中考数学专项复习-圆综合题-含解析

圆综合题专题复习

1.如图，在RtZXAbCW,ZC=90°,点O在A8上，经过点A的。。与8c相切于点，与AC,A8分别相交于点

E,F,连接47)与E”相交于点G.

(1)求证：AO平分NC48；

(2)若OH_LAD于点H,FH平分乙AFE,DG=\.

①试判断。/与。”的数量关系，并说明理由；

②求。。的半径.

2.在/中，ZE=90°,A。为NEAF的平分线，过A、。的。。与4E、4尸分别交于8、C,且BC〃EF

(1)求证：AC为OO的直径；

(2)求证：与。。的相切；

(3)若sinNA/15=3,BE=1,求0。的半径.

5

3.如图，A8是。。的弦，。为半径0A的中点，过。作CO_LQ4交弦A8于点E,交。。于点R且CE=CB,连接

AF,BF.

<1)求证：4C是。。的切线；

(2)①求/的度数：

②若AF=4,且AB平分NQ4/时,，求弦A8的长.

4.如图①，②，在平面直角坐标系X。)，中，点人的坐标为(4,()),以点人为圆心，4为半径的圆与x轴交于O,B

两点，0C为弦，N4OC=60°,P是x轴上的一动点，连接CP.

（I）求/Q4C的度数；

（2）如图①，当CP与OA相切时，求P。的长；

（3）如图②，当点P在直径。8上时，CP的延长线与OA相交于点Q,问P。为何值时，AOCQ是等腰三角形?

5.如图，点/是△A8C的内心，初的延长线与△A8C的外接圆。0交于点。，与AC交于点£,延长CO、3A相交于

点F,ZADF的平分线交AF于点G.

(I)求证：DG//CAx

(2)求证：AD=fD；

(3)若。£=4,BE=5,求8/的长.

6.如图，△ABC中，AB=AC,以A8为直径的。。交8C于点。，交AC于点E,过点。作DFL4C于点F,交A8

的延长线于点G.

(i)求证：。尸是oo的切线；

(2)已知8。=2诋，CF=2,求AE和8G的长.

7.如图1,A3为半圆。的直径，。为的延长线上一点，QC为半圆。的切线，切点为C.

(I)求证；NACO-NB；

(2)如图2,/BOC的平分线分别交AC,BC于点E,F；

①求lanNCFE的值;

②若AC=3,BC=4,求CE的长.

8.如图，48、CD为。。的直径，弦4E〃CD,连接BE交CD于点凡过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,

使NFED=NC.

(1)求证：PE是OO的切线;

(2)求证：ED平分NBEP；

(3)若。。的半径为5,CF=2EF,求的长.

9.如图，。。是△ABC的外接圆，旦4B=4C,点。在弧BC上运动，过点。作。E〃8C,DE交AB的延长线于点E,

连接A。、BD.

(1)求证：ZADB=ZE；

(2)当点。运动到什么位置时，QE是OO的切线？请说明理由.

(3)当人8—5,BC—6时，求OO的半径.

备用图

10.已知：如图，点3是。0/二一点，。0与。。1相交于A、。两点，BCLAD,垂足为。，分别交。0卜。。2于

B、C两点，延长。02交。。2于E,交船延长线于凡302交AZ)于G,连接AD

(1)求证：ZBGD=ZC；

(2)若NO。2c=45°,求证：AD=AF；

(3)若BF=6CD,且线段3。、族的长是关于x的方程(4m+2)x+4〃P+8=0的两个实数根，求BD、BF的

长.

11.阅读材料，解答问题：

命题：如图，在锐角△ARC中，RC=a,CA=b,AR=c,的

外接圆半径为R,则」一=」—=—^-=2R

sinAsinBsinC

证明：连接CO并延长交00于点D连接。〃，则/。=NA.

