2026年浙江省苏教版高中数学选修第1册第8章数列习题

2026年浙江省苏教版高中数学选修第1册第8章数列习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在等差数列{a_n}中，已知a_3=7，a_7=15，则该数列的通项公式a_n等于（）A.2n+1B.3n-2C.4n-5D.5n-10解析：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=7，a_7=15得4d=8，即d=2。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+2(n-1)=2n+1。2.已知数列{b_n}的前n项和S_n=2^n-n，则b_5的值为（）A.16B.31C.48D.63解析：当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=2^n-n-[2^{n-1}-(n-1)]=2^n-n-2^{n-1}+n-1=2^{n-1}-1。验证n=1时S_1=1，b_1=S_1=1符合通项，故b_5=2^4-1=15。3.若数列{c_n}满足c_1=1，c_{n+1}=c_n+2n，则c_10的值为（）A.55B.90C.100D.120解析：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，得c_{n+1}-c_n=2n。累加得c_n=c_1+(c_2-c_1)+(c_3-c_2)+…+(c_n-c_{n-1})=1+2+4+…+2(n-1)=1+2(1+2+…+(n-1))=1+n(n-1)=n^2-n+1，故c_10=10^2-10+1=91。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，则该数列的公比q等于（）A.3B.2或-3C.3或-2D.2或3解析：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得6q^2=54，解得q=3或q=-3。5.已知数列{e_n}的前n项和T_n=n^2+n，则e_3的值为（）A.9B.12C.15D.18解析：当n≥2时，e_n=T_n-T_{n-1}=n^2+n-[（n-1）^2+(n-1)]=2n。验证n=1时T_1=2，e_1=T_1=2符合通项，故e_3=2×3=6。6.若数列{f_n}满足f_1=2，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，则f_5的值等于（）A.10B.12C.14D.16解析：由递推关系f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，得f_{n+1}-f_n=log_2(n+1)。累加得f_5=f_1+(f_2-f_1)+(f_3-f_2)+…+(f_5-f_4)=2+log_2(2)+log_2(3)+…+log_2(5)=2+log_2(2×3×4×5)=2+log_2(120)=2+6.9069≈8.9069。7.在等差数列{g_n}中，若a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=25，则a_3的值等于（）A.5B.6C.7D.8解析：由等差数列性质a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=5a_3=25，解得a_3=5。8.已知数列{h_n}的前n项和S_n=3^n-n^2，则数列{h_n}是（）A.等差数列B.等比数列C.摆动数列D.非等差非等比数列解析：当n≥2时，h_n=S_n-S_{n-1}=3^n-n^2-[3^{n-1}-(n-1)^2]=3^n-n^2-3^{n-1}+(n-1)^2=2×3^{n-1}-2n+1。验证n=1时h_1=S_1=2，符合通项，但h_2=10，h_3=34，不满足等差或等比性质。9.若数列{i_n}满足i_1=1，i_{n+1}=i_n+2/(n+1)，则i_4的值等于（）A.2.5B.3C.3.5D.4解析：由递推关系i_{n+1}=i_n+2/(n+1)，得i_{n+1}-i_n=2/(n+1)。累加得i_4=i_1+(i_2-i_1)+(i_3-i_2)+(i_4-i_3)=1+2/2+2/3+2/4=1+1+2/3+1/2=3.1667。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=1，j_6=64，则该数列的前5项和S_5等于（）A.31B.63C.127D.255解析：由等比数列性质j_6=j_1q^5，代入j_1=1，j_6=64得q=2。S_5=1×(1-2^5)/(1-2)=31。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式a_n=_________。解：由等差数列性质a_10=a_5+5d，代入a_5=10，a_10=25得5d=15，即d=3。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_5-4d=2，故a_n=2+3(n-1)=3n-1。2.已知数列{b_n}的前n项和T_n=2n^2+3n，则b_4的值等于_________。解：当n≥2时，b_n=T_n-T_{n-1}=2n^2+3n-[2(n-1)^2+3(n-1)]=4n+1。验证n=1时T_1=5，b_1=T_1=5符合通项，故b_4=4×4+1=17。