重庆市2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试题 含答案解析

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知随机变量服从正态分布，则（）A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.22.已知集合，，则（）A. B. C. D.3.已知集合，若命题：，是上的增函数，则为（）A.，不是上的增函数B.，是上的增函数C.，是上的减函数D.，不是上的增函数4.某科考小组推算出某种树的高度（单位：）关于树的胸径（树的主干在地面以上处的直径）（单位：）的经验回归方程为，已知某棵树的胸径为，高度为，则该样本点的残差为（）A. B. C. D.05.某种玩具有A，B两种款式，厂商将玩具放入盲盒，已知盲盒开出A款的概率是开出B款概率的168倍，用随机变量表示1次抽盲盒开出B款的次数，则（）A. B. C. D.6.设函数（且），若，则的值为（）A. B. C. D.7.若，则（）A.-5 B.-1 C.1 D.58.若函数对任意的，有恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错误选项得0分.9.现有5位同学集合站队，以下说法正确的是（）A.若站成一行，则有种不同的方法B.若站成两行，则有种不同的方法C.若站成一行且甲乙相邻，则有种不同的方法D.若站成一行且甲乙不相邻，则有种不同的方法10.已知，为正实数，，则（）A. B.C. D.11.某外卖平台从、、三个商家随机接单，接到商家订单的概率为0.5，接到商家订单的概率为0.25，接到商家订单的概率为0.25，其中商家超时的概率为0.1，商家超时的概率为0.2，商家超时的概率为0.4，则下列选项正确的是（）A.外卖超时的概率为0.2B.如果外卖超时，则该外卖来自商家的概率为0.25C.如果外卖超时，则该外卖来自商家的概率为0.3D.如果外卖超时，则该外卖来自商家的概率为0.5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知不等式的解集为，则__________．13.若函数在点处的切线方程为，则实数的值为______.14.某乒乓球训练馆有两台发球机：机器发上旋球和下旋球的概率分别为和；机器发上旋球和下旋球的概率分别为和.为提高运动员的训练水平，设定发球规则如下：每次由一台发球机发球，若发出上旋球，则下一次从机器发球；若发出下旋球，则下一次从机器发球.若第一次从机器发球，记第次发出下旋球的概率为，则______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为调研学生选科的情况，某学校随机调查了100名学生的高一数学期末成绩的及格情况和他们的选科情况，调查结果如下表.选择物理选择历史合计数学成绩及格482068数学成绩未及格161632合计6436100（1）估计数学成绩及格的学生选择物理的概率；（2）根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩及格与否与选科是否有关联.附：0.050.010.0013.8416.63510.82816.已知函数.（1）求函数的极大值与极小值；（2）证明：当时，.17.某农学研究所开发了一种可在沙化严重的土壤上种植的粮食作物，在大规模推广之前，需要进行育种试验.若每一颗试验种子的成苗率为，且种子是否成苗相互独立.（1）若有10颗试验种子，且成苗率，求：（i）恰有7颗成苗的概率；（ii）成苗种子数量的平均值和方差.（2）每100颗试验种子为一个实验组，若有一个实验组恰有70颗成苗的概率最大，求的取值范围.18.已知函数（）.（1）讨论函数的单调性；（2）若在上恒成立.（i）求；（ii）求证：对于任意整数（），.19.在展销会上，某企业的展示台将（）件使用环保材料的新产品，（，）件使用非环保材料的旧产品放置在同一排，所有排列结果等可能，从左至右依次编号为1号展柜，2号展柜，……，号展柜.（1）若，.（i）求5号展柜内放的是新产品的概率；（ii）用表示最右边的新产品所在展柜编号，求的数学期望.（2）若表示最右边的新产品所在展柜编号的倒数，证明：.