2027年高考数学一轮复习：函数的奇偶性

§2.3函数的奇偶性

【课标要求】1.了解函数奇偶性的概念和几何意义2会依据函数的性质进行简单的应用.

・落实主干知识・

函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

一般地，设函数段)的定义域为O,如果Vx££>,都有一X日

偶函数关于y轴对称

。，且/1)=心•，那么函数凡0就叫做偶函数

一般地，设函数的定义域为D,如果Vx£Z),都有一XW

奇函数关于原点对称

D且式—x)=—/U),那么函数凡丫)就叫做奇函数

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打7或“x”)

⑴若函数於)为奇函数，则拒)=0.(x)

(2)不存在既是奇函数.又是偶函数的函数.(X)

(3)对于函数y=/(x),若4-2)=一<2),则函数)，=/伏)是奇函数.(X)

(4)若/U)是奇函数出⑴是偶函数厕,信)奴工)是奇函数.(7)

2.下列函数中是偶函数的是()

A.y=2*B.y=cosx

C.y=lnxD.y=sinx

答案B

解析对于A,y=2,为定义域内的增函数、故为非奇非偶函数；

对于B,)，=cosx的定义域为全体实数.且./(-x)=cos(—%)=cosx=/W，故为偶函数；

对于C,y=lnx的定义域为(0,+-),不关于原点对称，故为非奇非偶函数；

对于D,y=sinx的定义域为全体实数.但是五一x)=sin(-x)=-sinx=一4入)故为奇函数.

3.(多选)若函数段)是定义在R上的奇函数，则下列结论正确的是()

A：/Cv)+j(-x)=0

氏的)=0

Cfix)A—x)^O

D3=T

7(-x)

答案ABC

解析因为./U)是定义在R上的奇函数,所以犬幻+;(一幻=0.且/[O)=O,A,B正确；

因为我一幻=一人幻,所以.(壮人一幻=一伏幻]2忘0,当x=0时,等号成立,C正确；

当x=0时/一x)=0.此时?义无意义,D错误.

/(一X)

4.设//)是定义在R上的奇函数，当工与0时次x)=2x+"则人-1)=.

答案一2

解析,")是奇函数厕10)=〃=0.即当x，0时於)=2x,所以川)=2,从而加-1)=一/U)=-2.

国微点提醒

I.理解函数奇偶性的常用结论

(1)①如果一个奇函数,仰)在原点处有定义，即火0)有意义，那么一定有<0)=0.

②如果函数./U)是偶函数，那么_/U)=A川).

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.

2.灵活应用奇函数的两个特殊性质

(1)若火工)为奇函数，则人外+1一X)=0.特别地，若凡0存在最值，则7U)min+/U)max=S

(2)若尸(x)=/(x)+c段)为奇函数，则x)+P(x)=2c.特另I」地，若P(x)存在最值，则F(x)ini„4-Fa)max=2c.

3.谨防两个易误点

⑴求奇函数的解析式时.，忽略尸0会造成解析式缺失，特别地,奇函数要么在尸()处没有定义,要么在k0处

的函数值为0,即10)=0.

(2)解函数的奇偶性与单调性相结合的题目时，不要忽视自变量的取值在定义域内这一隐含条性.

---------------------------探究核心题型----------------------------

题型一函数奇偶性的判断

命题点1常见函数奇偶性的判断

例1(多选)下列函数是奇函数的是()

A./(x)=tanxBJ(x)=J?+x

C<x)=二二D，Ax)=ln|l+x|

答案AC

解析对于A,函数的定义域为{xk工三十kn,kez},关于原点对称.且，人一x）=【an（—x）=—tanx=—/U）,故

函数为奇函数.符合题意；

对于B,函数的定义域为R.关于原点对称.且八一幻.故函数为非奇非偶函数.不符合题意；

对于C,函数的定义域为R,关于原点对称.且五一］）=三了=—九丫）,故函数为奇函数，符合题意；

对于D,函数的定义域为{.也#-1}.不关于原点对称.故函数为非奇非偶函数.不符合题意.

