2026高一数学专项提升讲义：对数函数 （学生版）

第20讲：对数函数

【知识梳理】

知识点一对数函数的概念

一般地，函数〉=1。&%g>0,且存1)叫做对数函数，其中X是自变量，函数的定义域是(0,+8).

知识点二对数函数的图象和性质

对数函数y=lo&x(4>0,且存1)的图象和性质如下表:

y=log,/X(a>0,且#1)

底数a>\0<a<l

；)

p',A=logHa>l)

图象\p,。)

°

：y=log^

1;(()<a<l)

定义域(0,+oo)

值域R

单调性在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

共点性图象过定点(1,0),即x=l时，y=0

x€(0,l)时，j'G(—co,0);x€(0,l)时，jG(0,+oo)；

函数值特点

xG[1,+s)时，j^6[0,+oo)A6[1,+oo)时，yW(—8,0]

对称性函数y=logd与y=log]K的图象关于x轴对称

a

知识点三不同底的对数函数图象的相对位置

一般地，对于底数的对数函数，在区间(1,+8)内，底数越大越靠近x轴；

对于底数0V/V1的对数函数，在区间(1,+8)内，底数越小越靠近X轴.

知识点四反函数的概念

一般地，指数函数>=优(介0,且存1)与对数函数y=logR">0,且存1)互为反函数.

(1»=德的定义域R就是y=log/的值域：而^=优的值域(0,+8)就是歹=lo&式的定义域.

(2)互为反函数的两个函数产优(>0,且存1)与尸10以双。〉0,且存1)的图象关于直线产x对称.

(3)互为反函数的两个函数y=av(〃>0,且在1)与歹=k>&M〃>0,且存1)的单调性相同.但单调区间不

1

一定相同.

【例题详解】

题型一、对数函数的概念及应用

1.（25-26高一上•全国•课前预习）函数/（4）=（/—+1）10&.产是对数函数，则实数”（）

A.0B.1C.2D.3

2.（25-26高一上•仝国•课后作业）已知函数y=log“（4-x）（〃>0,且的图象过点（0,2）,则函数

的解析式为.

3.（25-26高一上•全国•周测）（1）若函数y=bg（2"i）x是对数函数，求实数。的取值范围；

（2）如果对数式1。&-）12+6.丫+5）有意义，求实数x的取值范围.

题型二、与对数函数有关的定义域

4.（25-26高二下•北京通州•期末）函数/（x）=—的定义域是

vx+1

T

5.（25-26高二下•江西赣州•期末）函数'=J（2X-8）°-1O&（K-3）的定义域为

14-Y

6.（25・26高一卜・全国・周测）已知/（外=1密;—.

1-x

⑴求/（x）的定义域;

（2）判断/（》）的奇偶性.

题型三、对数函数的图象问题

7.（2025高二下•湖南郴州•学业考试）函数｝FlogJM的图象大致是（）

3

2

8.（25・26高二上•贵州六盘水・期末）如图，①②③④不可能是函数y或产10gM（其中。＞0且4）

9.(2025・湖南长沙•一模)己知lga+lgb=0(a>0,6>0,且"1力工1),则函数/'(x)=a)与g(x)=1og/的

题型四：对数函数的复合单调性问题

10.（2025高一上,全国・专题练习）（多选）关于函数y=log.（1-2x+3）,下列选项中正确的有（）

3

A.定义域为（-8,-3）U（l,y）B.增区间为口,+功

C.最小值为1D.图象恒在x轴上方

11.（25-26高一下•上海金山•阶段练习）函数/（工）=底+%4-x）的单调增区间为,

12.（25-26高三下•四川雅安•开学考试）函数/5）=（电4-219的单调递增区间是.

题型五：由对数函数的单调性求参数

13.（2025•山东泰安・模拟预测）己知函数%）=怆卜2-附-5）在（5,+8）上单调递增，贝〜的取值范围是

（）

A.(-4)B.24]

C.(4,+。)D.[4,+8)

14.（25・26高一上•全国•周测）已知函数=,若/"+2）＞/（3吟，则实数机的取值范围

是.

15.2（5-26高二下・江西•期末）已知函数/"）=ln俘;21.

\%一］）

（1）证明:/（X）是奇函数；

（2）若/（x）在区间+2）上单调递减，求"的取值范围.

题型六：由对数函数的单调性解不等式

16.（25-26高二下•海南海口•期天）已知log“等＜g,则实数Q的取值范围为（）

A.0，；［u（l,+8）B.8,一；U

。紧）D.屋卜加

17.（25・26高二下•安徽马鞍山•期末）已知/＜］，且log*一则实数。的取值范围是.

18.（25-26高一上•全国•课前预习）已知bgo/xvlogoJxT），则x的取值范围为

题型七、比较大小

4

19.（2025•北京•三模）已知。=噫1.5,/）=*=©［则下面结论正确的是（）

A.b<c<aB.h<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

20.（25・26高一下•云南・期末）已知函数/0H，若八情，八/（；），c=/（3）,则叫b,c的

大小关系为（）

A.a<b<cB.a<c<hC.b<a<cD.b<c<a

21.（25・26高二下•江西•期末）已知力=log“5,c=k）g63,则（）

A.c<a<bB.a<c<bC.h<a<cD.b<c<a

题型八、对数函数的最值问题

22.（25・26高一上•全国•课后作业）函数/（工）=-log-（2%）在区间［2,4］内的最大值为（）

A.1B.2C.4D.8

23.2（025高三•全国・专题练习）函数y=bg［（8+2x-/）的最小值为.

