2026高一数学（初升高）提升讲义：数与式（学生版）

第1讲：数与式

【考点梳理】

/考点一：乘法公式的应用

/考点二：根式的求值化简

/考点三：指数与指数累的运算

/考点四：数的比较大小和估算

/考点五：数与式的应用问题

【知识梳理】

知识点一、乘法公式

【公式1】平方差公式：a2-b~=(a+b)(a-b)

【公式2】完全平方公式：(。土份2=〃2±2"+从

【公式3】完全立方公式：(々±〃)3=/±3/〃+3〃/±/73

【公式4】(a+b+c)2=a2+b2+c2+lab+2bc+2ca(完全平方公式)

【公式5](a+h)(a2-ab+b2)=a3-vh3(立方和公式)

【公式6】(a-b)(a2+出?+〃)=一少(立方差公式)

知识点二、指数式

(1)当〃£N时，an=g•a...a.当〃£Q时，⑴零指数。°=1(。00)，

⑵负指数。一"=4(4=0).

⑶分数指数=行(〃>(),机，〃为正整数).

m

幕运算法则：⑴优,-an=am¥n,(2)(/f=cT,(3)(")"=anbn(a,b>0,m,nGZ).(4；—=a,nn

a"

知识点三、根式：式子&(aNO)叫做二次根式，其性质如下:

(1)(G)2=a(a>0)(2)\[a^=\a\

(3)\[ab=>/a->0,b>0)(4)秒亲a>

如果有x"=a,那么x叫做。的〃次方根，其中〃为大于1的整数.

当n为奇数时，值=0,当n为偶数时，二|小卜一之，

(一。，6<U

知识点四、分式：当分联的分子、分母中至少有一个是分式时，熬叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种

方法:

1

（I）利用除法法则；（2）利用分式的基本性质.

【题型归纳】

题型一：乘法公式的应用

1.（2025高一•全国・专题练习）式子（4-3（/+〃）可恒等变形为（）

A."一尸B.a2-lab+b2

C./+ab2-a2b-b3D./_加+a2b-b，

2.（2025高••全国•专题练习）式了•4-41+4+%-2可恒等变形为（）

A.2x-4B.4-2x

C.|x-2|+x-2D.|x4-2j4-x—2

3.（25-26高一上•全国•课前预习）已知〃?是方程V+x-l=0的一个根，求代数式++（/〃+1）（机-1）的值.

4.（25-26高一•上海•假期作业）已知犬+工一1=。，求证：0+1）3一*-1）3=8-64.

题型二：根式的求值化简

5.（2526高一上•湖北武汉•阶段练习）行7+#（兀―盯―OS':）

A.16-71B.兀C.一兀D.-n-8

6.（2526高一上.宁夏银川•阶段练习）若J（3〃-=而-3”,则实数。的取值范围为

7.（25-26高一上.全国•课后作业）计算血+⑸+血—后的值为.

8.（25-26高一上•全国•课前预习）化简下列各式：

⑴后；

⑵,（"4）2+加一4），;

⑶他―3）’（〃力）；

（4）"+,（1一〃）4.

题型三：指数与指数塞的运算

2

9.（25-26高一上•全国）设。>0,下列运算中，正确的是（）

A.B.（—叫’=（—打

C.（_a*=_*D.”2+/=涓

10.（25-26高一上.江西赣州•开学考试）下列运算正确的是（）

A./•4=/B.（—2/）3=-6/

C.（3a+l）（3a-l）=9a2-lD.（2a3-a2）^-2a=2a-\

11.（25-26高一上•河北张家口•阶段练习）回答下面两个题：

54/3」I、

（1）化简：+。3〃.

