2025-2026年陕西省苏教版八年级数学上册方程与不等式知识点巩固习题

2025-2026年陕西省苏教版八年级数学上册方程与不等式知识点巩固习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在解方程\(\frac{x-1}{3}+\frac{x+2}{4}=1\)的过程中，下列变形正确的是（）A.4(x-1)+3(x+2)=12B.4(x-1)+3(x+2)=12xC.4(x-1)+3(x+2)=12(x-1)(x+2)D.4(x-1)+3(x+2)=12(x-1)参考答案：A解析：解分式方程时需去分母，正确做法是两边同乘分母的最小公倍数12，得到4(x-1)+3(x+2)=12。选项B错误因未完全去分母，选项C错误因错误乘法分配，选项D错误因仅乘部分项。2.若关于\(x\)的方程\(ax+3=2x-1\)有解\(x=2\)，则\(a\)的值为（）A.-1B.1C.3D.5参考答案：A解析：将\(x=2\)代入方程得\(2a+3=4-1\)，解得\(a=-1\)。选项B、C、D代入后均不满足方程。3.不等式\(3x-7\leq2(x+1)\)的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.参考答案：C解析：去括号得\(3x-7\leq2x+2\)，移项合并\(x\leq9\)，数轴表示为空心点向左延伸至9。4.若\(a<0\)，则不等式\(a(x-1)>ax-a\)的解集为（）A.\(x>1\)B.\(x<1\)C.\(x>0\)D.\(x<0\)参考答案：B解析：去分母得\(ax-a>ax-a\)，因\(a<0\)需反向不等号，解得\(x<1\)。5.若方程\(x^2-mx+9=0\)的一个根为3，则另一个根及\(m\)的值分别为（）A.3,6B.-3,6C.3,-6D.-3,-6参考答案：B解析：由根与系数关系\(x_1+x_2=m\)，\(x_1x_2=9\)，代入\(x_1=3\)得\(x_2=-3\)，\(m=3-3=6\)。6.若不等式\(|x-1|<2\)的解集为\(a<x<b\)，则\(a+b\)的值为（）A.3B.-1C.5D.-3参考答案：A解析：解绝对值不等式得\(-2<x-1<2\)，即\(-1<x<3\)，故\(a=-1\)，\(b=3\)，\(a+b=2\)。7.若关于\(x\)的方程\(kx^2-2x+1=0\)有两个相等的实数根，则\(k\)的值为（）A.1B.2C.4D.-4参考答案：C解析：判别式\(\Delta=4-4k=0\)，解得\(k=1\)。但需注意系数\(k\neq0\)，故\(k=4\)。8.若\(a>b\)，则下列不等式一定成立的是（）A.\(a^2>b^2\)B.\(\frac{1}{a}>\frac{1}{b}\)C.\(a-2>b-2\)D.\(-a>-b\)参考答案：C解析：不等式两边减同一数仍成立，选项C正确。选项A反例：\(a=1\)，\(b=-2\)时\(a^2<b^2\)。9.若方程\(\frac{x}{x-1}=\frac{m}{x-1}+3\)有增根，则\(m\)的值为（）A.3B.-1C.0D.任意实数参考答案：A解析：增根由分母为零引起，即\(x=1\)，代入方程得\(\frac{1}{0}=\frac{m}{0}+3\)，需\(m=3\)消除矛盾。10.若\(x\)满足不等式组\(\begin{cases}x\geq-1\\x<2\end{cases}\)，则\(x\)的整数解的个数是（）A.1B.2C.3D.4参考答案：C解析：解集为\(-1\leqx<2\)，整数解为-1、0、1，共3个。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.方程\(2(x-3)+1=x+4\)的解为______。参考答案：7解析：去括号\(2x-6+1=x+4\)，移项合并\(x=7\)。2.不等式\(5x-3>2x+8\)的解集为______。参考答案：\(x>11\)解析：移项合并\(3x>11\)，解得\(x>\frac{11}{3}\)。3.若\(x=2\)是方程\(ax^2-3x+4=0\)的一个根，则\(a\)的值为______。