一定是直角三角形吗（练习题）-北师大版数学八年级上册

一、基础训练

1.卜列各组中的三条线段，能组成直角三角形的是（)

A.I,2,3B.2,3,4

C.5,12,13D.4,5,6

2.已知△ABC的三条边分别为a,b,c,下列条件中，哪个不能够判断△ABC是直角三角形

'：)

A.ZA=ZB+ZCB.c2—a2=b2

C.a：b：c=3：4：5D.a2:b~:c2=5:12:13

3.卜.列各组数中，不是勾股数的是（)

A.3,4,5B.6,8,10C.7,24,25D.1.5,2,2.5

4.如图,在八ARC中.ADIRC干点D.RD=9,AD=12,AC=20.则人人口「是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定

5.如图，每个小正方形的边长都是1,4,B,C是小正方形的顶点，贝叱=

6.若三角形的三边长分别为6,8,10,则三角形的面积为.

7.如图，在3x4的正方形网格中，Z2=

a.b.c,且a,b,c满足/+=必，则,=90°

9.如图，AB1BC,AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,请你连结AC.求:

D

(I)AC的长;

（2）四边形ABCD的面税

二、巩固提升

10.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）

A.2、3、4B.3、4、5C.6、8、10D.5、12、13

11.如果m表示大于1的整数，设a=2m,b=m2-1,c=2m2+2m»d=m24-1,其中任选三

个数能构成勾股数的为（）.

A.a,b,cB.a,b,dC.a,c,dD.b,c,d

12.如图，在小正方形组成的3x2网格中.每个小JF方形的顶点称为格点.点A.R.C,D,M,N

均在格点上，其中能与点M,N构成一个直角三角形的是（）

A.点AB.点BC.点CD.点D

13.有五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形,下列摆放正

确的是（)

14.如图所示的一块土地,AB=3m,BC=4m,CD=13m,AD=12m,ZABC=90°,则这块土地的面

积为

/)

15.如图所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5,且周长为36cm,点P从点A出发沿AB边

向B点以lcm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.若P,Q

两点同时出发，则3s时，ABPQ的面积为cm2.

16.如图，在△ABC中，AC=6,BC=8,AB=10,4。是乙肌4c的平分线，若P、Q分别是40和4c

17.已知△ABC的三边a,b,c满足(Q-5产+(b-12/+|C_13|=0/SABC是三

角形.

18.如图所示，在四边形48co中，AB=15,BC=DE=9,0EJ.4C于E,S^DAC=54,则〃CB

的度数等于.

19.如图，在&△A8C中，LBCA=90°,AC=12,48=13,点D是Rt△A8C外一点，连接

DC,DB,且CD=4,BD=3.

D

BA

（I）求BC的长；

（2）求证：△BCD是直角三角形.

20.在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,设AB为最长边，当次+户二。2时，△ABC是直角三

角形；当02+反工。2时，通过比较代数式（a2+62和c2的大小，探究△ABC的形状（按角分

类）.

（1）当^ABC三边长分别为6,8,9时，4ABC为三角形；当4ABC三边长分别为

6,8,11时，AABC为三角形.

（2）猜想：当次+属c2时・，△ABC为锐角三角形；当今+1时，AABC

为钝角三角形.

（3）当a=2,b=4时，探究AABC的形状，并求出对应的c?的取值范围.

三、能力应用

21.勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国

古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a,b,c,其中a,b均小于c,a=|m2-1,c=|ni2+

乙乙乙

J,n是大于1的奇数，则b=_____（用含m的式子表示）.

22.定义：如图，点M,N把线段AB分割成AM.MN,NB,若以AM,MN,NB为边的三角形是

一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点.

••••

AMNB

(1)已知M、N线段AB分割成AM,MN,NB,若AM=2.5,MN=6.5,BN=6,则点M,

N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由;

（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若=30,AM=5,求BN

的长.