因为CD是OO的直径，所以NO8C=90°,

在Rt/XOBC中，sin/O=K=-^-

DC2R

所以sinA=」-,即一--=2R,

2RsinA

同理：」-=2R,0=2R,二一=」一=」-=2R,

sinBsinCsinAsinBsinC

请阅读前面所给的命题和证明后，完成下面(1)(2)两题：

(I)前面阅读材料中省略了“」一=2R,—^=2R”的证明过程，请你把"」一=2R”的证明过程补写出来.

sinBsinCsinB

(2)直接运用阅读材料中命题的结沦解题，已知锐角△48C中，BC=近,CA=^/2,NA=60°,求AABC的外

接圆半径R及NC.

12.如图，在△ABC中，以4B为直径的。。交8C于点。，交C4的延长线

_LAC于点儿且。〃是。。的切线，连接交A8于点F,连接8£.

(1)求证：DC=DE；

(2)若AE=4,旦匕用.求:

FD3

①台石的长；

②cosNB。产的值.

13.如图，A/3是O。的直径，弦CO_LA8于H,G为。。上一点，连接AG交CO

K,在C。的延长线上取一点E,使EG=EK,EG的延长线交AB的延长线于立

(1)求证：七尸是O。的切线；

(2)连接。G,若AC〃E尸时.

①求证：丛KGDs丛KEG；

②若cosC=£,AK=JI^,求8尸的长.

5

14.在矩形4BCO中，点。在对角线6。上，以。。为半径的。0与4。、B。分别交于点E、F,且/ABE=NO8C.

(1)求证：8E与。0相切：(2)若sin/A8E=l,CD=2,求£0的半径.

3

15.在AABC中，AB=AC,以48为直径的。。交4c于点E交BC于点。，P为AC延长线上一点，且

ZPBC=1ZBAC,连接ONBE.

2

(I)求证：是。0的切线；(2)若sin/PBC=Y^,AB=10,求BP的长.

5

圆综合题专题复习

参考答案与试题解析

一.解答题(共15小题)

1.如图，在RIZV18C中，NC=90°,点。在A8上，经过点A的0。与BC相切于点。，与AC,48分别相交于点

E,F,连接A。与E尸相交于点G.

(1)求证：A。平分NC48；

(2)若。于点从FH平分NAFE,DG=\.

①试判断DF与。，的数最关系，并说明理由；

②求0。的半径.

•・・。0与8C相切于点。，

：・0D工BC,

VZC=90",

・•・0D//AC,

'：0A=0D,

：.Z0AD=Z0DA,

：,ZCAD=ZBAD,

・"。平分NC48.

(2)①DF=DH,理由如下:

•・•"/平分NA尸E,

4AFH=4EFH,

又/DFG=ZEAD=NHAF,

・•・NDFG=ZEAD=4HAF,

JZDFG+ZGFH=NHAF+NHFA,

即NDFH=NDHF,

:,DF=DH.

②设HG=x,则DH=DF=l+x,

OHA.AD,

：.AD=2DH=2(I+r),

■:/DFG=4DAF,/FDG=4FDG,

：./\DFG^/\DAF,

.DFDG

••布声

.1+x=1

**2(l+x)=l+x，

/♦X=19

,:DF=2,AO=4,

:A尸为直径,

AZADF=90a,

：TAF=VDF2+AD2=V22+42=2V5

・・・。0的半径为加.

2.在△川石尸中，N£=9(T,为/EA尸的平分线，过A、。的。0与A£、A厂分别交于仄,£LBC//EF

(I)求证：AC为。0的宜径；

(2)求证：上尸与。0的相切；

(3)若sin/AOB=3,BE=1,求。。的半径.

5

【解答】(1)证明:YBC//EF,

：.ZABC=ZE=9()°,

・•・AC为OO的直径；

(2)证明：连结0D,如图,

•••A。为NE4广的平分线,

AZI=Z2,

•：OA=OD,

・・.N2=NOD4,

：,Z\=ZODA,

/.OD//AE,

：,N()DF=NE=90°,

:.ODLEF,

工曰7与。。的相切；

(3)解：0D与BC交于H,易得四边形8EQ”为矩形，则OH=BE=1,

设。0的半径为r,则OC=r,OH=OD-DH=r-1,

*/ZACB=ZADB,

・・・sinN4c5=sinNAQ8=3,

5

在Rtz\O”C中，•・飞皿/0。”=理=2,

OC5

・,•工21=售，解得r=8,

r52

即。0的半径为S.

