数论初步（三）最大公因数与最小公倍数-六年级奥数培优讲义

六年级奥数培优讲义：第23讲数论初步(三)最大公因数

与最小公倍数

f知识山梳理I

一、核心概念与公式

1.最大公因数(GCD)

基本概念：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最

大公因数。若a、b的最大公因数是d,记作gcd(a,b)=d。

核心求法：

①列举法：列出各数的因数，找出公有因数中最大的。

②分解质因数法：将各数分解质因数，取公有质因数的最低次幕相乘。

例：Q=18=2x32,b=24=23x3,则gcd(18,24)=2x3=6。

③短除法：用公有质因数依次去除各数，直到商互质，所有除数的乘积即为最大公因

数。

特殊情况：

若a是b的倍数(Q>b),则gcd(a,b)=匕(如gcd(8,4)=4)。

若a、b互质(公因数只有1),则gcd(a,b)=l(如gcd(3,5)=1)。

2.最小公倍数(LCM)

基本概念：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最

小公倍数。若a、b的最小公倍数是m,记作1cm(a,b)=m。

核心求法：

①列举法：列出各数的倍数，找出公有倍数中最小的。

②分解质因数法：将各数分解质因数，取公有质因数的最高次幕和各自独有质因数的乘

积。

32

例：Q=18=2x32,b=24=23x3,则lcm(18,24)=2x3=72。

③短除法：用公有质因数依次去除各数，直到商互质，所有除数和商的乘积即为最小公

倍数。

特殊情况：

若a是匕的倍数（Q>匕），则lcm（a,b）=Q（如lcm（8,4）=8）。

若Q、b互质（公因数只有1）,则lcm（a,b）=axb（如lcm（3,5）=15）。

3.最大公因数与最小公倍数的关系

核心公式：对于任意两个正整数a、b,有axb=gcd（a,b）xlcm（a,b）0

推导：设gcd（a,b）=d,则。=4乂7?1,b=dxn（m>几互质），故lcm（a,b）=dxmx九,

因此Qxb=dxmxdxn=d2xmxn=gcd（a,b）xlcm（a,b）。

二、核心题型与技巧

题型1：求两个数的最大公因数和最小公倍数（分解质因数法/短除法）

技巧：分解质因数后，最大公因数取公有质因数最低次幕相乘，最小公倍数取公有质因

数最高次辱和独有质因数相乘；短除法中，最大公因数是除数乘积，最小公倍数是除数和

商的乘积。

公式：

最大公因数=公有质因数最低次累的乘积

最小公倍数=公有质因数最高次累X各自独有质因数

题型2：求三个数的最大公因数和最小公倍数（短除法）

技巧：

求最大公因数：用三个数的公有质因数依次去除，直到至少有两个数互质，除数乘积即为

结果（若三个数互质，结果为1）o

求最小公倍数：先用三个数的公有质因数去除，再用两个数的公有质因数去除，直到商两

两互质，所有除数和商的乘积即为结果。

题型3：利用最大公因数解决实际问题（“最多”“最大”类）

技巧：问题中出现“最多分成几组”“最大边长”“最长每段”等关键词时，通常求最

大公因数。

公式：所求量-总数+最大公因数（或直接为最大公因数，根据题意）。

题型4：利用最小公倍数解决实际问题（“至少”“最少”类）

技巧：问题中出现“至少多少时间后再次同时”“最少多少数量”“至少需要多少块”

