广东揭阳市2025-2026学年高一年级下册期末教学质量测试数学试题（试卷+解析）

揭阳市2025-2026学年度高中一年级教学质量测试

数学

本试题共4页，考试时间120分钟，总分150分

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.

2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.

3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、

修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.己知[=（2,1）,力=（3,-3）,则小3=（）

A.4B.3C.2D.1

2.已知集合4二kWN1-1WX<2},集合8=k|0"工2},则NflB=（）

A.[0,2]B.[-1,2]

C.{1,2}D.{0,1,2}

3.设atR,贝v1”是。>1的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.如图所示，已知在△/18C中，。是边力5上的中点，则无=（）

—1——1--

A.EC--BAB.-5C+-EA

22

1

—•"|—•回

C.-EC--D.纪+2-

2

5.已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的体积之比为()

3113

A.-B.-C.—D.—

441616

“、log.x,x>0//八

6.己知函数।",则/(/(一2))=()

J—1,XSU

3

A.-B.1

2

C.-1D.-2

7.已知函数/(x)=5sinx-12cosx,其中xe[0,7r],则/(.x)的最小值为()

25

A.-5B.-12C.——D.-13

2

8.定义max{出可是”，力中的较大者.己知函数/(同=一/+〃7工一；，g(x)=log3x.若

〃(x)=max{/(x),gG)}(x>0).且方程〃(x)=0有3个不同的解.则实数〃?的取值范围是()

A.(OJ)B.(1,V2|

C.D,(0,+句

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9,设函数/(x)=2sin°x+；),则下列结论正确的是()

A./(x)的值域为[-2,2]B.的图象关于直线x对称

C./。)的最小正周期为?D.-卷是/(x)的一个零点

10.一质地均匀正八面休，八个面分别标有数字1到2,任意抛掷一次这个正八面休，观察它与地面接触的

面上的数字，得到样本空间为。={1,2,3,4,5,6,7,8},记事件/="得到的点数为奇数”，事件8=“得

到的点数不大于4”，事件。=”得到的点数为质数”，则下列说法正确的是()

3

A.事件4与C互斥B.P(J+^)=-

C.事件彳与。相互独立D.事件彳与片相互独立

11.己知函数/（x）的定义域为R,且满足/（3x+l）为奇函数，/（X+2）为偶函数，且Z/（i）=2,则

/=1

下列说法正确的是（）

A./（X）为偶函数B.2是/（工）的一个周期

C./（x）图象关于（3,0）对称D.八2026）=2

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若复数z满足三=l—i,则立=.

1

13.甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的点数等可能为1,2,3,4,5,6）,并分别记录每次出现

的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为3,众数为5；②中位数为

3,极差为3；③中位数为2,平均数为3：④平均数为2,方差为2.4：可以判断一定没有出现6点的描

述序号是.（错选或漏选不给分）

14.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量

法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角窗程测量法的一个示意图，现有力、8、C三点,且力、8、C

在同一水平面上的投影H、BJC满足NHCB'=45。，/H"C'=60。，由C点测得8点的仰角为15。,

85'与CC的差为100;由4点测得4点的仰角为45。，则4、C两点到水平面的高度差约为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在四棱锥P-中，底面是正方形，平面45c。，£,尸分别是棱。,力产

的中点.

（1）证明：PC1BD；

（2）证明：EF〃平面PBC.

16.揭阳古城底蕴深厚，进贤门、揭阳学宫等历史建筑屹立千年，特色美食、传统非遗更是潮汕文化中亮

眼的瑰宝.基于此，某中学积极响应，举行了一次古城文化知识竞赛.学校在竞赛后，随机抽查了100人

的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图.

“频率/组距

0.035-------------1—1

0.025---------T—

0.015……T—

a--1--------------

0.005-------------------------1

5060708090100

（1）求〃的值并估计样本的平均数；

（2）若本次竞赛中，分数排名前20%的参赛人员为获奖人员，试估计获奖分数线（精确到0.1）；

（3）现采用样本量按比例分配的分层随机抽样，从［80,90）和［90,100］两组中抽取6人，再从这6人中

随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的分数在［90,100］这一组的概率.

17.记△NBC的内角力，B,C的对边分别为〃，b,c,满足sinC-sin（〃一B）=JJsin8,且△/8C的

外接圆的周长为6Tl.

