辽宁省部分学校2025-2026学年高三上册8月份联合考试数学试卷-含答案

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.已知实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知奇函数的定义域为，且函数图象关于对称．当时，，则（）A.1 B.-1 C.2 D.-24.若直线与函数和的图象分别相切于点，则（）A.2 B. C. D.5.已知，，，则（）A. B. C. D.6.设，若为函数的极大值点，则（）A. B. C. D.7.已知有穷数列是等差数列，公差为，前项和为，．命题，为等差数列；命题，为递增数列，则（）A.和均为真命题 B.和均为真命题C.和均为真命题 D.和均为真命题8.已知函数，则下列说法错误的是（）A.若值域为，则B.若定义域为，则C.若最小值为0，则D.若最大值为2，则二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则下列说法正确的是（）A. B.的最小值为C.的最小值为12 D.的最小值为10.已知函数，则（）A.函数无最小值B.函数在定义域上单调递增C.直线与函数的图象最多有3个公共点D.经过点可作的3条切线11.已知定义在上的函数满足，其中表示不超过x的最大整数，如[，．当时，，设为从小到大的第n个极小值点，则（）A. B.C.数列是等差数列 D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数；③对任意的，，都有，则__________．13.设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______.14.已知函数的定义域为，，，且对于、，当时都有，则不等式的解集为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设函数．（1）解不等式；（2）令的最小值为T，正数满足，证明：．16.设数列满足．（1）证明：数列为等差数列；（2）给定正整数，设函数，求．17.已知函数，曲线在处的切线经过点．（1）求；（2）当时，，求的取值范围．18.已知数列的前项和为，且满足，若.（1）求数列的通项公式；（2）设，（ⅰ）试比较与的大小，并说明理由；（ⅱ）若数列的前n项和为，求证：.19.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若函数存在正零点，（i）求的取值范围；（ii）记为的极值点，证明：.

数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：解分式不等式得集合，再根据交集的定义即可求得结果.解答过程：由且，解得，即，因，则.故选：B.2.已知实数，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：D解析：思路：化简，对照条件的定义可得答案.解答过程：不等式，等价于，因为，所以，显然，不一定得出；也不一定得出.故选：D3.已知奇函数的定义域为，且函数图象关于对称．当时，，则（）A.1 B.-1 C.2 D.-2答案：B解析：思路：利用奇函数以及对称性求出函数周期为，所以，即可求解.解答过程：因为函数图象关于对称，所以，因为为奇函数，所以，所以，即，所以，所以，所以的周期为8，所以，而，又因为当时，，所以，即，所以.故选：B.4.若直线与函数和的图象分别相切于点，则（）A.2 B. C. D.答案：C解析：思路：先设切点，再求导函数得出点斜式即切线方程，结合公切线列方程求解得出点，最后应用两点间距离求解.解答过程：设，，因为，，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，函数的图象在点处的切线方程为，即，因为直线是两函数图象的公切线，所以，由①可得，代入②得，因为，所以，所以，，所以.故选：C．5.已知，，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：结合对数函数单调性比较，与，的大小，然后结合对数运算性质及基本不等式比较，的大小，即可求解．解答过程：由题意得，，因为，即，，即，因为，所以，故．故选：C．6.设，若为函数的极大值点，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：求导，根据极大值点的定义，结合二次函数的性质分类讨论求解即可.解答过程：由，，则，当，即时，此时，则恒成立或恒成立，则函数在上单调递增或单调递减，无极值，不满足题意；当，即时，结合二次函数的性质可知，要使为函数的极大值点，则或，解得或.故选：C.7.已知有穷数列是等差数列，公差为，前项和为，．命题，为等差数列；命题，为递增数列，则（）A.和均为真命题 B.和均为真命题C.和均为真命题 D.和均为真命题答案：A解析：思路：由已知，可得，则为真命题；设的项数为，要使为递增数列，可得，则为真命题．解答过程：有穷数列是等差数列，公差为，前项和为，，则，，，，所以为等差数列，则为真命题；当时，为递减数列，设的项数为，要使为递增数列，只需，即，所以，则为真命题．故选：A.8.已知函数，则下列说法错误的是（）A.若值域为，则B.若定义域为，则C.若最小值为0，则D.若最大值为2，则答案：B解析：思路：利用及二次函数的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解.解答过程：令，，对于A，因为值域为，则时，，此时值域为，不合题意，当时，则，解得，所以A说法正确；对于B，因为定义域为，则时，，此时，符合题意，当时，，解得，所以，所以B说法错误；对于C，因为最小值为0，又是增函数，则有最小值，又的对称轴为，则，解得，所以C说法正确；对于D，因为最大值为2，又是增函数，则有最大值，又的对称轴为，则，解得，所以D说法正确.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知，则下列说法正确的是（）A. B.的最小值为C.的最小值为12 D.的最小值为答案：ABD解析：思路：已知条件可化为，对A，令，则，结合其单调性可判断；对B，由条件式消元得到二次函数，求其最值即可判断；对C，由条件式消元，利用基本不等式，可得判断；对D，直接由基本不等式判断.