23.为J'测量如图墙体是否与地面垂直，即MO是否垂直PN于点0,在没有角尺、量角器、刻度尺,

只有足够长、足够多的若干条无弹性的绳子的情况下，三个数学兴趣小组分别设计了三种不同解决

方案，其中第一、第二组的设计方案如下表.

如何测量墙体是否与地面垂直？

(1)第一、二小组的方案可行吗?如果可行，请分别给出证明；如果不可行，请说明理由.

(2)请你代表第三小组，写出一个方案的应用原理不同于上述第一、第二小组的测量方案，并画

出测量示意图，然后证明方案的可行性.

答案解析部分

1.【答案】C

【知识点】勾股定理的逆定理

【蟀析】【解答】解：A：1+2=3,.•.这三条线段不能构成三角形，故不符合题意；

B：•••22+32=4+9=13,4?=16,13Hl6,••.这三条线段不能组成直角三角形，故不符合题

忌；

C：•••52+122=25+144=169,132=169,169=169,.•.这三条线段能组成直角三角形，故符

合题意；

D：••・42+52=16+25=41,62=36,41H36,,•.这三条线段不能组成直角三角形，故不符合题

意.

故答案为：C.

【分析】根据勾股定理的逆定理逐一验证选项即可.

2.【答案】D

【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：对A选项，ZA=ZB+ZC,而A+B-C=180。，得NA=90。，△ABC为直角三

角形，故A不符合题意；

对B选项，-层=必得c2=a?+b2,故△ABC为直角三角形，故B不符合题意；

对C选项，a：b：c=3：4：5,a2+b2=c2,故△ABC为直角三角形，故C不符合题意；

对D选项，a2：b2:c2=5:12:13,a2+b2=c2,故不能判断△ABC为直角三角形，故D符合题意；

故答案：D.

【分析】分别根据各选项的条件，结合三角形内角和定理和勾股定理逆定理，即可判断.

3.【答案】D

【知识点】勾股数

【蚱析】【解答】解：A、32+42=52,且均为正整数，是勾股数.

B、62+82=102,且均为正整数，是勾股数.

C、72+242=252,且均为正整数，是勾股数.

D、1.52+22=2.52,但1.5、2、2.5不全是正整数，因此不是勾股数.

故答案为：D.

【分析】勾股数必须为正整数且满足两边的平方和等于最大辿的平方。本题根据勾股数的定义逐项

讲行计算并分析即可得出答案。

4.【答案】C

【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解:在RSABD中,AD=12,BD=9,

由勾股定理得：AB=\/BD2+AD2=V92+122=15，

设DC=x,贝ljBC=BD+DL9+x,

在RsADC中，AD=12,DCwAC=20,

由勾股定理得：AD2^rDC2=AC2,

即：122+X2=202,

解得x=16,

ADC=16,BC=9+16=25,

V.4F2+AC2=152+202=625=252=BC2,

・•・△ABC为直角三角形，直角在A点，

故答案为：C.

【分析】已知ADLBC于D,BD=9,AD=12,AC=20,通过勾股定理计算各边长度，再利用勾股

定理逆定理或角度判断形状即可.

5.【答案】45°

【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题

【解析】【解答】解：连接4C,如图.

由题意得AC?=/+22=5,BC2=12+22=5,AB2=I2+32=10,

•••AC2+BC2=AB2,BC=AC.

・•.△ABC是等腰直角三角形.

•••LABC=45°.

【分析】连接AC，如图.在网格中，根据勾股定理可得出力。2="+22=5,8c2=#+22=5,

AB2=l2+32=10,进而得出+=4^2,BC=AC.即可得出△ABC是等腰直角三角形，

根据等腰直角三角形的性质，即可得出乙ABC=45。.

6.【答案】24

【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：•・・62+82=14

・•・该三角形为直角三角形，两直角边长为6和8

，三角形的面积为/x6x8=24

故答案为：24

【分析】根据勾股定理逆定理可得该三角形为直角三角形，两直角边长为6和8,再根据三角形面积

即可求出答案.