等关键词时，通常求最小公倍数。

公式：所求量=最小公倍数（或根据题意计算）。

题型5：已知最大公因数和最小公倍数求原数

技巧：设两个数的最大公因数为d,则两数可表示为dxm和dxn（m、九互质），根据

lcm（a,b）=dxmxn,可得mx九=lcm（a,b）+d,求出互质的m、几即可得原数。

三、常见错误提醒

1.混淆定义：误将“公有因数中最大的”当成最小公倍数，或“公有倍数中最小的”当

成最大公因数（如求12和18的最大公因数，错答36）。

2.短除法步骤错误：求三个数的最小公倍数时，未除到商两两互质或漏乘除数/商（如求

12、18、24的最小公倍数，只乘第一次除数，错答2x3x6x9x12）。

3.忽略特殊情况：

两个数成倍数关系时，错将最大公因数当成较大数，最小公倍数当成较小数（如2和6,

错答gcd=6,1cm=2）；

互质数时，错将最大公因数当成乘积，最小公倍数当成1（如3和5,错答gcd=15,1cm=

1）o

4.公式滥用：对三个及以上数，错误套用Qxbxc=gcd（Q,瓦c）xlcm（a,仇c）（公式仅适

用于两个数）。

5.实际问题理解错误：“最多”对应最大公因数却用最小公倍数，“至少”对应最小公

倍数却用最大公因数（如“最多分几组”用了最小公倍数导致组数过多）。

「例题讲解fI

一、求两个数的最大公因数和最小公倍数

例题1：用分解质因数法求30和42的最大公因数和最小公倍数。

答案:gcd=6,1cm=210

解析：

分解质因数：30=2x3x5,42=2x3x7；

最大公因数：公有质因数最低次幕相乘，即2x3=6；

最小公倍数：公有质因数最高次暴（2、3）和独有质因数（5、7）相乘，即2x3x5x7=

210«

跟踪练习1：用短除法求28和40的最大公因数和最小公倍数。

答案：gcd=4,1cm=280

解析：短除法中，先用2除得商14、20,再用2除得商7、10（互质）。gcd=2x2=4,

1cm=2x2x7x10=280。

二、求三个数的最大公因数和最小公倍数

例题2：用短除法求12、18和30的最大公因数和最小公倍数。

答案：gcd=6,1cm=180

解析：

短除法：先用公有质因数2除，商6、9、15；再用公有质因数3除，商2、3、5（两两

互质）；

最大公因数：2x3=6；

最小公倍数：2x3x2x3x5=180。

跟踪练习2：求8、12和18的最大公因数和最小公倍数。

答案：gcd=2,1cm=72

解析：短除法中，先用2除得4、6、9；4和6用2除得2、3、9；3和9用3除得2、1、

3（两两互质）。gcd=2,1cm=2x2x3x2x1x3=72。

三、最大公因数的实际应用

例题3：有一块长72厘米、宽60厘米的长方形木板，耍裁成同样大小的正方形且没有剩

余，正方形的边长最大是多少厘米？一共可裁成多少块？

答案：边长最大12厘米，可裁30块

解析：“同样大小且无剩余”“边长最大”即求72和60的最大公因数。

分解质因数：72=23x32,60=22x3x5,gcd=22x3=12（厘米）；

块数：（72+12）x（60-r12）=6x5=30（块）。

跟踪练习3：五年级有48名学生，六年级有54名学生，要将两个年级分别分成人数相等

的小组参加活动，每个小组最多多少人？两个年级各分几组？

答案：最多6人，五年级8组，六年级9组

解析：求48和54的最大公因数，gcd=60五年级：48+6=8（组），六年级：54・6=

9（组）。

四、最小公倍数的实际应用

例题4：甲、乙、丙三人从同一起点出发，甲每2分钟跑一圈，乙每3分钟跑一圈，丙每

4分钟跑一圈，至少经过多少分钟三人再次在起点相遇？

答案：12分钟

解析：”再次在起点相遇”即求2、3、4的最小公倍数。

分解质因数：2=2,3=3,4=22,1cm=22x3=12（分钟）。

跟踪练习4：有一筐鸡蛋，3个3个地数剩2个，4个4个地数剩3个，5个5个地数剩4

个，这筐鸡蛋至少有多少个？

答案：59个

解析：转化为“3个3个数少1个，4个4个数少1个，5个5个数少1个”，即求3、4、

5的最小公倍数减lolcm（3,4,5）=60,60-1=59（个）。

五、已知最大公因数和最小公倍数求原数

例题5：已知两个数的最大公因数是5,最小公倍数是105,求这两个数。

答案：5和105或15和35

解析：设两数为5m和5九（血、几互质），则1cm==105-nm=21。互质的m、九有

（1,21）和（3,7）,故两数为5x1=5和5x21=105,或5x3=15和5x7=35。

跟踪练习5：两个数的最大公因数是4,最小公倍数是24,其中一个数是8,求另一个

数。

答案：12

解析：根据axb=gcdx1cm,另一个数=4x24+8=12。

厂提弄练习…[

1.两个数的最大公因数是15,最小公倍数是300,已知其中二个数是75,求另二个数是

多少？

【答案】60

【分析】两个数的最大公因数与最小公倍数的积等于两个数的积，两个数的积除以已知数

即等于另一个未知数，据此即可解答。

【详解】15X3004-75

