函数的概念及其表示-人教A版高中数学必修第一册（原卷版+解析）

数的概念及其表示

1.函数的概念

(1)一般地，设A,(是非空的实数集,如果对于集合人中的任意一个数按照某种确定的对应关系/，在

集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称/：A8为从集合A到集合B的一个函数(function),

记作产心)，xWA.

⑵函数的四个特征：

①非空性：A,8必须为非空数集,定义域或值域为空集的函数是不存在的.

②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.

③单值性：每一个自变量有且仅有唯二的函数值与之对应.

④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系,如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定

的关系就不一定是函数关系.

2.函数的三要素

(1)定义域：函数的定义域是巨变量的取值范围.

(2)值域：与X的值相对应的)，值叫做函数值,函数值的集合伏刈工-A｝叫做函数的值域(range).

⑶对应关系：对应关系/是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”.

考点剖析

【考点1对函数概念的理解】

【例1.1](2023•全国•高一假期作业)下列变量间为函数关系的是()

A.匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程

B.某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系

C.一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间，的关系

D.生活质量与人的身体状况间的关系

【例1.2](2023.仝国.高一假期作业)下列各函数图象中，不可能是函数y=f(%)的图象的是()

【变式1.1]（2023•高一课时练习）下列四个式子中，y是x的函.数的是（）

A.y2=xB.y=Vx—2+7=

厂（X2,X<0nfo,x为有理数，

（-x2,x>0>l,x为实数

【变式1.2]（2023•高一课时练习〉设集合M={X|0<x<2）,N=£y|0<y<2},那么下面的4个

图形中，能表示集合M到集合N的函数图象的个数为（）

【考点2函数的定义域问题】

【例2.1]（2023•全国•高一假期作业）函数/•（'）=宗的定义域是（）

A.[xER\xH-1}B.{%GR\xH1）

C.{xER\x0±1}D.{x6R\x工一1,或X01}

【例2.2]（2023•高一单元测试）已知函数y=/（%+1）的定义域是[-2,3],则y=f（x-1）的定义域是（）

A.[-2,3]B.[-1,4]C.[0,5]D.[-4,1]

【变式2.1]（2023春・辽宁•高二校联考阶段练习）若函数的定义域为[—3,1],则的定

义城为（）

【变式2.2]（2023•全国•高三专题练习）已知函数/（乃的定义域为（0,1）,若c£（0*）,则函数9（%）=/。+

c）+f（x-c）的定义域为（）

A.(―C,1—C)B.(c,l-c)C.(1-c,c)D.(c,1+c)

【考点3函数的值域问题】

【例3.1]（2023•全国•高一假期作业）下列函数中，值域为（0,+8）的是（）

A.y=y/x

2

C.Jy=-XD.y=x+x+l

【例3.2]（2022秋・四川遂宁•高一校考期中）若函数/（x）-8x+15的定义域为[1,0,值域为[-1,

8],则实数。的取值范围是（）

A.（1,4）B.（4,7）C.[1,4]D.[4,7]

【变式3.1]（2023•全国•高一专题练习）函数/•（%）的定义域为[0,1],值域为[1,2],那么函数/'（K+2）的定义

域和值域分别是（）

A.[0,1],[1,2]B.[2,3],[3,4]

C.[-2,-1],[1,2]D.[-2,-1],[3,4]

【变式3.2]（2023春・浙江•高二统考学业考试）已知函数y=/"）的定义域是R,值域为[-2,8],则下列函

数中值域也为[-2,8]的是（）

A.y=3/（x）+1B.y=/（3x4-1）C.y=-/（x）D.y=\f（2x）\

【考点4求函数值或由函数值求参】

【例4.1]（2023・辽宁・校联考一模）若函数/（幻满足/（幻一%二2/（2-幻，则f（3）=（）

A.-1B.-gC.D.1

【例4.2]（2023•高一课时练习）下表给出了工与/（x）和g（x）的对应关系，根据表格可知的值为（）

X1234Xi234

fW3142g(%)4321

A.1B.2C.3D.4

【变式4.1]（2023春・山东烟台•高二校考阶段练习）已知函数/•（%-1）=/一2%,且/伍）=3,则实数a的

值等于（）

A.V2B.±V2C.2D.±2

【变式4.2］（2023・高一课时练习）已知/（%-1）=%+%则使得f（x）=2的x值为（）

A.1B.-1C.0D.2

1.函数的相等

同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.

