中考数学专项练习 二元一次方程组（解析版）

中考数学专题练习二元一次方程组（解析版）

二元一次方程

1.定义

如果一个方程含有两个未知数，并且所含未知数的次数都为1,这样

的整式方程叫做二元一次方程。

使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程

的解。

2.一般形式

ax+by+c=O（a,bWO）。

3.求解方法

利用数的整除特性结合代人排除的方法去求解。（可利用数的尾数特

性，也可利用数的奇偶性。）

二元一次方程组

1.定义

由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程

组。

一般地，二元一次方程组的两个二元一次方程的公共解，叫做二元一

次方程组的解。

2.一般形式

（其中al,a2,bl.b2不同时为零）

3.求解方法

消元法、换元法、设参数法、图像法、解向量法。[1]

解法

编辑

消元法

1）代入消元法

用代入消元法的一般步骤是：

1.选一个系数比较简单的方程进行变形，变成y=ax+b或x=ay

+b的形式；

2.将y=ax+b或x=ay+b代入另一个方程，消去一个未知数，

从而将另一个方程变成一元一次方程；

3.解这个一元一次方程，求出x或y值；

4,将已求出的x或y值代入方程组中的任意一个方程（y=ax+b或

x=ay+b）,求出另一个未知数；

5o把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方

程的解。

例：解方程组：x+y=5①

6x+13y=89②

解：由①得x=5-y③

把③代入②，得6（5-y）+13y=89

得y=59/7

把y=59/7代入③，得x=5-59/7

得x=-24/7

Jx=-24/7

y=59/7为方程组的解

我们把这种通过“代入”消去一个未知数，从而求出方程组的解的

方法叫做代入消元法（eliminationbysubstitution）,简称代入法。

2）加减消元法

①在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反

数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数；

②在二元一次方程组中，若不存在①中的情况，可选择一个适当的数

去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把

方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；

③解这个一元一次方程；

④将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求

另一个未知数的值；

⑤把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程

组的解。

用加减消元法解方程组的的第一种方法

例：解方程组：

x+y=9①

x-y=5②

解：①十②

得：2x=14

/.x=7

把x=7代入①

得：7+尸9

/.y=2

・・・方程组的解是：x=7

y=2

用加减消元法解方程组的的第二种方法

例：解方程组：

x+y=9①

x-y二5②

解：①+②

得：2x=14

x=7

①-②

得：2y=4

・•・y二2

・・.方程组的解是:x=7

y=2

利用等式的性质使方程组中两个方程中的某•个未知数前的系数的

绝对值相等，然后把两个方程相加(或相减)，以消去这个未知数，使方

程只含有一个未知数而得以求解，再代入方程组的其中一个方程。像这种

解二元一次方程组的方法叫做加减消元法(eliminationby

addition-subtraction),简称力口减法。

3)顺序消元法

设二元一次方程组为：

ax+by=c(1)

dx+ey=f(2)

(a,b,d,e是x,y的系数)

若：

♦工(1

,则

卜力X⑴+⑵

得⑶式:

\e——xbjy=f——xc

若⑶式中的

dLn

e—xb*O

a

则可得出求解二元•次方程组的公式：

卜定

A字,

以上过程称为“顺序消元法”，对于多元方程组，求解原理相同。

应为在求解过程中只有数之间的运算，而没有整个式子的运算，因此

这种方法被广泛地用于计算机中。⑵

换元法

例2,(+n=8

m-n=4

解得m=6,n=2

所以x+5=6,y-4=2

所以x=l,y=6

特点：两方程中都含有相同的代数式，如题中的x+5,y-4之类，换元

后可简化方程也是主要原因。

设参数法

例3,x:y=l:4

5x+6y=29

令x=t,y=4t

方程2可写为：5t+6*4t=29

29t=29

t=l

所以x=l,y=4

二元一次方程组推导过程：

(alxfblv=H；02x+b2y=k2]

alx=H-Mv;a2x=^2-b2v

alx_H-bly

alx-k2-b2v

^x(k2-b2y)=Jtl-blj;

李一[xb2yHi-bly

_伏「盟2)