参考答案：-1解析：代入得\(4a-6+4=0\)，解得\(a=-1\)。4.不等式\(|x+1|\geq3\)的解集为______。参考答案：\(x\leq-4\)或\(x\geq2\)解析：分解为\(x+1\geq3\)或\(x+1\leq-3\)，解得\(x\geq2\)或\(x\leq-4\)。5.若方程\(x^2-px+q=0\)的两根为\(x_1=1\)，\(x_2=2\)，则\(p\)和\(q\)的值分别为______和______。参考答案：3,2解析：由根与系数关系\(p=x_1+x_2=3\)，\(q=x_1x_2=2\)。6.若\(a<0\)，则不等式\(-2a\geq4a\)的解集为______。参考答案：\(x\leq0\)解析：因\(a<0\)需反向不等号，解得\(x\leq0\)。7.若方程\(\frac{x}{x-2}=\frac{3}{x-2}+k\)有解，则\(k\)的取值范围是______。参考答案：\(k\neq3\)解析：去分母得\(x=3+k(x-2)\)，需\(k\neq3\)避免无解。8.若不等式\(|2x-1|<5\)的解集为\(a<x<b\)，则\(a-b\)的值为______。参考答案：-6解析：解得\(-2<2x-1<5\)，即\(-\frac{1}{2}<x<3\)，故\(a=-\frac{1}{2}\)，\(b=3\)，\(a-b=-\frac{1}{2}-3=-3.5\)。9.若关于\(x\)的方程\(mx^2-2x+1=0\)有两个不相等的实数根，则\(m\)的取值范围是______。参考答案：\(m<1\)且\(m\neq0\)解析：判别式\(\Delta=4-4m>0\)，解得\(m<1\)，且\(m\neq0\)避免退化为一元一次方程。10.若\(a>b\)，则下列不等式一定成立的是______（填序号）。A.\(a^2>b^2\)B.\(\frac{1}{a}>\frac{1}{b}\)C.\(a-2>b-2\)D.\(-a>-b\)参考答案：C解析：不等式两边减同一数仍成立，选项C正确。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若\(a=2\)，则方程\(\frac{x}{2}+\frac{x}{3}=1\)的解为\(x=6\)。（）参考答案：×解析：正确解为\(x=\frac{6}{5}\)，代入\(a=2\)不影响解。2.若\(x=1\)是方程\(ax^2+bx+c=0\)的一个根，则\(a+b+c=0\)。（）参考答案：√解析：由根的定义代入得\(a+b+c=0\)。3.若\(a>b\)，则\(a^2>b^2\)一定成立。（）参考答案：×解析：反例：\(a=1\)，\(b=-2\)时\(a^2<b^2\)。4.若不等式\(|x|<3\)的解集为\(-3<x<3\)，则该解集正确。（）参考答案：√解析：绝对值不等式正确解为\(-3<x<3\)。5.若方程\(x^2-mx+9=0\)有两个相等的实数根，则\(m=6\)。（）参考答案：×解析：判别式\(\Delta=m^2-36=0\)，解得\(m=\pm6\)。6.若\(a<0\)，则不等式\(a(x-1)>ax-a\)的解集为\(x>1\)。（）参考答案：×解析：因\(a<0\)需反向不等号，解得\(x<1\)。7.若方程\(\frac{x}{x-1}=\frac{m}{x-1}+3\)有增根，则\(m\)的值为3。（）参考答案：√解析：增根\(x=1\)代入需\(m=3\)消除矛盾。8.若不等式\(3x-7\leq2(x+1)\)的解集为\(x\leq9\)，则该解集正确。（）参考答案：√解析：解得\(x\leq9\)正确。9.若\(x\)满足不等式组\(\begin{cases}x\geq-1\\x<2\end{cases}\)，则\(x\)的整数解为-1、0、1。（）参考答案：√解析：解集为\(-1\leqx<2\)，整数解为-1、0、1。10.若\(a>b\)，则\(\frac{1}{a}>\frac{1}{b}\)一定成立。（）参考答案：×解析：反例：\(a=1\)，\(b=-2\)时\(\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\)。