解答过程：由得，对于A，因为，所以，所以，令，因为所以，即，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；因为，所以，A正确；对于B，因为，所以，当且仅当时取等号，B正确；对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，C错误；对于D，，当且仅当，即时取等号，D正确；故选：ABD.10.已知函数，则（）A.函数无最小值B.函数在定义域上单调递增C.直线与函数的图象最多有3个公共点D.经过点可作的3条切线答案：AC解析：思路：首先对函数求导，得到函数的单调性，画出函数图象，判断A、B的正误，利用直线过定点旋转结合图象可以判断C项正误，分是切点和不是切点两种情况讨论得D项正误，从而得正确选项.解答过程：由题可得的定义域为，且，所以函数在，上均单调递增，又时，，且，作出的大致图象如图所示，所以函数无最小值，故A正确，B错误；易知直线过点，由图可知，当时，直线与函数的图象有1个交点，当时，直线与函数的图象有2个交点，要使直线与函数的图象有更多的交点，则当k足够大时，直线与的图象有两个交点，与的图象有一个交点，而故直线与函数的图象最多有3个公共点，故C正确；由于点在的图象上，当为切点时，以为切点可作曲线的一条切线，当不为切点时，设切点为，则，解得故经过点可作图象的2条切线，故D错误.故选：AC.11.已知定义在上的函数满足，其中表示不超过x的最大整数，如[，．当时，，设为从小到大的第n个极小值点，则（）A. B.C.数列是等差数列 D.答案：BC解析：思路：应用已知计算判断A，化简计算判断B，应用极值点定义结合等差数列定义判断C，应用递推公式得出等比数列计算判断D.解答过程：因为，故A选项错误；当时，，等式两边同时加，得，故，，故B选项正确；当时，设，则极小值点为，所以当时，，此时，的极小值点为，即，所以，数列是等差数列，故C选项正确；所以设，则，，，为首项是，公比为2的等比数列，所以，当时，，故D选项错误．综上所述，应选BC．故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.请写出一个幂函数满足以下条件：①定义域为；②为增函数；③对任意的，，都有，则__________．答案：（答案不唯一）解析：思路：根据幂函数的性质可写出一个符合①②的幂函数，利用作差法说明其也满足③，即可得答案.解答过程：由题意可知的定义域为，且在上为增函数；下面证明该函数满足③：取任意的，，，则，当且仅当时取等号，即，即满足③，故答案为：13.设正项等比数列的前项和为，若，则的值为______.答案：91解析：思路：方法一：利用等比数列前项和的性质即可求解；方法二：利用等比数列前项和的公式，代入计算即可求解.解答过程：方法一：等比数列中，，，成等比数列，则，，成等比数列，∴，∴，∴.方法二：设公比为，由题意显然且,所以，∴，故答案为：.14.已知函数的定义域为，，，且对于、，当时都有，则不等式的解集为______．答案：解析：思路：构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，即为，结合函数的单调性可求得的取值范围，然后验证恒成立，即可得解.解答过程：构造函数，其中，则，故函数在上为减函数，由可得，即，因为，则，所以，，解得.对于、，当时都有，不妨设，则，所以，函数在上为增函数，则对任意的，，则，可得恒成立，因此，所求不等式的解集为.故答案为：.方法提示：结论点睛：四种常用的导数构造法：（1）对于不等式（或），构造函数；（2）对于不等式（或），构造函数；（3）对于不等式（或）（其中为常数且），构造函数；（4）对于不等式（或）（其中为常数），构造函数.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.设函数．（1）解不等式；（2）令的最小值为T，正数满足，证明：．答案：（1）.（2）证明见解析.解析：思路：（1）分类讨论x的取值，脱掉绝对值符号，解不等式，可得答案；（2）分类讨论x的取值，求出的最小值为T，将展开，利用基本不等式证明，即可证明结论.（1）当时，即，解得，故；当时，即，则；当时，即，解得，故，综上所述，原不等式的解集为.（2）若，则；若，则：若，则,所以函数的最小值，故,又为正数，则,当且仅当,时等号成立,所以.16.设数列满足．（1）证明：数列为等差数列；（2）给定正整数，设函数，求．答案：（1）证明见解析（2）解析：思路：（1）将条件式变形，由等差数列定义判断；（2）由（1）先求出，再由错位相减法求出，即可求.（1）在数列中，，，即是以为首项，1为公差的等差数列．（2）由（1）知数列是首项为3，公差为1的等差数列.，即，在中，，，当且时，，，当时，.17.已知函数，曲线在处的切线经过点．（1）求；（2）当时，，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）由导数的几何意义可得切线斜率，又因为切线经过点和点，结合直线过两点的斜率公式，建立等式求解即可；（2）当时，；当时，参变分离得，设，利用导数求出函数的最大值，即可得答案.（1）因为，，切线斜率，又因为切线经过点所以，所以，解得；（2）由题意得对任意的成立．当时，；当时，原不等式等价于，设，则，令，则令，则，所以，即在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，即，所以当时，单调递增；当时，单调递减；所以所以，故的取值范围是.18.已知数列的前项和为，且满足，若.（1）求数列的通项公式；（2）设，（ⅰ）试比较与的大小，并说明理由；（ⅱ）若数列的前n项和为，求证：.答案：（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析解析：思路：（1）利用的关系可求的通项公式；（1）（ⅰ）求出，结合不等式可判断大小；（iⅰ）利用分组求和的方法求出，结合不等式放缩可证结论.（1）当时，由题意，；当时，，两式相减可得，所以，即，因为，所以.（2）因为，所以；当为奇数时，；当为偶数时，；令，则，即为增函数，则当时，；（ⅰ）因为，所以；（iⅰ）当为奇数时，，因为，所以，因为，所以；当为偶数时，，因为，所以，因为，所以；综上，.19.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若函数存在正零点，（i）求的取值范围；（ii）记为的极值点，证明：.答案：（1）单调递减区间是，无单调递增区间（2）（i）；（ii）证明见解析解析：思路：（1）借助导数的正负即可得函数的单调性；（2）（i）求导后借助导数分、及讨论函数的单调性，再结合零点的存在性定理计算即可得；（ii）利用零点定义与极值点定义可得，代入计算可得，再借助时，，即可得，再计算并化简即可得.