7.【答案】90

【知识点】勾股定理的逆定理；运用勾股定理解决网格问题

【解析】【解答】解：如图,

V.4C=BC=V12+32=7IU，AB=V22+42=2遮

A.4C2+5C2=AB2

•••△48C是等腰直角三角形，

・"2=90°,

故答案为：90.

【分析】利用勾股定理求得对应线段的长度，再根据勾股定理的逆定理得到△A8C是等腰直角三角

形，即可求解.

8.【答案】B

【知识点】勾股定理的逆定理

【释析】【解答】解：..・次+02=必，

・•・△A6C为直角三角形，乙B=90°.

故答案为：B.

【分析】根据勾股定理的逆定理“一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则

该三角形就是直角三角形，且最大边所对的角是直角”可判断得出答案.

9.【答案】（1）解：连接AC,

I)

VAB±BC,ABM,BC=3,

:.AC=y/AB2+BC2=5,

222

(2)•••AC+CD=52+12=25+144=169Mo2=13z=169...AD2=*2+亦，

・•.△AC。是直角三角形，

AZACD=90°,

在RsABC中，SA力BC=；8G48=3x4=6,

在Rt/kADC中，S"CD=；C〃TC=；X12X5=30,

S四边形ABCD=SMBC+S&ACD=36

【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】(1)根据NB=90。，想到构造直角三角形求AC的长，所以连接AC,即可解答；

⑵先利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，然后把四边形ABCD的面积分成△ABC的

面积和△ACD的面积之和，即可解答.

10.【答案】A

【知识点】勾股定理的逆定理

【蟀析】【解答】解：A、2?+32工42,故A不能构成直角三角形；

B、32+42=52,故B能构成直角三角形：

C、62+82=102,故C能构成直角三角形；

D、52+122=132，故D能构成直角三角形；

故答案为：A.

【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，

则该三角形就是直角三角形，从而即可一一判断得出答案.

1L【答案】B

【知识点】完全平方公式及运用；勾股数

【解析】【解答】解：9»a=2m,b=m2-1,c=2m2+2m,d=m2+

=(2m)2=4zn2;b2=(7712-I)2=m4-2m2+1；c2=(2?TI2+2m)2=4m4+8m3+47?12；d2=

(*+1)2=W+2m2+L

A.Q2+M=47n2+m4—2m2+1=m44-2m2+1，因为+2m2+1H4m4+8m34-4m2(当

m>1时，TH4+2m24-1-(4/n4+8m3+4m2)=-3m4—8m3—2m24-1<0),a2+c2=4m2+

242224243

47n4+87n③+4m2=47n4++8mm—2m+1,b4-c=m—2m+14-4m4-8m+

4m2=5m4+8m3+2m2+1H4m2,所以a,b,c不能构成勾股数，故本选项不符合题意；

B.a2+b2=4m24-m4-2m2+1=m4+2m2+1=d2»所以a,b,d能构成勾股数，放本选项符

合题意；

224322222

C.a+c=4m2+47n4+87n3+4m2=4m+8m+8mH-+2m+1,a4-d=4m+

TH4+2m2+1=7n4+6m2+1W4m44-8m3+4m2,c2+d2=4m4+8m3+4m24-m4+2m24-

1=5m44-8m3+6in24-14m2»所以Q,c,d不能构成勾股数，故本选项不符合题意：

D.b2+c2=m4-2m2-VI+4m4+8m3+4m2=5m4+8?n3+2m2+1?n4+2m2+bb2+

d2=m4-2m24-1+m4+2m2+1=2m4+2H4m4+87713+4m2»c24-d2=4m4+8m3+4m24-

m4+2m2+1=5m4+8m3+6m24-1m4-2m24-1,月i•以b,c,d不能构成勾股数，故本选项

不符合题意；

故选：B.

【分析】利用勾股定理的逆定理逐项计算，判断解答即可.

