苏科版数学八年级上册 1.5 等腰三角形 同步分层练习

苏科版数学八年级上册1.5等腰三角形同步分层练习一、夯实基础1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线·若CD=4，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．82．如图，在△ABC中，∠B=∠C，∠BAC=130°，∠DAC=95°，则∠ADB的度数为()A．100° B．120° C．130° D．140°3．如图，已知屋顶的主桁架△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=70°，点D是桁架AB边上的一点，为了加固屋檐，延长CB至点E，使得BD=BE，则∠E的度数是()A．22.5° B．25° C．27.5° D．35°4．下列各命题中，其逆命题是假命题的是（）A．等腰三角形的两个底角相等B．三个角都是60°的三角形是等边三角形C．全等三角形的三个角分别对应相等D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等5．图1是某学校人行入口的智能闸机及其示意图，如图2，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是80cm，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为10cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°，则双翼的边缘AC、BD（AC=BD）的长度为（）A．353cm B．70cm C．3526．如图，三角板ABC中，∠C=90°，∠B=45°，将它绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，点B,C的对应点分别是点D,E，则∠BAE=（）A．170° B．145° C．125° D．80°7．已知△ABC是等腰三角形，顶角∠A=80°，则底角∠B=．8．如图，已知在等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，AB＝2，则CD＝．9．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=5cm，则BF=cm．二、能力提升10．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转50°，得到△ADE，若点D恰好在CB的延长线上，则∠CDE等于()A．40° B．50° C．65° D．115°11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8，CD⊥AB于点D，E是AB的中点，则DE的长为（）A．2 B．4 C．6 D．812．如图，△ABC饶点A按顺时针方向转动50°得△AED，点D恰好在边BC上，则∠ADC=°.13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D是边BC的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边△PDQ，连接CQ，则CQ的最小值为.14．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，垂足为D，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD的延长线与AC边的延长线交于点E，∠E=30°.（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若BF=2，则求AE的长.15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，延长AB至点D，使AD=AC，取AC的中点F，连结DF交BC于点G，并延长至点E，使AE=CE.（1）求证：△ABC≌△AFD；（2）求∠ACB的度数.三、拓展创新16．如果一条线段将一个三角形分割成2个小等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“好线”；如果两条线段将一个三角形分割成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“好好线”．（1）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且AD=BD=BC，则∠A=度；（2）在△ABC中，∠B=33°，AD和DE是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，则∠C17．在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，E,F分别为AC,AB上的点，连接AD,DE,EF,FD．【探究发现】（1）如图①，若AB=BC，F为AB的中点，∠EDF=60°，求证：AB=AF+AE；【类比猜想】（2）如图②，若∠BAC=90°，∠EDF=90°，试说明AB,AE,AF之间的数量关系；【拓展延伸】（3）如图③，若∠BAC=120°，∠EDF=60°，AE+AF=12，求AB的长度．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，

∴AB=2CD=8.故答案为：D。【分析】本题结合图中信息得出，CD是斜边AB上的中线，然后依据“三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，列式计算即可得出AB的长度。2．【答案】B【解析】【解答】解：在△ABC中，∠B=∠C，∠BAC=130°

∴∠B=∠C=12(180°−∠BAC)=25°，

∵∠DAC=95°

∴∠ADB=∠C+∠DAC=120°

3．【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=70°

∴∠C=180°−∠A2=55°

∴∠ABE=∠A+∠C=125°

∵BD=BE

∴∠E=∠BDE=180°−∠ABE4．【答案】C【解析】【解答】解：A：逆命题为：有两个角相等的三角形为等腰三角形，为真命题，不符合题意；

B：等边三角形的三个内角均为60°，为真命题，不符合题意；

C：逆命题为：三个角对应相等的两个三角形为全等三角形，为假命题，符合题意；

D：逆命题为：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，为真命题，不符合题意；故答案为：C【分析】写出个选项的逆命题，结合等腰三角形判定定理，等边三角形性质，全等三角形判定定理，垂直平分线判定定理逐项进行判断即可求出答案.5．【答案】B【解析】【解答】解：过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F由题意可知，闸机最大通行宽度减去AB的长度，即为两侧挡板垂直于侧立面的长度之和，∵AC=BD，∴AE=BF=80−10在RtΔACE中，∠ACE=30∵直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，∴AC=2AE=2×35=70 cm。故答案为：B【分析】本题考查含30°角的直角三角形的性质在实际问题中的应用。解题时首先需要通过作辅助线构造直角三角形，结合闸机的宽度条件求出直角三角形中30°角对应的直角边长度，再利用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”这一性质，即可求出挡板边缘的总长度。6．【答案】C【解析】【解答】解：∵三角板ABC中，∠C=90°，∠B=45°，∴∠BAC=90°−∠B=45°，由旋转的性质可得∠CAE=80°，∴∠BAE=∠CAE+∠BAC=125°，故选：C．【分析】先利用直角三角形两锐角互余计算出∠BAC的度数，再结合旋转的性质得到∠CAE的度数，最终即可求出对应结果.7．【答案】50°【解析】【解答】解：∠B=180°−∠A2=50°

8．【答案】1【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AB=2，

∴AB=BC=AC=2，

又∵AD是BC边上的高，

∴BD=DC=12BC=12×2=1，

故答案为：1．9．【答案】10【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∴AD是△ABC的中线，∴S△ADB∴S∵S△ABC=1∴12∴BF=10，故答案为：10．

【分析】首先根据在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，得到AD是△ABC的中线进而可以得到S△ADB=S10．【答案】B【解析】【解答】解：由旋转的性质可知：∠BAD=50°，AB=AD，∠ABC=∠ADE，

∴∠ABD=∠ADB=（180°-∠BAD）÷2=65°，

∴∠ABC=180°-∠ABD=115°=∠ADE，

∴∠CDE=∠ADE-∠ADB=50°.