2.区间的概念

设。，》是两个实数，而且九我们规定：

⑴满足不等式。Sx&b的实数X的集合叫做闭区间，表示为［。/小

⑵满足不等式avx6的实数X的集合叫做开区间，表示为（〃力）；

（3）满足不等式〃WxV6或。V.VWb的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为［a力）,3力］.

这里的实数。与》都叫做相应区间的端点.

考点剖析

【考点1同一函数的判断】

【例1.1］（2023•全国•高一假期伶业）下列各函数中，与函数g（x）=疹表示同一函数的是（）

A.=|x|B./(X)=±|x|

c/⑴若D./(x)=x°•|x|

1.2］（2023秋.山东淄网.高一统考期末）与y-团表示同一个函数的是（）

A.y=Vx2B.y=（4）2

Cv"£，t>0D.y="

kl

【变式1.1】(2023•全国•高三专题练习)下列每组中的函数是同一个函数的是（）

A.f(x)=|x|,gM=(Vx)2B./（t）=|t|,g（-）=V%7

C.f(x)=V—2x3,g(x)=y/—2xD.fW=塞，g（x）=x+3

【变式1.2](2023•全国•高一专题练习)下列四组函数中，表示同一函数的是（）

A.fW=%与9(%)=\x\

B.f(x)=+2尸与g(x)=(V》+2产

C./(>)=a与g(%)=5

D./(x)=尤与9。)=VI7

1.函数的表示法

函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.

(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；

(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系：

(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.

2.抽象函数与复合函数

(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数.

(2)复合函数的概念：若函数)，=/(/)的定义域为A,函数4g(x)的定义域为。，值域为C,则当CGA时，称

函数产i/(g(x))为/⑺与g(x)在。上的复合函数，其中/叫做中间变量，片女(x)叫做内层函数,产式。叫做外层函

数.

考点剖析

【考点1函数的表示法】

【例1.1](2023•全国•高三专题练习)若函数y=f(x)的定义域为M={x|-2<x<2},值域为N={yI0<

y<2},则函数y=f(x)的图像可能是()

【例1.2](2023•全国•高三对口高考)如图中的图象所表示的函数的解析式为()

A.y=1|x-l|(0<x<2)

B.y=|-1|x-l|(0<x<2)

C.y=1-|x-l|(0<x<2)

D.y=l-|x-l|(0<x<2)

【变式1.1](2022秋•高一课时练习)如图所示，是吴老师散步时所走的离家距离(y)与行走时间(外之间的

函数关系的图象，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是()

【变式1.2](2022秋・安徽•高一校联考期中)若函数儿r)和g(x)分别由卜表给出:

X1234X1234

2341g(x)2143

满足g（*x））=l的X值是（）

A.1B.2C.3D.4

【考点2分段函数】

【例2.1]（2022秋.天津和平•高一校考期中）设函数八志）的值为（）

A.：B.-C.-15D.18

916

[ft2.2]（2022秋•高一课时练习）已知/（%）={/（；；'；）]20，则f（3+/§的值等于（）

A.-2B.4C.2D.-4

【变式2.1]（2022秋•福建福州•高一校考阶段练习）已知函数/（幻，若f（a）+/（l）=0,

则实数a的值等于（）

A.-3B.-1C.1D.3

工2+v0VYV2

【变式2.2](2022•全国•高一专题练习)已知函数/(%)='，若/(a)=/(a+2),Q€

、—2x+8,xN2

（0,+8）,贝=（）

A.2B.-C.6D.-

162

1课后作业o1

1.（2023・全国•高一专题练习）已知集合4=[0,+8）,B=[L+8）,下列对应关系中从A到8的函数为（）

A./:x-*y=xB./:x->y=x2

C./:x-»y=2xD.->y=2x4-2

2.（2023・江苏•高一假期作业）设函数f（x）=沿，则当/■（%）=2时，%的取值为（）

A.-4B.4C.-10D.10

3.（2023•高一课时练习）已知用数y=f（%）且八%-2）=2%-2,则八2）等于（）

A.5B.6C.2D.10

4.（2023・全国•高三专题练习）已知函数f（x）=-号的定义域为（）

A.[3,7]B.[3,7）C.（-8,3]D.（7,+oo）

5.（2022秋.河北张家口.高一统考期末）已知函数/（%）=『1六，一则（）

6.（2023・全国•高三专题练习）若函数y=Va"+4,+1的值域为[0,+8）,则Q的取值范围为（）

A.（0,4）B.（4,+8）C.[0,4]D.[4,+oo）

7.（2023・河北衡水・河北校考模拟预测）已知函数y=八外的定义域为[0,4],则函数y=分詈+。一2）。的

定义域是()

A.(1,5]B.(1,2)U(2,5)C.(1,2)U(2,3]D.(1,3]

/%<o

{一工yin，3M=-fW，则函数g(x)的图

X

像是()

9.（2022秋・安徽黄山・高一校考开学考试）已知边长为1的正方形A3CQ中，E为。。的中点，动点尸在

正方形A8C。边上沿ATBTCTE运动.设点P经过的路程为％.△｛丹?的面积为y.则y与x的函数图象大

致为图中的（）

10.(2022♦江西・统考二模)令函数/'(%)的定义域为R,且满足/(T+1)=f[x++2)=-/(x+2),

已知当％6[1,2]时，/(x)=ax2+bx.若/'(())+/(3)=6,则Q+b=()

A.6B.2C.-6D.3

11.（2023・江苏•高一假期作业）试求下列函数的定义域与值域.

(l)y=(X-1)2+1,xe{-1,0,1,2,3}：

(2)y=(%—I)?+1；

m5x+4

'(3")y=-x---l--

(4)v=x-Vx+1.

12.（2022・高一课时练习）判断下列各组函数是否为相等函数:

(x+3)(X-5)

(D/W=gW=x-5；

x+3

(2)/(%)=2x+l(x6Z),g(x)=2x4-l(x6R)；

x+b%>-1

(3)/(%)=|x+1],g(x)=

—%—1»X<—1

13.（2023•江苏•高一假期作业）已知函数/（无）=V（l-a2）%2+3（l-a）x+6.

⑴若/'（%）的定义域为求实数〃的值；

（2）若/（%）的定义域为R,求实数〃的取值范围.

4（2。23・全国•高-假期作业）已知函数/⑴=值；靠；C<oJ

2-

1

-2-1O12x

-1

⑴求/(—;)，的值;

(2)作出函数的简图;

(3)由简图指出函数的值域;

15.(2022•江苏•高一专题练习)已知函数/•(%)=六+

(1)求函数的定义域.

⑵求/(-1)，/(7);

(3)已知/'(2Q+1)=§+1，求〃的值.

第09讲函数的概念及其表示

基础知识

1.函数的概念

(1)一般地，设A,8是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数工，按照某种确定的对应关系了,在

集合4中都的唯一确定的数y和它对应，那么就称△：A4为从集合A到集合B的一个函数(function),

记作y=i/U)，X，A.

⑵函数的四个特征：

①非空性：A,8必须为非空数集,定义域或值域为空集的函数是不存在的.

②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.

③单值性：每一个自变量有且仅有唯二的函数值与之对应.

④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系,如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定

的关系就不一定是函数关系.

2.函数的三要素

(1)定义域：函数的定义域是巨变量的取值范围.

(2)值域：与x的值相对应的)，值叫做函数值，函数值的集合伏刈xA｝叫做函数的值域(range).

⑶对应关系：对应关系/是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”.

考点剖析

【考点1对函数概念的理解】

【例1.1](2023•全国•周一假期作业)下列变量间为函数关系的是(

A.匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程

B.某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系

C.一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间，的关系

D.生活质量与人的身体状况间的关系

【解题思路】根据定义知BD是依赖关系，A是常量，C是确定的函数关系，得到答案.

