2026暑假新高三数学专项复习：解三角形（学生版）

解三角形

1.正弦定理、余弦定理

在△48C中，若角4B,。所对的边分别是a,b,c,火为△4BC外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

(2)〃=炉+，-2bccQS_A：

内容⑴a=6=c=2Rh2=c2+a2—2cacos_B；

sinAsinBsinC

c2=a2+左一2abcos_C

(3)a=2/?sinX,

b=2Rsin_B,

/>2+(72-U~

e=2Hsin_C；(7)cosJ=：

2bc

(4)sinJ=a,sinB=",sinC=C；

变形2R2R2RcosB=；

2ac

(5)。：b:c=sin_J:sin/:sin_C：

a2~\-b2—c2

(6)asinB=bsinA,cosC=

lab

bsmC=csinB,

asinC=csinA

2.在△48。中，已知”，力和力时，解的情况

力为锐角A为钝角或直角

C

图形AAX

关系式a=，sin4bsinA<a<ba2ba>b

解的个数.解两解.解.解

3.三角形常用面积公式

（1）S=）九（儿表示边a上的高）;

(2)5=t7/>sinC=acsinB=/?csinA；

222

(3)S=；M〃+力+c)(〃为三角形内切圆半径).

【知识拓展】

1.三角形内角和定理

在△力4c中，/+3+C=m

/+47TC

变形:■

2-22-

2.三角形中的三角函数关系

(l)sin(J+Z?)=sinC；(2)cos(/l+8)=-cosC；

4+4C4+3.C

(3)sin(4)cos=sin

22'22

3.三角形中的射影定理

在△月8c中，a=bcosC+ccosB-,

h=acosC+tcosA:

c=bcosA-iacosB.

4.实际测量中的常见问题

求48图形需要测量的元素解法

底部4

NACB=a,BC=解直角三角形

求可达

aAB=atana

&

直底部不/N4CB=a,解两个直角三角形

高可达[/ADB=B，,„atanatan6

tanp-tana

度CD8CD=a

山两侧NACB=a,

7用余弦定理

AC-bf

AB=\ja2+b^—2abccia

BC=a

河两岸NdC0-a,

求

NABC=B，用正弦定理43=。:叫.

8in(a4-j5)

水

CB=a

平

河对岸“A八—•八asina

ZADC=a,在AWC中，AC=―—―；

距$in(a4-y)

ZBDC=P，

离B

ZBCD=d,在ABDC中,BC=.无

D

ZACD=y,在&48C中，应用

CD=a余弦定理求dB

【知识拓展】

实际问题中的常用术语

1.仰角和俯角

与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在

水平视线下方叫俯角(如图①).

北

目标视线

•澳一水平线西一

I、目标视线需B

图①图②

2.方向角

相对于某正方向的水平角，如南偏东30。，北偏西45。等.

3.方位角

指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为a（如图②）.

4.坡度（又称坡比）

坡面的垂直高度与水平长度之比.

1.在△ABC中，a=E，b=3,则c的值为（）

A.V3B.273C.3炳D.3

2.在△4BC中，角48,C所对的边分别是Q,he,且c=2acosB,则△4BC的形状为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角二角形D.等腰二角形或直角二角形

3.如图所示，为了测量44处岛屿的距离，小明在。处观测，A,4分别在。处的北偏西15。、北偏东4

5。方向，再往正东方向行驶40海里至。处，观测6在C处的正北方向，/I在。处的北偏西60＞方向，则小

4两处岛屿间的距离为（）

A.20n海里B.40遍海里C.20(1+75)海里D.40海里

4.在△48C中，AC=3,BC=巾，48=2,则48边上的高等于()

A.|B.迺C.—D.2V3

222

5.已知aABC的三边久氏c满足：a3+b3=c3,则此三角形是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定

6.在锐角△A8C中，若百sin4（1+•）=sin8sinC,且HsinC+cosC=2,则Q+b的取值范围是（）

A.（273,4]B.（2,2网C.（0,4]D.（2,4]

7.在△ABC中，内角4B,C所对的分别为〃，6c,下列结沦错误的是（）

A.若a=2,〃=202l,c=2022,则△ASC为钝角三角形

B.若sin24=sin2氏则△4BC是等腰三角形

C.若a：b：c=2：3：4,则△力BC中最小的内角为4且4W（0,力

D.若a=2,c=V6»C=W，则8=称

J1Z

8.在△ABC中，角力，B,C所无•的边分别为“，b,c,若sin。=2V5sin8sin4b=2a,则实数4的最小

值是（）

A.|V3B.|+V3C.2-V3D.2+汽

9.在锐角△4BC中，角A,B,C所对的边分别为4,b,c,己知Q=2加osB,且bHc,则下列命题正确的

有（）个

①力=2B②角B的取值范围是（0,：）

③8sA的取值范围是（0；）就的取值范围是（企,遍）

A.1B.2C.3D.4

10.在面积为S的锐角三角形力8c中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,若5=：。2,则tan/ltanB的最

小值为（）

A.1B.4C.2x/3D.2

11.在△4BC中，角4B.C所对的边分别为a.b,c，下列说法中正确的是（）

A.sin（8+C）=sinA

B.若sinA>sinB,则力>8

C.若acosB-bcosA=c,则△ABC是直角三角形

D.若b=3M=60。，三角形面积S=3百，则三角形的外接圆半径为半

12.在△4?。中，a,b,c分别为乙4乙B,乙C的对边，下列叙述正确的是（）

A.若△月8c为钝角三角形，则。2+〃<。2

B.若△ABC是锐角三角形,则不等式sinA>cosB恒成立

C.a=bsinC+ccosB,则=£

D.若tanA+tanB+tanCV0,则△48C为钝角三角形

13.已知角4B,C是△ABC的三个内角，下列结论一定成立的有()

A.若sin24=sin28,则△力8C是等腰三角形

B.若sin/1>sinB,则>>B

C.若△/BC是锐角三角形，则sinA>cosB

D.若AB=V^，AC=1,B=30°,则△ABC的面积为理或遗

42

14.设△力BC的内角4&C所对的边分别为小氏c,且4一。皂•若。、氏。成等差数列，则cosB=

15.在△/BC中，内角/,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=3,b=4,sin^=则/=.

16.在三角形力BC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,若皿=包£丝=涯，则该三角形周长的最大

ab2

值为.

17.在①=②sin/1=cosJ；③百匕=a(sinC+bcosC),这三个条件中任选一个，补充在下面的

acosA2'，

横线上，并加以解答.

在中，角48C的对边分别是a,b,c,若.(填条件序号)

⑴