2026年浙江省人教版高中数学选修第1册第6章数列习题

2026年浙江省人教版高中数学选修第1册第6章数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n+1B.3n-2C.4n-5D.5n-10解析：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-n，则b_5的值为（）A.16B.31C.48D.63解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。验证n=1时S_1=1，b_1=S_1=1符合通项，故b_5=2^4-1=15。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_10的值为（）A.55B.100C.150D.200解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，得c_{n+1}-c_n=2n。累加得c_n=c_1+(c_2-c_1)+(c_3-c_2)+…+(c_n-c_{n-1})=1+2+4+…+2(n-1)=1+2(1+2+…+(n-1))=1+n(n-1)=n^2-n+1。故c_10=10^2-10+1=91。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2或-3C.3或-2D.2或3解析：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得6q^2=54，解得q=3或q=-3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.12C.15D.18解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。验证n=1时T_1=2，e_1=T_1=2符合通项，故e_3=2×3=6。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_5的值等于（）A.10B.12C.14D.16解析：由递推关系f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，得f_{n+1}-f_n=log_2(n+1)。累加得f_n=f_1+(f_2-f_1)+(f_3-f_2)+…+(f_n-f_{n-1})=2+(log_22-log_21)+…+(log_2n-log_2(n-1))=2+log_2n-1=1+log_2n。故f_5=1+log_25=1+2=3。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=15，则a_3的值等于（）A.3B.4C.5D.6解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=15，解得a_3=3。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-n^2，则数列{h_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.既是等差又是等比数列D.既非等差也非等比数列解析：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=3^n-n^2-[3^{n-1}-(n-1)^2]=2×3^{n-1}-2n+1。验证n=1时h_1=S_1=2符合通项，但h_2=7，h_3=19，不符合等差或等比性质。9.若数列{p_n}满足p_1=1，p_{n+1}=2p_n+n，则p_6的值等于（）A.63B.65C.67D.69解析：由递推关系p_{n+1}=2p_n+n，得p_{n+1}-n=2p_n。令q_n=p_n-n，则q_{n+1}=2q_n。又q_1=p_1-1=0，故q_n=0，即p_n=n。故p_6=6。10.在等比数列{q_n}中，若q_2=4，q_3=16，则该数列的前6项和q_1+q_2+…+q_6等于（）A.124B.126C.128D.130解析：由等比数列性质q_3=q_2q_1，代入q_2=4，q_3=16得q_1=4。公比q=q_2/q_1=4/4=1。故前6项和q_1+q_2+…+q_6=4×6=24。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式a_n=_________。解：由等差数列性质a_10=a_5+5d，代入a_5=10，a_10=25得5d=15，即d=3。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_5-4d=2，故a_n=2+3(n-1)=3n-1。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，则b_4的值等于_________。解：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+3n-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1。验证n=1时S_1=5，b_1=S_1=5符合通项，故b_4=4×4+1=17。3.在等比数列{c_n}中，若c_3=8，c_5=32，则该数列的公比q=_________。解：由等比数列性质c_5=c_3q^2，代入c_3=8，c_5=32得8q^2=32，解得q=±2。4.若数列{d_n}满足d_1=2，d_{n+1}=d_n+3n，则d_6的值等于_________。解：由递推关系d_{n+1}=d_n+3n，得d_{n+1}-d_n=3n。累加得d_n=d_1+(d_2-d_1)+(d_3-d_2)+…+(d_n-d_{n-1})=2+3(1+2+…+(n-1))=2+3×(n-1)n/2=3n^2/2-n/2+1。故d_6=3×36/2-6/2+1=53。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^3-n，则e_5的值等于_________。解：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^3-n-[（n-1）^3-(n-1)]=3n^2-3n+1。验证n=1时T_1=0，e_1=T_1=0符合通项，故e_5=3×25-15+1=61。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+2n，则f_4的值等于_________。解：由递推关系f_{n+1}=f_n+2n，得f_{n+1}-f_n=2n。