图形的相似 单元综合检测-新九年级数学暑假讲义（北师大版）

第25讲图形的相似单元综合检测

一、单选题

1.下列各组线段的长度成比例的是（）

A.1cm,2cm,3cm,4cmB.3cm,4cm,5cm,6cm

C.5cm,10cm,15cm,20cmD.6cm,4cm,3cm,2cm

【答案】D

【分析】根据成比例线段的定义，把线段按照由大到小或由小到大的顺序排列，验证第一项x第四项是否与

中间两项乘积相等即可.

【解析】A、1x4,2x3,因此不成比例;

B、3x6^4x5,因此不成比例；

C、5x20黄10x15,因此不成比例：

D、6x2=4x3,因此成比例;

故选D.

【点睛】本题考杳成比例线段的定义，属于基础题.

2.若则土二上的值为（）

y2y

3223

A.-B.-C.7D.-

5532

【答案】D

【分析】把原式变形为土-1,再代入，即可求解.

y

rS

【解析】解：・・w，

•・・山=土-1

=9—i

2

=一3

2

故选：D

【点睛】本题主要考查了比例的基本性质，根据题意，把原式变形为是解题的关键.

3.下列命题中，正确的是（）

A.所有的正方形都相似R.所有的菱形都相似

C.边长相等的两个菱形都相似D.对角线相等的两个矩形都相似

【答案】A

【分析】两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，根据

相似多边形的定义逐项判断即可.

【解析】解：A.所有的正方形都相似，故选项正确，符合题意；

B.菱形的边成比例，但角不一定相等，故选项错误，不符合题意；

C.边长相等的两个菱形都不一定相似，故选项错误，不符合题意：

D.对角线相等的两个矩形边不一定成比例，所以不一定相似，故选项错误，不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查命题、相似多边形的定义，解题的关键是熟练掌握相似多边形的概念.

4.在比例尺为I:100000的地图上，甲、乙两地图距是2cm,它的实际长度约为（）

A.100kmB.2000mC.10kmD.20km

【答案】B

【分析】根据实际距离二图上距离♦比例尺列出算式，再进行计算即可.

【解析】解：2：------=2000001cm）=2（km），

100000

答：甲、乙两地的实际距离是2000m.

故选:B.

【点睛】此题考查了比例线段，掌握图上距离、实际距离和比例尺的关系是解题的关键，注意单位的换算.

5.一个四边形A8CO各边长为2,3,4,5,另一个和它相似的四边形力4GA最长边为15,则AgGA的

最短边长为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【分析】设四边形ABC。最短边长为X,根据相似多边形的性质列得2：入=5：15,,从而求出X.

【解析】设四边形ABC。最短边长为x,

•・•四边形ABC。相似四边形48cA,

.*.2：x=5：15,

解得x=6,

故选：C.

【点睛】考查了相似多边形的性质，理解并掌握相似多边形的性质是解题的关键.

6.如图，以点。为位似中心，把.工8C放大2倍得到..A8'C.下列说法错误的是（）

A.△ABCS^ATTC'B.AO:AAr=1:2

C.AB//AB1D.直线CC经过点。

【答案】B

【分析】根据位似变换的概念和性质判断即可.

【解析】解：•・•以点。为位似中心，把一"C放大2倍得到

AAABC^A'B'C,直线CC经过点0,AO:A,O=i:2,

AAO:A4=1:3,

AAsC、D选项说法正确，不符合题意；B选项说法错误，符合题意.

故选:B.

【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质.掌握位似三角形的性质是解题的关键.

7.如图所示，△AQEs/XACB,NAED=NB,那么下列比例式成立的是（）

ADAEDEADAE

A.B.

ACABBCABAC

ADACDEAEDE

C.------------D.------—

AEABBCECBC

【答案】A

【分析】根据相似三角形的性质判断求解即可.

【解析】解：VAADE^^ACB,NAED=NB,

.AD_AEDE

故选：A.