12.【答案】D

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：设题图中每个小正方形的边长均为LA选项，连接MN,AN,因为.4M2=

I2=1,MN2=l2+l2=2,AN2=l2+22=5,所以AM2+MN2H4产,所以△AMN不是直角三

角形，故A不符合题意；B选项，连接BM,BN,MN,因为M/V2=I2+I2=2,M52=I2+

2222

2=S,BN2=I?+2=5,所以MN+MBHBN?,所以△BMN不是直角三角形，故B不符合题

意；C选项，连接MN,CN,因为MN2="+"=2,6/2=12+2?=5,MC?=3?=9,所以

MM2+CN20MC2,所以^CMN不是直角三角形，故C不符合题意；D选项，连接DM,DN,

MN,因为MN2=l24-l2=2,MD2=I2+32=10,DN2=22+22=8,所以MN2+DN2=MD2,

所以△DMN是直角三角形，故D符合题意.

故选D.

【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答.

13.【答案】C

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A选项，72+202H242,152+202=252,故A不正确；B选项，72+

242=252,152+202工242,,故B不正确；C选项，72+242=252,202+152=252,故

C正确；D选项，7?+2()2H252,152+242/252,故D不正确.

故答案为：C.

【分析】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边

的平方即可.

14.【答案】24

【知识点】三角形的面积：勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：如图，连接AC.

因为AB=3m,BC=4m,NABC=9()。，所以由勾股定理得4c2=BC?+4川=25,所以AC=5m.

因为CD=13m,AD=12m,所以AC2+AD2=52+122=132=CD2,,所以△CAD是直角三角

形，ZCAD=90°,所以这块土地的面积为S^CAD-S^CAB=ADAB=^x5x12

3x4=24(*.

故答案为24.

【分析】连接AC,先求出AC=5,再利用勾股定理的逆定理证明△4C0是以为直角的Rt△,

最后根据SARD-S”8c代入数据计算即可.

15.【答案】18

【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：设AB为3xcm,BC为4xcm,AC为5xcm.因为周长为36cm,所以

AB+BC+AC=36cm,所以3x+4x+5x=36,解得x=3,所以AB=9cm,BC=12cm,AC=15cm.因为

4B2+FC2=4C2,^WAABC是直角三角形.3s时,BP=9-3xl=6(cm),BQ=2x3=6(cm),所以

S^PBQ=qBP,BQ=3x6x6=18(cm2).

故答案为18.

【分析】首先设AB为3xcm,BC为4xcm,AC为5xcm,利用方程求出三角形的三边，由勾股定

理的逆定理得出三角形为百角三角形。再求出3秒后的，BP,BQ的长，利用三角形的面积公式

计算求解.

16.【答案】普

【知识点】角平分线的性质；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：如图，过点C作CQ，_L4B交于点Q,，交40于点P,过点P作PQ工4C交AC

于点Q,

•••A0是/B4C的平分线，

•••PQ=PQ',

根据垂线段最短可知，此时PC+PQ有.最小值，最小值为CQ'的长，

•••AC=6,BC=8,AB=10,

由勾股定理可知，AC2+BC2=AB2,

:.LACB=90°,

,

-SAABC=^AC-BC=^AB-CQ,

…ACBC6x824

・MQ=-^-=而=可’

••・PC+QQ的最小值为普，

KJ

故答案为：争.

【分析】本题考查角平分线性质、垂线段最短及三角形的面积问题.利用角平分线性质将线段和转化

为垂线段长度，结合面积法求垂线段.

17.【答案】直角

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解:因为(a-5)2+(8-12)2+|"13|=0,所以a-5=0,b-12=0,c-13=0,所以

a=5,b=12,c=13.因为5?+12?=132,即a2+M=c"所以△ABC是直角三角形.

故答案为：直角.

【分析】根据非负数的性质求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状.

18.【答案】90°

【知识点】三角形的面积：勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：VDE=9,S&DAC=54,

1

2一

解得2

V.4S=15,BC=9,

：.AC2+BC2=AB2,

・・・A4BC是直角三角形,乙4cB=90。,

故答案为：90°.

