2025-2026年江苏省人教版高二数学第五章数列练习题

2025-2026年江苏省人教版高二数学第五章数列练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_1=3，a_5=9，则该数列的通项公式a_n等于（）A.6n-3B.2n+1C.3nD.4n-1解析：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=3，a_5=9可得9=3+4d，解得d=3/2，故a_n=3+(n-1)×3/2=3/2n+3/2。选项A正确。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-1，则b_4的值为（）A.8B.16C.32D.63解析：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=1，当n≥2时b_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-2^n-1=2^n-1，验证n=1时成立，故b_4=2^4-1=15。选项D正确。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_6的值为（）A.21B.22C.23D.24解析：由递推关系展开c_2=c_1+2×1=3，c_3=c_2+2×2=7，c_4=c_3+2×3=13，c_5=c_4+2×4=21，c_6=c_5+2×5=31。选项均不正确，重新计算发现递推公式错误，正确递推应为c_{n+1}=c_n+2n+1，则c_6=1+3+5+7+9+11=36。修正选项为E.36。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2C.-3D.-2解析：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_2=d_1q=6，d_4=d_1q^3=54，联立解得q=3。选项A正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.10C.11D.12解析：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=2，当n≥2时e_n=n^2+n-(n-1)^2-(n-1)=2n，验证n=1时成立，故e_3=2×3=6。选项均不正确，重新计算发现公式错误，正确公式应为e_n=T_n-T_{n-1}=2n，故e_3=6。修正选项为E.6。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_5的值等于（）A.10B.12C.14D.16解析：由递推关系展开f_2=f_1+log_2(2)=3，f_3=f_2+log_2(3)=3+log_2(3)，f_4=f_3+log_2(4)=3+log_2(3)+2，f_5=f_4+log_2(5)=3+log_2(3)+2+log_2(5)，无法精确计算。选项均不正确，重新计算发现递推公式错误，正确递推应为f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_5=2+log_2(2)+log_2(3)+log_2(4)+log_2(5)=2+1+log_2(3)+2+log_2(5)=7+log_2(15)。修正选项为E.7+log_2(15)。7.在等差数列{g_n}中，若a_3+a_7=18，则a_5+a_9的值等于（）A.20B.22C.24D.26解析：由等差数列性质a_3+a_7=2a_5，故a_5=9，又a_5+a_9=2a_7，故a_7=15/2，则a_5+a_9=9+15/2=27/2。选项均不正确，重新计算发现公式错误，正确公式应为a_5+a_9=2a_6，故a_6=27/4，则a_5+a_9=27/2。修正选项为E.27/2。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=3^n-1，则h_4的值等于（）A.26B.27C.28D.29解析：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=2，当n≥2时h_n=3^n-1-(3^{n-1}-1)=2×3^{n-1}，验证n=1时成立，故h_4=2×3^3=54。选项均不正确，重新计算发现公式错误，正确公式应为h_n=U_n-U_{n-1}=2×3^{n-1}，故h_4=54。修正选项为E.54。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+2/(n+1)，则i_4的值等于（）A.4B.5C.6D.7解析：由递推关系展开i_2=i_1+2/2=2，i_3=i_2+2/3=2+2/3，i_4=i_3+2/4=2+2/3+1/2=3+5/6=23/6。选项均不正确，重新计算发现递推公式错误，正确递推应为i_{n+1}=i_n+2/(n+1)，则i_4=1+1+2/3+2/4=23/6。修正选项为E.23/6。10.在等比数列{j_n}中，若j_2=4，j_3=16，则j_5的值等于（）A.64B.128C.256D.512解析：由等比数列性质j_3/j_2=q，故q=16/4=4，则j_5=j_3q^2=16×16=256。选项C正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中a_5=10，a_10=25，则该数列的公差d等于______。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_5=a_1+4d=10，a_10=a_1+9d=25，联立解得5d=15，故d=3。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，则b_4的值等于______。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=-1，当n≥2时b_n=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，验证n=1时成立，故b_4=11。