苏科版九年级数学上册第二章《一元二次方程》每节课（能力提升）汇编（含四套题）

2.1一元二次方程

题型一由一元二次方程的解求参数

I.已知x=2是关于％的一元二次方程“2+kx_6=0的一个根，则k的值为()

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】C

【详解】解：=2是一元二次方程/+kx-6=0的一个根，

.-.22+2/C-6=0,

解得k=1.

2.若％=2是关于x的一元二次方程a/+bx-2026=0(a不0)的一个解，则1一2。一人的值为

【答案】-1012

【详解】解：,.•％=2是关于x的一元二次方程a-+加一2026=0(aH0)的一个解，

•,.4a+2b-2026=0>

，2a+b=1013,

.--1-2a-b=1-(2a+b)=1-1013=-1012.

3.已知％=1是关于x的一元二次方程+2mx+n=0的解，则4m+2n=.

【答案】-2

［详解］解：把％=1代入方程式2+2mx+n=0得1?+2mx1+n=0,

整理得2m+n=-1,

4m+2n=2(2m+n)=2x(-1)=-2.

4.若％=-2是关于”的一元二次方程/+mx-m-1=0的一个根，则m的值为.

【答案】1

【详解】由题意，将％=—2代入方程/+加工一m一1二0,

得(—2)2+m•(―2)—771—1=0,

整理得4-37H-1=0,

即3—3血=0,

解得m=l.

题型二列一元二次方程

1.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和

技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比为X,根据“两

天不练丢一半”，可列方程()

A.(1-x)2=50%B.(1+x)2=50%

C.1-2x=50%D.(1-x)(1+x)=50%

【答案】4

【解答】解：根据题意得：(l・x)2=50%.

故选:A.

2.如图，小红想用长为60〃?的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈A6CQ,并在边

BC上留一个2〃?宽的门(建在石尸处，另用其他材料).当羊圈的面积为600/M时，AB的长为多少米？

设矩形A38的边根据题意所列的方程是()

I

AD

A.x(62-Zv)=600B.x(60-2x)=600

C.x(58-2x)=600D.x(60-x)=600

【答案】A

【解答】解：由题意得，80=60+2・2丫=(62-2v)/〃，

根据羊圈的面积为600m2,得工(62-2X)=600,

故选：A.

3.《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几

步.”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步？设矩形的宽为x步，

由题意，可列方程为.

【答案】x(A-+12)=864.

【解答】解：•.•矩形的宽为x步，且宽比长少12步，

矩形的长为(x+12)步.

依题意，得：x(x+12)=864.

故答案为；4(xi12)=864.

4.劳动教育己纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300

千克增加到507千克.设平均每年增产的百分率为M则可列方程为.

【答案】300(1+x)2=507.

【解答】解：平均每年增产的百分率为工

根据题意得,300(1+x)2=507,

故答案为：300(1+x)2=507.

1.已知关于x的一元二次方程,+"+。=0有一个非零根-。，则〃-b的值为()

A.1B.-1C.0D.-2

【答案】A

【解答】解：•.•关于x的一元二次方程，+以+力=0有一个非零根-4

:廿-ab+b=(),

•••-厚0,

方程两边同时除以〃，得〃-4-1=0,

••a-b=1.

故选：A.

2.要为一幅长29a“，宽22sz的照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面

积的四分之一，设相框边的宽度为x，则可列出关于x的一元二次方程.

【答案】(29+20(22+Zv)=4x29x22.

4

【解答】解：设相框边的宽度为XC7”,则可列方程为：

(29+2x)(22+22=5x29x22.

4

故答案为：(29+2x)(22+2r)=1x29x22.

3.在一元二次方程』・2"+〃=0中，若/■力＞0,则称。是该方程的中点值.

(1)方程f-8x+3=0的中点值是.

(2)已知』-加什〃=0的中点值是3,其中一个根是2,求的值.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）•••（一^）2-3=13,

方程7-8x+3=0的中点值为4；

故答案为4：

把x=2代入J?-inx+n=O得4・6x2+〃=0,解得〃=8,

=6x8=48.

4.请阅读卜列材料：

问题：已知方程』+x-1=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.

解:设所求方程的根为y,则），=2x,所以％=£

把一=纳入已知方程,得⑥2+或一1=0.

化简，得y+2），-4=0

故所求方程为/+2y-4=0.

这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”.

请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）.

（1）已知方程，+x-2=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程

为：•

（2）已知方程2?-7,计3=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数.