【解答过程】对选项A：匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程是常量，不满足；

对选项B：某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系是依赖关系，不满足；

对选项C：耗电量与时间1的关系是y=60t,0WtW7,是确定的函数关系；

对选项D：生活质量与人的身体状况间的关系是依赖关系，不满足.

故选：C.

【例1.2]（2023・全国•高一•假期作业）下列各函数图象中，不可能是函数y=f（x）的图象的是（）

【解题思路】根据函数的定义逐项判断，可得出合适的选项.

【解答过程】对于ABD选项，对于每个x都有唯一对应的y与之对应，ABD选项中的图象均为函数的图象；

对于C选项，存在使得这个工有两个y与之对应，C选项中的图象不是函数的图象.

故选:C.

【变式1.1]（2023.高一课时练习）下列四个式子中，y是x的函数的是（）

A.y2=xB.y=Vx-2+

产。尸为有理数，

l-x2,x>0Il,x为实数

【解题思路】根据函数的定义，依次判断选项，即可求解.

【解答过程】对于A选项，丫2=.匕定义域为凡定义域内每个，直按对应法则不是唯一实数与之对应，所以

不是函数，A项错误；

对于B选项，丫=疡之+看，定义域为无解，所以不是函数，B项错误：

对于C选项，"匕:不。定义域为R,对于定义域内每一个值都有唯一实数与之对应，所以是函数，C

项正确：

对于D选项，y=（o'X第为有二理数:当％=1时，V有两个值（），I与之对应，所以不是函数，D项错误.

（1,%为实数

故选:c.

【变式1.2](2023•高一课时练习)设集合M={x|0WxW2},N=(y\0<y<2]f那么下面的4个图

形中，能表示集合M到集合N的函数图象的个数为()

【解题思路】根据函数的定义，结合图象判断即可.

【解答过程】解：对图(1)，由图知：0工％&1，不符合函数的定义域，故图(1)错误；

对图(2),由图知：04%42,0<y<2,图象符合函数的定义，故图(2)正确.

对图(3),由图知：0WyW3,不符合函数的值域，故图(3)错误；

对图(4),不符合函数定义，不是函数图象，故图(4)错误.

故选：A.

【考点2函数的定义域问题】

【例2.1](2023•全国•高一假期作业)函数/(%)=言的定义域是()

A.[xGR\x*-1}B.{%GR\x*1]

C.{xeR\x*±1}D.{xER\xH-1,或％H1}

【解题思路】根据分式中分母不为0即可求解.

【解答过程】/(x)=宗的自变量需满足％+1工0,所以定义域为{%eR\xH-1),

故选：A.

【例2.2](2023•高一单元测试)己知函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],则y=f(x-1)的定义域是()

A.[-2,3]B.[-1,4]C.[0,5]D.[-4,1]

【解题思路】根据y=/(x+1)的定义域求出/(%)的定义域，从而可求解.

【解答过程】因为函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],

所以%e[-2,3],所以%+1e[-1,4],即/'(%)的定义域为[-1,4],

所以“-1W解得XW[O,5],即y=/(%-1)的定义域是[0,5].

故选:C.

【变式2.1](2023春・辽宁・高二校联考阶段练习)若函数f(2%-1)的定义域为[—3,1],则,二隼季的定

vx—1

义域为()

A.{1}B.(I,1]C.(羽D.(1,1]

【解题思路】根据题意先求得函数/(外的定义域为然后结合抽象函数定义域与求解即可；

【解答过程】由题意可知一34x41,所以一742%-1$1,要使函数y=^^2有意义，则

「7寸；汽”解得

故选：D.

【变式2.2](2023•全国•高三专题练习)已知函数/'(%)的定义域为(0,1),若c€(0*),则函数9(%)=/。+

c)+f(x-c)的定义域为()

A.(-c,1-c)B.(c,1-c)C.(1-c,c)D.(c,1+c)

【解题思路】由已知函数的定义域有即可求复合函数的定义域.

【解答过程】由题意得：即又CW(°，»

U人CJLCA-JLIC”

<X<1-C.

故选:B.