（1）求角小

（2）求边3c的长；

——3―-1—

（3）若4H为BC边上的高,且/"二-48--AC,求△N8C的面积.

22

18.如图，/C是圆。的直径，产力与圆。所在的平面垂直，且P4=/C=2,8为圆周上不与点力，C

重合的动点，M,N分别为点/在线段尸C,P8上的投影.

p

（1）证明：NN_L平面尸BC；

（2）求三棱锥尸-48C外接球的表面积；

（3）当△4A/N的面积最大时，求二面角力-PC-8的平面角的大小.

19.已知函数＜（x）=sin"x-cos"€N"）.

（l）证明：对VxwR,都有人（万）=，"）;

（2）求不等式力（x）＜/4（x）的解集;

（3）是否存在实数加＞0,对任意一个整数〃23,关于x的方程sin"x-cos".=任/x-cos2"x在区

间（0,加］内至少有3个互不相等的实数解？若存在，求出〃?的最小值；若不存在，说明理由.

揭阳市2025-2026学年度高中一年级教学质量测试

数学

本试题共4页，考试时间120分钟，总分150分

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.

2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.

3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、

修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.己知方二（2,1）,力=（3,—3）,则鼠3=（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】

【详解】由题可得5・B=2x3+lx（—3）=3.

2.已知集合力={X£N[-1WXW2},集合8=k|0"&2},则4n8=（）

A.[0,2]B.[-1,2]

C.{1,2}D.{0,1,2（

【答案】C

【解析】

【分析】先化简集合力，再由交集的定义计算可得。

【详解】因为集合4={x£N〔一lW2}={1,2},又集合八卜|0342},

所以力c8={l,2}.

3.设QER,则是Q〉1的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】先解出分式不等式，＜1的解，再判断充分性和必要性即可.

a

【详解】由,＜1,得到3二＞0,解得。＜0或

aa

又“。＜0或。〉1"是“。＞1”的必要不充分条件，

即，，_L＜1”是“〃＞1”的必要不充分条件.

故选：B

4.如图所示，已知在△/8C中，。是边力8上的中点，则说=()

A

11

6_百

3

2-2-

—,1—,—,I—■

C.—BC--EAD.R7+-54

22

【答案】B

【解析】

【分析】由题意得南=1而，再由西二在+丽=一万心+!方，即可得到答案.

22

由于。是边上的中点，则氏

【详解】48=14.

2

CD=CB+BD=-RC+-BA.

2

故选：B.

5.已知圆柱的底面直径和高都等于球的半径，则圆柱与球的休枳之比为()

3113

A.-B.-C.—D.——

441616

1D

【解析】

4

【详解】设球的半径为R,则球的体积匕=4兀

又圆柱的底面.直径和高都等于球的半径，所以圆柱的体积匕=兀(制尺=；兀火3,

y/R33

所以圆柱与球的体积之比为9=^—=—.

匕“316

3

/、flog.x,x>0//、、

6.已知函数/(》)=黑；1,八，则/(/(-2))=()

J—1,XSU

3

A.-B.1

2

C.-1D.-2

【答案】A

【解析】

【详解】因为/(x)=3A4_i,x«o,

所以/(—2)=3-2+4_]=8,

因为/(x)=log4x,x>0，

所以〃8)=log48=5,即/(/(—2))=于故选项A正确.

7.已知函数/(x)=5sinx—l2cosx,其中xw[0,7i],则/'(x)的最小值为()

25

A.-5B.-12C,——D.-13

2

【答案】B

【解析】

【分析】先由辅助角公式将函数亿简为/(x)=13sin(x-。)，再由正弦函数的性质可得最小直

【详解】因为函数/(x)=5sino:-12cosx=13——sinx-----cosx=13sin(x-

(1313)I

…5•%

其中cos0=R,sin。二54£

由工^[。，兀],令t=x-(ps'(p,兀一对.

，兀、(兀八、兀

因为。£0,-,所以一一一「0,；〈兀一(P<71・

12/\乙)2

所以函数/(/)=13sinf在［-盛)上单调递增，在耳，兀一切单调递减.

因此函数在区间卜。，兀-的左端点或右端点取得最小值.

/、12

当，二一°时，即x=0,=13sin(-^)=-13sin^=-13x—=-12；

当2=7i-(p时，即工=兀，=13sin(n-^)=13sin^=13xy|-=12.