（3）已知关于x的一元二次方程av2+版+c=0（存0）的两个实数根分别为2,-I,直接写出一元二次

方程c^+bx+a=（）的两根为.

【答案】（1）.V2-y-2=0；

（2）3y2-7）叶2=0；

1

（3）-、-1.

2

【解答】解：（I）设所求方程的根是户则丁=-犬，所以x=-y,

由条件可得尸-），-2=0,

故答案为：-y-2=0；

(2)设所求方程的根是)，，则y=3所以久="

xy

由条件可得2§)2—7•"+3=0»

化简,得3./-7)，+2=0；

(3)由(2)可知，对方程cf+/状+〃=()两边同时除以了,

^a(^)2+b^+c=0,

则方程c/+〃x+a=O的两根是。1+队+。=0(〃视)两根的倒数，

所以方程cx1+bx+a=O的两根分别是［、-1,

故答案为：-1.

2.2一元二次方程的解法

题型一配方法的应用

1.将代数式/-10x+5配方后，发现它的最小值为()

A.-20B.-10C.-5D.0

【答案】A

【详解】解：%2-10%+5=x2-10%4-25-20=(%-5)2-20,

又•；对任意实数%都有。一5尸30,

当(3-5)2=0时，代数式取得最小值，最小值为一20.

2.数学课上，老师在黑板上书写了M,N两个整式；M=-2Q2+4Q,可=一2(/一2。+2).

(1)比较M,N的大小；

(2)若P+2N=M-5,证明：P不可能小于0.

【答案】⑴M>N；(2)见解析

【详解】(1)解：N=-2(a2-2a+2)=-2a2+4a-4,

:.M-N

=-2a2+4a-(-2a2+4Q-4)

=-2a2+4a+2a2-4a4-4

=4>0,

:.M>N；

(2)证明：•••P+2N=M-5,

.•.p=M-5-2N

=-2a2+4a-5-2(-2a2+4a-4)

=-2a2+4。-5+4a2-血+8

2

=2a-4Q+3

=2a2-4。+2+1

=2(a2-2a+1)+1

=2(a-l)2+l,

2

V(G-l)>0,

.-.2(a-l)2+l>l,

即尸>1,

••.P不可能小于0.

3.阅读下列材料：

材料一“a?>0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式.例如：产+轨+5=

/+4%+4+1=(%+2产+1

v(r+2)2>0,.%(x+2)24-1>1,x2+4x+5>1

解决下列问题：

(1)填空：%2-6x4-10=(x_)2+_.

⑵已知/—2xy+2y2+2y+1=0,求x+y的值.

(3)比较代数式/-1与2%-3的大小，并说明理由

【答案】(1)一3；1；(2)-2；(3)X2-1>2X-3,理由见解析

【详解】(1)解：x2-6%+10=x2-6x+9+1=(%-3)24-1；

(2)解：x2—2xy+2y2+2y+1=0

(x2-2xy+y2)4-(y2+2y+1)=0

(x-y)2+(y+I)2=0

-y)2>0,(y+l)2>0

••-%-y=0.y+1=0

.-.x=y=-1

•••x+y=-1+(-1)=-2；

(3)解：x2—1>2x—3,理由如下：

x2-l-(2x-3)

=A2—1—2x4-3

=x2-2x+2

=x2-2x+14-1

=(%-l)2+1

•••(x-I)2>0

.-.(x-l)2+l>l>0,

.-.x2-1-(2x-3)>0

AX2—1>2x—3.

4.配方法是数学中重要的一种思想方法.常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或

求代数式最大值.最小值等，例如：求代数式2/一轨+5的最小值，解法如下：

解：2/-4%+5=2(x2-2x)+5=2(x2-2x+1-1)+5

=2(x—1)2—2+5=2(x-1>+3

•••2。-1)220,・・.2。-1)2+323.・・.2%2-钛+5的最小值是3

根据材料中的方法，解答下列问题：

(1)若M-6a+9+|b+1|=0,求心的值.

(2)求代数式/一6%+12的最小值.

(3)用配方法说明：不论x为何值；代数式3/+6x+10的值总是正数.

【答案】(1)a=[;Q)最小值为3：(3)见解析

【详解】(1)解:a?—6Q+9+|b+1|=0

•，•(a-3)2+|b+1|=0

v(a-3)2>0,|/?+l|>0

•••a—3=0,/)+1=0

•'-a=3,b=-1

：.心=3T=-；

3

(2)解.：x2-6%4-12

=7-6x+9+3

=(x-3)2+3

v(x-3)2>0

•..(%—3)24-3>3

•••--6x+12的最小值为3；

(3)解：3X2+6X+10

=3(x2+2x4-1-1)+10

=30+1)2-3+10

=30+1)2+7,

•••3(%+1尸>0,

.-.3(%4-l)24-7>7,

.-.3(X+1)2+7>0

二不论x为何值；代数式3/+6%+10的值总是正数.

