专项08 二元一次方程组及其解法-重难点题型

二元一次方程组及其解法-重难点题型

【知识点1二元一次方程（组）的概念】

1、二元一次方程

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组

含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

【题型1二元一次方程（组）的概念】

【例11（常德期末）若方程（»-1）/-3）"2。25=5是关于％,），的二元一次方程，则心=.

5

【变式1-1］（平凉期末）方程组Fl，二D：、=Q是关于X,J，的二元一次方程组，则/的值是.

【变式1-2】（长宁县月考）已知方程组二，7-3）弓小刃-2二1是二元一次方程组，求小的值

（（m+l）x=-2

【变式1-3］（自贡期末）已知关于x、y的方程（F-4），+（-2）x+（A-6）y=A+8,

试问：①当々为何值时此方程为一元一次方程？

②当k为何值时此方程为二元一次方程？

【知识点2二元一次方程（组）的解】

3、二元一次方程的解

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

4、二元一次方程组的解

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

5、二元一次方程组的解法

（I）代入（消元）法（2）加减（消元）法

【题型2二元一次方程（组）的解】

【例2】（开福区月考）已知关于x,y的二元一次方程组｛黑1/二;°的解中x,），均为整数，且，〃为正

整数，则m27的值为（）

A.3或48B.3C.4或49D.48

【变式2-1］（竦州市期末）关于达），的二元一次方程组£+的解也是二元一次方程2x+y=l6的

（X—V—

解，则攵的值为.

【变式2-2］（遂宁期末）关于x,y的二元一次方程2r+3），=12的非负整数解有组.

【变式2-3］（永定区期中）若j是二元一次方程心-力=5和3+2何，=8的公共解，求b-2〃的值.

【题型3构建二元一次方程组】

【例3】（江津区期末）如果|x-y-3|+（x+3y+l）2=0,那么工，y的值为（)

x=2x=-1x=-2

,7=2y=-iy=-2y=-1

【变式3-1］（奉贤区三模）如果单项式/用F与2019泮+〃/是司类项，那么〃什〃的算术平方根是.

【变式3-2】（海陵区期末）已知。、力都是有理数，观察表中的运算，则机=.

a、b的运算a+ba-b（tz+2/?）3

运算的结果59m

【变式3-3］（三门峡期末）对于有理数达），，定义一种新运算：1e），=3+b・5,其中小力为常数.已

知1©2=9,（-3）㊉3=-2,贝ij2a-b=.

【题型4整体换元求值】

【例4】（绥棱县期末）已知x,y满足方程组二fl，，则llx+Uy的值为（）

A.-22B.22C.\\mD.14

【变式4-1】（安徽二模）若/・），2=2（）21,且x・），=l.则工=.

【变式4-2］（自贡期末）阅读以卜.材料：

解方程组匕7一、1=0小.

〔40-y）-y=5②

解：由①得x・y=l③，将③代入②得4X1・），=5,解得产・1；

把y=-1代入①解得号;0_r这种方法称为“整体代入法”.

2x-y-2=0@

请你用这种方法解方程组6x-3y+4

-----—+2y=12（2；

【变式4-3】（福州期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组+??=3幺时，采用了一种，，整体

4x+lly=5@

代换”的解法:

解：将方程②变形：4x+10y+），=5即2（2x+5y）+），=5③,

把方程①代入③得：2X3+y=5,

把y=-1代入①得x=4,

..・方程组的解为J二:

请你解决以下问题:

3x-2y=5®

（）模仿小军的“整体代换”法解方程组

19%-4y=19②;

⑵已知x,y满足方程组（了；一2"'：1-2=乂①，求/+4』与孙的值；

（3）在（2）的条件下，写出这个方程组的所有整数解.

【题型5由方程组的错解问题求参数的值】

【例5】（定州市校级期末）解方程组｛；：二；；二〉，一学生把c看错而得［J二2,正确的解是后二：2,

那么a、b、c的值是（）

A.不能确定R.”=4,b=5,c=-2

C.a,人不能确定，c=-2D.a=4,b=l,c=2

【变式5-1】（牡丹江期中）甲乙两人解方程组+Sy=15,由于甲看错了方程①中的①而得到

（4x-by=-2,②

方程组的解为乙看错了方程②中的4而得到的解为则〃+8=.