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.解方程：\(\frac{2x}{x-1}-\frac{3}{x-1}=1\)解：去分母得\(2x-3=x-1\)，解得\(x=2\)。检验：代入原方程分母不为零，故\(x=2\)是解。2.解不等式：\(3(x-2)+1\leq2(x+4)\)解：去括号\(3x-6+1\leq2x+8\)，移项合并\(x\leq13\)。3.若方程\(x^2-mx+4=0\)的一个根为2，求\(m\)的值。解：代入得\(4-2m+4=0\)，解得\(m=4\)。4.若不等式\(|x-1|>3\)的解集为\(x<-2\)或\(x>4\)，则该解集正确吗？解：解得\(x-1>3\)或\(x-1<-3\)，即\(x>4\)或\(x<-2\)，故解集正确。5.若方程\(\frac{x}{x-2}=\frac{3}{x-2}+k\)有增根，求\(k\)的值。解：增根\(x=2\)代入得\(1=\frac{3}{0}+k\)，需\(k=1\)消除矛盾。6.若\(a>b\)，则\(a^2-b^2>0\)一定成立吗？请说明理由。解：不一定。反例：\(a=1\)，\(b=-2\)时\(a^2-b^2=0\)。需\(a\neq-b\)时才成立。7.若不等式\(|2x-1|<k\)的解集为\(-\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}\)，求\(k\)的值。解：解得\(-k<2x-1<k\)，即\(1-k<2x<1+k\)，解得\(\frac{1-k}{2}<x<\frac{1+k}{2}\)，故\(k=1\)。8.若方程\(x^2-mx+9=0\)有两个不相等的实数根，求\(m\)的取值范围。解：判别式\(\Delta=m^2-36>0\)，解得\(m>6\)或\(m<-6\)。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产一种产品，成本为每件10元，售价为每件\(x\)元。若要使利润超过总成本的50%，求\(x\)的取值范围。解：利润为\(x-10\)，总成本为\(10\)，需\(x-10>10\times50\%\)，解得\(x>15\)。2.某班级购买篮球和足球共30个，篮球每个50元，足球每个30元，总费用不超过1500元。求最多能购买多少个篮球。解：设篮球\(x\)个，足球\(30-x\)个，列不等式\(50x+30(30-x)\leq1500\)，解得\(x\leq12\)。3.若方程\(x^2-mx+9=0\)的两根平方和为13，求\(m\)的值。解：由根与系数关系\(x_1+x_2=m\)，\(x_1x_2=9\)，平方和\(x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=m^2-18=13\)，解得\(m=\pm5\)。4.若不等式\(|x-1|<2\)的解集为\(a<x<b\)，求\(a+b\)的值。解：解得\(-1<x<3\)，故\(a=-1\)，\(b=3\)，\(a+b=2\)。5.若方程\(\frac{x}{x-1}=\frac{3}{x-1}+k\)有增根，求\(k\)的值。解：增根\(x=1\)代入得\(1=\frac{3}{0}+k\)，需\(k=1\)消除矛盾。6.若\(a>b\)，则\(a^2-b^2>0\)一定成立吗？请说明理由。解：不一定。反例：\(a=1\)，\(b=-2\)时\(a^2-b^2=0\)。需\(a\neq-b\)时才成立。7.若不等式\(|2x-1|<k\)的解集为\(-\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}\)，求\(k\)的值。解：解得\(-k<2x-1<k\)，即\(1-k<2x<1+k\)，解得\(\frac{1-k}{2}<x<\frac{1+k}{2}\)，故\(k=1\)。8.若方程\(x^2-mx+9=0\)有两个不相等的实数根，求\(m\)的取值范围。解：判别式\(\Delta=m^2-36>0\)，解得\(m>6\)或\(m<-6\)。【标准答案及解析】一、单项选择题