【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答的关键.

8.已知线段A6=2,点P是线段A8的黄金分割点（AP>4P）,则线段AP的长为（）

3-y/575-1

A.B.C.3-5/5D.x/5-1

22

【答案】D

【分析】根据黄金分割的定义即可解答.

【解析】解：•・•点P是线段AB的黄金分割点(4P>8P),

・•・"二任1.=在±2=逐一1,

22

故选：D.

【点睛】此题考查了黄金分割'应该熟记黄金分割的公式：较长线段二原线段长的与1倍.

AR9

9.如图，4〃4〃4,若黑=5，DF=15,则EE=()

BC3

A.5B.6C.7D.9

【答案】D

ADrip

【分析】根据平行线分线段成比例定理可得正二百’根据题意‘小=。"-科’进而求解.

【解析】・・・4〃[〃4,

.ABDE

..----=-----.

BCEF

•••丝—_2—,

BC3

.DE2

••=—，

EF3

VDE=DF-EF,OF=15,

.\5-EF2

••=-9

EF3

/.EF=9.

故选:D.

【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用平行线分线段成比例定理是解本题的关

键.

10.如图，点?在以8C的边4c上，下列条件中不能判断的是()

B

AfiAQnABAC

A.ZABP=NCB.ZAPB=ZABCC.—=—D.----------

APABBPCB

【答案】D

【分析】根据相似三角形的判定定理（①有两角分别相等的两三角形相似，②有两边的比相等，并且它们

的夹角也相等的两三角形相似）逐个进行判断即可.

【解析】解：A.・・・N4=NA,NABP=/C,

•••△ABPS/SACB,故选项不符合题意;

B「；NA=NA,ZAPB=ZABC,

：./XABP^/\ACB,故选项不符合题意;

4r

C.•「NA=NA,AB~=AP*AC>即---=----,

APAB

：・、ABPs»ACB,故选项不符合题意;

4PAC

D•杈据黑=*和NA=/A不能判断AABPS/XACB,故选项符合题意.

DPCD

故选:D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定,解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似与两边对应成比

例且夹角相等的三角形相似定理的应用.

11.如图，在等腰Rt4/WC中NC=90°,AC=BC=2&.点。和点E分别是8C边和AB边上两点，连

接。及将石沿DE折叠，得到△*。七，点B恰好落在AC的中点处，设。E与84交于点片则E尸

=()

D.正

V.z.-----

62

【答案】C

【分析】根据等腰直角三角形的性质得到人8=应4。=4,/4=/8=45。，过万作87/JLAB与"，得到人〃

="”=孝4夕，求得4”=87/=1,根据勾股定理得到=J夕=,4+32=回，由折叠的性质

得到8尸DELBB'，根据相似三角形即可得到结论.

22

【解析】解：：在等腰RSA4C中NC=90。，AC=BC=2五,

[AB=&AC=4,NA=/B=45。，

过万作B'HLAB与H,

•••△A〃夕是等腰直角三角形，

：.AH=B,H=-AB,,

2

'：AB'=^AC=42,

:・BH=3,

,*•B夕=13'H2+BH2=+3。=VlO,

•・•将△BOE沿。E折叠，得到

；・BF;BB=叵,DE工BB',

22

:./BHB=NBFE=90°,

・：2EBF=/B，BH,

:•△BFESABHB'

.EFBF

Vio

,空二H，

~T~~

故答案为：叵.

6

故选：C.

【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，折叠问题，相似三角形的判定与性质，正确

作出辅助线是解题的关键.

12.如图，在矩形A8C。中，OE平分NADC交8c于点E,点尸是C。边上一点（不与点。重合）.点。

为DE上一动点，PE<PD,将“尸尸绕点P逆时针旋转90。后，角的两边交射线D4于从G两点，有下

列结论：①DH=DE：②DP=DG；③DG+DFmDP;®DPDE=DHDC,其中一定正确的是（）

A.①②B.②@C.①④D.③④

【答案】D

【分析】根据旋转的性质判断得AGP”兰ADP尸（ASA）,可判断③正确，证APDHAC。石可判断④正确,

从而得出结果.