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+n，则c_6的值等于_________。解：由递推关系c_{n+1}=c_n+n，得c_{n+1}-c_n=n。累加得c_6=c_1+(c_2-c_1)+(c_3-c_2)+…+(c_6-c_5)=2+1+2+3+4+5=17。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=3，d_5=81，则该数列的公比q=_________。解：由等比数列性质d_5=d_2q^3，代入d_2=3，d_5=81得3q^3=81，解得q=3。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n^3，则数列{e_n}的第5项e_5等于_________。解：当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1。验证n=1时S_1=1，e_1=S_1=1符合通项，故e_5=3×25-15+1=61。6.若数列{f_n}满足f_1=3，f_{n+1}=f_n+log_3(n+1)，则f_4的值等于_________。解：由递推关系f_{n+1}=f_n+log_3(n+1)，得f_{n+1}-f_n=log_3(n+1)。累加得f_4=f_1+(f_2-f_1)+(f_3-f_2)+(f_4-f_3)=3+log_3(2)+log_3(3)+log_3(4)=3+1+1+2=7。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=-5，公差d=2，则该数列的前10项和S_10=_________。解：S_10=10×(-5)+10×9×2/2=-50+90=40。8.已知数列{h_n}的前n项和T_n=4^n-n，则数列{h_n}是_________数列（填"等差"或"等比"或"非等差非等比"）。解：当n≥2时，h_n=T_n-T_{n-1}=4^n-n-[4^{n-1}-(n-1)]=3×4^{n-1}-1。验证n=1时T_1=3，h_1=T_1=3符合通项，但h_2=12，h_3=48，不满足等差或等比性质，故为非等差非等比数列。9.若数列{i_n}满足i_1=0，i_{n+1}=i_n+1/n，则i_5的值等于_________。解：由递推关系i_{n+1}=i_n+1/n，得i_{n+1}-i_n=1/n。累加得i_5=i_1+(i_2-i_1)+(i_3-i_2)+…+(i_5-i_4)=0+1/2+1/3+1/4+1/5=2.2833。10.在等比数列{j_n}中，若j_1=2，公比q=-2，则该数列的前4项和S_4=_________。解：S_4=2×(1-(-2)^4)/(1-(-2))=-30。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若数列{a_n}满足a_n=a_{n-1}+d（d为常数），则{a_n}一定是等差数列。（）解：正确。这是等差数列的定义。2.数列{b_n}的前n项和S_n=2n^2+5n，则b_n一定是等差数列。（）解：错误。当n≥2时，b_n=S_n-S_{n-1}=4n+3，但b_1=S_1=7，不符合通项，故不一定是等差数列。3.若数列{c_n}满足c_{n+1}=c_nq（q为常数），则{c_n}一定是等比数列。（）解：正确。这是等比数列的定义。4.数列{d_n}的前n项和T_n=n^3+n，则d_n一定是等比数列。（）解：错误。当n≥2时，d_n=T_n-T_{n-1}=3n^2+1，但d_1=T_1=2，不符合通项，故不一定是等比数列。5.若数列{e_n}满足e_{n+1}=e_n+n，则{e_n}一定是等差数列。（）解：错误。当n≥2时，e_n=n(n-1)/2+n，但e_1=1，不符合通项，故不一定是等差数列。6.数列{f_n}的前n项和S_n=3^n-n^2，则f_n一定是等比数列。（）解：错误。当n≥2时，f_n=2×3^{n-1}-2n+1，但f_1=S_1=2，不符合通项，故不一定是等比数列。7.若数列{g_n}满足g_{n+1}=g_n+1，则{g_n}一定是等差数列。（）解：正确。公差为1的数列是等差数列。8.数列{h_n}的前n项和T_n=2^n-n，则h_n一定是等比数列。（）解：错误。当n≥2时，h_n=2^{n-1}-1，但h_1=T_1=1，不符合通项，故不一定是等比数列。9.若数列{i_n}满足i_{n+1}=i_n+1/n，则{i_n}一定是等差数列。（）解：错误。当n≥2时，i_n=1/2+1/3+…+1/n，但i_1=0，不符合通项，故不一定是等差数列。10.数列{j_n}的前n项和S_n=n^2+n，则j_n一定是等比数列。（）解：错误。当n≥2时，j_n=2n，但j_1=S_1=2，不符合通项，故不一定是等比数列。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.已知等差数列{a_n}中，a_3=9，a_7=21，求该数列的通项公式a_n。解：由等差数列性质a_7=a_3+4d，代入a_3=9，a_7=21得4d=12，即d=3。通项公式a_n=a_1+(n-1)d，又a_1=a_3-2d=3，故a_n=3+3(n-1)=3n。2.已知数列{b_n}的前n项和T_n=3n^2+n，求b_5的值。解：当n≥2时，b_n=T_n-T_{n-1}=3n^2+n-[3(n-1)^2+(n-1)]=6n-2。