直线的方程（一）：直线方程的几种形式-人教A版高中数学选择性必修第一册（原卷版+解析）

直线的方程（一）：直线方程的几种形式

1.直线的点斜式方程

（1）直线的点斜式方程的定义：

设直线/经过一点尸（x。,为），斜率为左,则方程歹一出=次（、一%）叫作直线/的点斜式方程.

（2）点斜式方程的使用方法：

①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.

②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角a=90。，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但

因为/上每一个点的横坐标都等于即，所以直线方程为广片；若直线的倾斜角好90。，则直线的斜率〃=lana,

直线的方程为y—y0=（tana）•（x-x（））.

2.直线的斜截式方程

（1）直线的斜截式方程的定义：

设直线【的斜率为匕在），轴上的截距为b,则直线方程为广kx+b,这个方程叫作直线/的斜截式方程.

/

o-

（2）斜截式方程的使用方法：

已知直线的斜率以及直线在），轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.

考点剖析

【考点1直线的点斜式方程及辨析】

[ft1.1]（2023春♦安徽池州•高二联考阶段练习）过点（一打5）且倾斜角为150。的直线/的方程为（）

A.y=-y/3x+2B.y=-?X+4

C.y=V3x4-8D.、二4％+6

【例1.2]（2023•全国•高二专题练习）方程y=k（%-2）表示（）

A.通过点（2,0）的所有直线B.通过点（2,0）且不垂直于），轴的所有直线

C.通过点（2,0）且不垂直于x轴的所有直线D.通过点（2,0）且除去x轴的所有直线

【变式1.1]（2023•全国•高三专题练习）如下图，直线1的方程是（）

C.V3x-3y-1=0D.x-V3y-1=0

【变式1.2]（2023春・河南商丘•高二校考阶段练习）直线k3^-y+l=0,直线%过点（1,0），且它的倾

斜角是。的倾斜角的2倍，则直线12的方程为（）

A.y=6x4-1B.y=6（r—1）C.y=—1）D.y=——1）

【考点2直线的斜截式方程及辨析】

[ft2.1]（2022秋•重庆南岸•高二校考期中）经过点4（2,3）,巨倾斜角为;的直线的斜截式方程为（）

A.y=x+1B.y=x-1C.y=-x-1D.y=-x+1

【例2.2]（2023•高二课时练习）下面四个直线方程中，可以看，乍是直线的斜截式方程的是（）

A.x=3B.y=~5

C.2y=xD.x=4y—1

【变式2.1]（2023秋•高二课时练习）倾斜角为30。，且过点（-2,0）的直线斜截式方程为.

【变式2.2]（2022秋•上海浦东新♦高二校考阶段练习）过点P0,4）且与坐标轴围成的三角形面积为1的直

线/的斜截式方程是.

直线的两点式、截距式方程

基础知识

1.直线的两点式方程

(1)直线的两点式方程的定义：

设直线/经过两点乃)(M抖2,必抄2)，则方程上二左=上"叫作直线/的两点式方程.

)‘2-y\-M

(2)两点式方程的使用方法：

①已知直线上的两个点尸2(》2/2)，且用抄2,M处2时，可以宜接使用该公式求直线方程.

②当X1=X2,凹彳外时，直线方程为X=M(或x=M).

③当M=为时，直线方程为y=y(或'=»2).

2.直线的截距式方程

(1)直线的截距式方程的定义：

设直线/在x轴上的截距为小在y轴上的截距为乩且存0,K0,则方程§+方=1叫作直线/的截距式

方程.

y

8(0向/

彳(。,0)

~d'x

(2)直线的截距式方程的适用范围：

选用截距式方程的条件是存0,岳0,即直线/在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原

点的直线，也小能表不与坐标轴平行(或重合)的直线.

(3)截距式方程的使用方法：

①已知直线在x轴上的截距、)，轴上的截距，且都不为。时，可以直接使用该公式求直线方程.

②已知直线在工轴上的截距、)，轴上的截距，且都为0时，可设直线方程为广履，利用直线经过的点的坐标

求解匕得到直线方程.