题型二根据一元二次方程的根求参数的值

1.若关于"的一元二次方程/+2x-k=0有实数根，则k的取值范围是()

A.k>lB.k<-1C.k<-lD.k>-1

【答案】D

【详解】解：••・关于％的一元二次方程/+2%一k=0有实数根，

=22—4x1x(-A)=4+4/c>0

解得上之一1.

2.如果关于x的一元二次方程A/-2%+3=。有两个不相等的实数根，那么A的取值范围是()

A.k>\B.k<\C.k>^D.kV且kH0

3333

【答案】D

【详解】解：•••方程依2-2%+3=0是关于x的一元二次方程，

:«*0

・••方程有两个不相等的实数根，

•••根的判别式A=(-2)2-4x/cx3>0,

解得kv：

•J

综上，k的取值范围是kV；且kHO.

J

3.若关于力的一元二次方程（。+1）/+（。+1次一：=0有两个相等的实数根，则。=一

【答案】-3

【讲解】解：••・关于工的一元二次方程（。+1）/+（。+1〃—；=0有两个相等的熨数根，

•••Q+1H0且4=（a+1）2-4•（口+1）•=0,

由a+1H0得Q*-1,

化简A=0得：（Q+I）2+2（a4-1）=0,解得a=-1或a=-3,

•%a=-3.

4.如果关于x的一元二次方程--2x+5=0没有实数根，那么k的最小整数是

【答案】3

【详解】解：••・关于汇的一元二次方程/-2x+3=0没有实数根，

•••△=b2-4ac=（-2>-4x1x1<0,

化简得4-2k<0,

解得kA2,

M的最小整数值为3.

题型三换元法解一元二次方程

I.已知4、人满足（“2-网（〃2-■+4）+4=0,则代数式序的值为（）

A.-2B.4C.-2或4D.2

【答案】A

【解答】解：设％=/-庐，方程化为f+4x+4=0,

（x+2）2=0,

解得：尸-2,

-lr=-2,

故选：A.

2.若关于X的一元二次方程。(x+用)2+〃=0的两根分别为用=-2,X2=\,则关于X的一元二次方程。

(A+/7Z-2025)2+/1=0(。和)的两根分别为()

A.x\=-2,%2=1B.xi=2023,幻=2026

C.xi=-2023,X2=2026D.x1=-2027fx2=-2022

【答案】B

【解答】解：令y=x-2025,

由a(x+in-2025)2+/z=0可得a()叶机)2+n=0,

-aCx+m)2+〃=0的两根分别为_t]=-2,X2=l，

■-a(y+m)2+〃=。的两根分另ij为)，1=・2,》=1,

.•・-2=x-2025或l=x-2025,

解得幻=2023,12=2026；

故选：B.

3.一元二次方程。(/〃)2+4=0的两根分别为-3,1,则方程。⑵+〃-3)2+&=()(存0)的两根分别为

()

A.Xi=-6,X2=-2B.同=0,X2=-1

C.x\=-9,X2=-1D.xi=0,X2=2

【答案】D

【解答】解：由题知，

将一元二次方程。(x+/7)2+k=0中的“X”用“2x-3”替换，

可得方程a(Zv+/7-3)2+k=0.

因为一元二次方程。(x+h)2+k=0的两根分别为-3,1,

所以2丫-3=-3或I,

解得％=0或2,

即方程〃(2v+/?-3)2+k=0(存0)的两根分别为加=0,.0=2.

故选：

4.若是一个直角三角形两条直角边的长a,b,满足(J+屏)(/+扇+])=12,则这个直角三角形的斜边

长为.

【答案】V3

【解答】解：〃是一个直角三角形两条直角边的长

设斜边为c,

(J+")(/+内1)=12,根据勾股定理得：C2(c2+l)-12=0

即(c?-3)(C2+4)=0,

•••/+4和,

--.C2-3=0,

解得口遮或仁二-V3(舍去).

则直角三角形的斜边长为次.

故答案为：V3

1.已知关于大的方程/-(3&+1)户2乒+2%=0

(1)当左=1时，请判断此方程根的情况.

(2)求证：无论k取何实数值，方程总有实数根.