命题点2抽象函数奇偶性的判断

例2（多选）己知/U）是定义在R上的函数，下列结论正确的有（）

A.若恒有4F）=-fl一/）,则火用是奇函数

B.若恒有2/U+y）/U—），）=/U）+y（y）,且人0）20,贝ljy=/U）为奇函数

C.若恒有人幻+心，）=/U+y）,则大幻为偶函数

D.若恒有#»）=>於）+硕），）,则以）是奇函数

答案AD

解析对于A,若V/GR.

当/>0时，令f=f,因为人/）=一4一W）,

所以7W=-A—/），即.人一0=-/0）；

当1=0时.令/=/=0,

因为£*）=-/（-f）,

所以40）=—/（一0）.即10）=0；

当r<0时.令t=—X2,

因为；（《）=-/（—%2）,

所以式一。=一山），

综上次一。=一次"

所以£r）是奇函数,故A正确；

对于B,在加1-+），）府—），）=心）+小）中.令k）,=0,得2伏0）］2=加）），

因为所以火0）=1,显然不符合八-x）=-/（x）.故B错误；

对于C,令x=y=O,则10)+40)=40),

所以40)=0,

令)=一乂则火功+/(-#=/(())=(),

所以式-x)="/U),

即以)为奇函数做C错误；

对于D,对任意R,总有yU.y)=Mx)+M(y),

令x=y=0得X0)=0；

令x=y=l得人1)=火1)+火1),所以,Ri)=o；

令x=y=-1得火1)=一1一1)一1一1),所以人-1)=0;

令)=一1得人一%)=-/(工)+切(-1)二一儿。,所以_/(力是奇函数.故口正确.

命题点3构造函数的奇偶性

例3已知函数7U)=x+ln(-x)-5(xG[-2026,2026])的最大值为M,最小值为“厕M+〃?

答案一1()

解析设g(x)=/U)+5=x+ln(

贝ijg。)的定义域为［—2026,2026L

则,g(A)+^(-x)=v+ln(Jx2+l-x)-x+ln(Jx2+l+x)=ln[(Jx2+l-x)(

x2+l+x)]=ln1=0,

・・.g(-x)=—g(K),即g(x)是奇函数,

因此g(X)min+g(X)max=0.

又g())min-y(X)min+5—〃l+5,

g(X)max=Ar)max+5=M+5,

g(Nmin+g(X)max=〃?+5+M+5=0,

即Af+m=-10.

思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件

(1)定义域关于原点对称,否则即为非奇非偶函数.

（2）判断/U）与＜—x）是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（/U）

+/（一X）=0（奇函数）或凡r）-/（—x）=（）（偶函数））是否成立.

跟踪训练1⑴（多选）（2025•郑州喋拟）已知函数府）满足川）=1府+），）=笛偌,则下列结论正确的是

1j\^）J1.y）

（）

AJ（0）=0

Bj（-©=-yu）

C/U）的定义域为R

D於+2）=-卷

答案ABD

解析令4=lj=0,则＜1）=倦端，

即1=¥嗯，;•加）=°，A正确；

1-7（0）

令x=y=lM"2）="炉无意义，

即/（X）的定义域不为RC错误；

1

由加+＞）=端AJ\^黑）j\y）可知府）须h，

令尸r，则知尸篇需=°，

即/U）+X—x）=o,

故式一幻=一凡1）》正确；

nv+i）=〃x）+ift（+2）=/（x+D+i_D正确

i-rw

⑵已知函数,/W对任意x,yeR,都有段+历=©）+次），）+2,则函数於）+2为函数.（填

“奇”“偶”或“非奇非偶”）

答案奇

解析由题意得函数/U）的定义域为R,定义域关于原点对称，

令工=）,=0,则#0）=A0）+/（0）+2,故火0）=—2.

令）=一乂则J（0）=/（x）+/（—x）+2,

故人幻+2=-/（一人）_2=_伏_1）+2].

故/U)+2为奇函数.