因为-12<12,所以当x=0时，函数有最小值-12.

8.定义max{心印是6中的较大者.己知函数/(x)=r?+如「；,g(x)=log3x.若

A(x)=max{/(x),g(x)}(x>0),且方程〃(x)=0有3个不同的解，则实数加的取值范围是()

A.(0J)

【答案】C

【解析】

/⑴<0

【分析】结合题意，由〈0<?<1进行求解.

2

m

/15>0

【详解】因为g⑴=log31=0,由方程“x)=o有3个不同的解,

所以/(工)=一一+〃7五一；在(0』)内有两个零点,

3

/⑴<0-\+m——<0m<—

22

m

则,得<0<m<2，得〈0<rn<2

2

m~>)m~2t1.m>C或m<->/2

——+----->0

得6</«<—.

2

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.设函数/（x）=2sin（3x+：J,则下列结论正确的是（）

A./（X）的值域为12,2]B./（X）的图象关于直线X=:对称

C./（X）的最小正周期为TD.-称是/（X）的一个零点

【答案】ACD

【解析】

【详解】因为对xwR,7Wsi“3x+w尸1，故/⑴的值域为[-2,2],即A正确；

/（；）=2sin兀=0*±2,故x不是/"）的对称轴，故B错误;

/（x）的最小正周期为7二号，故C正确；

因ff一A）=2sin3x+彳=2sin0=0,故D正确.

10.•质地均匀正八面体，八个面分别标有数字1到8,任意抛掷•次这个正八面体，观察它与地面接触的

面上的数字，得到样本空间为。={1,2,3,4,5,6,7,8},记事件/="得到的点数为奇数“，事件8=”得

到的点数不大于4"，事件C=“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（）

、3

A.事件4与。互斥B.P（A+B）=-

C.事件/与C相互独立D.事件）与反相互独立

【答案】BD

【解析】

【详解】由题意：事件4={1,3,5,7},事件8={1,2,3,4},事件。={2,3,5,7},

由干8cC={2,3},所以事件4与C不互斥，A错误；

由于1+8={1,2,3,4,5,7},所以p（/+8）=[=:，B正确:

17

由于力。={3,5,7},即尸（4）=P（C）=—，尸

28

即P（/）-Q（C）w尸（NC）,所以事件/与。不独立，C错误；

由于万={6,8},即尸（彳）=尸伍）=，/（彳可=L

即P（彳）•夕（耳）=〃（）月），所以事件彳与月相互独立，D正确.

18

11.已知函数/（工）的定义域为R,且满足/（3X+1）为奇函数，/（X+2）为偶函数，且Z/（i）=2,则

/=1

下列说法正确的是（）

A./（X）为偶函数B.2是/（力的一个周期

C./（不）图象关于（3,0）对称D."2026）=2

【答案】ACD

【解析】

【分析】选项A,由/（2+x）=-/（—x）与/（2+x）=—/（x）,得〃-x）=/（x）,/（x）是偶函数，A

正确.选项B,由“x+2）=—/（x）,推出/（x+4）=/（x）,周期为4,不是2,B错误.选项C,/（x）

有对称中心（1,0）,周期为4,半个周期平移后得到对称中心（3,0）,C正确.选项D,每4项函数值之和为

0,前16项和为0,剩余两项得/'（2）=2；2026除以4余2,故/（2026）=/（2）=2,D正确.

【详解】令g（x）=/（3x+l）,

因为/（3x+l）为奇函数，所以g（-x）=-g（x）,

即/(-3x+l)=-/(3x+l),

令1=3x+l,解得3x=，—l,即一3x+l=2-f,

得到/(2­)=-/(z),即/(2+x)=-/(-x),

所以/(x)关于点(1,0)中心对称.

因为/(x+2)为偶函数，所以〃x+2)=/(r+2),

即f(2+x)=f(2-x),/(x)关于直线x=2轴对称.

由轴对称得/(2+x)=〃2—x),

由中心对称得/(2+x)=-/(—X),

联立得/(2—x)=,

把x换成-x得至ij/(2+.r)=一/(X),

则f(x+4)=-/(x+2)=/(x),所以/(X)的周期7=4,故B错误.