【解析】解：根据旋转的性质可知，NDPH=NGPF=9O°,

YOE平分/ADC,

/./HDP=45。,

:.ADHP=/PDH=/PDF=45°,

：.PH=PD,

•:/DPH=NGPF=90。

Z.GPH=4DPF

在AGP"和ADPF中，

NGHP=NFDP

•：）PH=PD

NGPH=4DPF

:・AGPHw2PF（ASA）

・•・HG=DF

•・•ZPD//=45°

DH=&DP

・•・DF+DG=GH+DG=DH=41DP

故③正确：

•・•Z.PDH=/PDF=45°,ZDPH=ZDCE=90°

/.^PDHNCDE

.DHDP

^~DE~CD

即DFDE=DHDC,

故④正确；

根据已知条件无法证明①。〃=Z)£,®DP=DG.

故选：D.

【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的全等、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关

键.

二、填空题

13.两个相似多边形的面积比是9:16,则它们的周长比是.

【答案】3:4

【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比计算即可.

【解析】•・•两个相似多边形的面积比是9:16,

:,相似多边形的相似比为屈=3:4

・••它们的周长比是3:4.

【点睛】本题考查了相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，熟练掌握相似多边

形的性质是解题的关键.

14.若线段。=4,。=9,则线段0,。的比例中项为.

【答案】6

【分析】由四条线段。，x,x,b成比例，根据成比例线段的定义解答即可.

【解析】解：设线段m人的比例中项为

根据比例中项原则：d=ab,

Ac2=4x9,

Ac—6

故答案：6.

【点睛】本题考查成比例线段、比例中项等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.

15.已知"是线段人"的黄金分割点，且人尸U8P,若八2=有+1,则人尸的长为.

【答案】石-1/-1+后

【分析】根据尸是线段48的黄金分割点，且4PV8P,可得8P=避二即可求解.

2

【解析】解：•・•0是线段A8的黄金分割点，且

工BP=^^~AB=^^~?（加1）=2,

.\AP=AB-BP=4S+\-2=4S-1.

故答案为：75-1.

【点睛】本题主要考查了黄金分割，根据题意得到8P=更二148是解题的关键.

2

16.如图，为估算河的宽度，在河的对岸选取一点4在近岸取点。，B,使得A,D,3在一条直线上，且

与河的边沿垂直，测得8Q=20m,然后又在垂直A8的直线上取点C,并量得BC=40m.如果。E=30m,

A、E、C三点共线，则河宽A。为.

【答案】60加60米

【分析】根据平行得到△ADEsAABU然后根据对应边成比例，得到答案.

【解析】解：根据题意，在R/AAOE与RtAABC中，

VDE//BC,4O=20m,AC=40m,DE=30m,

：.\ADES*ABC、

.ADDEAD30

''~AB~~BC~AD+20~40'

：.AD=60,

故答案是：60m.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质和判定，理解相似三角形的对应线段成比例是解题的关键.

17.如图，AC耳'll力B,若AC=8,4。=12,贝ljEF=.

D

24

【答案】Y

J

FFDR-FF

【分析】根据AC〃样〃08,可得尸S/^BCA,△AEF^^ADB,从而得到——=------,即可求

CADB

解.

【解析】解：•・•AC〃痔，

:ABEFsABCA,

,EFBF

••=,

CAAB

♦：EF//DB,

二△4MSA4OB,

.EFAF

..---=---，

DBAB

.DB-EFAB-AF

••=，

DBAB

DB-EFBF

a即n-------=——,

DBAB

,EFDB-EF

••=,

CADB

VXC=8,3。=12,

.EF\2-EF

••=，

812

解得：EF=?24.