(3)若等腰△A8C的一边长为。=6,另两边长〃，c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长.

【答案】(I)方程有两个相等的实数根；(2)见解析；(3)三角形的周长为16或22.

【解答】(1)解：•・•△=[・(3H1)产-4xlx(2日+2%)

=(h1)2,

当女=1时，△=(),则方程有两个相等的实数根；

(2)证明：A=[-(3/t+I)]2-4X|X(2必+22)

=乙2攵+1

=(hl)2,

•・•(k-1)2>0,

所以无论上取什么实数值，方程总有实数根；

(3)解：原方程因式分解得：(x-2k)(x-k-1)=0,

・解得：X\=2k,X2=k+\f

.:b,C恰好是这个方程的两个实数根，设〃=2匕c=A+l,

当。、〃为腰，则a=b=6,而a+〃>c,a-b<c,所以三角形的周长为：6+6+4=16；

当〃、c为腰,则4+1=22,解得左=1,

：.b=c=2,这种情况不成立；

当。、c为腰4+1=6则左=5,

,•/?=10,

•••三角形的周长为：6+6+10=22.

综上，三角形的周长为16或22.

2.在实数范围内定义一种新运算“△”，其规则为.乩根据这个规则，解决下列问题.

(I)求-3的值.

(2)当(x+2)△Su。时，求x的值.

(3)已知一个直角三角形的两边长是方程3a(x-8)=0的两个根，求第三边的长.

【答案】⑴7：(2)A=-7或人=3；(3)VI赤或4遍.

【解答】解：(1)4A3=42-32=7；

(2)(x+2)A5=0,

即(.r+2)2-52=0,

解得x=-7或x=3；

(3)3A(X-8)=0

即32・(x-8)2=0,

解得x=5或x=11,

即直角三角形的两边长分别为5和11,

当11为直角边长时，第三边的长=V52+ll2=V146；

当11为斜边边长时，第三边的长=4112-52=4V6,

综上所述，第三边的长=«府或4历.

3.已知方程/+2〃工+。=0,其中实数a,b,c满足且a+〃+c=O.

(1)试求£的取值范围；

a

(2)求证：方程/+2法+c=0有两个不相等的实根，且均小于2.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)解：a>b>c,a+b+c=O,

b=-(aic),

a>-(a+c)>c>

(2)证明：A=(2b)2-4ac

=4/72-4ac=4(a+c)2-4ac

=4(i?+(?2+t/c)

=4[(〃+#)2+|c2]>0,

且

：・△>(),

・•.有两个不相等的实根，

解方程/+2尿+c=0得户一妊，?一",

令A|>A2»

2222

-b+yb-aca+c+Ja+c+acc,L,c.c

aaa7a2a

“kl+T+Jt+T+Xc

方程ad+2饭+c=0有两个不相等的实根，且均小于2.

4.先阅读理解卜面的例题，再按要求解答下列问题：

例题：求代数式六4>8的最小值.

W：9+4y+8=)2+4y+4+4=()：+2)2+4.

•・•(y+2)2>0,

(y+2)2+4>4.

.•.)2+4)，+8的最小值是4.

(1)求代数式in2+ni+4的最小值.

(2)求代数式4・/+2丫的最大值.

(3)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15〃力的空地上建一个矩形花园八AC7),花园一边靠墙，另三

边用总长为20帆的栅栏围成.如图，设A8=x(〃z),请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积

是多少？

AD

BC

【答案】(1)77；(2)5；(3)最大面积是50m2

4

【解答】解：(1)m2+m+4=(〃?+4)，竽，

因为(阳+3，

所以(m+分2+竽之竽,

则m2+m+4的最小值是竺

4

(2)4-f+2x=-(x-I)2+5,

因为-(x-I)2<0,

所以-(x-I)2+5<5,

则4-f+2i•的最大值为5,

答：4・f+2r的最大值为5：

(3)由题意，得花园的面积是x(20・2x)=・2?+20x,

因为-2V2+20X=-2(x-5)2+50,-2(x-5)2<0,

所以-2(x-5)2+50<50,

所以-2?+20x的最大值是50,此时x=5,

则当x=5时，花园的面积最大，最大面积是50〃八

答：当x=5时，花园的面积最大，最大面积是50〃？.

2.3一元二次方程的根与系数的关系

题型一根与系数间的关系综合应用

1.已知XI，X2是关于X的方程2?+3x・1=0的两个根，求下列各式的值.

,11

⑴一十一；

X1X2

2

(2)+x22.

