北师大版九年级数学上册《矩形的性质与判定》训练题（一）

北师大版数学九年级上册1.3矩形的性质与判定

一、选择题

1.如图，要使oABCD成为矩形，给出下列条件：①AB二BC；②NDAB=NABC；③AC=BD,其

中正确的是（）

A.①②③B.②③C.①②D.①③

2.工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量两组对边的长度是否相等，常常还要测量它们的两

条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理是（）

A.两点之间，线段最短

B.两点确定•条直线

C.对角线相等的四边形是矩形

D.对角线相等的平行四边形是矩形

3.如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,则下列说法正确的是（）

A.若AB〃CD且AC=BD,则四边形ABCD是矩形

B.若AB=AD且CB=CD,则四边形ABCD是菱形

C.若OA=OC且OB=OD,则四边形ABCD是平行四边形

D.若AC_LBD且AOBD,则四边形ABCD是正方形

4.矩形具有而菱形不具有的性质是（）

A.对角线相等B.对角线互相平分

C.对角线互相垂直D.对角相等

5.串场河曾是盐城盐运要道，河畔日两条沿河步道4C、8c4.相垂直，步道A8的中点M与观景亭C

被河道隔开.若测得48的长为4000m,则M、C两点间的距离为（)

A.4000mB.3000mC.2000mD.1000m

6.如图，矩形A8CO的对角线4C,8。交于点。，Z-AOB=60°,AB=4,则8C=()

A.6B.8C.4A/3D.4A/2

7.如图，点O是△ABC边AC的中点，连接BO并延长至点D,使OD=BO,添加下列选项中的一

个条件，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）

AB=BCB.ZABC=90°C.ZABD=ZACDD.OB=OC

8.如图，已知平行四边形4BCD的对角线4C与BD相交于点0,下列结论中，不正确的是（）

A.当力时，四边形/1BG）是矩形

B.当AC_LBD时，四边形48co是菱形

C.当。A=。8时，四边形A8CO是矩形

D.当A8=AC时，四边形ABC。是菱形

9.如图，在矩形48co中，对角线AC与80相交于点。，若乙40B=60。,力C=6,则40的长是

（）

4D

上

BC

A.6B.3C.3\f3D.4

10.如图，EF过矩形48co对角线的交点。，且分别交48,CO于E、凡若AB=2,AD=4,那么

图中阴影部分的面积为（）

二、填空题

11.在矩形ABCD中，若AC=7,则BD=.

12.四边形具有不稳定性.如图，矩形4BC。按箭头方向变形成平行四边形/B'C'D'，变形后//1'=

30°,若矩形ABC。的面积是12,则平行四边形/B'C'D'的面积是.

13.如图，8D是矩形A8CD的疝角线，BE平分ZABC交CD于点、E.若乙D8E=10。，则

14.如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2,3）,则AC=

15.如下图，在平行四边形4BC。中，增加一个条件后，平行四边形48co就成为矩形，这个条件可

三、解答题

16.如图，一个木匠要制作一块矩形的木板.他在一块对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向

锯了两次，就能得到矩形木板.为什么？

17.如图，某草蒋园购买了39m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏靠墙（墙长15m）国建一个中间带有铁

栅栏的自由采摘区即矩形ABCD,且EF_L墙面CDo

DlIF[C

AEB

（1）若矩形自由米摘区面积为

120m2,请你求出AB和BC分别是多少？

（2）为了项口扩建发展，矩形自由采摘区的面积需改为130m2,这一想法能实现吗?请说明理

由。

答案解析部分

1.【答案】B

【知识点】矩形的判定

【解析】【解答】解：®AB=BC,邻边相等的平行四边形为菱形，故①不符合题意；

@^DAB=乙ABC,

在2ABCD中,AD||BC,

.••/04B+4ABC=180。（两直线平行，同旁内角互补），

LDAB=LABC=90°,有一个内角为直角的平行四边形为矩形，故②符合题意；

③4c=80,对角线相等的平行四边形为矩形，故③符合题意；

综匕其中正确的是②③.

故答案为：B.

【分析】根据矩形的判定定理逐一判断即可.

2.【答案】D

【知识点】矩形的判定

【辞析】【解答】解：由题意，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形.

故答案为：D.

【分析】依据“对角线相等的平夕亍四边形是矩形”这一判定定理来进行判断即可.

3.【答案】C

【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定

4.【答案】A

【知识点】菱形的性质；矩形的性质

【解-析】【解答】解：A、矩形的对角线相等，而菱形的对角线不一定相等，故本选项符合题意；

B、矩形和菱形对角线都互相平分，故本选项不符合题意；

C、菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，故本选项不符合题意；

D、矩形和菱形都是对角相等，故本选项不符合题意；

故答案为：A.

【分析】矩形对角线相等且互相平分，四个内角都是直角；菱形对角线互相垂直平分，且每条对角

线平分一组对角，对角相等，邻角互补，据此逐一判断得出答案.

5.【答案】C

【知识点】直角三角形斜边上的中线

【解析】【解答】解：•・•河畔有两条沿河步道AC、BC互相垂直，点M为步道AS的中点，的长为

4000m,

==2000m.

故答案为：C

【分析】本题考查直角三角形的重要性质——斜边上的中线等于斜边的一半。首先由ACLBC可判

定AACB是直角三角形，斜边为AB,而M是的中点，即CM是直角三角形斜边上的中

线，因此直接用斜边AB的长度除以2,就能得到CM的长度。

6.【答案】C

【知识点】勾股定理；矩形的性质

【解析】【解答】解：矩形对角线相等且互相平分，

AOA=OB.

已知NAOB=60。，

有一组邻边相等且夹角为60。，AAOB是等边三角形.