【考点3函数的值域问题】

【例3.1](2023•全国•高一假期作业)下列函数中，值域为(0,+8)的是()

A.y=y[xB.y=^=

C.y=：D.y=x2+x+l

【解题思路】依次判断各个选项中函数的值域即可得到结果.

【解答过程】对于A,y=VJ>0,则其值域为[0,+8),A错误；

对于B,y=-^=>0,则其值域为(0,+8),B正确；

对于C,y=*0,贝IJ其值域为(f,0)U(0,+8),C错误；

对于D,y=x2+x+l=(x+1)则其值域为生+8),D错误.

故选：B.

【例3.2](2022秋•四川遂宁•高一校考期中)若函数/(x)=『・8x+15的定义域为[1,a],值域为L1，

8],则实数4的取值范围是()

A.(1,4)B.(4,7)C.[1,4]D.[4,7]

【解题思路】先根据值域确定函数自变量取值范围，再结合二次函数图象确定实数。的取值范围.

【解答过程】由/'(%)=/一8%+15=(%-4)2-12一1,所以

由/(%)=x2-8%+15<8得1<x<7,所以4<a<7

故选：D.

【变式3.1](2023•全国•高一专题练习)函数/(幻的定义域为[0,1],值域为[1,2],那么函数/Xx+2)的定义

域和值域分别是()

A.[0,1],[1,2]B.[2,3],[3,4]

C.[-2,-1],[1,2]D.[-2,-1],[3,4]

【解题思路】根据复合函数的定义域和值域求解即可.

【解答过程】因为函数八切的定义域为[0,1]，

所以0WX+2W1,即一2三工工一1,即函数/'(X+2)的定义域[一2,-1].

因为函数/(幻的定义域为[0,1]，值域为[1,2],又OWx+241,

所以函数+2)的值域为[1,2].

故选:C.

【变式3.2](2023春・浙江•高二统考学业考试)已知函数y=/(x)的定义域是R,值域为[-2网，则下列函

数中值域也为1-2,8]的是()

A.y=3/(x)+1B.y=/(3x+1)C.y=-f(x)D.y=\f(2x)\

【解题思路】根据函数的定义及定义域求解即可.

【解答过程】根据函数的定义域为R,值域为[-2,8],

可知，y=3f(x)+l的值域为[—5,25],y=-/。)的值域为[-8,2],

y=(2x)|的值域为[0,8],y=f(3x+1)的值域为[—2,8],

故选：B.

【考点4求函数值或由函数值求参】

【例4.1](2023•辽宁・校联考一模)若函数f(x)满足fa)-x=2/(2-x),则/'(3)=()

A.一1B.-1C.1D.1

【解题思路】将。一1和％=3分别代入/(%)-％=2/(2-x),联立即可求解.

【解答过程】x=-1代入f(*)—x=2“2—4)可得"-1)+1=2f(3)①,

x=3代入/'(%)-3=2/(2-幻可得f(3)-3=2/(-1)②

联立①②解得/l(3)=-%

故选：B.

【例4.2](2023•高一课时练习)下表给出了x与/'(%)和g(x)的对应关系，根据表格可知/①⑴]的值为()

X1234X1234

/W31429(%)4321

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】根据表中数据即可先求g(l)=4,再求解/'(4)即可.

【解答过程】由表中数据可知g(l)=4,所以/[g(l)]=/(4)=2,

故选：B.

【变式4.1](2023春•山东烟台•高二校考阶段练习)已知函数=/一2%,且/'(a)=3,则实数Q的

值等于()

A.V2B.±V2C.2D.±2

【解题思路】利用抽象函数定义域求法求解即可：

【解答过程】令

解得％=-1或%=3,由此解得。=±2,

故选:D.

【变式4.2](2023•高一课时练习)已知/'(x—1)=x+?则使得f(x)=2的x值为()

A.IB.-1C.0D.2

【解题思路】根据函数值即可求解自变量的值.

【解答过程】令#+：=2=/-2%+1=0=X=1,所以/(I-1)=1+：=2,故/(0)=2,所以工=0,

故选：C.