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+n，则c_6的值等于______。解：由递推关系展开c_2=c_1+1=3，c_3=c_2+2=5，c_4=c_3+3=8，c_5=c_4+4=12，c_6=c_5+5=17。4.在等比数列{d_n}中，若d_1=1，d_4=16，则该数列的公比q等于______。解：由等比数列通项公式d_n=d_1q^{n-1}，代入d_4=1×q^3=16，解得q=2。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n(n+1)/2，则e_5的值等于______。解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=1，当n≥2时e_n=n(n+1)/2-(n-1)n/2=2n-1，验证n=1时成立，故e_5=9。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+3n，则f_4的值等于______。解：由递推关系展开f_2=f_1+3=6，f_3=f_2+6=12，f_4=f_3+9=21。7.在等差数列{g_n}中，若a_4+a_8=20，则a_6+a_10的值等于______。解：由等差数列性质a_4+a_8=2a_6，故a_6=10，又a_6+a_10=2a_8，故a_8=15，则a_6+a_10=30。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=5^n-1，则h_3的值等于______。解：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=4，当n≥2时h_n=4×5^{n-1}，验证n=1时成立，故h_3=20。9.若数列{i_n}满足i_1=5，i_{n+1}=i_n+1/n，则i_4的值等于______。解：由递推关系展开i_2=i_1+1=6，i_3=i_2+1/2=6.5，i_4=i_3+1/3=7.1667。10.在等比数列{j_n}中，若j_3=8，j_5=32，则j_7的值等于______。解：由等比数列性质j_5/j_3=q^2，故q^2=32/8=4，则q=2，故j_7=j_5q^2=32×4=128。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}的前n项和S_n=n^2+n，则该数列是等差数列。（）解：由数列前n项和与通项关系a_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时a_1=S_1=2，当n≥2时a_n=2n，验证n=1时成立，故该数列是等差数列。正确。2.在等比数列{b_n}中，若b_1=b，b_2=2b，则该数列的公比q等于2。（）解：由等比数列定义b_2/b_1=q，代入b_2=2b，b_1=b，得q=2。正确。3.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_n+1，则该数列是等差数列。（）解：由等差数列定义{c_n}是等差数列当且仅当存在常数d使得c_{n+1}-c_n=d，此处c_{n+1}-c_n=1，故该数列是等差数列。正确。4.在等差数列{d_n}中，若a_1+a_9=20，则a_5+a_5=10。（）解：由等差数列性质a_1+a_9=2a_5，故2a_5=20，则a_5+a_5=2a_5=20。正确。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-1，则该数列是等比数列。（）解：由数列前n项和与通项关系e_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时e_1=T_1=1，当n≥2时e_n=2^n-1-(2^{n-1}-1)=2^n-1-2^{n-1}+1=2^{n-1}，验证n=1时成立，故该数列是等比数列。正确。6.若数列{f_n}满足f_{n+1}=f_n+n^2，则该数列的前n项和是二次函数。（）解：由数列前n项和定义S_n=f_1+f_2+...+f_n，递推展开f_2=f_1+1^2，f_3=f_2+2^2，...，f_n=f_{n-1}+(n-1)^2，累加得f_n=f_1+1^2+2^2+...+(n-1)^2，故S_n=f_1n+(n-1)n(2n-1)/6，是关于n的三次函数。错误。7.在等比数列{g_n}中，若g_2=4，g_4=16，则g_6的值等于64。（）解：由等比数列性质g_4/g_2=q^2，故q^2=16/4=4，则q=2，故g_6=g_4q^2=16×4=64。正确。8.已知数列{h_n}的前n项和U_n=3n^2-n，则h_4的值等于44。（）解：由数列前n项和与通项关系h_n=U_n-U_{n-1}（n≥2），当n=1时h_1=U_1=2，当n≥2时h_n=6n-3，验证n=1时成立，故h_4=21。错误。9.若数列{i_n}满足i_{n+1}=i_n+1/n，则该数列的前n项和是关于n的对数函数。（）解：由数列前n项和定义S_n=i_1+i_2+...+i_n，递推展开i_2=i_1+1，i_3=i_2+1/2，...，i_n=i_{n-1}+1/(n-1)，累加得i_n=i_1+1+1/2+...+1/(n-1)，故S_n=i_1n+(n-1)/2+ln(n-1)+C，包含对数项。正确。10.在等差数列{j_n}中，若j_1=1，j_3=7，则j_5的值等于13。（）解：由等差数列通项公式j_n=j_1+(n-1)d，代入j_3=j_1+2d=7，解得d=3，故j_5=j_1+4d=13。正确。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中a_1=2，a_5=14，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_5=14可得14=2+4d，解得d=3，故a_n=2+(n-1)×3=3n-1。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2-3n，求该数列的通项公式b_n。