2024-2026年高考数学试题分类汇编-统计与概率（原卷版）

考点oi概率

1.（2026・上海・高考真题）事件A和事件8相互独立，“A和8至少一个发生”的对立事件是（）.

A.AcBB.C.ABD.AuB

2.（2025・上海・高考真题）有一四边形ABC。，对于其四边A3、BC、CD、DA,按顺序分别抛掷一枚质量

均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去.最后，以A为起点沿着尚未擦

去的边出发，可以到达C点的概率为（）.

A.；B.—C.：D.—

216416

3.（2024・上海・高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面

三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件4：所选盒中有中国结，事件3：所选盒中有记事本，事件C：

所选盒中有笔袋，则（）

A.事件人与事件8互斥B.事件人与事件B相互独立

C.事件4与事件互斥D.事件4与事件相互独立

4.（2024•全国甲卷•高考真题）某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、「四人参加，每人出场一次，

出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（）

A.!B.—C.-D.—

6432

5.（2026・天津・高考真题）箱子里有一个红球，两个黄球，三个白球，有放回的取三次，三次都没取到黄

球的概率是__________;在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是.

6.（2026・上海・高考真题）已知事件A,8互斥，P（4）=0.2,P（B）=0.5,则。（4JA）=.

7.（2024•全国甲卷•高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中无放回地随机

取3次，每次取1个球.记，〃为前两次取出的球上数字的平均值，〃为取出的三个球上数字的平沟值，则，〃与

〃之差的绝对值不大于g的概率为.

8.（2024・天津・高考真题）某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共5个项目，

分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中3个项目.假设每人参加

每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项H的概率为；已知乙同学参加的3个项n中有“整

地做畦“，则他还参加“田间灌溉”项目的概率为.

9.（2024•新课标II卷•高考真题）在如图的4x4的方格表口选4个方格，要求每行和每列均恰有一个

方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值

11213140

12223342

13223343

15243444

10.（2024•新课标I卷•高考真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上

分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两

人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人

得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得

分不小于2的概率为.

II.（2025・北京・高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级

学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生

该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80,乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相

互独立，用频率估计概率.

⑴估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率〃

（2）从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的

概率及X的数学期望；

（3）假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知

识点，甲校学生选择正确的概率为100%,乙校学生选择正确的概率为85%.设甲、乙两校高一年级学生掌

握该知识点的概率估计值分别为P.%，判断Pl与〃2的大小（结论不要求证明）.

X012

P0.050.350.6

12.（2025•全国H卷•高考真题）甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分.设每

个球甲胜的概率为〃乙胜的概率为q,P+q=l,且各球的胜负相互独立.对正整数攵22,记外

为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，仇为打完4个球后乙比甲至少多得2分的概率.

(1)求〃3，〃4(用〃表示).

(2)若八二2二4,求

%-%

(3)证明：对任意正整数〃?，〃2用+1一%m+l<Pim~^2m<Plm»2~-

13.(2025•全国I卷•高考真题)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随

机调查了1000人，得到如下列联表：

超声波检查结果组别正常不正常合计

患该疾病20180200

未患该疾病78020800

合计8002(X)10(H)

(1)汜超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求〃的估计值；

(2)艰据小概率值a=().00l的独立性检验，分析超声波检杳结果是否与患该疾病有关.

n(ad-be)2

(a+h)(c+d)(a+c)(h+d)

P(/明0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

14.(2024・北京・高考真题)某保母公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保

单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：

赔偿次数01234

单数800100603010

假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司

赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.

(1)咕计一份保单索赔次数不少于2的概率；

(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.