故选：B.

【分析】根据旋转的性质可得∠BAD=50°，AB=AD，∠ABC=∠ADE，由此得△ABD为等腰三角形，从而得到∠ABD=65°，然后利用邻补角的定义，求得∠ABC的值，最后利用角的和差关系即可得解.11．【答案】A【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB中点，AB=8，

∴CE=AE=BE=12AB=4，

∵∠A=30°，

∴∠B=180°-90°-30°=60°，

∵BE=CE=4，

∴△CBE为等边三角形，

∵CD⊥AB，

∴D为BE中点，

∴DE=1212．【答案】65【解析】【解答】解：∵△ABC按顺时针方向转动50∘得∴∠CAD=50∘,AD=AC，

故答案为：65.【分析】根据旋转的性质得到∠CAD=50°，AD=AC，然后根据三角形的内角和定理和等边对等角求出∠ADC的度数即可.13．【答案】1【解析】【解答】解：如图，在CD的下方作等边△CDT

∵∠CDT=∠QDP=60°，DP=DQ，DC=DT

∴∠CDP=∠QDT

在△CDP和△TDQ中

DP=DQ∠CDP=∠TDQDC=DT

∴△CDP≌△TDQ

∴∠DCP=∠DTQ=90°

∵∠CTD=60°

∴∠CTQ=30°

∴点Q在射线TQ上运动，当CQ⊥TQ时，CQ的值最小，最小值为12CT=114．【答案】（1）证明：∵AD垂直平分BC，∴AB=AC，BD=CD，∵DF⊥AB，∴∠AFE=∠BFD=90°，∵∠E=30°，∴∠BAC=90°-∠E=60°，∴△ABC是等边三角形；（2）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，AB=BC，∴∠BDF=90°-∠B=30°，∴在Rt△BDF中，BD=2BF=2×2=4，∵BD=CD，∴AB=BC=2BD=2×4=8，∴AF=AB-BF=8-2=6，∵∠E=30°，∴在Rt△AEF中，AE=2AF=2×6=12.【解析】【分析】(1)根据垂直平分线的性质得到AB=AC，BD=CD，再利用三角形内角和定理得到∠BAC=60°，即可证明；

(2)根据等边三角形的性质得到∠B=60°，AB=BC，利用含30度角的直角三角形的性质得到BD=2BF=4，利用线段的和差关系求出AF=AB-BF=6，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求出AE的长.15．【答案】（1）解：证明：∵AE=AC，F为AC的中点

∴EF⊥AC

∴∠AFD=∠ABC=90°

∴∠DAF+∠D=90°

又∵∠DAF+∠ACB=90°

∴∠ACB=∠D

∵AD=AC

∴△ABC≌△AFD(ASA)（2）解：连接CD，如图所示，

∵由(1)知F为AC的中点，DE⊥AC

∴DE垂直平分AC

∴DA=DC

∵AC=AD

∴△ACD为等边三角形

∴∠CAD=60°

∴∠ACB=90°-∠CAD=90°-60°=30

∴∠ACB=30°

【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性质知AC⊥DF，由此得∠ACB=∠D，结合AD=AC即可证△ABC≌△AFD；

(2)由(1)知DE垂直平分AC，知DA=DC，而AC=AD，即知△ACD为等边三角形，得∠CAB的度数，即得∠ACB的度数.16．【答案】（1）36（2）22°或38°【解析】【解答】解：（1）∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,

∵BD=BC=AD,

∴∠A=∠ABD,∠C=∠BDC,设∠A=∠ABD=x,则∠BDC=2x,∠C=即2x=解得x=3则∠A=3故答案为：36；（2）设.∠C=x,①当AD=AE时，如图：∵2x+x=3②当AD=DE时，如图：∵3所以∠C的度数为22∘故答案为：22∘或38∘.

17．【答案】证明：（1）如图①，

∵AB=AC，AB=BC，∴AB=AC=BC，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°．∵∠EDF=60°，∴∠EDC+∠FDB=180°−60°=120°，∵∠FDB+∠BFD=180°−60°=120°，∴∠EDC=∠BFD，∵D为BC的中点，∴BD=CD=1∵F为AB的中点，∴AF=BF=1∵AB=BC，∴AF=BF=BD=CD，在△BDF和△CED中，∠EDC=∠BFD∴△BDF≌△CEDASA∴CE=BD=BF，∴CE=1∴AE=CE=BF，∴AB=AF+BF=AE+AF．解：（2）如图②，

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°，∵D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=45°，∴∠BAD=∠B=∠CAD，∴AD=BD．∵∠EDF=90°，∴∠ADE+∠ADF=90°，∵∠ADF+∠BDF=90°，∴∠ADE=∠BDF，在△BFD和△AED中，∠B=∠CAD∴△BFD≌△AEDASA∴AE=BF，∴AB=AF+BF=AE+AF．（3）如图③，

取AC的中点G，连接DG，∴AG=GC，∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∠B=∠C，∵∠BAC=120°，∴∠C=30°，∠DAC=∠DAB=60°，∴AD=1∴AG=AD，∴△ADG为等边三角形，∴AD=GD，∠ADG=∠AGD=60°，∴∠ADE+∠GDE=60°，∠FAD=∠EGD=60°．∵∠EDF=60°，∴∠ADF+∠ADE=60°，∴∠ADF=∠GDE．在△AFD和△GED中，∠FAD=∠E