第二十九章章末复习教学设计 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第二十九章章末复习教学目标教学目标1．理解圆的有关概念，掌握弧、弦的概念与判定；理解确定圆的条件，了解点与圆的位置关系，知道不在同一条直线上的三个点确定一个圆．2．理解并掌握垂径定理及其推论，圆周角定理及其推论，理解圆心角、弧、弦之间的关系，会用圆的基本性质与定理进行证明或计算．3．了解多边形的外接圆，圆的内接三角形和三角形的外接圆，会计算相关问题．4．会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积，体会转化思想和整体思想．教学重点教学重点圆的有关概念、垂径定理及其推理、圆周角定理、弧长及扇形面积的公式．教学难点教学难点综合运用所学知识解决问题．教学过程教学过程复习导入请你带着下面的问题，进入本课的复习吧！1．圆的位置及大小由哪些要素确定？如何从点的集合的角度理解圆的概念？点和圆有怎么的位置关系？2．垂直于弦的直径有什么性质？在同圆或等圆中，两个圆心角以及它们所对的弧、弦有什么关系？这些关系和圆的对称性有什么联系？3．同弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？4．你能用直尺和圆规作出一个三角形的外接圆吗？圆的内接四边形有什么性质？5．怎样由圆的周长和面积公式得到弧长公式和扇形面积公式？【设计意图】以问题串的形式创设情境，引导学生复习回顾已学知识点，通过学生回答，检查学生对知识的掌握情况，加深学生对知识的理解，提高学生灵活运用知识的能力．要点复习考点一圆的有关概念【例1】已知⊙O的半径为6，则⊙O中弦AB的长度不可能是（）A．6 B．8 C．12 D．13【师生活动】学生口述解题过程，教师进行指导．【答案】D【解析】∵⊙O的半径为6，∴⊙O的直径为12，∴⊙O中弦AB的长度小于或等于12，故选D．【归纳】在同一个圆中，直径是最长的弦；若圆半径为r，则弦长范围：0＜弦长≤2r．判断弦能否存在，只需对比长度和直径大小．【设计意图】学生通过独立解决例1，掌握“直径为圆内最长弦”这一核心结论．通过练习，让学生牢记弦长取值范围，能够快速判断某一线段能否作为圆的弦，夯实圆中弦的基础概念，为垂径定理计算做好铺垫。【例2】若⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内 D．无法确定【师生活动】学生口述解题过程，教师进行指导．【答案】C【解析】∵⊙O的半径为2，在同一平面内，点P与圆心O的距离为1，1＜2，∴点P在⊙O内．故选C．【归纳】设圆的半径为r，点到圆心的距离为d：d＞r→点在圆外；d=r→点在圆上；d＜r→点在圆内．【设计意图】学生通过独立解决例2，巩固点与圆的三种位置关系判定方法。通过练习，让学生掌握利用距离d与半径r的大小关系判断点和圆位置关系的思路，夯实基础概念，为后续学习直线与圆的位置关系做好铺垫。考点二垂径定理及其推论【例3】一条排水管的截面如图，已知排水管的半径OA为1m，水面宽AB为1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m，则此时排水管水面宽CD等于_______m．【师生活动】学生口述解题过程，教师进行指导．【答案】1.6【解析】如图，连接OD，作OE⊥AB，垂足为E，与CD交于点F．由题意，知OA＝OD＝1m，EA＝0.6m，根据勾股定理，得OE＝0.8m．∵EF＝0.2m，∴OF＝0.6m．在Rt△ODF中，FD＝OD2－OF2＝1－0.∴CD＝2FD＝1.6m．【归纳】常用的辅助线：在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算，在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个即可求另一个．【设计意图】学生通过独立解决例1，进一步加深对垂径定理及其推论的理解．通过学生练习和教师讲解，让学生知道常用的辅助线作法，能熟练地用垂径定理及其推论进行证明或计算．【跟踪训练1】如图①，唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船．如图②，某桨轮船的轮子可看作圆，被水面截得的弦AB长为8m，轮子的吃水深度CD为2m，半径OC⊥AB于点D，则该桨轮船的轮子直径为（）A．4m B．5m C．8m D．10m【答案】如图，连接OA．设半径为rm，则OA＝OC＝rm，∴OD＝（r－2）m，AD＝4m．在Rt△ODA中，由勾股定理得OA2＝OD2+AD2，∴r2＝（r－2）2+42，解得r＝5，则该桨轮船的轮子直径为10m．故选D．【归纳】垂径定理及其推论的四个应用：（1）计算线段的长度：常构造直角三角形，结合勾股定理进行计算；（2）证明线段相等：根据垂径定理平分线段推导线段相等；（3）证明等弧；（4）证明垂直：根据垂径定理的推论证明线段互相垂直．【设计意图】结合古代桨轮船的实际情境，让学生感受数学在生活、历史中的应用．通过本题巩固垂径定理+勾股定理的组合模型，学会用方程思想解决圆中弦长、拱高类计算题，提升学生建模与几何计算能力．考点三与圆心角、圆周角有关的计算【例4】如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，求∠BCD的大小．【师生活动】学生回答，教师根据学生的回答情况补充说明．【分析】进行与圆有关的角度的相关计算时，一般先判断角是圆周角还是圆心角，再转化成同弧所对的圆周角或圆心角，利用同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解．【答案】解：连接AC，则∠ACD＝∠E＝20°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠BCD＝∠ACD＋∠ACB＝20°＋90°＝110°．【归纳】见到直径，构造直径所对的圆周角，这是圆中重要的辅助线作法，且充分利用“半圆（或直径）所对的圆周角是直角”这一性质．