3.如图，A4是OO的弦，。为半径的中点，过。作CQ_LOA交弦A3于点E,交。。于点凡且CE=CB,连接

AF,BF.

(I)求证：BC是。0的切线；

(2)①求NAB/的度数；

②若A尸=4,且A8平分NOA尸时，求弦A8的长.

【解答】(1)证明：连结08,如图,

♦：CE=CB,

:,NCBE=NCEB,

'：CDLOA,

：.ZDAE+ZAED=9QQ,

而NCE8=NAE£>,

：,ZDAE+ZCBE=W,

•：OA=OB,

：.ZOAR=ZORA,

・・・N0BA+NC8E=9(T,即NO8C=90°,

：.OBLBC,

・・・8C是。。的切线；

(2)解：①连结OP,OF交AB于H,如图,

VDF1OA,AD=OD,

；,E\-FO,

而OF=OA,

•••△04尸为等边三角形，

/.ZAOF=60°,

AZABF=i-ZAOF=30°；

2

②•二△OA广为等边三角形，

・・・/0A尸=60°,OA=AF=4,

•「A8平分NOAR

・・・NOA4=30°,AHLOF,

:,AH=BH,

在Rl/SAOH中，・・・NOAH=30°,

JOH=^OA=2,

2

A”=«OH=2近,

・・・A8=2A”=4的.

4.如图①，②，在平面直角坐标系X。)，中，点A的坐标为(4,0),以点A为圆心，4为半径的圆与x轴交于O,B

两点，OC为弦，NAOC=60°,P是x轴上的一动点，连接CP.

(1)求NQ4C的度数；

(2)如图①，当C尸与OA相切时，求P。的长；

(3)如图②，当点P在直径08上时，CP的延长线与OA相交于点Q,问PO为何值时，△OCQ是等腰三角形?

•••△4OC是等边三角形,

・・・NO4C=60°.

(2)・・・。尸与CA相切,

••・/ACP=90°,

・・・NAPC=900-NQAC=30°；

又(4,0),

,\AC=AO=4,

・・・E4=2AC=8,

，尸O=*OA=8-4=4.

(3)①过点。作CP」OB,垂足为P,延长CPi交OA于Qi；

•・・0A是半径，

**,OC=OQf

：.OC=OQ\,

•••△OCQi是等腰三角形；

又「△AOC是等边三角形，

・・.尸10=204=2；

2

②过A作A。_L0C,垂足为。，延长"4交OA于Q2,与x轴交于政；

①

VA是圆心，

・・・QQ2是。。的垂直平分线，

・・・CQ=0Q2,

•••△OC0是等腰三角形；

过点S作轴于E,

在RtzMQE中，

,/ZQ2AE=NOAQ=/NOAC=30°

.•・。2£=工4。2=2,AE=2^

2

工点0的坐标(4+2册,-2)；

在Rt^COPi中，

VPl0=2,ZAOC=60°,

**,CPi=273,

・・・C点坐标(2,2爪)；

设直线。。2的关系式为尸"+力，见

"-2=(4+273)k+b

<2吐2k+b

解得，一

b=2+2V3

•，・y=-x+2+2^/3：

当y=0时，x=2+2近，

・・・尸20=2+2第.

5.如图，点/是△44C的内心，/"的延长线与△A8C的外接圆。。交于点Q,与AC交于点£,延长C。、8A相交于

点F,NA。/7的平分线交A尸于点G.

(1)求证：DG//CA；

(2)求证：AD=/D；

(3)若QE=4,BE=5,求用的长.

c

【解答】(1)证明：•・•点/是△ABC的内心,

/.Z2=Z7,

•・・QG平分NAOR

.*.Zl=-lz/4DF,

2

ZADF=/ABC,

AZ1=Z2,

VZ3=Z2,

・・・N1=N3,

：.DG//AC；

(2)证明:丁点/是△ABC的内心，

AZ5=Z6,

•・•Z4=Z7+Z5=Z3+Z6,

即N4=NDW,

:・DA=Dh

(3)解：VZ3=Z7,NAEO=NBA。，

:.△DAESXDBA,

AAD：DB=DE：DA,ERAD：9=4：AD,

・"O=6,

：・DI=6,

:・BI=BD-DI=9-G=3.