<*>

⑵若x+x--9,求下列各式的值：

①x-②1+■

12.（25-26高一•上海•课堂例题）（1）己知:+■=石，求x-xT的值；

⑵已知求徉-繇的值•

题型四：数的比较大小和估算

13.（25-26面一上•全国•课前预习）比较2,屈,行的大小，正确的是（）

A.正<2<加B.2<用<亚

C.2<岳<^D.V5<</7<2

14.（25-26高一上•全国•课前预习）7q，27506,45三个数的大小关系是（）

A.7x/44<2x/506<45B.25/506<45<7>/44

C.7x/44<45<2x/506D.45<2x/506<7>744

15.（25-26高一上.重庆.开学考试）估计$26x逐的值应在（）

A.8和9之间B.9和10之间

C.10和11之间D.1和12之间

16.（25-26高一上•重庆•开学考试）估计行（疵+6）的值在（）

3

A.9和10之间B.10和11之间

C.11和12之间D.12和13之间

题型五：数与式的应用问题

17.（25-26高一上•四川成都）计算：

⑴后-2店+厉一次

（2）2而x且+应

4

（3）便+2码（6-2闾

（4）氏（存&）—（2及-

18.（25-26高一上•贵州遵义•阶段练习）（1）已知x>l,X2+4=H,求x-L的值；

xx

（2）已知+"?+/=14，a+b+c=6,求而+儿+伙?的值.

（3）已知a-b=e+l,b-c=6-1,a2-i-b2+c2—ab—ac—be

19.（25-26裔一上•福建泉州•开学考试）配方法是数学中重要的思想方法之一，它是指将一个式子的某一部分通过

恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的

意义来解决一些问题.我们定义：一人整数能表示成〃是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如,

5是“完美数”，理由：因为5=2、『，所以5是“完美数”.

解决问题

（1）已知29是“完美数”，请将它写成/+〃2（a、〃是正整数）的形式；

（2）若V一6工+13可配方成（x-m）2+n2（/〃、〃为正整数），则〃=；

探究问题

（3）已知S=V+4y2+4.L12），+A（x、），是整数，左是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一•个k值，并

说明理由.

20.（25-26高一上.江西南昌•开学考试）阅读材料.：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完仝平方公式

以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：

4

立方和公式：V+y3=（工+），）12_碎+）,2）,

立方差公式：丁一），3=（工一、,）卜2+切叶）,2）

根据材料和已学知识解决卜列问题

（1）因式分解：o,-8；

（2）先化简，再求值：f3^_^+2x+4\2其中工=3.

x-2xx-8）x-4

⑶利用材料因式分解：?+3/-4

【专题突破】

一、单选题

1.（25-26高一上•全国•课前预习）下列结论正确的是（）

A.—J（一6）2=-6B.（一百成=9

C.际?=±16D.+闺吟

2.（2526高一上•全国•课前预习）一个自然数的算术平方根为m则和这个自然数相邻的下一个自然数是（）

A.47+1B.«2+1C.J.2+1D.&i+l

3.（25-26高一上•全国.课前预习）下列运算：其中结果正确的个数为（）

①②W“那

③（ab）'二④a，+a，=a

A.1B.2C.3D.4

4.（25-26高一上•全国•课前预习）如图所示，数轴上表示2,后的对应点分别为C,8,点。是A8的中点，则点

A表示的数是（）

ACB

,iA*

A.-y/5B.2-石C.4-V5D.6一2

5.（25-26高一上•全国•课前预习）若炳+1的值在两个整数〃与。+1之间，则。=（）

A.4B.5C.6D.7

6.（25-26高一•上海•假期作业）若r+y2+z2=4,x+j+z=2x/2,则Ay+xz+yz=（）.

A.1B.2C.3D.4

5

7.（2025高一.全国・专题练习）计算七+&+羡+L+■的值为（）

A.9C.一

200200

8.（2025高一•全国•专题练习）式子（g+x1、

-一x可恒等变形为（）

1D.-4-1

A.―~~xB.―-+x~C.x2-■-

x-x~厂

9.（2526高一上•安徽芜湖,自主招生）设同表示不超过。的最大整数，如同=3,[-1.2]=-2,则

1

十yJs+Ay/3().