累加得f_n=f_1+(f_2-f_1)+(f_3-f_2)+…+(f_n-f_{n-1})=3+2(1+2+…+(n-1))=3+2×(n-1)n/2=n^2+2n-3。故f_4=16+8-3=21。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=30，则a_4的值等于_________。解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=6a_4=30，解得a_4=5。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=5^n-n，则数列{h_n}是_________数列（填"等差"或"等比"或"既非等差也非等比"）。解：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=5^n-n-[5^{n-1}-(n-1)]=4×5^{n-1}-1。验证n=1时h_1=S_1=4符合通项，但h_2=19，h_3=79，不符合等差或等比性质。9.若数列{p_n}满足p_1=4，p_{n+1}=p_n+2n，则p_5的值等于_________。解：由递推关系p_{n+1}=p_n+2n，得p_{n+1}-p_n=2n。累加得p_n=p_1+(p_2-p_1)+(p_3-p_2)+…+(p_n-p_{n-1})=4+2(1+2+…+(n-1))=4+2×(n-1)n/2=n^2+n+2。故p_5=25+5+2=32。10.在等比数列{q_n}中，若q_2=2，q_4=8，则该数列的前5项和q_1+q_2+…+q_5等于_________。解：由等比数列性质q_4=q_2q^2，代入q_2=2，q_4=8得q^2=4，解得q=±2。若q=2，前5项和为2(2^5-1)/1=62；若q=-2，前5项和为2(1-(-2)^5)/(-3)=-34。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+d（d为常数），则{a_n}是等差数列。（）解：正确。等差数列的定义就是相邻两项之差为常数。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=n^2+n，则b_n=2n。（）解：错误。当n≥2时b_n=2n，但n=1时b_1=S_1=2，不符合通项。3.在等比数列{c_n}中，若c_1=c_2=c_3，则该数列的公比q=1。（）解：正确。由等比数列性质c_2=c_1q，c_3=c_2q=c_1q^2，又c_1=c_2=c_3，得q=1。4.若数列{d_n}满足d_{n+1}=d_n+n，则{d_n}是等差数列。（）解：错误。d_{n+1}-d_n=n，但d_n的通项为n^2/2+n/2-1，相邻两项之差不为常数。5.若数列{e_n}的前n项和T_n=2^n-n^2，则{e_n}是等比数列。（）解：错误。e_n=2^n-2n，相邻两项之比不为常数。6.在等差数列{f_n}中，若a_1+a_2+a_3=12，则2a_2=a_1+a_3。（）解：正确。由等差数列性质a_1+a_2+a_3=3a_2，故2a_2=a_1+a_3。7.若数列{g_n}满足g_{n+1}=g_n+g_{n-1}（n≥2），则{g_n}是斐波那契数列。（）解：正确。斐波那契数列的定义就是相邻两项之和等于下一项。8.若数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-n，则{h_n}是等比数列。（）解：错误。h_n=2×3^{n-1}-2n+1，相邻两项之比不为常数。9.在等比数列{p_n}中，若p_2=4，p_4=16，则该数列的公比q=2。（）解：正确。由等比数列性质p_4=p_2q^2，代入p_2=4，p_4=16得q^2=4，解得q=2。10.若数列{q_n}满足q_{n+1}=2q_n+1，则{q_n}是等比数列。（）解：错误。q_{n+1}-2q_n=1，相邻两项之差为常数，但相邻两项之比不为常数。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列性质a_10=a_5+5d，代入a_5=10，a_10=25得5d=15，即d=3。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_5-4d=2，故a_n=2+3(n-1)=3n-1。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，求b_4的值。解：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+3n-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1。验证n=1时S_1=5，b_1=S_1=5符合通项，故b_4=4×4+1=17。3.在等比数列{c_n}中，若c_3=8，c_5=32，求该数列的公比q。解：由等比数列性质c_5=c_3q^2，代入c_3=8，c_5=32得8q^2=32，解得q=±2。4.若数列{d_n}满足d_1=2，d_{n+1}=d_n+3n，求d_6的值。解：由递推关系d_{n+1}=d_n+3n，得d_{n+1}-d_n=3n。累加得d_n=d_1+(d_2-d_1)+(d_3-d_2)+…+(d_n-d_{n-1})=2+3(1+2+…+(n-1))=2+3×(n-1)n/2=3n^2/2-n/2+1。故d_6=3×36/2-6/2+1=53。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^3-n，求e_5的值。解：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^3-n-[（n-1）^3-(n-1)]=3n^2-3n+1。验证n=1时T_1=0，e_1=T_1=0符合通项，故e_5=3×25-15+1=61。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+2n，求f_4的值。解：由递推关系f_{n+1}=f_n+2n，得f_{n+1}-f_n=2n。累加得f_n=f_1+(f_2-f_1)+(f_3-f_2)+…+(f_n-f_{n-1})=3+2(1+2+…+(n-1))=3+2×(n-1)n/2=n^2+2n-3。故f_4=16+8-3=21。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=30，求a_4的值。解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=6a_4=30，解得a_4=5。8.