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知随机变量服从正态分布，则（）A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.2答案：C解析：思路：根据正态曲线的性质求解即可.解答过程：由题意知，正态曲线关于对称，所以.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：令，解得，则，而恒成立，故，可得，故C正确.3.已知集合，若命题：，是上的增函数，则为（）A.，不是上的增函数B.，是上的增函数C.，是上的减函数D.，不是上的增函数答案：A解析：解答过程：命题为：“，函数是上的增函数”.其否定形式为：“，函数不是上的增函数”.4.某科考小组推算出某种树的高度（单位：）关于树的胸径（树的主干在地面以上处的直径）（单位：）的经验回归方程为，已知某棵树的胸径为，高度为，则该样本点的残差为（）A. B. C. D.0答案：B解析：解答过程：由经验回归方程当胸径时，预测值为

已知该树的实际高度为样本点的残差为5.某种玩具有A，B两种款式，厂商将玩具放入盲盒，已知盲盒开出A款的概率是开出B款概率的168倍，用随机变量表示1次抽盲盒开出B款的次数，则（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：设开出A款的概率为，那么开出B款的概率为.，解得.所以.6.设函数（且），若，则的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：因为，所以在处的导数为.，所以，解得.7.若，则（）A.-5 B.-1 C.1 D.5答案：A解析：解答过程：，所以取得.8.若函数对任意的，有恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：分析可知函数在内单调递增，结合导数可知在内恒成立，进而分析求解.解答过程：由题意可知：函数在内单调递增，则在内恒成立，即在内恒成立，因为，则，可得，则，即，所以实数的取值范围是.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错误选项得0分.9.现有5位同学集合站队，以下说法正确的是（）A.若站成一行，则有种不同的方法B.若站成两行，则有种不同的方法C.若站成一行且甲乙相邻，则有种不同的方法D.若站成一行且甲乙不相邻，则有种不同的方法答案：AC解析：解答过程：对于A，若站成一行，则有种不同的方法，故A正确；对于B，若站成两行，可能出现前1后4，前2后3，前3后2，前4后1，每种情况都可看作将排成的两排“拉直”，实际上就是将5人排成一排的问题，有种不同的方法，种不同的方法，故B错误；对于C，若站成一行且甲乙相邻，可将甲乙捆绑看作一个整体（甲乙可以交换顺序），再与剩下的3位同学进行排列，则共有种不同的方法，故C正确；对于D，若站成一行且甲乙不相邻，可先将剩下的3位同学进行排列，在其前后留下4个空位，再将甲、乙插入其中2个空位，则共有种不同的方法，而，故D错误.10.已知，为正实数，，则（）A. B.C. D.答案：BCD解析：思路：A，通过均值不等式求解；B，D，将用表示后代入原式求解范围；C，利用乘上原式不改变式子大小来求解范围.解答过程：选项A，因为，所以，解得，，所以，故A错误；选项B，，所以，且等号在时成立，故B正确；选项C，，等号在时成立，故C正确；选项D，，等号在时成立，故D正确；11.某外卖平台从、、三个商家随机接单，接到商家订单的概率为0.5，接到商家订单的概率为0.25，接到商家订单的概率为0.25，其中商家超时的概率为0.1，商家超时的概率为0.2，商家超时的概率为0.4，则下列选项正确的是（）A.外卖超时的概率为0.2B.如果外卖超时，则该外卖来自商家的概率为0.25C.如果外卖超时，则该外卖来自商家的概率为0.3D.如果外卖超时，则该外卖来自商家的概率为0.5答案：ABD解析：思路：根据全概率公式及贝叶斯公式计算即可.解答过程：设事件：接到商家订单，事件：接到商家订单，事件：接到商家订单，事件：外卖超时，则，，，，，.对于A，由全概率公式得，A正确.对于B，由贝叶斯公式得，B正确.对于C，由贝叶斯公式得，C错误.对于D，由贝叶斯公式得，D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知不等式的解集为，则__________．答案：5解析：思路：由题意可知，1和2是对应方程的两个实根，由根与系数的关系解得的值即可．