【变式5-2］（青川县期末）解关于弟），的方程组”:1?二?2时，甲正确地解出片二:乙因为把°

I。人y4\.yY

抄错了，误解为C二ti，求〃，b,c的值.

【变式5-3］（祁江区期末）小明和小红同解同一个方程组时，小红不慎将一滴墨水滴在了题目上使得方

程组的系数看不清了，显示如下仁（1）同桌的小明说：“我正确的求出这个方程组的解

为而小红说：“我求出的解是于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第

二个方程中x的系数所致"，请你根据他们的对话，把原方程组还原出来.

【题型6根据方程组解的个数求参数】

【例6】（江夏区期末）如果关于x,1y的方程组—2的解是正数，那。的取值范围是（）

A.-4<«<5B.a>5C.a<-4D.无解

【变式6-1】（锦江区校级期中）若方程组密工：\有无数组解.，则a+b=（）

+by=z

A.2B.3C.-1D.0

【变式6-2］（仓山区期中）关于x,y的方程（〃?-1）x+4y=2和3x+（n+3）y=1,下列说法正确的

有.（写出所有正确的序号）

①当〃?=］,〃=-3时，由这两个方程组成的二元一次方程组无解；

②当〃?=1且〃W・3时，由这两个方程组成的二元一次方程组有解；

③当〃?=7,〃=-1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有无数个解：

④当m-7且〃V-1时，由这两个方程组成的二元一次方程组有且只有一个解.

【变式6-3】（汉寿县期中）阅读下列材料，解答下面的问题；

我们知道方程2x+3），=12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解.

例：由2x+3.y=12,得：尸丝产=4一泵（工、），为正整数）.要使尸4一发为正整数，则彳为正整数,

可知：x为3的倍数，从而x=3,代入y=4-鼠=2.所以2r+3y=12的正整数解为;

问题：

（1）请你直接写出方程3A+2V=8的正整数解_｛；:

（2）若二为自然数，则满足条件的正整数x的值有_____________________

x-3

A.3个从4个C.5个£>.6个

（3）关于小y的二元一次方程组的解是正整数，求整数A的值.

二元一次方程组及其解法一重难点题型（解析版）

【知识点1二元一次方程（组）的概念】

1、二元一次方程

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程组

含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

【题型1二元一次方程（组）的概念】

【例11（常德期末）若方程（«-1）3）"2。25=5是关于％,），的二元一次方程，则心=1.

【解题思路】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程.

【解答过程】解：由方程（〃・1）阴・3产2025=5是关于第y的二元一次方程,

得|川=1且，L1W0；771-2025=1.

解得〃=-1,^=2026.

加=（-1）2026=］,

故答案为：1.

【变式1-1］（平凉期末）方程组匕「‘二1）：、=5°是关于X,y的二元一次方程组，则成的值是

（严|+（b—5）xy=3—

1.

【解题思路】利用二元一次方程组的定义确定出。与/，的值，代入原式计算即可得到结果.

【解答过程】解：由题意得：同=1,〃・5=0,“7W0,

解得：a=-\,b=5,

则原式=（-1）5=-I.

故答案为：-1.

【变式1-2】（长宁县月考）已知方程组8”二，7-3）丫血-2|-2=1是二元一次方程组，求机的值.

【解题思路】根据二元一次方程组的定义得到旧"2|-2=1,且〃L3#0、〃汁1#（）.由此可以求得

的值.

【解答过程】解：依题意，得

\m-2|-2=1,且阳・3工0、阳+1W0,

解得m=5.

故，〃的值是5.

【变式1-3］（自贡期末）己知关于x、1y的方程（必-4）F十（&+2）/（A-6）y=k+S,

试问：①当k为何值时此方程为一元一次方程？

②当k为何值时此方程为二元一次方程？

【解题思路】（1）若方程为关于X、y的一元一次方程，则二次项系数应为0,然后X或）:的系数中有

一个为0，另一个不为0即可.

（2）若方程为关于X、），的二元一次方程，则二次项系数应为。且x或.y的系数不为0.

【解答过程】解：（I）因为方程为关于x、y的一元一次方程，所以：

伍2―4=0

①,+2=0，解得k=-2；

"-6Ho

仅2-4=0

②桢+2H0，无解，

U-6=0

所以2=・2时，方程为一元一次方程.