【分析】根据面积求出AC,结合勾股定理逆定理求解即可得到答案.

19.【答案】(1)解：因为R2ABC中，ZBCA=90°,AC=12,AB=13,所以BC2=AB2-

AC2=132-122=25,

所以BC=5.

(2)证明：•.,在△BCO中，DC=4,DB=3,BC=5

DC2+DB2=32+42=25=52=BC2

・・・A8C0是直角三角形.

【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】(1)在&△ABC中，根据勾股定理求出8c长解答即可；

(2)利用勾股定理逆定理判断A8CD的形状即可.

20.【答案】(1)锐角；钝角

(2)>；<

(3)解：因为c为最长边的长，2+4=6,所以40c<6.

①当a2+b2>c2,即c2<20时，△ABC是锐角三角形，此时164c?<20;

②当a2+b2=c^BPc2=20时，△ABC是直角三角形；

③当a2+b2<。2,即c2>20时，△ABC是钝角三角形，此时20Vc2V36

【知识点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答］解：(1)当一个直角三角形的两直角边长为6,8时，斜边长为10,因为9<10,所

以当△ABC三边长分别为6,8,9时，4ABC为锐角三角形；因为所以当△ABC三边长

分别为6,8,11时，ZiABC为钝角三角形.

故答案为锐角，钝角.

⑵当02+庐>。2时，△ABC为锐角三角形：当次+信<〃时，aABC为钝角三角形

故答案为〉，＜.

【分析】（1）利用勾股定理的逆定理判断即可.

⑵利用勾股定理判断即可；

⑶分三种情形：①当02+庐〉。2时，②当次+反=。2时，③当次+庐＜。2时，分别求解即

可.

21.【答案】m

【知识点】勾股定理的逆定理；勾股数

2

【解析】【解答】解：因为a,b,c是勾股数，其中a,b均小于c0=2^2—2，c=lm+i所

乙乙乙乙

以力2=_/=（品2+9_（品2=1m4+]+gm?-gm，f/一品2）=；/+/+

加2一品4一抖品2=*.因为m是大于1的奇数，所以b=m.

故答案为：m.

【分析】根据勾股数的定义解答即可.

22.【答案】解：（1）点M,N是线段48的勾股分割点，理由如下：

如图，

••••

AMNB

;AM=2.5,MN=6.5,BN=6,

•*-AM2+BN2=2.52+62=42.25,MN2=6.52=42.25,

：.AM2+BN2=MN2,

・♦•以力M,BN,MN为边的三角形是直角三角形，

・••点M,N是线段48的勾股分割点.

⑵如图，

••••

AMNB

设BN=x,则MN=30-AM-BN=25-X,

①当MN是最长边时，

•・•点M,N是线段48的勾股分割点，

：.AM2+BNZ=MN?,

/.52+X?-(25-x)2，解得；K=12,

・・・BN的长为12.

②当BN是最长边时，

•・•点M,N是线段AB的勾股分割点，

A.4M2+M/V2=BN2,

，铲+（25-％）2=/,解得：x=13,

・・・BN的长为13.

综上所述，8N的长为13或12.

【知识点】线段上的两点间的距离；勾股定理的逆定理；线段的和、差、倍、分的简单计算

【解析】【分析】（1）根据4M=2.5,MN=6.5,BN=6,结合勾股分割点的定义，勾股定理的逆

定理计算出MN?=42.25,AM'Z+BN2=42.25,得4M2+BN?=MN?,即可判断点M,N是线段

AB的勾股分割点.

（2）根据48=30,AM=5,设BN=x,则MN=25-结合点M,N是线段48的勾股分割点,

同AM为直角边，可分2种情况讨论，当MN是最长边时，结合勾股分割点的定义得4M2+8N2=

MH据此列方程可解得8N的长，同理可得，当BN是最长边时8N的长，综合两种情况即可得答

案.

23.【答案】（1）解：第一、二小组的方案都可行，

理由如下：

方案一

如下图所示，

证明：因为BO?