宁夏回族自治区银川市永宁县永宁中学2025-2026学年高一下册期末考试数学试卷-含答案

数学考试时间：120分钟总分；150分一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A.1 B. C.2 D.2.已知向量满足，，则（）A. B. C. D.3.如图，在中，．设，，则（）A. B.C. D.4.如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（）A. B. C. D.5.在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了名同学的第一个解答题的得分，得分为：，，，，，，，，这组数据的第百分位数是（）A. B. C. D.6.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则7.已知一个正方体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（）A. B.2 C. D.8.已知正方体中，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.从装有个红球和个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（）A.至少一个红球；都是白球 B.恰有一个红球；恰有一个白球C.至少有一个红球；至多有一个白球 D.至多一个红球；都是红球10.已知平面向量，，则下列说法正确的有（）A. B.与的夹角为C.在方向上的投影向量为 D.若向量满足，则．11.某校为了解高一年级学生的身高情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，抽取了男生人，其平均数和方差分别为和．抽取了女生人，其平均数和方差分别为和．由这些数据，可计算出总样本平均数与总样本方差分别是（）A. B. C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某中学高一年级有人，高二年级有人，高三年级有人．现用分层随机抽样方法从三个年级中抽取人，则抽取的高一年级学生的人数比抽取的高三年级学生人数多________人．13.如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为________________．14.紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为__________米（精确到整数位）（）.四．解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量，．（1）求与夹角的余弦值；（2）若，求．16.2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识，某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值及名学生这次竞赛成绩的众数；（2）估计这名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数．17.如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．（1）求棱锥的体积：（2）求证：平面．18.在中，角所对的边分别为，若．（1）求A的大小；（2）若，求的面积．19.如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点．（1）求证：平面；（2）求证，平面平面；（3）求直线与平面所成角的大小

数学考试时间：120分钟总分；150分一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）A.1 B. C.2 D.答案：B解析：思路：根据复数乘法与除法及复数的模计算即可.解答过程：由，得.所以.2.已知向量满足，，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：将已知两向量等式，两边平方后相减，即可求得答案.解答过程：由，所以，由，所以，所以，即.3.如图，在中，．设，，则（）A. B.C. D.答案：B解析：解答过程：，..4.如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：由斜二测画法还原梯形，明确线段的等量关系，根据梯形的面积公式，可得答案.解答过程：过作，垂足为，如下图：

由题意可得，，由斜二测画法，还原可得下图：

易知，，，所以原梯形面积为.5.在某次模拟考试后，数学老师随机抽取了名同学的第一个解答题的得分，得分为：，，，，，，，，这组数据的第百分位数是（）A. B. C. D.答案：D解析：解答过程：将数据按升序排列可得：2，4，5，7，7，8，10，10，因为，所以这组数据的第百分位数是.6.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论一定成立的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：A解析：解答过程：对于A：若，，则的法向量都与平行，即的法向量平行，所以，故正确；对于B：若，，则或者与相交，故错误；对于C：若，，则，或者与相交，或者与异面，故错误；对于D：若且，则，或者，或者与相交，故错误.7.已知一个正方体的所有顶点在同一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为（）A. B.2 C. D.答案：C解析：解答过程：设正方体的棱长为，外接球的半径为，因为正方体的体对角线等于外接球的直径，即，得，球的体积公式为，代入可得：，解得，所以.8.已知正方体中，E为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：连接，，根据异面直线所成角的定义，转化为求（或其补角），然后在中用余弦定理即可解得.解答过程：连接，，如图：因为为正方体可得，所以（或其补角）是异面直线与所成角，设正方体的棱长为，，，在中，，所以异面直线与所成角的余弦值是.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得3分，有选错的得0分.9.从装有个红球和个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥且对立的两个事件的是（）A.至少一个红球；都是白球 B.恰有一个红球；恰有一个白球C.至少有一个红球；至多有一个白球 D.至多一个红球；都是红球答案：AD解析：思路：依据互斥事件、对立事件的定义，逐一判断各选项中两个事件的关系即可.解答过程：对于A：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“都是白球”对应两个白球，二者不能同时发生，且并集为全部样本空间，是互斥且对立事件，故A正确；对于B：“恰有一个红球”和“恰有一个白球”都对应一红一白，是同一事件，可同时发生，不互斥，故B错误；对于C：“至少一个红球”包含一红一白、两个红球，“至多一个白球”即白球数小于等于，也包含一红一白、两个红球，二者是同一事件，可同时发生，不互斥，故C错误；对于D：“至多一个红球”即红球数小于等于，包含一红一白、两个白球，“都是红球”对应两个红球，二者不能同时发生，且并集为全部样本空间，是互斥且对立事件，故D正确.10.已知平面向量，，则下列说法正确的有（）A. B.与的夹角为C.在方向上的投影向量为 D.若向量满足，则．答案：BC解析：思路：根据模的坐标表示即可判断A；根据向量夹角的坐标表示即可判断B；根据投影向量的定义即可判断C；根据向量平行的坐标关系可判断D.解答过程：对于A：，，则，所以A不正确；对于B：，则与的夹角为，所以B正确；对于C：，∴在方向上的投影向量为，故C正确；对于D：，与平行的向量可表示为，但不满足平行条件，且平行向量不唯一，故D不正确.11.某校为了解高一年级学生的身高情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，抽取了男生人，其平均数和方差分别为和．抽取了女生人，其平均数和方差分别为和．由这些数据，可计算出总样本平均数与总样本方差分别是（）A. B. C. D.答案：AC解析：思路：根据按比例分配的分层随机抽样的总样本平均数、总样本方差的计算公式，分别求解对应数值后判断选项即可.解答过程：