因为/(x)的对称中心为(1。，所以/(I+x)=—/(1一x),

又周期7=4,

/(3+x)=/(-l+x),/(3-x)=/(-l-x),

由F(i+f)=-/(iT)，

令z=x—2得到/(工一1)=一/(3-x),即/(x-l)+/(3-x)=0,

即/(3+x)+/(3-x)=0,

所以/(x)图象关于(3,0)对称，C正确.

由f(2+x)=-f{x),则/(x+4)=/(x),

又F(x+2)=/(2t),则/(2-x)=-/'(x),

则f(2+x)=-/(r),对比〃2+%)=-/(x),

得到-/(-力=-/(力，即〃T)=/(%)，

所以/(X)是偶函数，A正确.

周期7=4,先看一个周期内/(l)J(2)J(3),/(4),

由/'(2+x)=-/(x),

令工=0得到〃2)=-〃0),

由/'(3x+l)为奇函数，令x=0得到/(1)=0,

又(1,0),(3,0)都是对称中心，故/⑴=/(3)=0,

一个周期：/(1)=0,/(3)=0,

18

E/（，）中，有18项，包含4个完整周期加上/（17）,/（18）,

/=1

4人周期的和为4[/⑴+/（2）+〃3）+/（4）]=4[0+/（2）+0+/（4）],

又f（4）=〃0）,/⑵=-/（0）,故/。）+/（4）=0,

所以每4项之和为0,前16项和为0,

余下两项/（17）=/（l）=0J（18）=〃2）,

18

因为Z/0）=2,所以0+0+/（2）=2,解得/（2）=2,

r=l

则/（2026）=/（2）=2,D正确.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若复数z满足乡=1一「则”

【答案】1+i

【解析】

【分析】利用复数的乘除法即可求解.

【详解】3=1-i/=i（l-i）=l+i.

1

13.甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的点数等可能为1,2,3,4,5,6）,并分别记录每次出现

的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述：①中位数为3,众数为5；②中位数为

3,极差为3；③中位数为2,平均数为3；④平均数为2,方差为2.4；可以判断一定没有出现6点的描

述序号是.（错选或漏选不给分）

【答案】①④

【解析】

【分析】根据中位数，极差，平均数，方差，众数等定义分别为断计算各个选项即可.

【详解】①由于中位数为3,众数为5,故5出现两次，又中位数为3,则数据从小到大为加3,5,5,

一定没有6；

②中位数为3,极差为3,则数据从小到大为3,3,3,5,6符合题意，故可能出现6；

③中位数为2,平均数为3,则设数据从小到大为1」,2,5,6符合题意，故可能出现6；

④平均数为2,方差为2.4,则设满足要求且含6的数据从小到大为a/,c,d,6,

故匕=2且ST+eT+kT+W-f=24,

55

那么Q+b+c+d=4且卜1一2『十（8-2）2+（已一2）2+卜/-2）2=-4,a<b<c<d,

平方和不可能为负数，不存在满足条件的正整数数据，故一定没有6.

综上，①④一定没有6.

14.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量

法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有力、4、C三点，且4、〃、C

在同一水平面上的投影/'、B\在满足4面5'=45。,45（7=60上由。点测得3点的仰角为15°,

8"与CC的差为100;由〃点测得/点的仰角为45。，则力、。两点到水平面的高度差约为

【答案】100（V3+2）

【解析】

【分析】过C作。。_L88',过8作/由已知条件求出80、AE,所求高度差即为3。十力£.

【详解】过C作。。_L3",过8作8E144，如图所示,

已知88'与CC的差为100,则BD=100,

乂/BCD=15°，则

tan15°

tan60°-tan45°V3-1

ISItan15°=tan（60°-45°）=

1-tan60°tan4501+百

3,C,=CD=-\=—=10

则6-1

1+V3

又2A'CB=45。,NH3'C'=60。,则NCW3'=75。,

C，B，AB'100(2+>/3)A，B,

由正弦定理-----——=------——,则lhI\_______L=,

sinZCABsinZ.ACBsin75°sin45°

因sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+sin45°cos30°=娓

100(2+VJ)x-

即A'B'=-----=—=二-=100+100>/3,

V2+V6

4

又/4BE=45、所以/E=8E=H8'=100+100百，

则,4,C两点到水平面NBC的高度差

44-CC'=3Q+力£=100+100+100百=200+1000=100（百+2）（米）.

故答案为：100（0+2）.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在四棱锥尸一/BC。中，底面/份CO是正方形，P/_L平面48c。，瓦厂分别是棱CD,力尸

的中点.