24

故答案为：y

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

18.如图，在ZMBC中，点。在AC边上，AD：DC=1：2,点E是8。的中点，连接AE并延长交8c于点

F,4012,则"二.

D

【答案】3

【分析】过后作8c的平行线交AC与G,由中位线的知识可得出QG：DC=1：2,根据已知和平行线分线

段成比例得出EG：FC=2：3,再根据8c=12,即可得出的值.

【解析】解：过E作EG〃8C,交AC于G,

YEGUBC,E为8D中点,BC=12,

EG\

••DG=CG,——=—，

I3C2

:.EG=6,

乂・7£）：DC=1：2,

・・"G：AC=2：3,

\'EG//BC,

.EGAG2

••——,

FCAC3

：.FC=9,

•：BC=\2,

:・BF=BC-FC=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理

和三角形面积公式.

19.如图，正方形A8CQ的边长为8,M、N分别是BC、CO上的两个动点，且始终保持4W_LMM当CN=2

【答案】4

【分析】根据正方形的性质可得A8=8C=8,ZB=ZC=90°,进而证明N8AM=NNMC,得△BAMsaCMN,

即可求得。W的值.

【解析】解：•・•四边形A5c。是E方形，

；・AB=BC=8,ZB=ZC=90°,

••・N8AM+NBM4=90。，

VAMIMN,

:.N4MN=90。，

/.NBMA+NNMC=90。,

・•・NBAM=NNMC,

:uBAMsACMN,

.BMNC

.8-A/C_2

~~~MC'

解得MC=4.

故答案为：4.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相似三角形的

判定方法.

20.如图，菱形A6CQ中，/84。=120。，对角线相交于点。，点七、户分别是边8C、CD上的点，且

ZE4F=6(r,连接A£、4；分别交对角线30于点M、N,若AB=5,DN=26则AAMN的面积为

【答案】旦旦

16

【分析】根据菱形的性质可推导出人。=|,BO=OO=|G,BD=56aV=36，再由ABC。可得:

RNAR

4ABNS/XFDN,根据相似三角形的性质列出式子===，根据ASA可以判定一84£三。八故

DNDF

BE=CF="再由，8C〃AD可得：ABEMsADAM,根据相似三角形的性质列出式子气=桀•，即

3ADDM

可得出答案.

【解析】解：四边形48co为菱形，A8=5,ZBAD=\20°,

.-.Z4BC=60°,ACJ.BD,ABCD,AB=BC=AD=5,BC//AD,

:.AABC是等边三角形，

Z4BO=30°,

AO=-AB=-

22t

SO=OD=、6

2

:.BD=56，

DN=2g,

二.BN=35

AB//CD,

:.△ABNsNDN,

.BNAB_3

而一而一砺一5

210

DF=：AB=—,

33

ZE4F=6()O=ZABC,

.,./84E=NC4/，

在_84石和VC4尸中，

NABE=NACF

<AB=AC,

NBAE=NCAF

.■.ABAE^ACAF(ASA),

：.BE=CF=-

3f

-BC//AD,

:ABEMMDAM,

5

BEBM3_\,

~XD~~DM~^~3

：.BM=-BD=—,

44

.八“s.4565y/35G

244

6

ON=s-yf3-2y/3=—,

22

.AN5Gx/37石

..MN=-----+——=------>

424

•c_1w4八_1765_35石

=xx=

,SA&MZ--,2~j-y~\(~，

故答案为：亘叵.

16

【点睛】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质

是解题的关键.

三、解答题

21.（1）已知线段。=2,b=9,求线段”，〃的比例中项.

V-X