选项AB：总样本平均数为各层平均数按样本量权重加权的结果，计算得，故A正确，B错误；选项CD：分层随机抽样总样本方差为，故C正确，D错误.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某中学高一年级有人，高二年级有人，高三年级有人．现用分层随机抽样方法从三个年级中抽取人，则抽取的高一年级学生的人数比抽取的高三年级学生人数多________人．答案：10解析：思路：先计算三个年级总人数得到抽样比，再分别求出高一年级、高三年级的抽取人数，计算二者差值即可.解答过程：三个年级总人数为，所以抽样比为，因此抽取的高一年级学生人数为，抽取的高三年级学生人数为，故高一年级抽取人数比高三年级多(人).13.如图，在正三棱柱中，．若二面角的大小为，则侧棱长为________________．答案：解析：思路：取的中点，连接，，利用正三角形性质及三垂线定理证明为二面角的平面角，进而在中求解侧棱长.解答过程：取的中点，连接，.因为为正三角形，所以.因为三棱柱为正三棱柱，所以平面.又平面，所以.因为，平面，所以平面.又平面，所以.所以即为二面角的平面角，即.在中，，，所以.在中，，所以.故侧棱长为.14.紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为__________米（精确到整数位）（）.答案：389解析：思路：设，求出，最后在中利用余弦定理可得.解答过程：由题意可知，，设，在中，，所以，同理在中，，在中，由余弦定理得，即，所以.故紫峰大厦主体的高度约为米.故答案为：四．解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量，．（1）求与夹角的余弦值；（2）若，求．答案：（1）（2）．解析：思路：（1）根据平面向量夹角坐标表示公式进行求解即可；（2）根据平面向量垂直的坐标表示公式，结合平面向量线性运算坐标表示公式进行求解即可.（1）由题意得，，，所以与夹角的余弦值为．（2），，因为，所以，得．16.2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识，某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中的值及名学生这次竞赛成绩的众数；（2）估计这名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数．答案：（1），众数为；（2）中位数为，平均数为.解析：思路：（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1建立方程求a，根据最高矩形底边中点确定众数；（2）利用面积平分原理计算中位数，利用组中值与频率的乘积之和计算平均数.（1）由频率分布直方图可知，组距为10，所有小矩形的面积之和为1，则，即，解得.由图可知，频率最高的组为，其对应的小矩形最高，故众数为该组底边的中点值，即.（2）由（1）知，各组频率依次为：：，

：，：，

：，

：.因为前两组的频率之和为，前三组的频率之和为，所以中位数位于第三组内.设中位数为，则，解得，所以估计这名学生这次竞赛成绩的中位数为.平均数为各组组中值与对应频率乘积之和，即.所以估计这名学生这次竞赛成绩的平均数为.17.如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点．（1）求棱锥的体积：（2）求证：平面．答案：（1）2；（2）证明:若为中点，连接，E为PD的中点，所以且，又，，所以且，故为平行四边形，则，平面，平面，所以平面.解析：思路：（1）由题设知为直角梯形，结合已知求其面积，根据平面知四棱锥的高为，利用体积公式求体积.（2）若为中点，连接，根据中位线、平行四边形性质可得，最后由线面平行的判定可证出结论.（1）由，知：为直角梯形，又，且平面，所以，故，所以四棱锥的体积.（2）略18.在中，角所对的边分别为，若．（1）求A的大小；（2）若，求的面积．答案：（1）（2）解析：解答过程：（1）因为，由正弦定理可得：，即，在中，，所以，因为，所以；（2）由（1）知，，因为，，由余弦定理，得：即，得，所以的面积．19.如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点．（1）求证：平面；（2）求证，平面平面；（3）求