题型二函数的奇偶性的应用

命题点1利用奇偶性求值(解析式)

例4⑴已知小)是定义在R上的偶函数，且当八七(一8⑼时Q)=f一炉+1,则当工£(0,+8)时等

于()

A-+1B-+1

CY+eF1D.-A24-e-x-1

答案B

解析当工£(0,+8)时,一工£(一8,0),

则/(一%)=(—x)2—e*+1=%2—e，'+1,

又、/U)为偶函数.故犬一X)=/5)，

故、«"二/一©一'+1.

(2)若函数丁二⑵一加工手5是R上的偶函数,则实数m=.

答案1

解析设yu)=(2、—和2二取，

则该函数为R上的偶函数，

则对任意的％UR4A)=/(.¥),

即(2一*一如2〉(-X)5=⑵一如2一M

整理可得2「+2'-〃7(2'+2~=(1-〃?)(2'+2力=(),

所以I—〃7=0,解得机=1.

命题点2利用奇偶性解不等式

例5设函数.")=皿/+1)一三,则满足•/U)》(2x+1)的x的取值范围为.

答案(T-加W)

解析贝幻=所(*+1)—9

|人|

则段)的定义域为{mH0},

又7U)=火一幻，故./U)为偶函数，

当Q0时《幻=111(*+1)一：

又户='(『+1),)，2=—：在(0,+8)上都单调递增，故人工)在(0,+8)上单调递增.在(-8,0)上单调递减.

%H0,

2x+lH0,

(|x|>|2x+l|,

故x的取值范围为(―1,—mu(―a—9).

思维升华(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区

间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值.

(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象,结合几何直观求解相关问题.

跟踪训练2(1)(2023・新高考全国H)若段)=(x+a)ln器为偶函数，则"等于()

A.-lB.OC.-D.1

2

答案B

解析方法一因为7U)为偶函数，

则川)=A—1),

即(1+a)ln：=(—1+a)ln3.解得a=0.

当4=0时JU)=xln

由QL1)(2X4-1)>0,解得.环或x<~\,

则其定义域为卜卜>1或xV-沙关于原点对称.

/\-1

/y\/\i2(—X)-1/2x—1/(2x-1\.2x—1、

/(—x)=(—.r)ln———=(—x)ln----=(—x)ln—―n

7=x\n—

八'、'2(T)+I、2x-l、'\2x+iJ2x+i八八

此时；U)为偶函数.符合题意.

故4=0.

方法二设g(.0=ln崇^

易知g(x)的定义域为(―8,—UG，+8),

且g(-x)=ln受三=岳袈，=-111三三=一目。),所以以幻为奇函数.

若Kt)=(x+a)ln1^为偶函数，

则也应为奇函数、所以。=0.

(2)已知函数人幻为R上的奇函数，当x<0时<幻=2，一则火幻<0的解集为()

8

A.(-3,0)U(0,3)

B.(—3,3)

C.(-°0,-3)U(0,3)

D.(—8,—3)-8)

答案C

解析函数./U)为R上的奇函数，

当x<0时<#=2，一"

8

则当.v>()时,一正0,有危)二一/(一.0=一(2-"-9=：-27显然./(())=0,

\8/8

(X<0,(x>0,

不等式J")<。转化为_工vo或L_工<o

(8V82X

解得K<—3或0y<3,

所以不等式/U)<0的解集为(一8,—3)U(0,3).

课时精练

［分值:90分］

I。知识过关

一、单项选择题(每小题5分，共30分)

1.下列函数中，既是奇函数，又在区间((),+8)上单调递减的是()

A.y=|x|B.y=V

CJUJ2D.y=-3x

答案D

解析对于A选项，函数)，=|x|为偶函数，且当x>0时,)，=x,即函数)，=因在(0,+8)上单调递增,A不满足要求；

对于B选项,函数)，=.一为奇函数，且该函数在(0,+8)上单调递增、B不满足要求；

对于C选项.函数)，=f为偶函数.且该函数在(0,+8)上单调递增c不满足要求；

对于D选项.函数)二-31为奇函数.且该函数在(0,+8)上单调递减.D满足要求.