（2）已知x：y=4：3,求^---的值.

【答案】⑴3行；（2）

【分析】（1）设线段x是线段小％的比例中项，根据比例中项的定义列出等式，利用两内项之积等于两外

项之积即可得出答案.

（2）设x=4A,y=3k,代入计算，于是得到结论.

【解析】解：（1）设线段X是线段小匕的比例中项，

*.*6=3,b=6,

7=3x6=18,

x=±3x/2（负值舍去）.

・•・线段。，〃的比例中项是3夜.

（2）设x=4A,y=3kf

.yr_31-4k_

~~3k~~3,

【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

22.已知，X：y：z=2：3：4,求：

（1）山的值；

Z

（2）若x+y+z=l8,求x,y,z.

【答案】（1）（2）x=4,y=6,z=8.

【分析】（I）根据比例设x=2k,y=3k,z=4k,然后代入比例式进行计算即可得解.

（2）根据比例设x=2k,y=3k,z=4k,然后代入等式进行计算即可得到k的值，进而得出x,y,z的值.

【解析】解：（1）设x=2k,y=3k,z=4k,则

x+y_2k+3k_5

z424,

（2）设x=2k,y=3k,z=4k,

Vx+y+z=18,

，2k+3k+4k=18,

解得k=2,

.*.x=4,y=6,z=8.

【点睛】本题考查了比例的性质，利用“设k法”表示出x、y、z可以使运算更加简便.

23.如图，。、E分别是AC、AB上的点，△AQEs/XABC,且Z）E=8,BC=24,CD=I8,40=6,求AE、

8E的长.

B

【答案】4E=8,BE=\O.

【分析】由△AOEs/XABC,且Z)£=8,8c=24,CZ)=18,4。=6,根据相似三角形的对应边成比例，即可求

得答案.

【解析】解：•「△ADEs/XABC,

,AEADDE

•；DE=8,BC=24,CD=18,AD=6,

：,AC=AD+CD=24,

：.AE=S,A8=18,

：.BE=AB-AE=\0.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质.注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用是解此题的关键.

24.如图，直线//〃〃〃/3,直线AC依次交//、卜、A于A、B、C三点，直线。/依次交//、〃、/3于。、E、

F三点，若嚷=［，DE=2,求石尸的长.

AC/

【答案】L5

【解析】利用平行线分线段成比例定理得到学=坐，然后把有关数据代入计算即可.

ACDF

解答：解：•••//〃〃〃〃，直线4C依次交//、12、，3于人、B、C三点,直线依次交//、/2、人于。、E、F

三点,

.ABDE

**AC-DF*

・・AB4

.——=—，DE=2,

AC7

.42

••一=--9

7DF

解得：。尸=3.5,

：.EF=DF-DE=3.5-2=1.5.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此

题的关键.

25.如图，在平面直角坐标系中，J18C的顶点坐标分别为：A（l,4）,5（2,2）,C（5,l）.

7

-

6

5

4

-

3

-

2

。；1234；56；7；89To^

⑴以原点。为位似中心，在第一象限内画出./）所，使得./底尸与一位似，且相似比为2：1；

（2）在（1）的条件下，分别写出点A、B、C的对应点。、E、尸的坐标.

【答案】（1）图见解析

（2）0（2,8）,E（4,4）,尸（10,2）

【分析】（1）连接。4,延长Q4至格点。，使Q4=A£>,则。为A的对应点，同法确定B的对应点E,C

的对应点F,再顺次连接。，E,F即可；

（2）根据对应格点的位置可得答案.

【解析】（1）解：如图，，」）£尸邛为所求作的三角形：

（2）根据对应格点的位置可得:

D（2,8）,E（4,4）,F（10,2）

【点睛】本题考查的是画位似图形，求解位似对应点的坐标，掌握位似图形的性质再确定位似图形对应点

