2026-2027学年北师大版八年级数学上册期末复习（一）勾股定理

期末复习（一）勾股定理

01知识结构图

02重难点突破

重娃点1勾股定理与折叠

[例1]如图，在长方形纸片ABCD中,AB=12,BC=5点E在AB上,将△DAE沿DE折叠，使点A落在

对角线BD上的点F处.则AE的长为

【思路点拨】设AE二EF=x.JOBE=12-x,在RsBEF中,由勾股定理列方程求解即可.

方法指导

抓住图形的'直观性”和折叠前后的“不变性''是解决折叠问题的关键利用勾股定理中三边的数量关系列方程是

解决此类问题的常用手段.

变式训练

1.如图，在长方形ABCD中点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点

F处.若AE=5,BF=3期」CD的长为—.

4...................5D

B'F

重难点2勾股定理的实际应用

［例2］如图，地面上放着一个小凳子，点A距离墙面40cm，在图1中，一根细长的木杆一端与墙角重合，

木杆靠在点A处，OA=50cm；在图2中，木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上点C处.

⑴求小凳子的高度.

(2诺0090cm,木杆的长BC比AB长60cm,求木杆的长BC和小凳子座板的宽AB.

【思路点拨】(1)过点A作AM垂直于墙面，垂足为M,根据勾股定理解答即可；

(2)延长BA交墙面于点N，根据勾股定理解答即可.

【解答】

方法指导

构造直角三角形，利用直角三角形三边的关系解决生活中的问题是解题的关键.

变式训练

2.图1是某超市的购物车，图2是其侧面简化示意图，测得支架AC=8,AB=6,两轮中心的距离BC=IO,滚轮半径

r=2.

(1阴」断4ABC的形状，并说明理由.

(2诺购物车上篮子的左边缘D与点A的距离AD=13,AE=5且AE_LDE,AE和BC都与地面平行，求购物车

上篮子的左边缘D到地面的距离.

图2

03复习自测

一、选择题（每小题4分，共28分）

1.下列各组数分别为三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的一组是()

A.3,4,5B.4,5,6

D.9,12,15

2.如图，直角三角形中未知边的长x=（)

A.V5B.V7C.5D.7

D

第2题图第4题图

3.如图，以数轴的单位长度为边作一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线的长为半径画弧，交数

轴正半轴于点A,则点A表示的数是

01A2

A-5B.V2C.V3D.1.4

4.如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：先测量门的边AB和B

C的长，再测量点A和点C间的距离，由此可推断NB是否为直角，这样做的依据是

A.勾股定理

B.勾股定理的逆定理

C.三角形内角和定理

D.直角三角形的两锐角互余

5.如图，在△ABC中,AB=AC,AB=5,BC=8厕该三角形的面积为

A.I2B.6C.10D.8

6.如图在RtAABC41,ZC=90°,AB=10,BC=8.BD平分/ABC交AC于点D,DE±AB于点E,则线段CD的长为

A.3B.yC.2D.j

7.如图，将两个形状、大小完全相同的^ABC和^ABC拼在一起,其中点A与点A重合点C落在边AB

上，连接BC若NACB=/ACB=9()0,AC=BC=3,则BC的长为()

A.3V3B.6C.3V2

(/)/

第8题图

8.如图，正方形ABCD的边长为4,其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角

形的一条直角边为边向夕M乍正方形，其面积标记为S2……按照此规律继续下去，则S2O23的值为()

4矿8&矿。

C矿’。矿，

二、填空题(每小题5分，共30分)

9.在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0,9),点B的坐标是(-12,0),则A,B两点间的距离是______.

lOffiAABC中.若JC2+J52=5C2,]jl!JZB+ZC=.

11如图湖的两岸有A,C两点,取一点B,使BCJ_AC，且BC=12米测得AB=15米,BC=12米，则A,C两点间

12如图，在2x2的方格中每个小正方形的边长为2,则阴影正方形的边长的整数部分是

13如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1.“马”从图中的位置出发，不走重复路线，按照“马走日”的

14有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm.高AB=50cm,水深AE=40cm,在水面上紧

贴内壁的G处有一块面包屑.G在水面线EF上.且FG=30cm,一只蚂蚁想从鱼缸外的点A沿鱼缸壁爬进鱼缸内

的G处吃面包屑则蚂蚁爬行的最短路程为cm.

三、解答题（共42分）

15（8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,点A,B,C,D都在格点上.

（1）线段AB的长是________.

（2）在图中画出一条线段EF,使EF的长为E判断AB,CD,EF三条线段的长能否成为一个直角三角形的

三边长，并说明理由.

16（10分）如图,直线1为一条公路，八，口处有两个村庄小8_11于点B.DCL于点C,AB=8千米,BC=16千米,

CD=12千米.现需要在BC上建立一个物资调运站E,使得E到A.D两个村庄的距离相等，请求出此时E到B

的距离

17.（12分）如图,△ACB和^ECD都是等腰直角三角形,NACB=NECD=9（）o,D为边AB上一点.求证：

(1)△ACE^ABCD.

CB

⑵AN+DB'DE?.

18(12分)定义:如图.点M.N把线段AB分割成AM.MN.NB.若以AM.MN.NB为边的三角形是一个直角二角

形，则称点M,N是线段AB的勾股分割点.

⑴已知点M.N把线段AB分割成AM,MN,NB,若AM=2,MN=4,BN=2则点M,N是线段AB的勾股分割点

吗。请说明理由.

(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=12,AM=5,则BN=.

I-------------1——A,I

AMNB

3

【例2】（1）过点A作AM垂直于墙面，垂足为M,根据题意，得AM=

40cm,在RtAAOM中,OM2=AO1-AM2=5O2-4O2=900.AOM=

30cm.客：凳子的高度为30cm.（2）延KBA交墙面于点N•则/3NC=

90°,设AB=xcm,则CB=（z+60）cm.BN=U+40）cm,CN=90-30=

60（cm）,在RtABCN中.BN」+CN:=BC2，即（40+卫＞+602=

（60+］〉，解得i=40.，AB=40cm,BC=100cm.・,•木杆的长BC为

100cm,小凳子座板的宽AB为40cm.

变式训练

1.9

2.解：（DZSA3c为直角三角形，理由如下：・・・AC=8,AB=6.BC=10,・・・

BCZ=AC2+AB?..・.aABC是宜角三角形.（2）/AD=13,AE=5,且

AE，DE,・,•由勾股定理•可得DE=JAD-—13‘-5’=12.由

（1）得.△ABC是直角三角形.二边BC上的高为'%纯=*一

4.8.・・•滚轮半径「=2,・,•购物车上篮子的左边缘D到地面的距离为12

+4.8+2=18.8.

复习自测

1.B2,B3.B4.B5.A6.D7.A8.A9.1510.90°11.9

12.213.7214.10/6l

15.解：（1）痣（2）图略，A8.CD,EF三条线段的长能成为一个直角三角

形的三边长.理由：・・・ABZ=（&yn5,CD?=8.EF2=13,・・・A32+CD2

=EF2.：.AB,CD.EF三条线段的长能成为一个fi角三角形的三边

长.

16.解：设BE=H千米，则CE=（16—工）千米・・・・AB_U于点B,DCL于

点C,・・・ZABE=/DCE=90。.・•・EA2=AB2+BE2,E。=CD2+

lEtYE到A,D两个村庄的距离相等.・・・EA=ED.・・・七万=七。・・・・

ABZ+BE^Ciy+CE2,即8，+/=122+（16——I解得x=10.5.

答：此时