【答案】(1)3；(2)—.

4

【解答】解：由题知,

因为川，X2是关于x的方程2?+3x-1=0的两个根，

一31

所以％1+》2=—2，xlx2=~2'

11

(1)—+—

X1xz

=%1+%2

X/2

_3

-Z1

一_1

~2

=3；

(2)xl+域

=(%+外)？-2%1小

=(-|)2-2x(-1)

宅+1

4

13

=T-

2.已知关于x的一元二次方程(〃?+2)x+2/〃=0.

(I)求证：不论现为何值，该方程总有两个实数根：

(2)若方程的一个根是1,求〃?的值及方程的另一个根.

【答案】(1)见解析•：(2)加=1；2

【解答】(I)证明：,•,△=(m+2)2-4x2”？

=(m-2)2>0,

••・不论〃?为何值，该方程总有两个实数根；

(2)解：设方程的另一个根为人

根据根与系数的关系得1+/=〃"2①，lx/=2〃?②，

②-①得-1=m-2,

解得m=1,

把/〃=1代入②得1=2,

所以加的值为1,方程的另一个根为2.

3.已知关于x的一元二次方程f+(k+2)x+k=O.

(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)若XI、X2是方程的两根，且X1+X2-X1X2=6,求％的值.

【答案】(1)见解析：(2)女的值为-4.

【解答】(1)证明：△=a+2)2-以

=d+4&+4-4k

=狂+4>0,

•••方程总有两个不相等的实数根；

(2)由一元二次方程根与系数的关系得X|+X2=-(^+2),x\x2=k,

・•・-(A+2)-k=6,

解得：k=-4.

4.已知关丁人的,元二次方程，-(2&+I)人+”+&=().

(1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；

(2)已知RIA48C中，ZC=9O°,AC=5,另两边AB、8C恰好是该方程的两个根，请求巴左的值.

【答案】(I)见解析；(2)12.

【解答】(I)证明:•••△=(2R1)2-4(庐M)

=4必+4Z+1-4必-4Z

=1>0,

•••该一元二次方程总有两个不相等的实数根；

耐2/c+l±l

(2)M：A--271-，

解得用=&，X2=k+\t

•.•两边48、8C恰好是该方程的两个根，

•.AB=k+\tBC=k,

.•"=90。，

-.lc+52=(A+l)2,

解得k=\2,

即&的值为12.

1.关于x的一元二次方程7-2履+您-左=0的两个实数根分别是加、物且好+城=4,则女的值是

【答案】1.

【解答】解：由根与系数的关系得.ri+X2=2&,XR2=k2-k,

■•,x?+xl=4,

2

4-x2)—2%i又=4,

・•・(2k)2-2k)=4,

整理可得必+攵-2=0,

解得k=-2或k=1,

•・•一元二次方程有两个实数根，

•••根的判别式△=(-2A)2-4X1K(A2-A)=4A>0,

:・k=1.

故答案为：1.

—,，or„.7nn+n+l.、，

2.已知：切2_2机-]=0,/+2〃-I=O且加印i,则--------的J值为.

n

【答案】3.

【解答】解：1=0,

〃却，

将〃2+2〃-1=0的两边同时除以〃，得：1+2—1=0.

nn2

即(»一2x<)一1=0,

1

又•••〃?0--2m-1=0,且rnnt\,即m中

：皿，上是方程2-2x-1=0的两个实数根，

n

由•元二次方程根与系数的关系得：771+1=2,

mn+n+11

•­-------------=m+1+―=2+1=3,

nn

故答案为：3.

3.已知关于k的方程』(3A-+3)x+2/r+4k+2=O

（1）求证：无论我为何值，原方程都有实数根；

（2）若该方程的两实数根XI、X2为一菱形的两条对角线之长，H.X1X2+1V1+2X2=36,求2值及该菱形的

面积.

【答案】（1）见解析：（2）9

【解答】（1）证明：根据题意得：A=[-（3%+3）]2-4（2^+4R2）=（RI）2.

；无论及为何值，总有（4+1）2>0,

••・无论/为何值，原方程都有实数根；

（2）•.•关于x的方程（3攵+3）x+2F+4A+2=0的两实数根是朴必

，XI+X2=3%+3,x\x2=2lc+4k+2,

・••由XIX2+2XI+2X2=36,得2k244k+2+2（3H3）=36,

整理，得（叶7）（…2）=0.

解得h=-7（舍去），&2=2.

■--X1X2=Ix2（k+l）2=（2+1）2=9.