（1）证明：PCLBDx

（2）证明：EF〃平面PBC.

【答案】（1）

如图，连接力C交于点。，由四边形48。是正方形，可得4cl8。，

因」%_L平面458,3。(=平面力3。。，则P/JL4O,

又P/n/C=/,P44Cu平面P4C,

所以3。_1_平面P4C,又尸Cu平面E4C,

所以8D_LPC.

(2)

如图,取08的中点G,连接QG,CG.

由旦F分别是棱C0,力尸的中点.可得FGHAB、FG=；AB,

乂CE//AB,CE=LAB,\购FGi/CE,FG=CE,即得。CEFG,所以EF//CG

2

因E/U平面P5C,CGu平面P3C,

所以EE〃平面PBC.

【解析】

【分析】(1)先证力C_L3O和"_L8O,再由线线垂直证明线面垂直，易得BDLPC；

(2)取P8的中点G,易证FGUCE,FG=CE,得到。CE/G,则得M//CG,由线线平行即得线面

平行.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

略

16.揭阳古城底蕴深厚，进贤门、揭阳学宫等历史建筑屹立千年，特色美食、传统非遗更是潮汕文化中亮

眼的瑰宝.基于此，某中学积极响应，举行了•次古城文化知识竞赛.学校在竞赛后，随机排查了100人

的成绩整理后得到如图所示的频率分布直方图.

“频率/组距

0.035-------------T—I

0.025---------T—

0.015——T—

a-­I-------------------------------------------

0.005--------------------------1

0^405060708090100

（1）求”的值并估计样本的平均数；

（2）若本次竞赛中，分数排名前20%的参赛人员为获奖人员，试估计获奖分数线（精确到0.1）；

（3）现采用样本量按比例分配的分层随机抽样,从［80,90）和［90,100］两组中抽取6人,再从这6人中

随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的分数在［90,100］这一组的概率.

【答案】（1）4=0.010,68.5

3

（2）78.6（3）-

5

【解析】

【分析】（1）利用所有矩形面积（频率）之和为1,列方程求出每组用区间中点代表本组数据，用“中

点X本组频率”再求和，得到样本平均数.

（2）从低分段向上累加频率，得到分数线落在［70,80）这一组，利用分位数公式列方程求解，最后精确到

0.1,

（3）两组分别抽取4人和2人；给6个人编号，列举法求出概率.

【小问1详解】

因为小长方形面积和为1，

所以10x（。+0.015+0.025+0.035+。+0.005）=1,解得Q=0.010,

则平均数为0.010x10x45+0.015x10x55+0.025x10x65+0.035x10x75+0.010x10x85

+0.005x10x95=68.5；

【小问2详解】

由题意可得：本次竞赛中，分数排名前20%的参赛人员为获奖人员，

即求第80百分位数，

又10x(0.010+0.015+0.025)=0.5<0.8,

10x(0.010+0.015+0.025+0.035)=0.85>0.8,

则分数线在［70,80)内，且设分数线为x,

可得0.5+0.035x(x-70)=0.8,

解得x”78.6,即获奖分数线为786

【小问3详解】

由题意得两组的频率之比为2:1,现从两组中用分层抽样的方法抽取6人，

则从［80,90)中抽取4人，记为a,b,c,d,

从［90,100］中抽取2人，记为48,

所有可能的情况为(a，b),(a,c),(a,J),(a,J),(a,8),(Ac),(b,d),

(M),(c,d),(c〃),(c,B),(d,4),(4B),共15种,

其中至少有1人的分数在［90,100］的情况有(a,4),(a,B),伍中),

(C9A),(c,B),(d,A),共9种,

93

故所求概率。=西二不.

XJJ

17.记./BC的内角力，B,C的对边分别为a,b,c,满足sinC-sin(4-8)=JJsin8,且△/BC的

外接圆的周长为6兀.

(1)求角出

(2)求边的长；

---3—1—

(3)若AH为BC边上的高,且4H二一/8--AC,求△/SC的面积.

22

【答案】(1)A=y

(2)3(3)至

4

【解析】

【分析】（1）根据三角恒等变换亿简计算可得/二:；

6

（2）先求外接圆的半径，利用正弦定理求解；

（3）根据题意得屈.前=0结合数量积可得/）=限，再利用余弦定理即可求出△NBC的面积.