2.若偶函数/U）的定义域为R,当X£[0,+8）时次x）单调递增，则负一夕）次兀）五—3）的大小关系是（）

A次几户八-3）次一夕）

B・加）从一0）M-3）

C刎认一3）勺（一夕）

口加%一夕）4—3）

答案A

解析因为/U）是偶函数，

敬艮一小）=艮巾）爪-3）=处,

又因为当|0,+8）时双r）单调递增，

由\/7<3<7T可得人兀）»（3）»（夕），

即加）M—3）习（一夕）.

3.（2025•泰州模拟）已知函数,/W=安詈是定义在R上的奇函数,则实数。等于（）

A.-lB.OC.-D.1

2

答案C

解析:/U）为奇函数,，.八—x）=—fix）,

,e-azsin（-x）__eaxsinx

**-1+e-x1+6'

即e-2_e-.e'e-ax_eax

Wl+e-xl+ex，**ex4-l6+1'

即x—aY=ar,解得«=1.

4.已知函数j（x）=x+asinx+2,且“〃）=5,则大一用）等于（）

A.-5B.-3C.-lD.3

答案C

解析令g*）=x+osinM则g（x）为奇函数，

故g（M+g（f）=0,

又g（川）=逃〃?）-2=3,

所以g（—，〃）=火一阳）一2=-3,

所以人一"。二—1.

5.(2025•安徽皖南八校模拟)已知函数Hx)的定义域为R,v=«x)+e,是偶函数,)，=/(.丫)一3€,是奇函数,则/(In3)

的值为()

A=B.3C.—D.—

333

答案D

解析因为函数y=/(x)+eK为偶函数，

则人一工)+片'=儿1)+匕

即/U)一贡一x)=e-x—e\①

又因为函数y=j(x)-3ex为奇函数，

则久-x)-3e1=-/U)+3e;

即7U)+/(一幻=3eA+3e~\②

联立①@可得段)=e'+2er.所以川n3)=eln3+2e-,n3=Y.

6.(2024•阜阳模拟)若函数於)=〃?(u：—『》+〃ln(x+JZ^TT)+1(川,〃为常数)在［1,3］上有最大值7,则函数於)

tt［-3,-1］±()

A.有最小值一5B.有最大值5

C.有最大值6D.有最小值一7

答案A

解析设g(x)=J(x)—1=/??(er—e-r；i+nln(x+Jx2!-1),

所以.t+RTL>0恒成立.所以g(x)的定义域为R,关于原点对称,

又g(-x)=，"(ee')+〃ln(—x+Jx24-1)

=-m(e”-e-x)+n\n.1—

Jx2+14-x

=—［孤e*-e*)+〃ln(x+Jx2+l)l

=一双。所以g(x)是奇函数，

因为式x)在［1,3］上有最大值7,

所以g(x)在［1,3］上有最大值6,

所以式力在［-3,—1］上有最小值一6,

所以")在［-3,—1］上有最小值一5.

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.(2025・六安模拟汴列函数中，既是偶函数，又在区间(0,+8)上单调递增的是()

A.y=ln|x|B.y=|lnx\

C.y=x~2D.y=ev+e^

答案AD

解析A选项，设段)=1中|,其定义域为(-8,o)u(O,+8),且人一划=1川一H=ln国=凡0故心)=1中|为偶函

数、且当x£(0,+8)时j=Ex单调递增.故A正确；

B选项,y=|lnx|的定义域为(0,+8),定义域不关于原点对称，不是偶函数，故B错误；

C选项•当在。+8)时J=/单调递减，故C错误；

D选项，设g(x)=e，+er,其定义域为R,且g(-Ar)=er+e*=g(x).故g(x)=e'+e-v是偶函数，且当xe(0,4-°°)

时.g'(x)=e'-e'>0,函数单调递增，故D正确.