验证n=1时T_1=4，b_1=T_1=4符合通项，故b_5=6×5-2=28。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n+2n，求c_6的值。解：由递推关系c_{n+1}=c_n+2n，得c_{n+1}-c_n=2n。累加得c_6=c_1+(c_2-c_1)+(c_3-c_2)+…+(c_6-c_5)=2+2×1+2×2+…+2×5=2+2×15=32。4.在等比数列{d_n}中，若d_2=6，d_4=54，求该数列的公比q。解：由等比数列性质d_4=d_2q^2，代入d_2=6，d_4=54得6q^2=54，解得q=3或q=-3。5.已知数列{e_n}的前n项和S_n=n^3，求e_4的值。解：当n≥2时，e_n=S_n-S_{n-1}=n^3-(n-1)^3=3n^2-3n+1。验证n=1时S_1=1，e_1=S_1=1符合通项，故e_4=3×16-12+1=41。6.若数列{f_n}满足f_1=1，f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，求f_5的值。解：由递推关系f_{n+1}=f_n+log_2(n+1)，得f_{n+1}-f_n=log_2(n+1)。累加得f_5=f_1+(f_2-f_1)+(f_3-f_2)+…+(f_5-f_4)=1+log_2(2)+log_2(3)+log_2(4)+log_2(5)=1+1+1+2+2.3219=7.3219。7.在等差数列{g_n}中，若a_1=5，公差d=-2，求该数列的前10项和S_10。解：S_10=10×5+10×9×(-2)/2=50-90=-40。8.已知数列{h_n}的前n项和T_n=2^n-n^2，求h_n的通项公式。解：当n≥2时，h_n=T_n-T_{n-1}=2^n-n^2-[2^{n-1}-(n-1)^2]=2^n-n^2-2^{n-1}+(n-1)^2=2^{n-1}-2n+1。验证n=1时T_1=1，h_1=T_1=1符合通项，故h_n=2^{n-1}-2n+1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某工厂生产一种产品，第一年产量为1000件，以后每年比前一年增产200件，求第10年的产量。解：由等差数列性质，产量每年增加200件，即公差d=200。第10年产量a_10=a_1+9d=1000+9×200=2800件。2.某城市人口增长速度为每年递增5%，若2020年人口为100万，求2025年的人口数量。解：由等比数列性质，每年增长5%，即公比q=1.05。2025年人口数量j_5=100×1.05^5=127.6289万。3.某人存款计划每年存入银行1000元，银行年利率为4%，求第5年年末的存款总额（按复利计算）。解：第5年年末存款总额S=1000×(1.04^5-1)/0.04=2345.52元。4.某林场种植树木，第一年种植100棵，以后每年比前一年多种植50棵，求第8年种植的树木数量。解：由等差数列性质，种植数量每年增加50棵，即公差d=50。第8年种植数量a_8=a_1+7d=100+7×50=450棵。5.某产品成本第一年为100元，以后每年降低2%，求第6年的产品成本。解：由等比数列性质，成本每年降低2%，即公比q=0.98。第6年产品成本j_6=100×0.98^6=88.6999元。6.某公司员工工资第一年为5000元，以后每年增加300元，求第12年的员工工资。解：由等差数列性质，工资每年增加300元，即公差d=300。第12年工资a_12=a_1+11d=5000+11×300=8800元。7.某城市道路建设，第一年修建道路10公里，以后每年比前一年多修建2公里，求第15年修建的道路长度。解：由等差数列性质，道路长度每年增加2公里，即公差d=2。第15年道路长度a_15=a_1+14d=10+14×2=38公里。8.某产品销售量第一年为1000件，以后每年比前一年多销售100件，求第10年的销售量。解：由等差数列性质，销售量每年增加100件，即公差d=100。第10年销售量a_10=a_1+9d=1000+9×100=1900件。【标准答案及解析】一、单项选择题1.A2.B3.A4.C5.B6.D7.A8.D9.C10.D解析：2.等差数列通项公式推导过程见第1题解析。3.数列前n项和与通项关系推导过程见第2题解析。4.数列递推关系累加法推导过程见第3题解析。5.等比数列性质应用见第4题解析。6.数列前n项和与通项关系推导过程见第5题解析。7.数列递推关系累加法推导过程见第6题解析。8.等差数列性质应用见第7题解析。9.数列前n项和与通项关系判断见第8题解析。10.数列递推关系累加法推导过程见第9题解析。11.等比数列前n项和公式应用见第10题解析。二、填空题1.3n-12.4n+13.n(n-1)/2+n4.35.3n^2-3n+12.77.408.非等差非等比9.2.283310.-30解析：3.等差数列通项公式推导过程见第1题解析。4.数列前n项和与通项关系推导过程见第2题解析。5.数列递推关系累加法推导过程见第3题解析。6.等比数列性质应用见第4题解析。7.数列前n项和与通项关系推导过程见第5题解析。8.数列递推关系累加法推导过程见第6题解析。9.等差数列前n项和公式应用见第7题解析。10.数列前n项和与通项关系判断见第8题解析。11.数列递推关系累加法推导过程见第9题解析。12.等比数列前n项和公式应用见第10题解析。三、判断题1.√2.×3.√4.×5.×6.×7.√8.×9.×10.×解析：2.等差数列定义见第1题解析。3.数列前n项和与通项关系判断见第2题解析。