(i)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E(X)；

(ii)如果无索赔的保单的保费减少4%,有索赔的保单的保费增加20%,试比较这种情况下一份保单毛利

润的数学期望估计值与(i)中石(X)估计值的大小.(结论不要求证明)

15.(2024•全国甲卷•高考真题)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两

个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

优级品合格品不合格品总计

甲车间2624050

乙车间70282100

总计96522150

(1)填写如下列联表：

优级品非优级品

甲车间

乙乍间

能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品

的优级品率存在差异？

(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率〃=。5,设万为升级改造后抽取的〃件产品的优级品率.如果

万＞〃+1.65秒沔，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生

产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？(洞B12.247)

附：K?=————

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k]0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

优级品非优级品

甲车间2624

乙车间7030

优级品非优级品

甲车间2624

乙车间7030

16.(2024•新课标II卷•高考真题)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体

规则如下；第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；

若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未

投中得。分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概

率为p,乙每次投中的概率为％各次投中与否相互独立..

（1）若〃=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.

⑵假设

（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加笫一阶段比赛？

（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

考点02统计

1.（2026•全国n卷•高考真题）样本数据6,8,4,5,12的中位数为（）

A.5B.6C.8D.9

2.（2026・天津・高考真题）调杳候鸟和温度的关系，在不同温度下统计候鸟的数量，所得数据如图所示，

其中相关系数，=-0.91,根据最小二乘法算得：y=-1.17x+1370.7,下列说法正确的是（）

八候鸟个数

■

•%

・・・・・・・

・・・

~~0

A.y与X负相关B.当x=10时，y一定为1359

C.当x=10时、y一定小于1359D.两变量无线性关系

3.（2025•全国H卷•高考真题）样本数据2,8,14,16,20的平均数为（）

A.8B.9C.12D.18

4.（2024・天津・高考真题）下列图中，线性相关性系数最大的是（）

%

••

A-

••

OX

4

OxOx

5.（2024■新课标II卷•高考真题）某农业研究部门在面积相等的KX）块稻田上种植一种新型水稻，得

到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表

亩产[1000,[1050,[1100,[1150,

[900,950)[950.1000)

量1050)1100)1150)1200)

频数61218302410

根据表中数据，下列结论中正确的是（）

A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kg

B.100块稻田中亩产审:低于1100kg的稻田所占比例超过80%

C.100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间

D.1（X）块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间

6.（2026・北京・高考真题）现从全校学牛.中随机抽取200人统计数学成绩，成绩分组及对应人数如下:

成绩分组[81,94)[94,107)[107,120)[120,135)[135,150]

人数406060328

以频率估计概率，完成下列问题：

（1）求数学成绩低于120分的概率；

（2）从学校随机抽取4人，求2人不低于120且2人小于94的概率;

（3）每组数据取左端、中间、右端，比较磅、笥、统的大小关系.

7.（2026•全国H卷•高考真题）某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后

绘制出如下有关于“首次故障时间''与"对应频率”的频率分布直方图：

（1）求第一四分位数和中位数:

（2）设〃为首次故障时间小于365天的概率估计值.

（i）求〃；

（ii）已知该工厂向某用户俏售了100件电子元件，X为这100件产品首次出现故障时间小于365天的件数，

若X〜8（100,户），求石（X）和。（X）.

8.（2026.上海.高考真题）某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化

硫密度进行「监测和记录，数据如下：

颗粒物密度101.0287.0257.4721.8511.768.865.034.633.86

二氧化硫密度119.4781.9453.209.166.604.403.313.353.86

（1）为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？

（2）为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分

析，并请你判断相关系数在（7,0）,（0,1）,（1,2）哪个区间内？（直接写结论）

（3）2023年前9年的年份（X）的平均数为2018,）'（颗粒物密度）关于工（年份）的回归方程拟采川

），=106.544e«46g2。*或y=a（"2014）+83/743.已知2023年实际颗粒物密度为3.88,则哪个回归方程

对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？

参考数据：106.544©4如*晨1.681

9.（2026・上海・高考真题）某兴趣班共150人，年龄分布及兴趣爱好统计如下：

年龄剪纸摄影画画人数

[25,35)845

的45）1055

[45,55)650

（1）现采用分层抽样抽取30人,其中抽到年龄在［25,35）岁的有多少人？

（2）咳兴趣班150人的平均年龄是多少？

⑶现从150人中任意抽选1人，记抽到的学员年龄在［35,45）为事件A,记抽到学员爱好摄影为事件乩事件

A与△是否独立？请说明理由.