22

即菱形的面积是9.

4.已知在关于x的分式方程n*=2①和一元二次方程（2-左）7+3〃优+（37）〃=0②中，上、/〃、〃均为

实数，方程①的根为非负数.

（I）求A的取值范围；

（2）当方程②有两个实数根工1，必且满足XI（XI-k）+X2（X2-k）=（XI-k）（X2-2）,%为负整数

时，试判断〃Pw4是否成立，并说明理由.

【答案】（1）Q・1且厚1,2,（2）成立，理由见解答.

【解答】解：（1）解分式方程①得尸室.

•••方程①的根为非负数，

（^1>0,

M1>4,1，解得Q-1且原1・

V21

又一元二次方程（2-k）f+3〃n+（3・k）〃=0中，2・七0,所以原2.

综上所述可知Q-1且存1,2.

（2）成立.理由如下：

M是负整数，以-1且厚1,2,

M=-1.

•••方程②有两个实数根内，X2,

,3m

/+乃=k^2=~m^

n(Zc-3)4

XiX2=k_2=^n,

(b2—4ac=(3m)2—4n(3-k)(2—k)>0

,9m2

“W4(fc-3)(fc-2)-

pi+x2=-m

化简XI(X|-k)+X2(X2-k)=(xi-k)(X2-k),得(X1+X2)2=3X1X2+^,将4代入，得

%1%2=3n

(-m)2=3X如(-1)2,

J

.-./n2-4/7=1,A=(3m)2-4(27)(3-it)n=9m2-48n>0(4)，把③代入④得9〃尸一

整理，可得〃Pw4.

2.4用一元二次方程解决问题

题型一图形问题

1.为传承中华优秀传统文化，某我开展了“古法数学趣题探究”活动.同学们对《增删算法统宗》中的“圆中

方”问题进行了实地模拟:在校园规划一块圆形空地,中间设计正方形的水池,打造“可耕可赏”的校园景观.已

知除水池外，可种植绿植的面积恰好为72平方米，从水池边到圆周，每边均相距3米.设水池的边长为工米,

则下列方程能正确表示数量关系的是（）

2

A.兀(3+37一%2=72B.陪+3)-%2=72

2

C.7t(x4-3)2—x2=36D.兀(；+3)-x2=36

【答案】B

【详解】解：设水池的边长为x米，每边均相距3米,

则圆的半径为gx+3)米，

•.♦可种植绿植的面积恰好为72平方米，

•,•兀0+3)—x2=72.

2.学校打算用长20m的篱笆围成一个矩形生物园饲养小兔.如图，生物园的一边靠墙，另外三边用篱笆围

成，墙长11m.

BC

(1)若矩形生物园的面积是48m,求边力3的反；

⑵矩形生物园的面积能否达到52m2,请说明理由.

【答案】(l)6m；(2)不能，理由如下:

【详解】(1)解：设边AB的长为%m,则有8c=(20-2x)m,由题意得：

x(20-2x)=48,

解得：%1=4,%2=6，

•.•墙长11m,

.•.当x=4时，FC=20—2x4=12m>11m,不符合题意，舍去；

AX=6；

答：边A8的长为6m.

(2)由(1)可知：x(20-2x)=52,

整理得：x2-10%+26=0,

•••△=100-4x26=-4<0,

二方程无解，

二矩形生物园的面积不能达到52m2.

3.为加强劳动教育，丰富学生实践活动，某校生物社团利用总长为8米的篱笆在两面互相垂直且足够长的

围堵边围出一块面积为15平方米的矩形菜地，如图所示.

⑴求矩形菜地的长和宽.

⑵现要给这块菜地施肥，该社团计划购买4、B两种化肥共20千克.已知A种化肥每千克8元，每千克可给

1平方米的菜地施肥；B种化肥每千克6元，每千克可给0.6平方米的菜地施肥.假设菜地的一部分施4种化

肥，另一部分施B种化肥，请通过计算说明应如何购买化肥，既能完成施肥任务，乂能使总花费最少？

【答案】（I）矩形菜地的长为5米，宽为3米；（2）购买4种化肥75千克，8种化肥12.5千克，既能完成施肥

任务，又能使总花费最少

【详解】（1）解：设矩形菜地的宽为%米（0VX44）,则长为（8-工）米，

由题意,得%（8-％）=15,

解得%1=3,乃=5（舍去），

87=8-3=5（米）.

答：矩形菜地的长为5米，宽为3米.