=45004-75

=60

答：另一个数是60。

2.已知两个数的最小公倍数是210,它们的积是1260,那么这两个数的最大公因数是多

少？

【答案】6

【分析】两个数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的积，所以两个数的积除

以两个数的最小公倍数等于两个数的最大公因数，据此即可解答。

【详解】12604-210=6

答：这两个数的最大公因数是6。

3.写有1至也00编号的灯100盏，亮着排成一排，每一次把编号是3的倍数的灯拉一次开

关，第二次把编号是5的倍数的灯拉一次开关，那么亮着的灯还有多少盏？

【答案】59盏

【分析】因为灯在开始的时候是亮着的，所以拉了两次或者没拉的灯最后还是亮的，先分

别求出3的倍数的个数，5的倍数的个数，以及3和5的公倍数的个数，然后求出没有拉

过的灯的个数，加上拉了两次的灯的数量，得到最终亮着的个数。

【详解】100+3=331

第一次拉了33盏；

100+5=20（盏）

第二次拉了20盏；

3x5=15

100-15=610

两次都拉的有6盏；

33+20-6=47（盏）

被拉过的有47盏；

100-47=53（盏）

没有被拉过的有53盏.；

最后亮着的灯一共为53+6=59（盏）

答：亮着的灯还有59盏。

【点睛】本题考查的是二元容斥问题，并且与奇偶性的问题相结合，可以利用韦恩图求

解。

4.将一张正方形纸片，横着剪4刀，竖着剪6刀，裁成尽可能大的形状大小一样的35张

长方形纸片。再把这样的一张长方形纸片裁成尽可能大的面积相等的小正方形纸片。如果

小正方形边长为2厘米，那么大正方形纸片的面积应为多少平方厘米？说明理由。

【答案】4900平方厘米；见详解

【分析】大正方形纸片被横着裁成5份，竖着裁成7份，所以裁成的长方形纸片的长宽比

为7：5,若将这样的纸片切割成尽可能大的正方形纸片，则正方形纸片边长应该为长方

形纸片长、宽的公因数，而7和5的公因数只有1,所以长方形纸片的宽是小正方形纸片

的边长的5倍，然后可以求出长方形纸片的宽，进而求出原来的大正方形的边长，最后

求面积。

【详解】长方形纸片的宽是小正方形纸片的边长的5倍，长方形纸片的长是小正方形纸片

的边长的7倍；

2X5=10（厘米）

所以长方形纸片宽10厘米；

大正方形纸片边长：

10X7=70（厘米）

70X70=4900（平方厘米）

答：大正方形纸片的面积应为4900平方厘米。

【点睛】本题将平面图形的切割问题与公因数的问题相结合，关键是找出小正方形的边长

与长方形的长和宽的关系。

5.幼儿园买来一些苹果，如果每个小朋友分4个或者分6个都正好分完.这些苹果的个数

在40〜50之间，幼儿园买了多少个苹果？

【答案】48个

【分析】根据题意可知，先求出4和6的最小公倍数，然后根据条件”这些苹果的个数在

40〜50之间”，将4和6的最小公倍数扩大到这个范围，据此解答.

【详解】4、6的最小公倍数是3X4=12.因为12X4N8,苹果总数在40〜50之间，所以

一共买来48个苹果.

答：幼儿园买了48个苹果.

6.汽车站有开住甲、乙、丙三地的汽车，到甲地的汽车每隔15分钟开出一辆；到乙地的

汽车每隔27分钟开出一辆；到丙地的汽车每隔36分钟开出一辆.三路汽车在同一时刻发

车以后，至少需要经过多少时间，才能又在同一时刻发车？

【答案】9小时

【分析】只需求出15、27、36的最小公倍数即可.

【详解】15=3X5

27=3X3X3

36=2X2X3X3

所以，15、27、36的最小公倍数是：2X2X3X3X3X5=540

540分钟=9小时

答：至少需要经过9小时，三路汽车才能又在同一时刻发车.

7.一块长方形木板长20分米，宽16分米.要锯成相同的正方形木板，要求正方形木板的

面积尽量大，而且原来木板没有剩余，可以锯成多少块？每块正方形木板的面积是多少平

方分米？

【答案】20块16平方分米

【详解】20=2X2X5

16=2X2X2X2

所以20和16的最大公因数是：2X2=4

(204-4)X(164-4)

-5X4

=20(块)

4X4=16(平方分米)

答：可以锯成20块，每块正方形木板的面积是16平方分米.

8.某班有学生63人，一天上体育课排队，4人一排多2人，5人一排多3人，6人一排多

4人，这天上体育课的有多少人？缺勤的有多少人？

【答案】58人5人

【分析M人一排多2人，5人一排多3人，6人一排多4人可理解为：4人一排少2人，5

人一排少2人，6人一排少2人，出勤人数是4,5,6的公倍数减去2。

【详解】4,5,6的公倍数是60

60-2=58（人）

63-58=5（人）

答：这天上体育课的有58人，缺勤的有5人。

9.同学们在操场上列队做体操，要求每行站的人数相等，当他们站成10行、15行、18

行、24行时，都能刚好站成一个长方形队伍，操场上同学最少是多少人？

【答案】360人

【分析】题目要求的是“最少”为多少人，可知操场上的同学数量正好是10、15、18、和

24的最小公倍数.