1.函数的相等

同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等，即是同一个函数.

2.区间的概念

设a,b是两个实数，而且4<b.我们规定:

(1)满足不等式。&X&力的实数X的集合叫做闭区间，表示为小

⑵满足不等式a<x<〃的实数上•的集合叫做开区间，表示为(。,力；

(3)满足不等式。&或。VxW。的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[。力),(。⑼.

这里的实数。与》都叫做相应区间的端点.

考点剖析

【考点1同一函数的判断】

[«1.11(2023・全国•而一假期作业)下列各函数中，与函数g(x)=m表示同一函数的是()

A./(x)=|x|B./(x)=±|x|

C.f(x)=VD.f(x)=x0|x|

阵I

【解题思路】根据函数的定义域以及解析式结合选项逐一判断.

【解答过程】g(x)=疹=|x|,故g(x)的定义域为R,

对于A,/■(公的定义域为R,且解析式与g(x)相同，故为同一个函数，

对于B,fM*gM，故不是同一个函数,

对于C/Q)的定义域为｛dXW0｝,而g(x)对定义域为R,定义域不同，不是同一个函数，

对于D,f(x)的定义域为｛x|xH0｝,而g(x)对定义域为R,定义域不同，不是同一个函数，

故选:A.

【例1.2](2023秋・山东淄博•高一统考期末)与y=|%|表示同一个函数的是()

A.y=Vx2B.y=(4)”

ft,t>0n/

C丫=匕"<0D."而

【解题思路】通过判断函数的定义域和解析式是否都•样来得答案.

【解答过程】y=田定义域为R,且y=

对于A：y=x^2=|x|,定义域也为R,A正确；

对干B：y=(4)?的定义域为[0,+8),定义域不一样，B错误；

对于C：'=｛，；£二°0的定义域为(一8,0)11(0,+8),定义域不一样，C错误；

对于D：y=言的定义域为(一8,0)u(0,+8),定义域不一样，D错误；

I"I

故选:A.

【变式1.1](2023•全国•高三专题练习)下列每组中的函数是同一个函数的是()

A.f[x)=|x|,g(x)=(V%)B./(t)=\t\,g(x)=疡

C.f(x)=，-2无3,g(x)=y/-2xD./(x)=g(x)=x+3

【解题思路】根据相同函数的定义进行逐一判断即可.

【解答过程】对于A,函数f(x)的定义域为R,函数g(x)的定义域为[0,+8),所以这两个谑数不是同一

个函数；

对于B,因为g(x)=47=阳，且/'(t),g(x)的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；

对于C,/(x)=V-2x3=-xV-2x,/(无)和g(x)的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；

对干D,函数/(%)的定义域为,且％H3｝,函数g(%)的定义域为R,

所以这两个函数不是同一个函数.

故选：B.

【变式1.2](2023•全国•高一专题练习)下列四组函数中，表示同一函数的是()

A.f(x)=x与g(x)=|x|

B.f(x)=J(x+2产与g(x)=(7x+21

C.f(x)=正与g(x)=9

D./(x)=工与g(x)=Vx^

【解题思路】分别判断选项中函数的定义域和对应关系，即可得到答案.

【解答过程】对选项A,因为/(%)=%定义域为R,9(x)=|x|定义域为R,定义域相同，

但/(切中或无)，所以/(%)，9(%)不是同一函数，故A错误;

对选项B,因为/(%)=J(x+2)2定义域为R,g(x)=(Jx+2了定义域为｛%=>-2｝,

定义域不同,所以f(x)，g(x)不是同一函数,故B错误;

对选项C,因为/(无)=正定义域为｛为|无>0],g(x)=专定义域为｛%|x>0],

定义域不问，所以f(x),g(x)不是问一函数，故C错误；

对选项D,因为/(%)二无定义域为R,g(x)=/定义域为R,

又g(x)=仍a=%=/(%),所以/(%)，g(x)是同一函数，故D正确.

故选：D.

函数的表示法。I

基础知识

1.函数的表示法

函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.

(I)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；

(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；

(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.

2.抽象函数与复合函数

(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式,的函数，称为抽象函数.