6.如图，△4BC中，AB=AC,以/W为直径的OO交AC于点。，交AC于点E,过点。作DF_LAC于点F,交

的延长线于点G.

(1)求证：。/是。。的切线；

(2)已知8。=2%，CF=2,求AE和4G的长.

(备用图)

【解答】解：(1)连接O。，AD,

•••AB为。。的直径，

AZADB=90Q,HPAD1BC,

\'AB=AC,

:・BD=CD,

又,：CA=OB,

：,OD//AC,

VDG1AC

JODLFG,

・•・直线/G与。0相切；

(2)连接BE.，：BD=2屈,

••CD二BD=2，^,

VCF=2,

,DF=(2V5)2-22=4,

・.,AB是育径,

:・NAEB=NCEB=90°,

：.BELAC,,CDFLAC,

C.DF//BE,

：,EF=FC,

・・・4£=2。〜=8,

*.*cosZC=cos/ABC,

.CF=BD

CDAB

.2.275

・•访一而‘

AAB=10,

•*-AE=^102-82=6,

*：BELAC,DFVAC,

:.BE；/GF,

/.△4ERsA4产G,

.AB=AE

**AGAF，

.10_6

“lO-BG而，

.ZB学

7.如图1,AB为半圆。的直径，。为ZM的延长线上一点，OC为半圆。的切线，切点为C

（I）求证：ZACD=ZB；

（2）如图2,N8OC的平分线分别交AC,BC于点、E,F；

①求lan/CFE的值；

②若AC=3,BC=4,求CE的氏.

【解答】（1）证明：如图1中，连接OC

•：OA=OC,

AZI=Z2,

•・・CQ是OO切线，

：.OCLCD,

・・・NDCO=90°,

・・・N3+N2=90°,

[AB是直径,

.e.Zl+ZB=90°,

・・.N3=NB.

(2)解：@*/ZCEF=ZECD+ZCDE,ZCFE=ZB+ZFDB,

ZCDE=ZFDB,NECD=NB,

:./CEF=NCFE,VZECF=90°,

AZCEF=ZCFE=45°,

.\tanZCFE=lan45°=1.

②在R77\A8C中，VAC=3,8c=4,

.,.AB=^AC2+BC2=5,

,：ZCDA=ZBDC,ZDCA=ZB,

:•△DCAS/\DBC,

.DC=AC=DA=_3

*,DBBCCDIt

VZCDE=ZBDF,ZDCE=ZB,

:.△DCEs4DBF,

・・.段=匹=3,设EC=CF=x,

FBDB4

•・•'x■_—3,

4-K4

・Y—12

7

・・・CE=K.

7

8.如图，AB.。。为。。的直径，弦AE〃C。，连接BE交CD于点F,过点E作直线EP与CQ的延长线交于点P,

使NPED=NC.

(I)求证：0E是OO的切线;

(2)求证：ED平分NBEP；

(3)若。。的半径为5,CF=2EF,求的长.

【解答】(1)证明：如图，连接。£

是圆。的直径，

:・NCED=90°.

，：OC=OE,

AZ1=Z2.

又,：NPED=/C,即NPEO=N1,

:,NPED=/2,

1,NPED+NOED—42+NOED-<>0°,艮|JNOEP-90°,

工OELEP,

又二点E在圆上,

・・・PE是OO的切线；

(2)证明：・・飞氏CO为。0的直径,

，/AEB=々CED=90°,

・・・N3=/4(同角的余角相等).

