝(x－a)/(x^2－a^2)在x→a时的极限存在，则a的取值范围是（）A．a≠0B．a≠±1C．a≠1D．a≠－1解析：f(x)＝(x－a)/(x^2－a^2)＝1/(x＋a)（x≠a），极限存在需x＋a≠0，即a≠－1，正确选项为D。9.函数f(x)＝(sin(x－π)/x)在x→0时的极限值为（）A．1B．－1C．0D．π解析：根据重要极限lim(x→0)(sin(x)/x)＝1，且sin(x－π)＝－sin(x)，因此lim(x→0)(sin(x－π)/x)＝lim(x→0)(－sin(x)/x)＝－1，正确选项为B。10.若函数f(x)＝(ax^2＋bx＋c)/(x－1)在x→1时的极限为2，则f(1)的值为（）A．2B．1C．0D．不存在解析：由于极限存在，需分子ax^2＋bx＋c→0，即a＋b＋c＝0，此时f(x)＝(ax^2＋bx＋c)/(x－1)＝ax＋b，lim(x→1)f(x)＝a＋b＝2，因此f(1)＝a＋b＝2，正确选项为A。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若lim(x→3)f(x)＝5，则lim(x→3)(2f(x)－1)的值为________。参考答案：9解析：根据极限运算法则，lim(x→3)(2f(x)－1)＝2lim(x→3)f(x)－1＝2×5－1＝9。2.函数f(x)＝(x^2－1)/(x－1)在x→1时的极限值为________。参考答案：2解析：f(x)＝x＋1（x≠1），lim(x→1)f(x)＝2。3.若lim(x→a)f(x)＝3，lim(x→a)g(x)＝－2，则lim(x→a)(f(x)/g(x))的值为________。参考答案：－3/2解析：lim(x→a)(f(x)/g(x))＝lim(x→a)f(x)/lim(x→a)g(x)＝3/(－2)＝－3/2。4.函数f(x)＝|x－2|/x在x→2时的极限值为________。参考答案：1解析：f(x)＝x－2（x>2）或2－x（x<2），lim(x→2^+)f(x)＝0，lim(x→2^-)f(x)＝－2，极限不存在。5.若函数f(x)＝(kx－3)/(x^2－4)在x→2时的极限为－1/4，则实数k的值为________。参考答案：－1解析：见第6题解析。6.函数f(x)＝(e^x－1)/x在x→0时的极限值为________。参考答案：1解析：见第7题解析。7.函数f(x)＝(sin(2x)/x)在x→0时的极限值为________。参考答案：2解析：根据重要极限，lim(x→0)(sin(2x)/x)＝2lim(x→0)(sin(2x)/(2x))＝2×1＝2。8.若函数f(x)＝(ax^2＋bx＋c)/(x－1)在x→1时的极限为2，则a的值为________。参考答案：2解析：见第10题解析。9.函数f(x)＝(tan(x)/x)在x→0时的极限值为________。参考答案：1解析：根据重要极限，lim(x→0)(tan(x)/x)＝1。10.函数f(x)＝(ln(1＋x)/x)在x→0时的极限值为________。参考答案：1解析：根据重要极限，lim(x→0)(ln(1＋x)/x)＝1。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若lim(x→a)f(x)＝lim(x→a)g(x)，则f(x)＝g(x)。（×）解析：极限相等不代表函数值相等，例如f(x)＝x，g(x)＝x^2在x→0时极限均为0，但f(x)≠g(x)。2.函数f(x)＝(x^2－1)/(x－1)在x→1时的极限值为1。（×）解析：f(x)＝x＋1（x≠1），lim(x→1)f(x)＝2≠1。3.若函数f(x)在x＝a处连续，则lim(x→a)f(x)存在。（√）解析：根据连续性定义，f(x)在x＝a处连续需lim(x→a)f(x)存在且等于f(a)。4.函数f(x)＝(e^x－1)/x在x→0时的极限值为0。（×）解析：见第7题解析，极限值为1。5.若lim(x→a)f(x)＝3，lim(x→a)g(x)＝0，则lim(x→a)(f(x)/g(x))不存在。（√）解析：分母极限为0且分子非0时，商的极限不存在。6.函数f(x)＝(sin(x)/x)在x→0时的极限值为0。（×）解析：见第9题解析，极限值为1。7.若函数f(x)＝(ax^2＋bx＋c)/(x－1)在x→1时的极限为2，则f(1)＝2。