⑵复合函数的概念：若函数八的定义域为A,函数ug(x)的定义域为O,值域为C,则当CRA时，称

函数)中以外)为负。与g(x)在。上的复合函数，其中，叫做中间变量，片H(X)叫做内层函数,.词。叫做外层函

数.

考点剖析

【考点1函数的表示法】

【例1.1](2023•全国•高三专题练习)若函数y=fQ)的定义域为M={xI-2<x<2],值域为N={yI0<

y<2},则函数y=f(%)的图像可能是

【解题思路】根据函数的定义可以排除C选项，根据定义域与值域的概念排除A,D选项.

【解答过程】对于A选项，当％6(0,2]时，没有对应的图像，不符合题意；

对于B选项，根据函数的定义本选项符合题意；

对于C选项，出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，不符合

题意；

对于D选项，值域当中有的元素在集合M中没有对应的实数，不符合题意.

故选：B.

【例1.2](2023•全国•高三对口席考)如图中的图象所表示的函数的解析式为()

A.y=1|x-l|(0<x<2)

B.y=|-1|x-l|(0<x<2)

C.y=1-|x-l|(0<x<2)

D.y=l-|x-l|(0<x<2)

【解题思路】分段求解：分别把心xq及1WXW2时的解析式求出即可.

【解答过程】当0<x<l时，设f(x)=kx,由图象过点(1,|),得k=1,所以此时f(x)=1x；

当lSx02时，设f(x)=mx+n,

由图象过点(I,“，(2,0),

得｛l=m+〃,解得｛m=一^,

0=2m+nn=3

所以此时f(x)=-1x4-3.函数表达式可转化为：y=g-||x—l|(0<x<2),

故选B.

【变式1.1](2022秋•高一课时练习)如图所示，是吴老师散步时所走的离家距离(y)与行走时间(外之间的

函数关系的图象，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是()

Ox

A.B.

【解题思路】根据图象中有一段为水平线段(表示离家的距离一直不变)，逐项判断此时对应选项是否满

足.

【解答过程】图象显示有一段时间吴老师离家距离是个定值，

所以A、B、C三个选项均不符合，只有D选项符合题意.

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】从外到内逐步求值.

【解答过程】解：・・・g(/U))=i,

・・&)=2,

•*»X=19

故选：A.

【考点2分段函数】

【例2.1】(2022秋.天津和平.高一校考期中)设函数/㈤/喘)的值为()

A.IB.-C.-15D.18

916

【解题思路】根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可.

【解答过程】••・函数户亲1、1，

((x+2)(x-l),x>1

•••/■⑵=(2+2)(2-1)=4,

•••/(志)=6)=1-(乎=去

故选:B.

【例2.2】(2022秋•高一课时练习)己知了(乃二日则/(9+/(-§的值等于()

A.-2B.4C.2D.-4

【解题思路】根据函数解析式直接代入求解.

2x,x>0,

【解答过程】因为/Xx)=

./(x+l),x<0,

所以/(9+/(-9=2*3+/(-：+1)=9+，(一!+1)=9+2、：=4・

故选:B.

【变式(秋.福建福州.高一校考阶段练习)已知函数若

2.1]2022'人IXf人f(a)+/(D=0,

则实数Q的值等于()

A.-3B.-1C.1D.3

【解题思路】首先求得/'(1)的值，然后分类讨论确定实数。的值即可，需要注意自变量的取值范围.

【解答过程】/(I)=2X1=2,据此结合题意分类讨论：

当a>0时，/(a)=2a,

由/(a)+f(l)=0得2a+2=0,解得Q=-1,舍去；

当a<0时，/(a)=a+1,

由/(a)+f(l)=0得a+1+2=0,解得a=-3,满足题意.

故选：A.

工2+v0VxV2

【变式2.2](2022•全国•高一专题练习)已知函数/(x)=,若/(a)=/(a+2),aG

.-2x+8,x>2

(0,+co),则黑)-()

A.2B.—C.6D.—

162

【解题思路】根据分段函数，分OVaV2,a>2,由/(a)=f(a+2)求解.

y2Y0<xv2

',且/(a)=/(a+2),a£(0,+8),

{-2x+8,x>2

当0VaV2时，a2+a=-2(a+2)4-8,即a?+3Q-4=0,

解得Q=-4或Q=1,

当aN2时，-2a+8=-2(a+2)+8,无解,

综上：a=1,

所以/6)="1)=2，

故选：A.