2|10151824

【详解】解：3工15912

55534

1134

10、15、18和24的最小公倍数是：2X3X5XIX1X3X4=360

答：操场上的同学最少是360人.

10.78个小朋友围成一圈，从某个小朋友开始进行1-18报数.如果报数一圈一圈地循环

下去.问：至少有多少个小朋友报过数字1?有没有人同时报过5和10?

【答案】13个没有

【分析】78和18的最小公倍数为234,234=78X3,即每3圈循环一次.234^-15=13,即

1-18报数循环了13次.则有13个小朋友报了1.每3圈之后又是之前报数的小朋友报

1.78+18=4…6,则每次报的数都差6,不可能有小朋友又报5又报10；据此解答即可.

本题考查了排列周期问题，关键是求出每几圈循环一次.

【详解】78=2X3X13

18=2X3X3

78和18的最小公倍数为：2X3X3X13=234,

234=78X3,即每3圈循环一次.

2344-18=13,即1-18报数循环了13次.

则有13个小朋友报了1.每3圈之后又是之前报数的小朋友报1.

784-18=4-6,

则每个小朋友报的数都差6,

又因为10-5=5,所以不可能有小朋友又报5又报10；

11.在一根长100厘米的木棍上，从左至右每隔6厘米染上一个红点，同时从右至左，每

隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，问长度是1厘米的木棍有几根？

共有几根？

【答案】7根33根

【分析】因为100能被5整除，所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我门可以看

作是从同一端点染色.

6与5的最小公倍数是30,即在30厘米的地方，同时染上红色，这样染色就会出现循环，

每一周的长度是30厘米，如图所示.

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由图示可知长1厘米的短木棍，每一周期中有两段，如第1周期中，6-5=1,5X5-6X

4=1.剩余10厘米中有一段.所以锯开后长1厘米的短木棍共有7段.第一个周期需要10

锯，能锯下10段，同理第二个周期是10段，第三个周期是10段，剩下的10厘米可以锯

出3段，由此列式解答即可.

解决这•问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5匣米的染色，转化为自左向右的染色,

便于利用最小公倍数发现周期现象，化难为易.

【详解】2X[(100-10)・30]+1

=2X3+1

=7(段)

答：那么长度是1座米的矩木棍有7根.

10X[(100-10)-4-30]+3

=10X3+3

=33(段)

答：共有33根.

12.一张长方形纸，长50厘米，宽30厘米.如果要剪成若干同样大小的正方形且没有剩

余，剪出的小正方形的边长最大是几厘米？一共可剪成多少个这样的小正方形？

【答案】10厘米；15个

【详解】略

13.有95个面包，如果每2个装一袋，能正好装完吗？如果每5个装一袋，能正好装完吗？

如果每3个装一袋，能正好装完吗？为什么？

【答案】每2个装一袋，不能正好装完.每5个装一袋，能正好装完.每3个装一袋，不

能正好装完.因为95是5的倍数，不是2和3的倍数.

【详解】略

14.小红到超市买日记本，日记本的单价已看不清楚，她买了3本同样的日记本，售货员

阿姨说应付35元，小红认为不对.你能解释这是为什么吗？

【答案】35不是3的倍数，不能整除.

【详解】略

15.小美每2天去一次公园，小可每3天去一次公园，儿童节这天她们在公园相遇，至少

再过多少天她们才能再次相遇？她们再次相遇时是几月几日？

【答案】答：至少再过6天她们才能再次相遇.她们再次相遇时是6月7日.

【详解】略

16.有三根铁丝，分别长12m,16m,24m,要把三根铁丝截成同样长的若干段，每根都没

有剩余，每段最长多少米？一共可以截成多少段？

【答案】每段最长4米，一共可以截成13段

【详角¥】12-2X2X3,16-2X2X2X2,24-2X2X2X3.

12、16、24的最大公因数是2X2=4,所以每段最长4米.

这三根铁丝一共可以截的段数是：12：4+16+4+24+4=13.

答：每段最长4米，一共可以截成13段.

17.把一块长48m、宽32m的长方形菜地分成同样大小的最大的正方形菜地而没有剩余，

分出的正方形菜地的边长是多少米？如果用分出来的3块正方形菜地种黄瓜，那么种黄瓜

的菜地面积是这块菜