（2）解：设购买力种化肥m千克，则购买8种化肥（20-/n）千克，总花费为w元，

由题意，得m+0.6（20-m）N15,

解得m>7.5.

由题意，得w=8m+6（20-m）=2a+120,

v2>0,

・•.w随m的增大而增大,

•••当m取最小值，即m=7.5时，w取最小值，

此时20-m=20-7.5=12.5.

答：购买4种化肥7.5千克，B种化肥12.5千克，既能完成施肥任务，又能使总花费最少.

4.如图I,有一张长为30cm、宽为16cm的长方形硬纸片，剪去四个角上同样大小的四个小正方形之后，折

成图2所示的无盖纸盒.（硬纸片厚度忽略不计）.

图I图2图3

(1)若剪去的正方形的边长为2cm,则纸盒底面长方形的长为cm；

(2)若纸盒的底面积为240cm2,请计算剪去的正方形的边长：

(3)如图3,小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形(阴影部分)，经过思考他发现，

再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒.若折成的有盖长方体纸盒的表面积为

412cm2,请计算剪去的正方形的边长.

【答案】(1)26；(2)剪去正方形的边长为3cm；(3)剪去的正方形的边长为2cm

【详解】(1)解：由题意得：30-2x2=26(cm),16-2x2=12(cm),

纸盒底面长方形的长为26cm；

(2)解：设剪去的正方形的边长为双m,则纸盒底面长方形的长为(30-2%)cm,宽为(16-2x)cm,

由题意得:(30-2x)(16-2x)=240,

解得：x=3或％=20(舍去)，

剪去正方形的边K为3cm；

(3)解：设剪去的正方形的边长为acm,

由题意得：a(16—2a)x2+a(触2")x2+(16—2a)x2。)x2=412,

解得：。=2或。=-17(不符合题意，舍去)，

•••剪去的正方形的边长为2cm.

题型二营销问题

I.已知某服装店将进价为120元/件的新款时装以200元/件出售时，每天能卖出20件.经调研发现，每件

时装每降价1元，每天可多卖出2件.若每件时装降价x元，每天将盈利1400元，则可列方程()

A.(200-x)(20+x)=1400B.(200-120-x)(20+2x)=1400

C.(2007)(20+2x)=1400D.(200-120-x)(20+x)=1400

【答案】B

【详解】解：•••每件进价为120元，原售价为200元，每件降价x元，

二降价后每件的利润为(200-120-%)元，

・•・原每天售出20件、每降价1元每天多售出2件，降价％元后每天多售出2%件，

••・降价后每天的销包量为(20+2%)件，

••,每天总盈利为1400元，

•••可列方程为(200-120-x)(204-2x)=1400.

2.某奶茶店销售一款招牌奶茶，每杯成本为5元.当售价为15元/杯时，平均每天能售出300杯.市场调

查发现，售价每降价1元，平均每天就能多售出50杯.店主希望扩大销量，提高知名度，且使每天的销售

利润仍保持在3000元，则每杯奶茶应降价元.

【答案】4

【详解】解：设每杯奶茶应降价%元，

由题意得:(15-x-5)(300+50%)=3000,

解得与=0,x2=4；

•••店主希望扩大销量，降价越多销量越高，

二舍去％=0,取％=4,

答：每杯奶茶应降价4元.

3.石狮泰禾某童装专卖店在销售中发现，•款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20

件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利涧，经市场调查发现,

如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.

(1)设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元；(用x的代数式表示)

(2)每件童.装降价多少元时，平均每天赢利1200元；

⑶要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由.

【答案】(1)(20+2%)，(40-X)：(2)每件童装降价1()元或20元时，平均每天赢利1200元；(3)不可能

【详解】(I)解：已知每件降价1元，多售出2件，降价%元时，多色:出2工件原每天售出20件，

因此每天销包:量为(20+2%)件，原单件利润为120-80=40元，

降价％元后，单件盈利为(40-%)元.

(2)根据总利润等于单件盈利乘销售量，

列方程得(20+2%)(40-x)=1200

整理得%2-30%+200=0

因式分解得(x-10)(%-20)=0

解得巧=10,x2=20

因此每件童装降价10元或20元时，平均每天赢利120()元.

(3)假设平均每天赢利2000元，

列方程得(20+2x)(40-x)=2000

整理得/一30%+600=0

判别式得A=(-30)2-4x1x600=900-2400=-1500<0

因此该方程没有实数根，不存在满足条件的降价x所以平均每天赢利2000元不可能.