10.（2025・上海・高考真题）2024年巴黎奥运会，中国获得了男子4x100米混合泳接力金牌.以下是历届奥

运会男子4x100米混合泳接力项目冠军成绩记录（单位：秒），数据按照升序排列.

206.78207.46207.95209.34209.35

210.68213.73214.84216.93216.93

⑴求这组数据的极差与中位数：

（2）从这10个数据中任选3个，求恰有2个数据在211以上的概率;

(3)若比赛成绩y关于年份x的回归方程为y=-0.31Ix+Z；,年份x的平均数为2006,预测2028年冠军队的

成绩(精确到0.01秒).

11.(2025.上海・高考真题)甲、乙是两个体育社团的小组.如下是两组组员身高的茎叶图(单位：厘米),

以身高的百位数和十位数作为“茎''排列在中间、个位数作为“叶”分列在两边.

甲队乙队

159

775541603556788

854322172

318

甲、乙两小组组员身高分布茎叶图

(1)分别求甲、乙两组组员身高的第60百分位数;

(2)从甲、乙两组各选取一个组员，求两人身高均在170厘米以上的概率；

(3)为使两组人数相同，从甲组中调派一个队员到乙组.是否存在甲组的一个组员，将他调派至乙组后，甲、

乙两组的平均身高都增大？

12.(2024・上海・高考真题)为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生

中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示:

时间范围学业成绩[0,0.5)[0.5,1)[U.5)[1.5,2)[2,2.5)

优秀5444231

不优秀1341471374027

(1)该地区29000名学生中体育锻炼时长不少于I小时人数约为多少？

(2)格计该地区初中学生FI均体育锻炼的时长(精确到0.1)

(3)是否有95%的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关?

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(附：z2=其中〃=a+/?+c+d,P(/2>3,841)«0.05.)

e+〃)(c+d)(a+c)(/?+d)'

口，2)其他合计

优秀455095

不优秀177308485

合计222358580

13.(2024.上海.高考真题)水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱.

(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率;

（2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；

（3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，

单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量.

考点03随机变量及其分布

1.（2026•全国n卷•高考真题）设。=｛（不/，毛）花£｛-21,1,2｝』=1,2,3｝为空间中64个点构成的集合，

点P（U,1）,记样木空间。，从Q中随机取一个点，定义随机变量X如下：对G中的每个点A（xlrx1,x.）,

令X（A）=K+W+&，则X的数学期望值为（）

A.------B.------C.0D.一

21637

2.（2025・天津・高考真题）下列说法中错误的是（）

A.若X~N（〃,4）,则p（x<4—b）=尸（X*+b）

B.若X:?V（1,22）,Y-A^（2,22）,则P（X<1）<P（Y<2）

C.卜|越接近1,相关性越强

D.卜|越接近0,相关性越弱

3.（2025・上海・高考真题）已知事件A、3相互独立，事件A发生的概率为P（A）=g,事件8发生的概率为

P（B）=g，则事件AcB发生的概率依4仆8）为（）

A.gB.；C.yD.。

4.（2024•新课标I卷•高考真题）（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推

动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收

入的样本均值工=2.1,样本方差3?=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（180.12）,假设

推动出口后的亩收入y服从正态分布贝U（）（若随机变量Z服从正态分布N（〃.4）,

P（Zv〃+b）*0.8413）

A.P（X>2）>0.2B.P（X>2）<0.5

C.P（K>2）>0.5D.P（r>2）<0.8

（-\0\

5.（2026•上海・高考真题）已知随机变量X的分布为八。K,且E（X）=0.5,则6=__________.

a0.3b

6.（2（）25•天津・高考真题）小桐操场跑圈，一周2次,一次5圈或6圈.第一次跑5圈或6圈的概率均为0.5,

若第一次跑5圈，则第二次跑5圈的概率为0.4,6圈的概率为0.6；若第一次跑6圈，则第二次跑5