3

24.（2024・全国•模拟预测）已知函数/。）=1。儿（--or+1）在区间七,2）上有最大值或最小值，则实数。

的取值范围为（）

A.B.U（l,2）C.D.JU（l,2）

题型九、对数函数的应用

25.（2025高三・全国・专题练习）若1吗（r+1）<嘀2"0,则q的不可能取值是（）

234

A.2B.-C.-D.—

26.（25-26高二下,河南新乡期末）若lnx+y-2>iny+x-2,则（）

A.铲>1B.e^>ev2>1C.D.铲

27.（25-26高二下•北京平谷•期天）已知函数/（x）=lnx,若V4々«。，+8）且N，则以下第送的是

（）

A./（内）</（m）B./（中2）=/仿）+/（吃）

5

c./'（^^卜；/（中2）D./（再+/）>（［/■）+/&）］

题型十、对数函数综合问题

28.（23-24高二下•浙江绍兴•阶段练习）现测得某放射性元素的半衰期为1500年（每经过1500年,

该元素的存品为原来的一半），某生物标本中该放射性元素面初始存量为〃?，经检测现在的存量为，

据此推测该生物距今约为（）（参考数据：怆2=03=虚）

A.2700年B.3100年

C.3500年D.3900年

29.（23・24高三上•四川•阶段练习）函数〃*=的图象大致为（）

/2.r+1

30.（25・26高一下•上海•阶段练习）已知函数y=/（x）=bg“（l+x）-log“（l-x）（a>0且awl）.

（1）讨论y=f（x）的奇偶性与单调性;

⑵若不等式2的解集为求4的值.

6

【专项训练】

一、单选题

1.(25-26高二下•湖南长沙•期中)在区间(0,+/)为增函数的是()

1/1V

A./(x)=rB.J(x)=-C.f(x)=IgxD./"(1)=—

xUJ

2.(25・26高一上・安徽亳州•期末)函数/。)=皿(1+喂)的图象大致为()

3.(25-26高一下•广东深圳•期末)若函数〃x)=log2(/-仆)在区间(L2)上单调递增，则。的取值范围

是()

A.(e,l]B.(-00,2]c.(0,1]D.(0,2]

4.(25・26高三上,福建福州,阶段练习)已知a=ln0.9,6=四,c=为，则()

A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a

5.(25-26高二下•江西•期末)若。=1嗝6。.3,则aw()

A.(0,0.5)B.(0.5,1)C.(1,2)D.(2,+8)

6.(25-26高一上•安徽铜陵•期末)已知log。.2M〈log^NcO,则()

A.1<N<MB.1<M<NC.0<N<M<\D.0<M<;V<1

7.(2024,甘肃张掖，一'模)已知命题P：Vxe(0,9),log3X<2；命题q:*e(0,4),/<«.则()

A.〃和9都是真命题B.P和-14都是真命题

C.力和夕都是真命题D.「P和F都是真命题

8.(2026高三,全国•专题练习)已知函数/(')=•(5)41，则/(x)亭的解集为()

log/x+l),-1<x<1,

A.(-oo,0]B.(-1,0]c.(一1,0]31，+8)D.[L”)

7

:"oM）若小）的值域为口产），

9.（25・26高一上•河北石家庄•阶段练习）已知函数/"）=

则实数。的范围是（）

A.2B.（—,2]C.（一应2）D.（0,2]

10.（23・24高三上•福建莆田•阶段练习）若函数/（力=（>〃即=为偶函数，则”（）

人I1

A.-1B.0C.D.1

11.（2025高二下•浙江•学业考试）对于函数…氏（1）+嗨（1+”,下列说法正确的是（）

A.是偶函数，且在.“（TO）上单调递增B.是偶函数，且在xw（l,+8）上单调递减

C.是奇函数，且在上单调递增D.是奇函数，且在xc（l,+8）上单调递减

12.（23-24高二下・广东广州・阶段练习）已知函数〃幻=上£,则/（£|+/6）+/（1卜+/0卜）

A.6B.7C.8D.9

二、多选题

13.（25-26高二下•山东烟台•期文）下列不等关系成立的有（）

073304

A.3>0.7B.lg3<ln0.9C.log34>log56D.0.4°<O.3

14.（25-26高一下•海南海口•期末）已知函数f（x）=ln誉，则下列说法正确的是（）

3+x

A.函数/（"的定义域为（-3,3）B.函数/（力是奇函数

C.函数〃力是增函数D.若/（。）+/（2。-1）<0,贝ljg<a<2

15.（25-26高一下•广西桂林•开学考试）如图，这是函数八|1。及'|和J=|bgr|的大致图象，其中0<”入1,

图象中在点（1,0）处形成了4条曲线，从左至右分别记为贝II（）

A.4,4是函数，=|陛“乂的图象B.4，4是函数y=题。M的图象

8

C.4,4是函数^=|1。8/|的图象D.是函数的图象

16.（2025•河北保定•二模）若函数/（x）=lg：+lg（2J）,则（）

A./（幻为减函数B./（x）=lox=5

C.的值域为RD.〃x）<2ox<50

三、填空题

17.（2023高一上•全国•专题练习）如图是对数函数J，=log小的图象，已知a的值取6，

35o

则相应于GCCC的a的值依次是.

18.（2025・云南昆明•模拟预测）已知函数〃力是定义在R上的奇函数，且当且仅当x>0时，/（x）=lnx,

则当x<0时，/（x）的解析式为.

19.（25-26高二下•上海浦东新•期末）方程四2（工-5）=唾2（;-2）+2的解集为.

20.（25-26高一下•云南保山•期天）已知函数/a）=ln（e2，+l）7,则不等式/（213）>/（x）的解集

为.

21.（2021・全国•模拟预测）已知函数/3=卜二唾式：+1）'，"0'是奇函数，则g（-2）=.