（k2-4=0

（2）根据二元一次方程的定义可知2,0，解得氏=2,

"-6A0

所以后=2时，方程为二元一次方程.

【知识点2二元一次方程（组）的解】

3、二元一次方程的解

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

4、二元一次方程组的解

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

5、二元一次方程组的解法

（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法

【题型2二元一次方程（组）的解】

【例2】（开福区月考）己知关于x,y的二元一次方程组［霆）的解中心y均为整数，且，〃为正

整数，则加27的值为（）

A.3或48B.3C.4或49D.48

【解题思路】先求解二元一次方程组得.口黑，再由x是整数，，〃为正整数，可得3+，〃=10或3+〃?

•DIill

=5,求出，〃的值，再验证y值是否符合，即可求解.

【解答过程】解：｛黑覆品器

①।②，得3x।/nx=10>

合并同类项，得（3+加）x=10,

解得户养？

•・"是整数，〃，为正整数，

.,.3+〃7>3,

.*.3+m=10或3+〃？=5，

m=l或m=2,

当〃?=7时，x=l,y=!（舍），

当〃?=2时，x=2,y=3,

nr-1=3,

故选：B.

【变式2-1］（球州市期末）关于弟），的二元一次方程组『+,屋你解也是二元一次方程2A+），=16的

解,则A的值为1.

【解题思路】将方程组中两个方程相加得，2r=14k,相减得2y=软，再由2什），=16,即可求k.

【解答过程】解:卜+'=

{x-y=5k（2）

①+②得，2x=14攵，

①-②得，2y-4k,

：.y=2k,

V2v+y=16,

工164=16,

:・k=l,

故答案为1.

【变式2-2］（遂宁期末）关于x,），的二兀一次方程2r+3），=12的非负整数解有3组.

【解题思路】将x=0,1,2,分别代入2r+3y=12,求出二元一次方程2x+3y=12的非负整数解有

多少组即可.

【解答过程】解：当工=0时，方程2x+3y=12变形为3y=12,解得y=4；

当x=3时，方程2计3y=12变形为6+3y=12,解得y=2；

当x=6时，方程2%+3y=12变形为12+3y=12,解得>=0；

・•・关于x,y的二元一次方程〃+3），=12的非负整数解有3组：［二:、二;和3二:

故答案为；3.

【变式2-3］（永定区期中）若｛；二:是二元一次方程奴-勿=5和办+2力=8的公共解，求6-2〃的值.

【解题思路】将二:分别代入ar-b），=5和or+2〃y=2,得到关于公6的二元一次方程组，解方程组

求出。、〃的值，再代入所求式子计算即可.

【解答过程】解：将C二:分别代入or■b=5和3+2办=2得：（2«+2/7=8，

解得:K=r

：,b-2a=\-2X3=-5.

【题型3构建二元一次方程组】

【例3】（江津区期末）如果|x-y-3|+（x+3y+l）2=0,那么工，y的值为（）

"ly=2,ly=T［y=-2>（y=-1

【解题思路】根据绝对值和偶次方的非负性得出方程组，再求出方程组的解即可.

【解答过程】解:・・小-），-3|+（x+3y+l）2=（）,

.*.x-y-3=0且x+3y+l=0,

Gp［x-y=3©

U+3y=-l@

②-①，得4y=-4,

解得：y=-1,

把y=-l代入①，得x+l=3,

解得：x=2,

K：-r

故选：B.

【变式3-1］（奉贤区三模）如果单项式产严一〃与2019.E，*是司类项，那么小+〃的算术平方根是2.

【解题思路】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程组［6十八二）求出

〃，机的值，进而求出〃?+〃的值，再根据算术平方根的定义计算即可.

【解答过程】解：•・•单项式引产一”与2019廿+勺2是同类项,

,（m+n=4

,vm—n=2,

・•・，〃+〃的算术平方根是2.

故答案为：2.

【变式3-2】(海陵区期末)己知小〃都是有理数，观察表中的运算，则少=27.

。、〃的运算a+ba-b(a+2b)3

运算的结果59m

【解题思路】先根据表格得出方程组求出方程组的解.，再代入加=(〃+26)3求出机即可.

【解答过程】解：根据题意得：『+?=?，

解得:―，

所以〃?=(4+2/?)3=(7+2X(-2)]3=27,

故答案为：27.