【设计意图】学生通过独立解决例2，加深对圆周角定理及其推论的理解．让学生知道,见到直径，要构造直径所对的圆周角，并能灵活运用圆周角定理及其推论解决问题．【例5】如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上，若∠BDC＝130°，则∠ABC的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【师生活动】教师提问，学生回答．【答案】A【解析】∵四边形ABCD是半圆O的内接四边形，∴∠A＋∠BDC＝180°．∵∠BDC＝130°，∴∠A＝50°．∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°，∴∠ABC＝40°．故选A．【归纳】利用圆周角定理及其推论证明时常用的思路：（1）在同圆或等圆中，要证明弧相等，考虑证明这两条孤所对的圆周角相等．（2）在同圆或等圆中，要证明圆周角相等，考虑证明这两个圆周角所对的孤相等．（3）当有直径时，常利用直径所对的圆周角为直角解决问题．（4）涉及圆外部的角时，可利用圆内接四边形转到圆的内部处理．【设计意图】通过例3，进一步加深对圆周角定理及其推论的理解，让学生能灵活运用圆的有关性质解决问题．【跟踪训练2】如图，A，D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D＝32°，则∠OAC等于（）．A．64° B．58° C．72° D．55°【师生活动】教师展示问题，引导学生采用不同的方法解题．【答案】B【解析】方法1：∵∠D＝32°，∴∠AOC＝2∠D＝64°．∵OA＝OC，∴∠OAC＝12(180°－64°)＝58°方法2：如图，连接AB，则∠B＝∠D＝32°，∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°．∴∠B＋∠ACB＝90°．∴∠ACB＝58°．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠ACB＝58°．方法3：如图，延长AO交⊙O于点E．∵∠D＝32°，∴AC所对的圆心角为64°．∵AE为⊙O的直径，∴ACE所对的圆心角为180°．∴CDE所对的圆心角为116°．∴∠OAC＝58°．考点四与圆有关的计算【例6】如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，则剪下的扇形的弧长是________cm（结果保留π）．【师生活动】教师展示问题，学生独立完成．【答案】62π【解析】如图，连接BC．∵∠BAC＝90°，∴BC是直径．∵AB＝AC，BC＝24cm，∴AB＝AC＝122cm．∴BC的长＝122×90π180＝62π【例7】如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O的三等分点，若弦CD＝2，则图中阴影部分的面积为________．【答案】23【解析】如图，连接OC，OD，BD．∵C，D是半圆O的三等分点，∴∠1＝∠2＝∠3＝60°．∴△OCD与△OBD都是等边三角形．∴∠4＝60°，OB＝CD＝2．∵∠3＝∠4＝60°，∴CD∥AB．∴S△OBD＝S△OCD＝S△BCD．∴S阴影＝S△BCD＋S弓形＝S△OBD＋S弓形＝S扇形OBD＝60×π×2【归纳】与圆有关的计算问题包括圆的面积和周长、弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积等．求弧长及扇形面积时，一要准确记忆相关公式；二要会合理转化图形，即化立体图形为平面图形，化不规则图形为规则图形．【设计意图】在具体例子的基础上，巩固求弧长及扇形面积的相关公式，让学生会利用转化思想将不规则图形转化为规则图形进行求解．【跟踪训练3】如图，分别以五边形ABCDE的顶点为圆心，1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为（）．A．32π B．3π C．72π D【师生活动】学生小组讨论，尝试完成解答，教师给出提示：在圆中求弧长、扇形面积时，如果不能求出弧所对的圆心角的度数，可考虑采用整体思想．【答案】C【解析】∵五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，∴所有阴影部分扇形的圆心角之和为5×360°－540°＝1260°．∴图中阴影部分的面积之和为12×1260π【设计意图】让学生体会化零为整、化分散为集中的整体思想，能利用整体思想，把问题化繁为简，化难为易，培养学生的创造力，提高分析问题和解决问题的能力．【跟踪训练4】如图，已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm2．（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，那么这个圆锥的侧面积和全面积分别为多少？【答案】解：（1）∵300π＝120πR∴R＝30cm．∴弧长l＝120×π×30180＝（2）设圆锥的底面半径为rcm．∵此扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，∴20π＝2πr．解得r＝10cm．由题意，知S侧面积＝300πcm2，∴S全面积＝π×102＋300π＝400π(cm2)．【设计意图】通过解答本题，让学生复习圆锥的侧面积及全面积的相关知识．课堂小结板书设计一、圆的有关概念二、垂径定理及其推论三、与圆心角、圆周角有关的计算四、与圆有关的计算课后任务课后任务完成教材第143~144页复习题29第1～7题．教学反思教学反思_________________________________________________________________________________________________________________________________________