8.定义在R上的函数危)满足,"+、)=")+心)，当x<0时/)>0厕函数,/U)满足()

A.J(0)=0

B.y=.Kx)为偶函数

c.yu)在R上单调递增

DJU—D+ZU2—1)>0的解集为3—2今<1}

答案AD

解析由题意.定义在R上的函数凡丫)满足/U+y)=/(x)+y()，)，

对于A,令尸y=0.则.八0)=/(0)+40),

即<0)=0故A正确；

对于8,令》=一儿则火0)=汽幻+7(一幻=0,即/(一1)=—/(幻，

所以y=/(x)为奇函数，故B错误；

对于C,任取汨力2仁1<且为42,

则/(即)一/(12)=/(汨一足+照)—/(12)=洪笛-X2)+yU2)-7(X2)=yUl一12),

因为g5.所以国一12<0,所以於1一及)>0,即凡u)次X2),所以函数小)在R上单调递减.故C错误；

对于D,由危―1)+7U2—1)>0,可得.信―1)>—X.v2-1)=火1—%2),

又函数7U)在R上单调递减，所以X-K1-V,

解得一所以上一D+yU2-1)>。的解集为-2<A<1},故D正确.

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.己知函数,f[x)=x^+V五若他)+«a—6)=0,则实数a=.

答案3

解析因为/(x)=『+遮，定义域为R、

所以汽一幻二一/一版=-/W,即,/U)为奇函数，

因为JU)=V+W在R上单调递增，

若贝。)+人。-6)=0,

则火〃)=-A。-6)=/(6—a),

所以“=6—即。=3.

1().已知下列五个函数y=x,y2=，V3=f，泗='.丫,)5=。"，从中选出两个函数分别记为段)和g(x),若F(x)=J(x)

+g(x)的图象如图所示，则尸(幻=.

答案-+.r

X

解析由图可知下(处的定义域为(一8,0)口(0,+8),可知尸")一定包含,，2=：这一函数,且一定不包含)，4=lnx

这一函数，

又函数尸(X)不是奇函数.所以尸(%)=：+工不成立，所以只有两种可能：产(1)=；+入2或F(x)=?+e'.

若尸(工)=：+-

当X——8时,：一01'一0,

所以产a)=；+e'->0.与图象不符.

故尸q）W+e*不成立；

若产（工）=1+/，

当北（一8,（））时3单调递减*单调递减.所以尸⑴在（一8,0）上单调递减；

当工£（0,+8）时尸（功=一9+2丫=写]，

令/。）=0,得工=手，

令尸。）>0,得x考，

令尸。）<0,得04岑,

所以广（力=（+/在（。，¥）上单调递减、在（手，+8）上单调递增.符合图象,

故产（工）=1+/.

四、解答题（共28分）

11.（13分）已知7U）为R上的奇函数，当x>0时次x）=f—2x.

（1）求/U）的解析式；（6分）

（2）求不等式MW20的解集.（7分）

解（1）因为函数./U）为R上的奇函数，

当x<0时,一心>0,

则/U）=-K-x）=—[（-%）2~2（一刈=一/一2x,

又因为/（o）=o满足yu）=『一2x,

故於）斗葭22、。，

（2）当x^O时,就月二河/一级）》。，

可得x2—2x20,解得xWO或x22,

此时M=0或x>2;

当x<0时必3）=何一/一2^）=—1。2+2幻20,

可得F+2x20,解得xW—2或x20,

此时上W—2.

综上所述，原不等式的解集为（一8,-2]U{0|U[2,+°°）.

12.(15分)函数/U)和g(x)具有如下性质：①定义域均为R；②/U)为奇函数,g(x)为偶函数；③/(x)+g(x)=

e'(常数e是自然对数的底数).

(1)求函数7U)和g(x)的解析式；(6分)

⑵对任意实数X,[g(x)]2—欣、)]2是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.(9分)

解(1)由性质③/U)+g(x)=e'，则./(—x)+^(―x)=e-r,

由性质②知./(~x)=—«r),g(一工)=g(x).故一/U)+g(x)=ex.

则产O+g