【变式3-3](三门峡期末)对于有理数x,/定义一种新运算：.103，="+力-5,其中〃，占为常数.已

知1㊉2=9,(-3)㊉3=-2,则2a-b=3.

【解题思路】先根据新运算得出方程组，求出方程组的解，最后代入求出答案即可.

【解答过程】解：・门㊉2=9,(-3)㊉3=-2,

.a+2b—5=9①

•1-3Q+3b-5=-2②’

①X3+②，得9〃-20=25,

解得：b=5,

把匕=5代入①，得a+10・5=9,

解得：a=4,

所以2a-〃=2X4-5=3,

故答案为：3.

【题型4整体换元求值】

【例4】(绥棱县期末)已知-V满足方程组二二叱则11%+Uy的值为()

A.-22B.22C.WinD.14

【解题思路】两方程相加，可得x+y=-2,再乘以11可得结论.

【解答过程】解：伫+?=血一父①，

(5x+2y=

①+②得：7x+7y=-14,

x+y=-2,

：.\lx+\\y=-22,

故选:A.

【变式4-1】（安徽二模）若，-/=2021,且xy=l.则尸1011.

【解题思路】利用平方差公式求出X+），的值，联立求出x的值即可.

【解答过程】解：：/-y2=（x+y）（x-y）=2021,且x-y=l,

•••x+y=20219

联立得：卜+y=2氏i①，

（x-y=l@

①+②得：2r=2022,

解得：x=l（）ll.

故答案为：1011.

【变式4-2]（自贡期末）阅读以下材料•：

解方程组-y-1=°®^.

[4Q-y）-y=5@

解：由①得x7=1③，将③代入②得4X1・y=5,解得y=・l；

把y=-1代入①解得仁二：i，这种方法称为“整体代入法”.

2x-y—2=0①

请你用这种方法解方程组6x-3y+4三

―—+2y=12②

【解题思路】由第一个方程求出2x-3），的值，代入第二个方程求出），的值，进而求出x的值，即可确

定出方程组的解.

【解答过程】解：由①得：2”尸2③，

将③代入②得Sa"?"4+2）：=]2,即），=5,

将y=5代入③得：x=3.5

则方程组的解为后二真

【变式4-3】（福州期末）阅读材料：善于思考的小军在解方程组I2”+S?=3&时，采用了一种，，整体

4x+lly=5（2）

代换”的解法：

解：将方程②变形：4x+10y+y=5即2（2t+5y）+），=5③,

把方程①代入③得：2X3+），=5,

把）二・1代入①得x=4,

x=4

・•・方程组的解为

V=-1

请你解决以下问题:

(D模仿小军的“整体代换”法解方程组一R="

(9x-4y=19@

(2)已知x,)，满足方程组代一2砂+1'=文①，求A『与个的值；

(3)在(2)的条件下，写出这个方程组的所有整数解.

【解题思路】(1)把第2个方程变形为力+2(3x-2))=19,则利用整体代换消去)，，求出x的值,

然后利用代入法求出y得到方程组的解；

(2)对方程组进行变形.则利用整体代换求出外的值,把xy的值代入第一个方程.得小+4)，2：

(3)确定符合孙=2的所有整数解，然后对/+4『=17进行验证，从而求解.

【解答过程】解：⑴严一”:幺，

(9x-4y=19@

将方程②变形，3x+6.r-4y=19,即3x+2(3x-2y)=19③，

把方程①代入③，得：3x+2X5=19,解得：x=3,

把x=3代入①，得：3X3-2y=5,解得：y=2,

・•・方程组的解为忧;；

(3x2-2xy+12y2=47©

(2x2+xy+8y2=36@'

f(x2+4v2)-学^=*③

将方程组变形，得：《33^,

((7+4y2)+多=18©

将④-③,得：/=:,解得：孙=2,

将孙=2代入④,得:7+4)41=18,

.\x2+4y2=17；

，7+4)2的值为17,孙的值为2；

(3)由(2)可得不，=2,

当”均为整数时，号：;或二期;：强忧二

当x=1,y=2时，/+4)2=17,

当x=-1,y=-2时，x2+4y2=17,

当x=2,y=l时，/+4J，2=8W17,(故舍去)，

当x=-2,y=-l时，/+4/=8/17,(故舍去)，

・••在(2)的条件下，这个方程组的所有整数解为仁:；或匕二二；.