4.红薯丰收时节，某农户在地头批发销售，定价为3元/kg,当购买红薯的质量超过250kg时，每多购买25kg,

红薯的单价降低0.2元/kg,但要求红薯的单价不低于2元/kg.已知某零售商购买红薯的质量超过/300kg,

且支付农户的费用为770元，求该零售商购买红薯的质量.

【答案】该零售商购买红薯的质量为350kg

【详解】解：设该零售商购买红薯的质量为(250+y)kg.

根据题意，得(250+y)(3-女x0.2)=770.

解得力=25,为=100.

当y=25时，250+y=275V300,舍去.

当y=100时，250+y=350>300,且3-2x0.2=2.2>2.

25

答：该零售商购买红萼的质量为350kg.

题型三动态几何问题

1.如图，在RtA/08中，LAOB=90°,OA=60cm,OB=80cm,0cli48,垂足为C.甲虫日点A以3cm/s

的速度沿向点8爬行，同时乙虫由点。以2cm/s的速度沿C。向点0爬行，当乙虫到达目的地点。时，甲乙两

虫停止爬行.

(1)则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点C组成的三角形是等腰三角形.

(2)则在_______秒时，甲、乙两虫所在位置与点C组成的三角形的面积等于105cm2.

【答案】7.23或7或6+V71

【详解】(1)解：•.2/108=90。，OA=60cm,OB=80cm,OC1AB,

：.AB=>JOA2+OB2=100(cm),

•••OC1AB,

-SLAOB=^AB-0C=^0A-08,

OAOB

•••OC==48(cm),

AU

-t-AC=y/AO2—OC2=36(cm)>

:.BC=AB-AC=100-36=64(cm).

设运动x秒时，甲虫所在位置为点P,乙虫所在位置为点Q,

X-----------』

根据题意，得4P=3xcm»CQ=2xcm,

当OWx即12时，点。在线段4。上，连接PQ,

此时CP=AC-AP=(36-3x)cin,

•••甲、乙两虫所在位置与点C组成的三角形是等腰三角形，

••.CP=CQ,

•••36—3x=2x,

解得％=7.2；

当12(无<曰即12vx<24时，此时点P在线段BC上，

•••CP=AP-AC=(3x-36)cm,

•••甲、乙两虫所在位置与点C组成的三角形是等腰三角形,

•••CP=CQ,

—36=2x,

解得％=36；不满足范围12<%£等，舍去，

综上所述，在7.2秒时，甲、乙两虫所在位置与点C组成的三角形是等腰三角形.

(2)设运动x秒时，甲虫所在位置为点P,乙虫所在位置为点0,根据题意，得4P=3xcm,CQ=2xcm,

当点。在AC上时，此时CP=AC-AP=(36-3%)cm,

根据题意，畿CP-CQ=105,

即x(36-3x)=105，

解得％i=5,外=7：

当点尸在BC上时，此时CP=AP-4c=(3%-36)cm，

根据题意，得3CP-CQ=105,

即x(3%-36)=105，

整理，得%2-12%-35=。,

12±J122-4xlx(-35)_12±2历

解得x=

故右=6+夕1,%2=6-V71（时间不能为负，舍去）；

此时％=6+V71,

综上所述，在5秒或7秒或（6+g）秒时，甲、乙两虫所在位置与点C组成的三角形的面积等于105cm2.

2.如图，在△力BC中，^ACB=90°MC=40cm,BC=30cm.点P在边AC上，以4cm/s的速度由点A向点C运

动，同时，点Q在边C8上，以2cm/s的速度由点C向点8运动，当一个点到达终点时，两个点同时停止运动.设

运动时间为£s.

(1)当t=5时，求△PQC的面积.

⑵当APQC的面积为64cm2时，求t的值.

(3)APQC的面积能否达到120cm2?若能，求；班的值：若不能，说明理由.

【答案】⑴lOOcm?；⑵t的值为2或8秒;(3)APQC的面积不能达到120cm2,理由见解析

【详解】(1)解：当£=5时，AP=4x5=20(cm),CQ=2x5=10(cm),

:.PC=AC-AP=40-20=20(cm),

2

2PQC=\PCCQ=1x20x10=100(cm).

(2)解：由题意得，PC=AC-AP=40-4t,CQ=2t,

:SPQC=IPC-CQ=x(40-4r)x2t=64,

整理，得产-10t+16=0,

解得与=2,5=8.

当£=2时，40-4t=40-4x2=32>0,CQ=2x2=4<30,符合题意；

当£=8时，40-4t=40-4x8=8>0,CQ=2x8=16<30