若数列{h_n}的前n项和S_n=5^n-n，判断{h_n}是等差数列还是等比数列。解：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=5^n-n-[5^{n-1}-(n-1)]=4×5^{n-1}-1。验证n=1时h_1=S_1=4符合通项，但h_2=19，h_3=79，不符合等差或等比性质。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.在等差数列{a_n}中，若a_3=7，a_7=15，求该数列的前10项和S_{10}。解：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。前10项和S_{10}=10a_1+45d=10×3+45×2=120。2.若数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2+3n，求该数列的前5项和S_5。解：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+3n-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1。验证n=1时S_1=5，b_1=S_1=5符合通项，故前5项和S_5=5×5+10=35。3.在等比数列{c_n}中，若c_2=4，c_4=16，求该数列的前6项和S_6。解：由等比数列性质c_4=c_2q^2，代入c_2=4，c_4=16得q^2=4，解得q=±2。若q=2，前6项和S_6=4(2^6-1)/1=124；若q=-2，前6项和S_6=4(1-(-2)^6)/(-3)=-68。4.若数列{d_n}满足d_1=2，d_{n+1}=d_n+3n，求该数列的前4项和S_4。解：由递推关系d_{n+1}=d_n+3n，得d_{n+1}-d_n=3n。累加得d_n=2+3(1+2+…+(n-1))=2+3×(n-1)n/2=3n^2/2-n/2+1。故前4项和S_4=2+11+20+33=66。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^3-n，求该数列的前3项和T_3。解：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^3-n-[（n-1）^3-(n-1)]=3n^2-3n+1。验证n=1时T_1=0，e_1=T_1=0符合通项，故前3项和T_3=0+8+19=27。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+2n，求该数列的前6项和S_6。解：由递推关系f_{n+1}=f_n+2n，得f_{n+1}-f_n=2n。累加得f_n=3+2(1+2+…+(n-1))=3+2×(n-1)n/2=n^2+n+2。故前6项和S_6=3+12+27+48+75+108=273。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=30，求该数列的前3项和S_3。解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=6a_4=30，解得a_4=5。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_4=a_1+3d=5，故前3项和S_3=3a_1+3d=3a_4=15。8.若数列{h_n}的前n项和S_n=5^n-n，求该数列的前2项和S_2。解：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=5^n-n-[5^{n-1}-(n-1)]=4×5^{n-1}-1。验证n=1时S_1=4，h_1=S_1=4符合通项，故前2项和S_2=4+19=23。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.A3.A4.C5.B6.C7.A8.D9.D10.B二、填空题1.3n-12.173.±24.535.616.217.58.既非等差也非等比9.3210.62或-34三、判断题1.√2.×3.√4.×5.×6.√7.√8.×9.√10.×四、简答题1.解：由等差数列性质a_10=a_5+5d，代入a_5=10，a_10=25得5d=15，即d=3。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_5-4d=2，故a_n=2+3(n-1)=3n-1。2.解：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=2n^2+3n-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1。验证n=1时S_1=5，b_1=S_1=5符合通项，故b_4=4×4+1=17。3.解：由等比数列性质c_5=c_3q^2，代入c_3=8，c_5=32得8q^2=32，解得q=±2。4.解：由递推关系d_{n+1}=d_n+3n，得d_{n+1}-d_n=3n。累加得d_n=d_1+(d_2-d_1)+(d_3-d_2)+…+(d_n-d_{n-1})=2+3(1+2+…+(n-1))=2+3×(n-1)n/2=3n^2/2-n/2+1。故d_6=3×36/2-6/2+1=53。5.解：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^3-n-[（n-1）^3-(n-1)]=3n^2-3n+1。验证n=1时T_1=0，e_1=T_1=0符合通项，故e_5=3×25-15+1=61。6.解：由递推关系f_{n+1}=f_n+2n，得f_{n+1}-f_n=2n。累加得f_n=f_1+(f_2-f_1)+(f_3-f_2)+…+(f_n-f_{n-1})=3+2(1+2+…+(n-1))=3+2×(n-1)n/2=n^2+2n-3。故f_4=16+8-3=21。7.解：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=6a_4=30，解得a_4=5。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_4=a_1+3d=5，故前3项和S_3=3a_1+3d=3a_4=15。8.解：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=5^n-n-[5^{n-1}-(n-1)]=4×5^{n-1}-1。验证n=1时S_1=4，h_1=S_1=4符合通项，但h_2=19，h_3=79，不符合等差或等比性质。五、应用题