考点剖析

【考点1直线的两点式方程及辨析】

【例1.1](2023秋•高二课时练习)直线/过点4(-1,1),8(2,4),则直线/的方程为()

A.y=x-2B.y=-x-2C.y=-x+2D.y=x+2

【例1.2](2023秋・安徽阜阳•高二安徽省颍上第一中学校考期末)过点力(-2,2)和点3(4,-1)的直线在y上

的截距为()

A.1B.2C.-1D.-2

【变式II】(2022秋.高二校考课时练习)已知八4”的二个顶点分别为4(1,1),/?⑶1)/(4,5),例为AA的

中点，则中线CA7所在直线的方程为（)

A.2x+y-3=0B.2x—y4-3=0

C.2%+y+3=0D.2x-y-3=0

【变式1.2］（2022•全国•高二专题练习）已知直线/经过（-2,-2）、（2,4）两点，点（1348,m）在直线/上，则

m的值为（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

【考点2直线的截距式方程及辨析】

【例2.1］（2022•高二课时练习）在x轴，），轴上的截距分别是一3,4的直线方程是（）

A.卷+[=1B•升9=1

—34

D。：+弓二1

【例2.2］（2023秋•高二课时练习）过点（3,-4）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（）

A.y=-x-1Br>.y=4-xC.y=D.丫=_“或尸一工一］

【变式2.1］（2023秋•安徽六安福二校考期末）已知直线，过4（-2,1），且在两坐标轴上的截距为相反数,

那么直线1的方程是（）.

A.x+2y=0或x—y+3=0B.x—y—l=0«Jcx-y+3=0

C.x-y-l=0或t+y-3=0D.x+2y=0或x+y—3=0

【变式2.2］（2022.全国.高三专题练习）过点P（l,4）在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线行（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

1.直线的一般式方程

（1）直线的一般式方程的定义：

在平面直角坐标系中，任何一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x,），的二元一次方

程Ar+B），+C=0（其中A.B不同时为0）叫作直线的一般式方程.

对于方程A.x+By+C=0（A,B不全为0）,

当跳。时，方程At+3y+C=0可以写成尸-煞-与，它表示斜率为在），轴上的截距为一5的直线.

b15i515

特别地，当A=0时，它表示垂直于y轴的直线.

C

当8=0时,A#）,方程Ar+B>+C=0可以写成.r=--,它表示垂直于x轴的直线.

/I

（2）一般式方程的使用方法：

直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.

2.辨析直线方程的五种形式

方程形式直线方程局限性选择条件

不能表示与x轴垂①已知斜率；②已知

点斜式y-y（）=k（x-珀

直的直线一点

不能表示与x轴垂①已知在y轴上的截

斜截式y=kx+b

直的直线距：②已知斜率

不能表示与％轴、①已知两个定点；②已

两点式y-yi=£一二

y轴垂直的直线知两个截距

V2-yix2—xt

不能表示与X轴垂①已知两个截距；②己

截距式直、与y轴垂直、知直线与两条坐标轴

过原点的直线围成的三免形的面积

求直线方程的最后结

Ax+By+C=0

一般式表示所有的直线果均可以化为一般式

（A,8不全为0）

方程

考点剖析

【考点1直线的一般式方程及辨析】

[ttl.ll（2023秋•高二课时练习）经过点且倾斜角为60。的直线的一般式方程为（）

A.>/3x—y-1=0B.V3x—y4-1=0C.x—>/3y+1=0D.x—V3y-1=0

【例1.2]（2023•全国•高二专题练习）在直角坐标系中，直线x—2y+3=0经过（）

A.一、二、三象限B.一、二、四象限

C.一、三、四象限D.二、三、四象限

【变式1』】（2023•高二课时练习）若直线（a-l）x-y-a=0不通过第二象限，则实数a的取值范围是（）

A.[1,Ioo）B.（1,Ico）C.（oo,0）U[1,loo）D.（0,1）

【变式1.2]（2023秋•四川成都•高二统考期末）已知直线，%+By+C=0（A,8不同时为0）,则下列

说法中错误的是（）

A.当8=0时，直线/总与x轴相交

B.当C=0时，直线/经过坐标原点。

C.当A=C=0时，直线/是x轴所在直线

D.当4BH0时，直线/不可能与两坐标轴同时相交

【考点2直线一般式方程与其他形式之间的互化】

【例2.1］（2023春•新疆塔城•高二统考开学考试）过点且斜率为:的直线1的方程是（)

A.3x+2y-7=0B.2x+y-4=0

C.x-2y-3=0D.x-2y+3=0

[ft2.2](2023・全国•高三专题练习)过点(4,0)和(0,-3)的直线方程为()

A.3%—4y—1=0B.菱-9=0

J43

C.--^-1=0D.y=-x+3

43J3

【变式2.1］（2023秋・河南商丘•高二校联考期末）直线m:6%-3丫+1=0与直线71：%=0的夹角为（）

A.120°B.60°C.45°D.30°

【变式2.2］（2023秋・甘肃兰州•高二校考期末）已知直线1过点Q,4）,且在％轴上的截距是在y轴上的截距的

2倍，则直线［的方程为（）

A.x+2y-10=0B.x+2y+10=0

C.2x-y=0或x+2y-4=0D.2x-y=0或x+2y-10=0

1.方向向量与直线的参数方程

除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程外，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的

联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的.