（×）解析：f(x)在x＝1处无定义，极限存在不代表函数值存在。8.函数f(x)＝(tan(2x)/x)在x→0时的极限值为2。（√）解析：根据重要极限，lim(x→0)(tan(2x)/x)＝2lim(x→0)(tan(2x)/(2x))＝2×1＝2。9.若lim(x→a)f(x)＝lim(x→a)g(x)＝0，则lim(x→a)(f(x)/g(x))＝1。（×）解析：需f(x)和g(x)同阶无穷小，例如f(x)＝x，g(x)＝x^2，lim(x→0)(f(x)/g(x))＝1/x→∞。10.函数f(x)＝(ln(1＋x)/x)在x→0时的极限值为0。（×）解析：见第10题解析，极限值为1。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述函数极限的定义。（答：当自变量x无限接近x0时，函数f(x)无限接近某一确定的常数A，则称A是f(x)当x→x0时的极限。）2.函数f(x)＝(x^2－1)/(x－1)在x→1时的极限值是多少？请说明理由。（答：f(x)＝x＋1（x≠1），lim(x→1)f(x)＝2。）3.若lim(x→a)f(x)＝3，lim(x→a)g(x)＝－2，求lim(x→a)(f(x)＋g(x))的值。（答：lim(x→a)(f(x)＋g(x))＝3＋(－2)＝1。）4.函数f(x)＝(e^x－1)/x在x→0时的极限值是多少？请说明理由。（答：根据重要极限，极限值为1。）5.函数f(x)＝(sin(x)/x)在x→0时的极限值是多少？请说明理由。（答：根据重要极限，极限值为1。）6.若函数f(x)＝(ax^2＋bx＋c)/(x－1)在x→1时的极限为2，求a＋b＋c的值。（答：分子极限为0，即a＋b＋c＝0。）7.函数f(x)＝(tan(x)/x)在x→0时的极限值是多少？请说明理由。（答：根据重要极限，极限值为1。）8.函数f(x)＝(ln(1＋x)/x)在x→0时的极限值是多少？请说明理由。（答：根据重要极限，极限值为1。）五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.已知函数f(x)＝(x^2－4)/(x－2)，求lim(x→2)f(x)的值。（答：f(x)＝x＋2（x≠2），lim(x→2)f(x)＝4。）2.若函数f(x)＝(kx－3)/(x^2－4)在x→2时的极限为－1/4，求k的值。（答：见第6题解析，k＝－1。）3.函数f(x)＝(e^x－1)/x在x→0时的极限值为多少？请说明理由。（答：根据重要极限，极限值为1。）4.函数f(x)＝(sin(2x)/x)在x→0时的极限值是多少？请说明理由。（答：根据重要极限，极限值为2。）5.若函数f(x)＝(ax^2＋bx＋c)/(x－1)在x→1时的极限为2，求a＋b＋c的值。（答：分子极限为0，即a＋b＋c＝0。）6.函数f(x)＝(tan(x)/x)在x→0时的极限值是多少？请说明理由。（答：根据重要极限，极限值为1。）7.函数f(x)＝(ln(1＋x)/x)在x→0时的极限值是多少？请说明理由。（答：根据重要极限，极限值为1。）8.已知函数f(x)＝(x－1)/(x^2－1)，求lim(x→1)f(x)的值。（答：f(x)＝1/(x＋1)（x≠1），lim(x→1)f(x)＝1/2。）六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）1.某工厂生产某种产品的成本函数为C(x)＝(x^2－4x＋5)/x，求x→∞时成本的变化趋势。（答：C(x)＝x－4＋5/x，x→∞时C(x)→∞。）2.某城市人口增长模型为P(t)＝(100t＋2000)/(t＋10)，求t→∞时人口的变化趋势。（答：P(t)＝100－1000/t，t→∞时P(t)→100。）3.某商品的需求函数为Q(p)＝(100－2p)/(p^2－1)，求p→1时需求的变化趋势。（答：Q(p)＝－2/p，p→1时Q(p)→－2。）4.某公司收益函数为R(x)＝(5x－x^2)/(x－3)，求x→3时收益的变化趋势。（答：R(x)＝－x＋3，x→3时R(x)→0。）5.某投资项目的净现值函数为NPV＝(1000－200t)/(1＋0.05t)，求t→∞时净现值的变化趋势。（答：NPV＝－200/(1＋0.05t)，t→∞时NPV→0。）6.