乂•；NPED=N1,

：・/FED=N4,

即ED平分NBEP；

(3)解：设£尸="，CF=2x,

•・・。0的半径为5,

OF=2x-5,

在RTAOEF中,OE2=OF2+EF2,即52=/+(2.5)2

解得x=4,

・—4,

：.BE=2EF=S,CF=2EF=8,

:.DF=CD-CF=10-8=2,

TAB为O。的直径，

/.ZAEB=90°,

VAB=IO,BE=8,

：,AE=6,

•；NBEP=NA,NEFP=NAEB=9i）°,

：.△AERSREFP,

・•旦=里即里=土

BEAE86

：.PF=H,

3

：.PD=PF-DF=^--2=^-.

9.如图，O。是△ABC的外接圆，且AB=AC,点。在弧8c上运动，过点。作。E〃8C,OE交AB的延长线于点E,

连接A。、BD.

(1)求证：ZADB=ZE；

(2)当点。运动到什么位置时，0E是OO的切线？请说明理由.

(3)当AB=5,8C=6时，求OO的半径.

【解答】（1）证明：•・•在△ABC中，AB=AC,

・•・NABC=/C.

VDE!/BC,

工ZABC=ZE,

・・・NE=NC,

XVNAOB=NC,

NADB=NE；

（2）解：当点。是弧8c的中点时，QE是。0的切线（如图1）.

理由是：•••当点。是弧8C的中点时，AB=AC,

・・・AO是3C的垂直平分线，

・•・/1/）是直径，

：.ADLRC,

・・・AD过圆心。

又,：DEHBC、

LADLED.

・・・。£是。0的切线；

（3）解；过点八作人尸J_ec于产，连接80（如图2）,

则点尸是8c的中点，BF=、BC=3,

2

连接OF,则OFA.BC（垂径定理），

・“、O、尸三点共线，

•・・AB=5,

・・・A尸=4；

设。0的半径为r，在RtaOB/中，0F=4-r,OB=r,BF=3,

Ar=32+（4-r）2

解得，=至，

8

・・・。0的半径是空.

8

A

B,

ED

图2

10.已知：如图，点Q是。。上一点，。。2与00相交于A、。两点，BCLAD,垂足为分别交001、。。2于

B、C两点，延长。3交03于E,交8A延长线于凡8S交4)于G,连接AD.

(1)求证：NBGD=NC；

(2)若NDO2c=45°,求证：AD=AF；

(3)若研=6C£>,且线段83、族的长是关于x的方程.1・(4阳+2)x+4〃/+8=0的两个实数根，求8。、82的

长.

【解答】(1)证明：・・・8C_LA。于0,

：,ZBDA=ZCDA=90(,,

JAB、AC分别为0O1、0。2的直径，

VZ2=Z3,N4GD+N2=9(T,ZC+Z3=90<!,

AZBGD=ZC：

(2)证明：•••NO。2c=45°,

/.ZABD=45°,

*：O1D=O2C,

：,ZC=ZO2DC=^-(180-ZDO2C)=67.5°,

2

/.Z4=22.5°,

•・・N02DC=NABD+NF,

AZF=Z4=22.5°,

.\AD=AF；

(3)解：•:BF=6CD,

・••设则8产=6匕

连接4E,则AEJ_AO,

C.AE//BC,

：Z\ES/\FBD,

・AEAF

••丽宣

:・AE・BF=BD・AF，

又•・•在△AO2E和△O3C中，A0=D02,/AOE=/DOC,OIE=OIC,

:.XMXE9XD0?C、

；.AE=CD=k,

，6F=6Q・4F=(BC-CD)(BF-AB),

•・・NBOM=90°,O2A=OIC,

：.BC=AB,

，6炉=(BOA)(6k-BC),

・・・靖-73。+12炉=0,

解得：BC=3k,或BC=4'

当BC=3太时，BD=2k,

VBD、BF的长是关于A-的方程/-(4/M+2)X+4W2+8=0的两个实数根，

・••由根与系数的关系知：8D+B/=2(+6&=8k=4/〃+2,12t2=4w2+8,

.,.女=叫」，

24

把BD=2k代入方程/-(4/H+2)X+4W2+8=0可得，4w2-12w+29=0,

•・・△=(-12)2-4X4X29=-320VO,此方程无实数根,

:.BC=3k舍去,

当软时，BD=3k,

弘+祇=4〃?+21Rp=4/zz2+8.