如图1,设直线/经过点。（砧涧）,；=（也〃）是它的一个方向向量,P（%,y）是直线/上的任意一点,则向量入P

与；共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数/,使同方=4,即（x—x。,），一%）=/0"/）,所以

一―①

［y=%+nt

在①中，实数，是对应点尸的参变数，简称参数.

由上可知，对于直线/上的任意一点P(.a)，)，存在唯一实数।使①成立；反之，对于参数，的每一个确定的

值，由①可以确定直线/上的一个点尸Sy).我们把①称为直线的参数方程.

考点剖析

【考点1求直线的方向向量】

【例1.1](2023秋•河北唐山•高二统考期末)直线2x+3y-3=0的一个方向向量是()

A.(2,-3)B.(2,3)C.(3,-2)D.(3,2)

【例1.2](2023秋・广东肇庆•高二统考期末)直线2mx+my-3=0的一个方向向量是()

A.(1,2)B,(2,-1)C.(2,1)D.(1,-2)

【变式1.11(2023秋•北京丰台•高二统考期末)已知经过4(0,2),5(1,0)两点的直线的一个方向向量为(1,A),

那么k=()

A.-2B.-1C.--D.2

2

【变式1.2](2023秋•河南平顶山•高二统考期末)已知直线/过点(一3,4)且方向向量为(1,一2),则/在x轴

上的截距为()

A.-1B.1C.-5D.5

【考点2根据直线的方向向量求直线方程】

【例2.1](2023・上海•高二专题练习)经过点(1,1),且方向向量为(1,2)的直线方程是()

A.2x-y-1=0B.2x+y-3=0

C.x—2y+1=0D.x+2y-3=0

[ft2.2](2022秋・广东广州•高二校考期末)与向量2=(1,9平行，且经过点(4,-4)的直线方程为()

A236n220

A.y=-x~—B.y=--X--

C.y=—18D.y=—+10

【变式2.1](2022秋•高二校考课时练习)已知直线2经过点(-1,4),且它的一个方向向量为元=(-2,4),

则（）

A.直线/的点斜式方程为丫一4=一4%+1）

B.直线侑勺斜截式方程为％=-iy+l

C.直线1的截距式方程为％+：=1

D.直线!的一般式方程为％+2y-7=0

【变式2.2]（2023秋・广东广州•高二校考期末）已知直线心（2m+1）%+（根+1）、+血=0经过定点2,

直线，'经过点P,且I'的方向向量五=（3,2）,则直线/'的方程为（）

A.2x-3y+5=0B.2%-3y-5=0

C.3x—2y+5=0D.3%—2y-5=0

I.（2023秋•辽宁葫芦岛•高二校考期末）在下列四个命题中，正确的是（）

A.若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大

B.过点PQo，yo）的直线方程都可以表示为：y-y0=k（x-x0）

C.经过两个不同的点Pl（4,%）,P2a2/2）的直线方程都可以表示为：（丫一月）（%2-/）=（%-勺）（为一力）

D.经过点（1,1）且在％轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0

2.（2022秋・新疆喀什・高二校考期末）直线/的倾斜角是60°,在y轴上的截距是-2,则直线/的方程是（）

A.y=V3x-2B.y=V3x4-2

C.y=yx-2D.y=yx4-2

3.（2023秋・浙江温州•高二统考期末）过两点4（3,-5）,8（-5,5）的直线在y轴上的截距为（）

A.--B.-C.--D.-

4455

4.（2023秋・辽宁沈阳•高二校考期末）过点4（1,2）在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（）

A.y=2xB.x+y-3=0

C.无=y或％+y—3=0D.y=2%或x+y—3=0

5.（2023・上海•高二专题练习）如果48>0且BC<0,那么直线4c+By+C=0不经过第（）象限

A.—B."C.三D.四

6.（2022秋•河南濮阳•高二校考阶段练习）直线，i：y=ax+b与直线小丫=bx+a（abH0,a学b）在同一平

面直角坐标系内的图象只可能是（）

7.(2023春・山东青岛•高二校考升学考试)已知直线上x+y-4=0.则下列结论正确的是()

A.点(2,-2)在直线2上B.直线/在y轴上的截距为-4

C.直线，的倾斜角为胃D.直线，的一个方向向量为9=(1,1)