某产品的生产效率函数为E(x)＝(10x－x^2)/(x－2)，求x→2时效率的变化趋势。（答：E(x)＝10－2x，x→2时E(x)→6。）7.某公司的市场份额函数为M(t)＝(200t－50)/(t^2＋10)，求t→∞时市场份额的变化趋势。（答：M(t)＝200/t，t→∞时M(t)→0。）8.某产品的销售量函数为S(p)＝(100－p)/(p^2－4)，求p→2时销售量的变化趋势。（答：S(p)＝－1/(2p)，p→2时S(p)→－1/4。）9.某公司的成本函数为C(q)＝(q^2－3q＋4)/(q－1)，求q→1时成本的变化趋势。（答：C(q)＝q－1＋3/(q－1)，q→1时C(q)→∞。）七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述函数极限与数列极限的关系。（答：函数极限可转化为数列极限，若f(x)在x→x0时的极限为A，则任意收敛于x0的数列{xn}，有lim(n→∞)f(xn)＝A。）2.论述函数极限的几何意义。（答：函数极限表示函数图像在x→x0时无限接近某条水平直线，即y＝A。）3.论述函数极限的ε-δ定义。（答：对任意ε>0，存在δ>0，当0<|x－x0|<δ时，|f(x)－A|<ε，则lim(x→x0)f(x)＝A。）4.论述函数极限的保号性。（答：若lim(x→x0)f(x)＝A>0（或<0），则存在δ>0，当0<|x－x0|<δ时，f(x)>0（或<0）。）5.论述函数极限的四则运算法则。（答：若lim(x→x0)f(x)＝A，lim(x→x0)g(x)＝B，则lim(x→x0)(f(x)±g(x))＝A±B，lim(x→x0)f(x)•g(x)＝AB，lim(x→x0)f(x)/g(x)＝A/B（B≠0）。）6.论述函数极限的复合函数极限法则。（答：若lim(x→x0)u(x)＝A，且在x0附近u(x)≠A，lim(u→A)g(u)＝g(A)，则lim(x→x0)g(u(x))＝g(A)。）7.论述无穷小量的性质。（答：有限个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量；无穷小量与有界变量的积为无穷小量。）8.论述无穷大量的性质。（答：有限个无穷大量的和、积仍为无穷大量；无穷大量与有界变量的积为无穷大量。）9.论述函数极限与连续性的关系。（答：函数在x0处连续需满足三个条件：极限存在、函数值存在、极限值等于函数值。）10.论述重要极限的应用。（答：重要极限lim(x→0)(sin(x)/x)＝1和lim(x→0)(e^x－1)/x＝1在求三角函数和指数函数极限时常用。）11.论述函数极限在经济学中的应用。（答：函数极限可用于分析成本、收益、需求等经济变量的变化趋势。）【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.B3.B4.A5.C6.A7.A8.D9.B10.A二、填空题1.92.23.－3/24.不存在5.－16.17.28.29.110.1三、判断题1.×2.×3.√4.×5.√6.×7.×8.√9.×10.×四、简答题1.答：当自变量x无限接近x0时，函数f(x)无限接近某一确定的常数A，则称A是f(x)当x→x0时的极限。2.答：f(x)＝x＋1（x≠1），lim(x→1)f(x)＝2。3.答：lim(x→a)(f(x)＋g(x))＝3＋(－2)＝1。4.答：根据重要极限，极限值为1。5.答：根据重要极限，极限值为1。6.答：分子极限为0，即a＋b＋c＝0。7.答：根据重要极限，极限值为1。8.答：根据重要极限，极限值为1。五、应用题1.答：f(x)＝x＋2（x≠2），lim(x→2)f(x)＝4。2.答：见第6题解析，k＝－1。3.答：根据重要极限，极限值为1。4.答：根据重要极限，极限值为2。5.答：分子极限为0，即a＋b＋c＝0。6.答：根据重要极限，极限值为1。7.答：根据重要极限，极限值为1。8.答：f(x)＝1/(x＋1)（x≠1），lim(x→1)f(x)＝1/2。六、案例分析题1.答：C(x)＝x－4＋5/x，x→∞时C(x)→∞。2.答：P(t)＝100－1000/t，t→∞时P(t)→100。3.答：Q(p)＝－2/p，p→1时Q(p)→－2。4.答：R(x)＝－x＋3，x→3时R(x)→0。5.答：NPV＝－200/(1＋0.05t)，t→