AOA=OB=AB=4,

对角线AC=2OA=8.

矩形NABC=90。，

2222

在RSABC中：BC=y/AC-AB=y/8-4:4近.

故答案为：C.

【分析】由矩形对角线平分相等推出OA=OB,结合NAOB=60。判定等边三角形，得到对角线长

度；再在矩形自带的直角三角形内，用勾股定理求出另一条直角边BC.

7.【答案】A

【知识点】平行四边形的判定；矩形的判定

【解析】【解答】解：•・•点O是△ABC边AC的中点

AAO=OC

VOD=BO

，四边形ABCD是平行四边形

A、当AB=BC时，M48CD是菱形，不符合题意；

B、当NABC=90。时，匹4BCD是矩形，符合题意；

C、由四边形ABCD是平行四边形，所以48||CD,所以4IB。=乙CDB,添加条件乙=乙4CD,

可得乙CDB=UCD,所以OD=OC,所以AC二BD,可证EL4BC0是矩形，符合题意；

D、由OB=OC,得AC=BD,可证比是矩形，符合题意；

故答案为：A.

【分析】本题考查矩形的判定.由已知条件可先判定四边形ABCD是平行四边形；选项A可根据“有

一组邻边相等的平行四边形是菱形”判定团4BG）是菱形；选项B可由“有一个角是直角的平行四边形

是矩形”直接判定；选项C结合平行线的性质与“等角对等边”推出对角线AOBD,根据“对角线相等

的四边形是平行四边形''判定矩形；选项D与选项C判定方法相同.

8.【答案】D

【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定

【蚱析】【解答】解：A.-ABLAD,

:.LBAD=90°,

：,回力BCO是知i形，

故结论正确，但不符合题意；

B.•••AC180,

I3A8CO是菱形，

故结论正确，但不符合题意；

C.•・•四边形4BCD是平行四边形，

••.A。=，C,BO=^BD,

又04=0B.

AC=BD,

：,EL4BCO是矩形，

故结论正确，但不符合题意；

D.当48=4。时，四边形48CD不一定是菱形，

故结论错误，符合题意，

故选：D.

【分析】根据平行四边形性质，结合矩形，菱形判定定理逐项进行判断即可求出答案.

9.【答案】C

【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质

【解析】【解答】解：・・•在矩形ABCO中，

.'AO=B0=^AC=1x6=3,BD=AC=6,且=90°,

'：LAOB=60。,

•••△408是等边三:角形,

：,AB=4。=3,

•­AD=>JBD2-AB2=V62-32=3存

故答案为：Co

【分析】先根据矩形的性质得出40=B。=3,BD=AC=6,匕BAD=90°,然后根据等边三角形

的判定及性质得到48=4。=3,最后根据勾股定理列式计算即可求出AD。

10.【答案】A

【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-ASA

【蚱析】【解答】解：•・•矩形48C。中，0D=OB,CD||AB,

:•乙ODF=LOBE,乙BOE=CDOF,

：.△BOE三△DOF(ASA),

:S^BOE=SA。。

'S阴影=SMOE+S^DOF-+SBBOE-SMOB-矩形=^x2x4=2,

故选：A.

【分析】根据矩形的对角线相等旦互相平分，对边相等可得00=。8,CD||48,进而可得△BOEWA

DOF,利用全等三角形的面积相等得出SMOE=S“OF，从而进一步求解即可.

11.【答案】7

【知识点】矩形的性质

【解析】【解答】解：•・•四边形ABCD是矩形，AC、BD是矩形的两条对角线，

:.BD=AC=7.

故答案为：7

【分析】本题考查矩形的对角线性质。解题时依据矩形对角线相等的基本性质，已知其中一条对角

线的长度，即可直接得到另一条对角线的长度，完成填空。

12.【答案】6

【知识点】含30。角的直角三角形；平行四边形的性质：矩形的性质

【解析】【解答】解：过点B作于点E,

•・•乙力'=30°,

f1tI1

-'-BE=^AB=^AB,

乙乙

D=AD^S矩形/Be。=12

•_1_1_

•・S四边形/B‘C'D'=2s矩形48CD=2X12=6.

故答案为：6.

【分析】过点B作B‘EJ.4'。'于点E,根据含30。角的直角三角形性质可得BE,再根据平行四边形面

积即可求出答案.

13.【答案】55。

【知识点】矩形的性质；角平分线的概念

【解析】【解答】解：・・・BD是矩形4BCD的对角线，

：.LABC=zC=90°,AD||BC

〈BE平分〃BC交CD于点E.

I

：.LCBE=^ABC=45°

工乙CBD=Z-DBE+乙CBE=55。

V.4D||BC

：.LADB=乙CBD=55°,

故答案为:55°

【分析】

先根据矩形的性质和角平分线求出=45。，结合已知条件NOBE=10。，利用角的和差关系求出

乙DBC,最后根据平行线的性质进行解答即可.

14.【答案】713

【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；矩形的性质

【解析】【解答】如图，连接BO,

VB的坐标为(2,3),

.•.08=/2^+3^=<13

•••四边形0ABC是矩形

/.AC=0B=x/13

故答案为：V13.

【分析】连接BO,根据两点间距离可得OB,再根据矩形性质即可求出答案.

15.【答案】^ABC=90°

【知识点】矩形的判定

【解析】【解答】解：•・•四边形ABC。是平行四边形，

当乙48c=90。时，平行四边形48。。就成为矩形。

故答案为：LABC=90°.

【分析】矩形的判定定理，如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”、”对角线相等的平行四边形是

矩形”。因此本题依据条件并结合矩形的判定定理，可以增加的条件有41BC