4

8.(2023秋♦广东广州•高一校考期中)过点P(l,1)作直线/,与两坐标轴相交所得三角形面积为1,则

直线/有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

9.(2022秋•四川泸州•高二统考期末)直线/经过点4(1,2),在X轴上的截距的取值范围是(一3,3),则其斜

率的取值范围是()

A.B.

c.(-8,-l)U&+8)D.(-00,-0U(1,4-00)

10.(2023秋•高二课时练习)直线，:Q%+y+l=0与连接4(2,3),8(-3,2)的线段相交，则。的取值范围是

A.[-1,2]B.[2,+oo)u(-oo,-l)C.[-2,1]U(2,3)D.(-oo,-2]U

[L+8)

11.(2023・江苏•高二假期作业)把直线1的一般式方程x-2y+6=0化为斜截式，求出直线]的斜率以及它

在x轴与y轴上的截距，并画出图形.

12.(2022秋・甘肃白银•高二校考期中)根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式.

⑴斜率是一点且经过点4(8,-6)；

(2)在%轴和y轴上的截距分别是飘-3；

(3)经过点(2,—3),且一个方向向量为五=(2,4).

13.(2022秋・广西玉林•高二校考阶段练习)已知的顶点做1,一1)，线段BC的中点为。(3,|).

⑴求8c边上的中线所在直线的方程：

(2)若边3c所在宜线在两坐标轴上的截距和是9,求边3c所在直线的方程.

14.(2023・江苏•高二假期作业)如图，射线OA、分别与x釉成45。角和30。角，过点尸(1,0)作直线/W

分别与04,03交于点A、3,当A3的中点为P时，求直线A6的方程.

15.(2023.全国•高三对口高考)过点P(2,l)作直线I分别交汇,y的正半轴于4B两点、.

⑴求△ABO面积的最小值及相应的直线侑勺方程;

(2)当|。川+|。例取最小值时，求直线，的方程;

(3)当|P*・|PB|取最小值时,求直线I的方程.

第07讲直线的方程(一)：直线方程的几种形式

1.直线的点斜式方程

(1)直线的点斜式方程的定义：

设直线，经过一点P(x。,必)，斜率为则方程歹一出二次(\一勒)叫作直线/的点斜式方程.

(2)点斜式方程的使用方法：

①已知直线的斜率并且经过一个点时，可以直接使用该公式求直线方程.

②当已知直线的倾斜角时，若直线的倾斜角a=90。，则直线的斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但

因为/上每一个点的横坐标都等于为，所以直线方程为广户；若直线的倾斜角好90。，则直线的斜率.〃=tana,

直线的方程为卜一出=(tana)•(x—x0).

2.直线的斜截式方程

(1)直线的斜截式方程的定义：

设直线/的斜率为匕在)，轴上的截距为4则直线方程为产履这个方程叫作直线/的斜截式方程.

(2)斜截式方程的使用方法：

已知直线的斜率以及直线在>'轴上的截距时，可以直接使用该公式求直线方程.

考点剖析

【考点1直线的点斜式方程及辨析】

【例1.1](2023春•安徽池州•高二联考阶段练习)过点(-75,5)且倾斜角为150。的直线/的方程为()

A.y=-y/3x+2B.y=-?X+4

C.y=V3x4-8D.丁=4％+6

【解题思路】根据倾斜角求出直线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解.

【解答过程】依题意，直线/的斜率仁tanl50°=-芋

故直线/的方程为y—5=十万)，

即)'=—y%+4,

故选:B.

【例1.2](2023・全国•高二专题练习)方程y=kO-2)表示()

A.通过点(2,0)的所有直线B.通过点(2,0)且不垂直于)，轴的所有直线

C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线

【解题思路】根据直线的点斜式方程的知识确定正确答案.

【解答过程】y=k(x-2)为直线的点斜式方程，只能表示斜率存在的直线，且直线过点(2,0).

故选：C.

如下图，直线1的方程是()

B.V3x-2y-V3=0

C.V3x-3y-1=0D.%-岛-1=0

【解题思路】由图得到直线的倾斜角为30,进而得到斜率，然后由直线[与％轴交点为(1,0)求解.

【解答过程】由图可得直线的倾斜角为30。,

所以斜率k=tan30°=—3,

所以直线/与“轴的交点为(1,0),

所以直线的点斜式方程可得，：y-O=^(x-l),

即x-V3y-1=0.

故选：D.