的坐标是解本题的关键.

26.如图，苏海和苏洋很想知道用阳口月岛上“生态守护者——徐秀娟.•雕像的高度A6,于是，他们带着测

量工具来到雕像前进行测量，测量方案如下：如图，首先，苏海在。处放置一平面镜，他从点C沿后退,

当退行0.9米到E处时，恰好在镜子中看到雕像顶端A的像，此时测得苏海眼睛到地面的距离OE为1.2米;

然后，苏海沿8c的延长线继续后退到点G,用测倾器测得雕像的顶端A的仰角为45。，此时，测得EG=2.1

米，测倾器的高度/G=1.2米.已知点3、C、E、G在同一水平直线上，且A8、DE、AG均垂直于8G,

求雕像的高度A3.

【答案】16.8

【分析】根据已知条件推出求得A8与BC的关系，再根据题意易得四边形卜〃汨。、四边

4

形DEGF、四边形"5G产均为矩形，得到A〃二,x-1.2,根据乙4F4=45。，得AH=H尸,构造一元一次

方程，解方程即可得出结论.

【解析】解：设8C=x米，如图，

A

根据题意可得，ZACB=/DCE,N8=NOEC=90。,

/.4ABCSADEC,

.ABBC

,9~5E~~CE'

4

・•・AB=-x

3f

丁点B、C、E、G在同一水平直线匕且AB、DE、尸G均垂直于BG,DE=FG=[.2m,

・•・四边形H8EO、四边形OEG尸、四边形”3G尸均为矩形，

4

A”=7-1.2,

3

•:乙4产”=45。，

:・AH=HF,

4

A-x-1.2=x+0.9+2.1

3

解得x=12.6

4,、

AB=-xl2.6=16.8（m）

答:雕像的高度为16.8米.

【点睛】本题考查相似三角形的判定、性质与实际应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

27.如图，在△ABC中，A。是8c边上的中线，点”在边8c上，且A”="C,HG〃AD交AC于点、G,

BD=7,AO=5,0/7=3.

（1）求证：AHLBCx

（2）求AG的长.

【答案】（1）见解析

⑵竽

【分析】3）根据条件求出4”的长，得出A/T+D/MAD2,证明△AH。是直角三角形即可；

（2）利用勾股定理求出AC的长，设AG为x,则可用x表示CG的长，利用平行线分线段成比例列出比例

式，即可求出x,即AG的长.

【解析】（1）证明：・・・4。是4c边上的中线，

:.DC=BD=1,

•:DH+HC=DC=1,

：,HC=DC-DH=7-3=4.

•：AH=HC,

:・AH=CH=4,

yAfP+DH2=25,4》=25,

：.AH2+DH2=AIy,

•••△4”。是直角三角形，NAHQ=90。，

(2)设AG=%,

由勾股定理得4C=JA”2+〃C2=40，

CG=AC-AG=4sfl-x，

,:HG〃AD,

.CGHC4

**AC-CD-7

嗨M

解得工=吆2,

7

的长为坦臣.

7

【点睛】本题考查了勾股定理和平行线分线段成比例定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解题关键.

28.如图，在.人此中，ZACfi=90°,CA=CB,CO是人B边上的高，点E为线段CO上一点(不与点C,

点。重合)，连接8E,作所J.BE与4c的延长线交于点F,与BC交于点G,连接BF.

(1)求证：ACFGSAEBG；

(2)求证：NCEF=/CBF；

(3)求噂的值.

DL

【答案】(1)见解析

(2)见解析

⑶及

【分析】(1)得出/户CG=N8EG=9()。，NCGF=NEGB,则结论得证;

(2)证明△CGESAFGB即可；

(3)过点尸作CD交。C的延长线于点”，证明△生”gaEB。(AAS),得出/”二瓦＞,则。”二五〃,

得出Cr二夜OE,则得出答案.

【解析】(1)证明：,/ZACB=9D°,EF上BE,

：,NFCG=4£G=90°

又；NCGF=4EGB

:・.CFGs.EBG

(2)解：由⑴得二CFGs二E8G,

.CGFG

■•■

EGBG

.CGEG

••----=----9

FGBG