在最后式中只有一个y未知数，求出y值(y=?)，再代入alx+bly=kl；

求出Xo

例题:

|3x+y=2

|4x>2y=0

y=(2-3/4*0)/(l-3/4*2)=2/(-1/2)=-4

3x-4=2或4x-8=0x=2

推导简易方程：

(xl+vl=l;x2+v2=l)

xl=l；yl=0;x2=O;yl=l;xlyl=I;x2p2=0

xl=y2;x2=yl

方程二0；未知数0；1

图像法

二元一次方程组还可以用做图像的方法，即将相应二元一次方程改写

成一次函数的表达式在同坐标系内画出图像，两条直线的交点坐标即二元

一次方程组的解。

解向量法

今有一二元一次方程组

cx^dy-f

设矩阵

“=(")

,向量

(;)

和

(;)

,根据矩阵和向量的乘积定义，再对比方程组可知有以下关系:

(;)

=，)

②

我们把②称作方程组①的矩阵形式

而矩阵A可看做是一次线性变换p,即把向量

(;)

按照线性变换P变换之后得到向量

(;)

O囚此解方程的过程可看做是寻找一个向量

(;)

,使它经过线性变换P之后得到

(;)

O因为这是寻找一个向量的过程，所以又可以称之为解向量。

从直观上来理解上面那句话。例如把一个向量a逆时针旋转30。得到

一个新的向量b,那么把b顺时针旋转30°之后，一定可以得到再比

如把一个向量a的横纵坐标都扩大n倍之后得到向量b,那么把b的横纵

坐标都缩小n倍之后，一定也可以得到a。因此，在已知b以及线性变换

关系的情况下求出的a就是方程的解。

矩阵A和它的逆矩阵

对应的线性变换互逆，所以解向量的过程相当于是寻找矩阵

(:力

的逆矩阵。而根据矩阵的性质，一个矩阵

(")

有逆矩阵的充要条件是二阶行列式

lab

kd

二ad-bcWO.所以，方程组有解的充要条件就是ad-bc^O.

根据逆矩阵的求法，

的逆矩阵为

(;)

A-

(;)

la

该方法亦可作为二元一次方程组的求根公式。(前提是ad-beWO!)

例题：用解向量法解二元一次方程组

13x*y=2

|4x+2>'=0

此题中，a=3,b=l,c=4,d=2,e=2,f=0,ad-bc=3*2T*4=2W0

.・・方程组有解，解为

x=(de-bf)/(ad-bc)=(2*2-1*0)/2=2

y=(af-ce)/(ad-bc)=(3*0-4*2)/2=-4⑶

区别

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与一元二次方程的区别

1.定义及一般形式：

2.解法：⑴直接开平方法（注意特征）

⑵配方法（注意步骤一推倒求根公式）

⑶公式法：

⑷因式分解法（特征：左边=0）

3.根的判别式：

4.根与系数顶的关系：

逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：。

5.常用等式：

⑵基本思想：

⑶基本解法：

①乘方法（注意技巧！！）

②换元法（例，）

X-Y=Y-1

例题

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1.某水库计划向甲.乙两地送水，甲地需水180万立方米，乙地需水

120万立方米，现已经送了两次，第一次往甲地送水3天，乙地送水2天，

共送水84万立方米；第二次往甲地送水2天，乙地送水3天，共送水81

万立方米。若按这样的进度送水，问：完成往甲.乙两地送水任务还各需

多少天？

设：住甲，乙送水的速度分别为X和Y

3X+2Y=84

2X+3Y=81解得X=18Y=15

甲地还要180/18-5=5天乙地还要120/15-5=3天

2.一学生问老师：“您今年多大年龄？”老师风趣地说：“我像你这

么大的时候，你才出生，你到我这么大的时候，我已经37岁了。”请问

这位老师和学生的年龄各多少岁？

设：老师和学生的年龄各X,Y岁

X+X-Y=37解得X=25Y=13

其它

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注意

二元一次方程组不一定都是由两个二元一次方程合在一起组成的！不

止限制于一种。

也可以由一个或多个二元一次方程单独组成。

重点：一元一次、一元二次方程，二元一次方程组的解法；方程的有

关应用题（特别是行程、工程问题）

依据一等式性质

1.a=b--*a+c=b+c

2.a=b——ac=be（c>0）

列方程（组）解应用题

・概述

列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。其具体

步骤是：

⑵设元（未知数）。①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系

给出），列方程。一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问

题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方

程、写出答案）。在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。因此，列

方程是解应用题的关键。

二常用的相等关系

1.行程问题（匀速运动）

基本关系：s=vt

⑴相遇问题