整理,得：〃尸-8〃?+16=0,解得：阳I=/«2=4,

・•・原方程可化为x2-18x+72=0,

解得：加=6,X2=12,

:,BD=6,3尸=12.

II.阅读材料，解答问题:

命题：如图，在锐角△A8C中，BC=a,CA=b,AB=c,△4AC的外接圆半径为R,则」-=_J=2R

sinAsinBsinC

证明：连接CO并延长交OO于点。，连接D凡则/八=/人，

因为C。是。。的直径，所以NOBC=90°,

在Rt2\O8C中，sinZD=^2=-^-,

DC2R

所以sinA=—,即」一=2R,

2RsinA

同理：---=2R,---=2R,---=---=---=2R,

sinBsinCsinAsinBsinC

请阅读前面所给的命题和证明后，完成下面（I）（2）两题;

（1）前面阅读材料中省略了“」一=2R,—^-=2R”的证明过程，请你把"」一=2R”的证明过程补写出来.

sinBsinCsinB

（2）直接运用阅读材料中命题的结论解题，已知锐角△4BC中，BC=Jg,CA=^/2,N4=60°,求AABC的外

接圆半径R及/C.

【解答】（1）证明:连接。。并延长交。。于点。，连接。8,则NA=N。；

•・・CQ是。。的直径,

・・・/力8c=90°，

在Rl/XQBC中,

(2)解：由命题结论知

BC-AC

sinAsinB

•6近

sin600sinB

/.sin/?=^-5.：

2

*：BC>CA,

：,N4>/4,

AZC=75°.

由—_=2R,

sin60

得R=L

12.如图，在△ABC中，以AB为直径的。。交8c于点。，交CA的延长线于点E,过点。作O”_LAC于点”，且

。”是。。的切线，连接OE交A87点凡连接

(I)求证：DC=DE；

(2)若4E=4,史上.求：

FD3

①打七的长；

②cosNB。/的值.

VODLAC,且。斤是oo的切线，

・・・NO/)H=//)H4=90°,

JOD//CA,

・・・NC=NOQ8,

*.*OD=OB,

：・/OBD=/ODB,

：・/6BD=/C,

*：ZORD=ZDEC,

・・・NC=NOEC,

；.DC=DE；

(2)①由(1)可知：OD〃AC,

ZAEF=ZODF,

・•・ZAFE=ZOFD,

:、4AFES4QFD,

•.•E'F'=2■・・二AE,,

FD3OD

VAE=4,

・•・00=6,

〈AB为OO的直径，

,BE=VAB2-AE2=7(2X6)2-42=372;

・・・8£的长为8加；

②在Rt/^AEB中，cos/BAE=-^|_=-^

xujJLNo

*：ZBDF=ZBAE,

,,cosz^BDF=^-

o

13.如图，A8是O。的直径，弦C。LAB于从G为O。上一点，连接AG交CO于K,在C。的延长线上取一点E,

使EG=EK,EG的延长线交AB的延长线于F.

(1)求证：七尸是OO的切线；

(2)连接。G,若AC〃£尸时.

①求证：AKGDS^KEG、

②若cosC=3，AK=W^，求的长.

5

E

，：EG=EK,

/.ZKGE=ZGKE=NAKH,

又04=OG,

・・・NOGA=NO4G,

CDLAB,

/.ZAKH+Z0AG=9G°,

：.ZKGE+ZOGA=90°,

・・・E”是。。的切线.

(2)①・.・AC〃£尸，

・・・NE=NC,

又/C=/AGD,

・・・Z£=ZAGD,

又/£)KG=NGK£,

:AKGDS/\KEG；

②连接OG,

,cosC=占AK=yJ~]X\t

5

设cosC4=k'

5AC

:.CH=4k,AC=5k,则

VKE=GE,AC//EF,

:,CK=AC=5k,

：,HK=CK-CH=k.

在RlA/l"K中，根据勾股定理得人，2+，K2=AK2,即（3k）2+k2