解答过程：由已知不等式的解集为，则对应方程的两个根分别为1和2，则，所以.13.若函数在点处的切线方程为，则实数的值为______.答案：##解析：思路：求导，根据题意可得，，列方程求解即可.解答过程：因为的定义域为，且，由题意可得：，，由可得，即，把代入可得，且，可得，解得，所以.14.某乒乓球训练馆有两台发球机：机器发上旋球和下旋球的概率分别为和；机器发上旋球和下旋球的概率分别为和.为提高运动员的训练水平，设定发球规则如下：每次由一台发球机发球，若发出上旋球，则下一次从机器发球；若发出下旋球，则下一次从机器发球.若第一次从机器发球，记第次发出下旋球的概率为，则______.答案：解析：思路：结合题意得到，再构造等比数列求出，最后求解即可.解答过程：由题意得第次发出下旋球的概率为，则第次发出上旋球的概率为，且机器发上旋球和下旋球的概率分别为和；机器发上旋球和下旋球的概率分别为和.，结合题意得，即，设，可得，得到，解得，可得，而，得到是首项为，公比为的等比数列，则，故，可得.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.为调研学生选科的情况，某学校随机调查了100名学生的高一数学期末成绩的及格情况和他们的选科情况，调查结果如下表.选择物理选择历史合计数学成绩及格482068数学成绩未及格161632合计6436100（1）估计数学成绩及格的学生选择物理的概率；（2）根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩及格与否与选科是否有关联.附：0.050.010.0013.8416.63510.828答案：（1）（2）有关联解析：（1）设数学成绩及格的学生中选择物理为事件，由题意得事件发生的概率为.（2）由题意得零假设为：数学成绩及格与否与选科之间无关联，根据列联表中的数据，计算可得，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，数学成绩及格与否与选科有关联.16.已知函数.（1）求函数的极大值与极小值；（2）证明：当时，.答案：（1），（2）若证当时，，即要证当时，，即，又，则要求在上恒成立即可，而，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故，所以，得证.解析：思路：（1）利用导数判断函数的单调性，进而求解极值即可.（2）将目标不等式合理转化，再结合导数证明不等式即可.（1）由题意得，当，或，当，，所以当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，则，.（2）略17.某农学研究所开发了一种可在沙化严重的土壤上种植的粮食作物，在大规模推广之前，需要进行育种试验.若每一颗试验种子的成苗率为，且种子是否成苗相互独立.（1）若有10颗试验种子，且成苗率，求：（i）恰有7颗成苗的概率；（ii）成苗种子数量的平均值和方差.（2）每100颗试验种子为一个实验组，若有一个实验组恰有70颗成苗的概率最大，求的取值范围.答案：（1）（i）（ii）5，2.5（2）解析：思路：（1）（i）先判断出二项分布，再利用概率公式求解即可，（ii）利用二项分布的期望和方差公式求解即可.（2）结合题意建立不等式组求解参数范围即可.（1）（ⅰ）设事件“一颗试验种子成苗”，则，用表示事件发生的次数，则，由二项分布概率公式得；（ⅱ）由二项分布期望公式得，由二项分布方差公式得.（2）由题意得，记，则，由题意最大，所以有，，得到，解得，故.18.已知函数（）.（1）讨论函数的单调性；（2）若在上恒成立.（i）求；（ii）求证：对于任意整数（），.答案：（1）当时，在上单调递减，当时，在上单调递减，在上单调递增（2）（i）（ii）由(i)知，当时，，函数，所以，当时，等号成立.当时，令，则，于是，，……，，则，而，所以，得证.解析：思路：（1）对范围分类讨论求解单调性.（2）(i)通过单调性讨论与函数恒成立的性质求解.(ii)通过前两题的前提条件求证.（1）函数，求导得，当时，对任意恒成立，所以在单调递减，当时，，，单调递减，，，单调递增.（2）(i)当时，不满足恒成立，舍去.当时，由（1）可知，，若恒成立，则，设，，则，，单调递增，，，单调递减.故，则，所以；(ii)略19.在展销会上，某企业的展示台将（）件使用环保材料的新产品，（，）件使用非环保材料的旧产品放置在同一