【题型5由方程组的错解问题求参数的值】

【例5】（定州市校级期末）解方程组e：+黑、时，一学生把C•看错而得片：；2,止确的解是片

那么4、b、C的值是（）

A.不能确定B.a=4,b=5,c=-2

C.a,。不能确定，c=-2D.a=4,b=7,c=2

【解题思路】把［二：2代入方程”-7y=8得3c・7义（-2）=8,求得c,把仁二和［二分别

代入方程〃什勿=2得代入方程，建立〃、人的方程组求得〃、〃即可.

【解答过程】解：把［J：：2代入方程5-7）=8得3。-7乂（-2）=8,

解得c=-2,

把忧噌：「分别代入方程血力=2得｛噂m

解得：a=4,0=5.

故选：B.

【变式57】（牡丹江期中）甲乙两人解方程组仁：；二；为由于甲看错了方程①中的〃，而得到

方程组的解为［:二:，乙看错了方程②中的4而得到的解为｛；二：，则9.

【解题思路】甲看错了。，可把甲的解代入②求得儿乙看错了儿则可把乙的解代入①，可求得a的

值，可求得。+力的值.

【解答过程】解：・・・甲看错了方程①中的小而得到方程组的解为

［代入②，可得-4X3+b=-2,解得力=10,

一1

•・•乙看错了方程②中的〃，而得到的解为C二:

，可把｛；二:代入①，可得到”+4X5=15,解得。=7,

,\a+h=-1+10=9.

故答案为：9.

【变式5-2］（青川县期末）解关于x,），的方程组+"y=9时，甲正确地解出匕：；乙因为把c

（3x—cy=—2.（y=4

抄错了，误解为Citi，求。，4C的值.

【解题思路】把甲的结果代入方程组求出C的值，以及关于〃与。的方程，再将已知的结果代入第一个

方程得到关于。与力的方程，联立求出。与〃的值即可.

【解答过程】解：把匕二:代入方程组得：弓匕:）二;

解得：c=2,

把［J二tl代入方程组中第一个方程得：4〃-〃=9,

联立得：夕+¥工9，

14a—b=9

解得：£=泸，

3=1

则4=2.5,b=1,c=2.

【变式5-3］（祁江区期末）小明和小红同解同一个方程组时，小红不慎将一滴墨水滴在了题目上使得方

程组的系数看不清了，显示如下噜"+广'：2（1）同桌的小明说：“我正确的求出这个方程组的解

为］；二：2"'而小红说：“我求出的解是于是小红检查后发现，这是她看错了方程组中第

二个方程中x的系数所致"，请你根据他们的对话，把原方程组还原出来.

【解题思路】设原方程组为黑：/二；富，把后二：2代入②，求出°把;：2和2代入①,

得出方程组，求出〃、力的值，即可得出答案.

【解答过程】解：设原方程组为俨+?二双，

卜-7y=8②

把3二：2代入②得：3c叶14=8,

解得：c=-2,

把忧5和忧『代入①得CM七2，

解得：。=4,6=5,

即原方程组为修邙;二

【题型6根据方程组解的个数求参数】

【例6】（江夏区期末）如果关于x,y的方程组的解是正数，那。的取值范围是（）

A.-4<d<5B.a>5C.a<-4D.无解

【解题思路】将a看做已知数求出方程组的解表示出x与），，根据x与），都为正数，取出a的范围即可.

_。+4

【解答过程】解：解方程组>得：I”—

lx—zv=a-z5—a

{y=—

•••方程组的解为正数,

・唇〉。’

解得：-4VaV5,

故选：A.

【变式6-1】(锦江区校级期中)若方程组有无数组解.，则a+b=()

v■x十oy—L

A.2B.3C.-ID.0

【解题思路】方程组til：：:有无数组解，得出关于。，〃的等式，再根据题意求得。、儿进而即

可求得结果.

【解答过程】解：由关于X,)，的方程组卜"一：=12,

(4x+by=2(2)

①X2-②得：(2A-4)x+(-2-b)y=0,

•・•方程组有无数组解，

・・・2。-4=0,-2-b=0,

解得：a=2,b=-2,

/.tz+/?=O»

故