解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=-1，当n≥2时b_n=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，验证n=1时成立，故b_n=4n-5。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=6，c_4=54，求该数列的通项公式c_n。解：由等比数列性质c_4/c_2=q^2，故q^2=54/6=9，则q=3，又c_2=c_1q=6，故c_1=2，故c_n=2×3^{n-1}。4.若数列{d_n}满足d_{n+1}=d_n+2n，且d_1=1，求该数列的前n项和S_n。解：由递推关系展开d_2=d_1+2=3，d_3=d_2+4=7，d_4=d_3+6=13，观察发现d_n=1+n(n-1)，故S_n=1+3+7+...+n(n-1)=n(n-1)(n+1)/3。5.在等差数列{e_n}中，若e_3+e_7=24，求e_5的值。解：由等差数列性质e_3+e_7=2e_5，故2e_5=24，则e_5=12。6.已知数列{f_n}的前n项和T_n=n^2+n，求该数列的第4项f_4。解：由数列前n项和与通项关系f_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时f_1=T_1=2，当n≥2时f_n=2n，验证n=1时成立，故f_4=8。7.在等比数列{g_n}中，若g_1=2，g_3=8，求该数列的公比q。解：由等比数列通项公式g_n=g_1q^{n-1}，代入g_3=2q^2=8，解得q=2。8.若数列{h_n}满足h_{n+1}=h_n+1/n，且h_1=1，求该数列的前n项和S_n。解：由递推关系展开h_2=h_1+1=2，h_3=h_2+1/2=2.5，h_4=h_3+1/3=3.1667，观察发现h_n=1+1+1/2+1/3+...+1/(n-1)=1+ln(n-1)+C，故S_n=n(1+ln(n-1))/2。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂计划每年比上一年增加生产设备数量，已知第一年增加5台，第二年增加8台，第三年增加11台，以此类推，求第10年增加的设备数量。解：由递推关系可知该数列是等差数列，首项a_1=5，公差d=3，故a_{10}=5+9×3=32。2.某城市人口增长率为每年10%，已知2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100万，q=1.1，n=5，得a_5=100万×1.1^4≈161.05万。3.某人存款计划每年存入银行一笔固定金额，已知第一年存入1万元，第二年存入1.1万元，第三年存入1.21万元，以此类推，求第5年存入的金额。解：由递推关系可知该数列是等比数列，首项b_1=1，公比q=1.1，故b_5=1×1.1^4≈1.4641万元。4.某林场计划每年植树，已知第一年植树1000棵，第二年植树1200棵，第三年植树1400棵，以此类推，求第8年植树的数量。解：由递推关系可知该数列是等差数列，首项c_1=1000，公差d=200，故c_8=1000+7×200=1800。5.某产品价格每年上涨5%，已知2020年价格为100元，求2024年的价格。解：由等比数列公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=100元，q=1.05，n=4，得a_4=100元×1.05^3≈115.76元。6.某公司员工工资每年增加10%，已知2020年工资为5000元，求2023年的工资。解：由等比数列公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=5000元，q=1.1，n=3，得a_3=5000元×1.1^2≈6050元。7.某城市道路建设计划每年新建道路长度，已知第一年新建5公里，第二年新建7公里，第三年新建9公里，以此类推，求第10年新建道路的长度。解：由递推关系可知该数列是等差数列，首项d_1=5，公差d=2，故d_{10}=5+9×2=23公里。8.某产品销量每年增长20%，已知2020年销量为1000件，求2025年的销量。解：由等比数列公式a_n=a_1q^{n-1}，代入a_1=1000件，q=1.2，n=5，得a_5=1000件×1.2^4≈2073.6件。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.D3.E.364.A5.E.66.E.7+log_2(15)7.E.27/28.E.549.E.23/610.C二、填空题1.32.113.174.25.96.217.308.209.7.166710.128三、判断题1.√2.√3.√4.√5.√6.×7.√8.×9.√10.√四、简答题1.a_n=3n-1解：由等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=2，a_5=14可得14=2+4d，解得d=3，故a_n=2+(n-1)×3=3n-1。2.b_n=4n-5解：由数列前n项和与通项关系b_n=S_n-S_{n-1}（n≥2），当n=1时b_1=S_1=-1，当n≥2时b_n=2n^2-3n-[2(n-1)^2-3(n-1)]=4n-5，验证n=1时成立，故b_n=4n-5。3.c_n=2×3^{n-1}解：由等比数列性质c_4/c_2=q^2，故q^2=54/6=9，则q=3，又c_2=c_1q=6，故c_1=2，故c_n=2×3^{n-1}。4.S_n=n(n-1)(n+1)/3解：由递推关系展开d_2=d_1+2=3，d_3=d_2+4=7，d_4=d_3+6=13，观察发现d_n=1+n(n-1)，故S_n=1+3+7+...+n(n-1)=n(n-1)(n+1)/3。5.e_5=12解：由等差数列性质e_3+e_7=2e_5，故2e_5=24，则e_5=12。6.f_4=8解：由数列前n项和与通项关系f_n=T_n-T_{n-1}（n≥2），当n=1时f_1=T_1=2，当n≥2时f_n=2n，验证n=1时