作业O|

1.(2023・全国•高一专题练习)已知集合4=[0,+8),8=[1,+8),下列对应关系中从A到8的函数为()

A.f-.xy=xB.f:x-^y=x2

C.f:xy=2xD./:x-♦y=2x+2

【解题思路】结合函数的值域和定义域之间的关系，根据函数的定义分别进行判断即可.

【解答过程】对于A,在对于关系/%->y=>中，当％=0时，y=0,则集合8中没有元素和%对应，不是

从集合A到集合B的函数，故A错误，

对于B,在对于关系/dry=必中，当％=0时，y=0,则集合8中没有元素和%对应，不是从集合力到集

合8的函数，故B错误，

对于C,在对于关系/:无iy=2z中，当％=0时，y=0,则集合8中没有元素和%对应，不是从集合4到集

合B的函数，故C错误，

对于D.在对于关系Ty=2工中，因为x£[0,+oo),所以y£[2,+8)[1,4-oo),且则集合4中任意一个

元素》在集合8中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，是从集合4到集合9的函数，故D正确，

故选：D.

2.(2023・江苏•高一假期作业)设函数f(x)=淆，则当/'。)=2时，%的取值为()

A.-4B.4C.-10D.10

【解题思路】令m=2,进行求解即可.

【解答过程】令3=2,贝卜二一10,

故选C.

3.(2023・高一课时练习)已知谑数y=/0)且—2)=2%-2,则/'(2)等于()

A.5B.6C.2D.10

【解题思路】在/•(%-2)=2%-2中令％=4可求得/"(2)的值.

【解答过程】由题意可得/'(2)=/(4-2)=2x4-2=6.

故选：B.

4.(2023•全国•高三专题练习)已知函数/(切=/=-卷的定义域为()

A.[3,7]B.[3,7)C.(-8,3]D.(7,4-oo)

【解题思路】根据函数特征得到不等式组，求出定义域.

【解答过程】由题意得解得3&XV7,故定义域为[3,7).

故选:B.

5.(2022秋•河北张家口.高一统考期末)已知函数/aUj打渡屋;，w(/(1))=()

A.--B.--C.--D.--

441616

【解题思路】依次将％=|与/(|)代入/(外即可求得结果.

【解答过程】因为如)=朦二月一转6

所以fG)=G)2-3xg=T

因为一3<一?<1»

4

所以J(-？=3+3x(-;)=

故选:B.

6.(2023・全国•高三专题练习)若函数y=7Tl的值域为[0,+8),则a的取值范围为()

A.(0,4)B.(4,+8)C.[0,4]D.[4,+oo)

【解题思路】当a=0时易知满足题意；当Q工0时，根据f(x)的值域包含[0,+8),结合二次函数性质可得

结果.

【解答过程】当。=0时，y=反不INO,即值域为[0,+8),满足题意;

若a。0,设/(幻=ax2+4%+1,则需f(%)的值域包含[0,+<»),

解得：

,•lUa=16-4a>0

综上所述：Q的取值范围为[0,4].

故选：C.

7.(2023•河北衡水・河北校考模拟预测)已知函数y=/(%)的定义域为[0,4],则函数y=分詈+(%-2)。的

定义域是()

A.(1,5]B.(1,2)U(2,5)C.(1,2)U(2,3]D.(1,3]

【解题思路】根据给定条件，利用函数有意义并结合复合函数的意义列出不等式组，求解不等式组作答.

【解答过程】因为函数'=/(切的定义域为[0,4],又函数丫=智+。一2)。有意义，

[0<x+1<4

则有x-l>0,解得1V无<2或2<x<3,

%—2工0

所以函数y=今等+(无一2)。的定义域是(1,2)U(2,3].

vx—1

故选:C.

(X2x<0

8.(202