【小问1详解】

,/sinC-sin（-5）=^3sinB,

又•.•/+8+。=兀，「.C=兀一（4+8）,「.sinC=sin（/+8）,

/.sin（力+5）-sin（1-3）=VJsin3,

/.V3sin5-2cossin5=0»又sinBwO,cosA=—，

2

VJ€（0,7T）,：.A=

6

【小问2详解】

设△ZBC的外接圆的半径为〃，

则2nr=6兀=厂=3

由正弦定理可得：8C=2〃sin4=3：

【小问3详解】

由余弦定理可得：a2=h2+（?-2/?ccos4，

/.b2+c2-y/3bc=9^

_______3—1一

-AHA.BC,:.AHBC=0^又AH=-AB一一AC,

22

二.^AB-^AC•（而一码=0=>3而2—4而祝+k，=o,

即：3c2-2>/3bc+b~=0=6=Gc，

结合：〃+c*2-限c=9,解得：c=3,b=3/>，

・C1A•dS

..S,=—besinA=-------

R0r24

18.如图，/C是圆。的直径，"与圆。所在的平面垂直，且P4=/C=2,8为圆周上不与点力，C

重合的动点，M,N分别为点幺在线段尸C,P8上的投影.

p

（1）证明：NN_L平面PBC；

（2）求三棱锥尸-力8。外接球的表面积；

（3）当△NA/N的面积最大时，求二面角/-PC-8的平面角的大小.

【答案】（1）因为点8在圆。的圆周上，4c为圆。的直径，

所以4818C,

因为平面力8C,BCu平面48C,

所以H_L8C,

因为尸/（=平面产力4,4BcPA=A,

所以8。，平面43,

因为/Nu平面产力4,

所以8C14V,

因为4VJ.P8,PB,8Cu平面P8C,PBcBC=B,

所以4N_L平面尸8C.

（2）8乃

乃

（3）-

4

【解析】

【分析】（1）由4C为直径，可得43J,8C,再由m_!_平面3C_L",从而得8。，平面刃3,则

BC±4N,再结合AN±PB利用线面垂直的判定定理可证得结论：

（2）通过线面垂直得到线线垂直，再根据投影可知M为PC的中点，进而得到外接球的半径从而求出外

接球的表面积；

（3）通过线面垂直得到线线垂直，从而找到二面角，再根据基本不等式得到三角形为等腰直角三角形，从

而得出二面角的大小.

【小问1详解】

略

【小问2详解】

因为刃IJ_平面45C,4Cu平面45C,

所以月4_L力C,

因为8C_L平面/<43,PBu平面

所以BC上PB,

因为M为点A在PC上的投影且尸41AC,

所以“为PC的中点，因此％=/03=〃尸="。=10。=，142+4。2=J_j22+2'=正,

222

所以三棱锥尸-48。外接球的半径为收，

则外接球的表面积为4〃（、4了=8兀.

【小问3详解】

因为4VJ.平面P8C,PCu平面P6C,

所以/N1PC,

因为/M1PC,AM,4Nu平面如WN,AMC\AN=A,

所以尸C_L平面4MN,

因为"Nu平面4WN,所以PC_L"N,

因此ZAMN即为二面角A-PC-B的平面角，

因为/N_L平面尸BC,MNu平面PBC,

所以ANLMN,即"MN为直角三角形且斜边AM=-PC=-Ji为定值，

2

所以2=可才+乂必222M4・MW，即N力•MVfKl,当且仅当AU=NM=1时等号成立，

因此《NA.NMwg,当且仅当NA=NM=1时等号成立，

△/ICY/、GG

此时△4A/N为等腰直角三角形，所以N/MN=Z,

4

故当△4A/N的面积最大时，二面角4-尸C-8的平面角的大小为四.

4

19.已知函数<（x）=sin"x-cos"wN）

（1）证明：对WxeR,都有人（到=/^^）；

（2）求不等式/（x）<A（x）的解集：

（3）是否存在实数〃?〉0,对任意一个整数〃之3,关于x的方程sin"x—cos"x=sir?"x—cos?"x在区

间（0,〃?］内至少有3个互不相等的实数解？若存在，求出川的最小值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）因为+

所以对WxwR,都有人（同=，（外

r

7C-,7t_.3兀_._.._

（2）<x—+2hr<x<—+2hr或----+2kn<x<2左兀,keZ>.

4