又丁ZCGE=ZFGB,

/.£CEG=NFBG,

即/CEF=/CBF

(3)解：过点尸作尸〃_18交0。的延长线于点〃，如下图所示，

由(2)知，Z£FB=45°,EFLBE,

:.Z\8瓦是等腰直角三角形，

:.EF=BE

'：1FEH+NDEB=90。,NE8Q+/DEB=90°,

:.zTEH=ZEBD

在△尸£”和/XEBD中

NFEH=Z.EBD

NEHF=/BDE=90。

EF=BE

；・3卜EHgAEBD(AAS),

,FH=ED,

,/AFCH=ZACD=45°,ZCHF=90°,

4:FH=/FCH=45。，

/.CH=FH

在RlAC切中，CF7cH2”片=&FH，

CF=42DE，

【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和

性质，相似一角形的判定与性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.

29.如图①，已知矩形48C。和矩形g、G,且45=2M,AG=2AE,连接。G,BE.

⑴发现:

①线段£)G与跖之间的数量关系是

②直线。G与直线跖之间的位置关系是

(2)探究：当矩形A£AG绕点4顺时针能转。，0°<a<180°,如图②，且4)=2M，AG=2AE,(I)中结

论还成立吗？并给出证明.

(3)应用：在(2)的情况下，AB<,AE=2,当矩形从加6绕点A旋转到从E,"在同一条线上，则线

段M的长是多少？(直接写出结论)

【答案】⑴①ZX；=23£：@BEJ.DGX

⑵成立，证明见解析；

(3)8尸=5或8尸=3.

【分析】(1)如图，延长把，交DG于点”，可证得DAGBAE,丝=2,?EDH?ABE,进一步

BE

证得NO〃E=90。，于是DG=2M,BEJ.DG；

(2)延长BE交。G于从如图①，求证NB4E=ND4G,进一步证明,可得DG=23£,

ZABE=ZADG,求证ND”B=90。，于是8E2OG；

(3)存在两种情况：①当点8,E,产在同一条直线上，如图②，N4£8=90。，中，根据勾股定

BEAR

22

理得，BE=>JAB-AE=\^由△ABEs£kADG,W—=—,进一步求解得8尸=8石+瓦'=5；另：②

DCJAD

当点从E,尸在同一条直线上如图③，ZAEB=90°,同理求/七=〃笈-4炉”由△ABEsAADG,得

RFADfl

—-==—,进一步求得8F=£F-3£=3.

DGAD2

【解析】(I)①DG=23£.②BE1DG.

如图，延长BE,交DG于点、H,

*.*AD=2AB,AG=2AE,

・ADAG_

,.--=--=2,

ABAE

又・2D4G=/8AE,

/.^DAG.BAE,

DGc

=2,?EDH2ABE,

BE

:.DG=2BE,

故答案为：DG=2BE；

(2)V?DHE180?@EDH?DEH)180?(?ABE?AEB)2EAB90?,

ABEIDG,

故答案为：BELDGx

(2)(1)中结论仍成立；

证明如下：延长BE交。G于"，如图①.

•・•四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，

・•・/BAD=NEAG,

:・£BAE=4DAG.

*/AD=2AB,AG=2AE,

.ABAE1

..----=------=—,

ADAG2

△ABES&ADG.

则DG=2BE.

DGAD2

:.^ABE=ZADG.

•••ZAMB+ZABE=90。,

:.ZAMA+ZAO"=90°.

,:ZAMB=NDMH,

：,^DMH+ZADG=90°.

，ZD/7B=90°,

・•・BElDGx

(3)BF=5或BF=3.

①当点8,E,尸在同一条直线上，如图②.

/.ZAEB=90°.

在RtZXAAE中，根据勾股定理得，BE=yjAB2-AE2=1.

由(2)知，△ABESAADG,

.BEAB

''~DG~~AD

DG=2，EF=2AE=4,BF=BE+EF=1+4=5.

②