716-65/7

A.5B.6C.7D.8

二、多选题

9.（23-24高一上.湖南岳阳•开学考试）在数轴上和有理数。，〃，c对应的点的位置如图示，下列四个结论正确的

是（）

abc

♦—L--1—•——•-1----->

-101x

A.(i~—2t7—3>0B.卜一q+|。一4=,一（?!

C.(a+〃)(O+c)(a+c)>0D.a2>|/>c-l|

11、（23-24高一上•河南漂河•阶段练习）已知a-&+a&=3,下列各式中正确的是（）

'+尸=7B.46+4-3*=]8

「66厂D.a”星十1=2不

C”+户=石a中

12.（22-23高一上•江苏宿迁•开学考试）下列运算中，正确的有（）

A.叱x1=1B.24+24=25

2021

C.一（一3尸=9D.xl02022=-10

「而

13.⑵-24高一上•湖北孝感・开学考试）下列选项正确的有（）

A.已知/一2x+l=0,贝ij代数式(五一I)?+X(X-4)+(X-2)(X+2)=0.

6

B.已知x?—3x+1=0，贝U/H—^—3=15.

x

C.若4=看天+20,b=5x+19,c=-^x+2i,PWa2+/?2+c2-ab-bc-ac=3.

D.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2f—8.r+7=。的两个根，则这个直角三角形的斜边长是

9.

14.（23-24高一上・江苏泰州•开学考试）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为力="-而根据这个法则,

下列结论中正确的是（）.

A.72*3=2-372

B.若a?+2ab+b?=0，则

C.方程（％+2）*（x+l）=0的根是％=—2,占二。

D.若小，〃是实数，则〃KM-（〃L

三、填空题

15.（25-26高一上•全国.课前预习）计算而+住+白卜______

16.（25-26高一上•全国.课前预习）满足忘<<<«的整数工是

,(V3)4-(V2)4

17.（25-26高一上•全国•课前预习）计算:_1_____________________________________

(6-0。

18.（2025高一•全国•专题练习）化简：“一%!二

5/〃+5/〃-1

19.（2025高一•全国•专题练习）己知4+。+<?=4,〃2+力2+<?=8,则。力十。。十m的值为.

20.（25-26高一•上海•假期作业）观察下列各式的规律:

(a-b)(a+b)=a2-b2

(。一。)(/+"+〃)=4’-Z/

(a-Z?)侬+a%+加+b*)=a4-b4

可得到(即与(优+武力++〃*+")=.(其中〃为正整数).

四、解答题

7

21.（25-26高一上•全国•课前预习）（I）已知a?—访—劭2=0（々/0力工0）,求2+f的值.

ab

（2）已知/+9必一%+的+2=。，求2々一3〃的值.

22.（25-26高一上•全国•课前预习）计算：

⑴（近一+2加（石一应）（6+友）：

⑵任-患-泊卜-2®

23.（25-26高一•上海•假期作业）已知a+Hc=0,a〃+力c+c”-；,求下列各式的值：

⑴/+/+c2;

⑵/+b、c4.

24.（23-26高一•上海•假期作业）已知a/,c为非零实数，W+/+ClY+），2+z2）=（ar+b），+cz）2，求证：2

25.（25-26高一上•四川成都・开学考试）何老师安排喜欢探究问题的小明解决某个问题前，先让小明看了一个有解

答过程的例题.

例：若例+2mn+2nr-6〃+9=0，求m和n的值.

解：ni2+2mn+-6〃+9=0,

•••nr+2mn+n1+-6〃+9=0,

（m+a）2+（〃-3）2=0

.•.m+n=0,71-3=0,所以机=-3,〃=3.

为什么要对2/进行了拆项呢？

聪明的小明理解了例题解决问题的方法，很快解决了下面两个问题.相信你也能很好的解决下面的这两个问题，请

写出你狗解题过程..

解决问题：

（1）若V—4xy+5y2+2y+l=0,求炉的值；

⑵已知小尻。是VABC的三边长，满足。2+从