【变式1.2](2023春・河南商丘•高二校考阶段练习)直线3x—y+l=0,直线，2过点(L0)，且它的倾

斜角是。的倾斜角的2倍，则直线。的方程为()

A.y=6x+lB.y=6(r-l)C.y=^(x-l)D.y=-^(x-l)

【解题思路】设直线"的倾斜角为a,则k=12恒=3,由正切的二倍角公式计算tan2a的值即为直线。的斜

率，由点斜式可得直线。的方程.

【解答过程】由直线53x-y+l=0,可得y=3%+L

设直线。的倾斜角为a,则k=tana=3,

因为直线，2的倾斜角是，i的倾斜角的2倍，

所以直线％的斜率为tan2a=恐=普=/

因为直线L过点(1,0)，

所以直线G的方程为：y=-；(x-l),

故选：D.

【考点2直线的斜截式方程及辨析】

【例2.1](2022秋.重庆南岸.高二校考期中)经过点力(2,3),且倾斜角为:的直线的斜截式方程为()

4

A.y=x+1B.y=x-1C.y=-x-1D.y=-x+1

【解题思路】根据倾斜角求出斜率，写出点斜式方程，化为斜截式可得答案.

【解答过程】斜率k=tanT=1，

点斜式方程为y-3=x-2,

斜截式方程为y=x+L

故选:A.

【例2.2](2023•高二课时练习)下面四个直线方程中，可以看作是直线的斜截式方程的是()

A.x=3B.y=~5

C.2y=xD.x=4y—1

【解题思路】根据直线的斜截式方程的知识确定正确选项.

【解答过程】直线的斜截式方程为y=kx+b,

所以B选项y=-5是斜截式方程，ACD选项不是斜截式方程.

故选：B.

【变式2.1］（2023秋•高二课时练习）倾斜角为30。，且过点（一2.0）的直线斜截式方程为y=+乎.

【解题思路】先求直线斜率，再利用点斜式方程运算求解.

【解答过程】因为直线的倾斜角为30。，则直线的斜率k=tan30o=f,

所以直线的方程、=?（%+2），即y=?%+等

故答案为：y=fx+当.

JO

【变式2.2］（2022秋•上海浦东新•高二校考阶段练习）过点P（3,4）且与坐标轴围成的三角形面积为1的直

线/的斜截式方程是丫=2%-2或丫=:%+；.

93

【解题思路】由题意设直线/为y-4=2a-3）,从而求得在坐标轴上的截距，再利用三角形面积公式得

到关于k的二次方程，解之即可.

【解答过程】由题意所求直线/的斜率必存在，且不为0,设其斜率为k（kWO）,则直线/方程为y-4=

k（x-3）»

令《=0,得y=4-3k,令y=0,得为=为三，

故所围三角形面积为:|4一3攵|哼［=1，即（3攵-4）2=2阳，

当A>0时，上式可化为9上—26k+16=0,解得k=2或k=-；

当AV0时，上式可化为9k2—22k+16=0,方程无解；

综上：直线/的斜截式方程是y=2%-2或y=［%+；.

故答案为：y=2%-2或、=gx+£

1.直线的两点式方程

（1）直线的两点式方程的定义：

设直线/经过两点尸（片,珀，尸2（处,乃）5力2,凹抄2）,则方程匕叫作直线/的两点式方程.

乃-y\xi~M

（2）两点式方程的使用方法：

①已知直线上的两个点上（国,凶），尸2（必,外），且为行2,M抄2时，可以直接使用该公式求直线方程.

②当X[=X2,.必左外时，直线方程为X=M（或X=X2）.

③当Xi奏2,凹=%时，直线方程为y="（或7=歹2）.

2.直线的截距式方程

（1）直线的截距式方程的定义：

设直线/在工轴上的截距为小在y轴上的截距为〃，且中0,归0,则方程?+方=1叫作直线/的截距式

方程.

y

8（0,6）/

彳（。,0）

~O'X

（2）直线的截距式方程的适用范围：

选用截距式方程的条件是hiO,即直线/在两条坐标轴上的截距非零，所以截距式方程不能表示过原

点的直线，也不能表示与坐标轴平行（或重合）的直线.

（3）截距式方程的使用方法：

①已知直线在x轴上的截距、y轴上的截距，且都不为。时，可以直接使用该公式求直线方程.

②己知直线在x轴上的截距、），轴上的截距，且都为。时.，可设直线方程为3=外，利用直线经过的点的坐标

求解k,得到直线方程.

考点剖析

【考点1直线的两点式方程及辨析】

【例1.1]（2023秋•高二课时练习）直线/过点力（-1,1）,8（2,4）,则直线/的方程为（）

A.y=x—2B.y=-x—2C.y=—x+2D.y=%4-2

【解题思路】根据直线的两点式方程运算求解.

【解答过程】因为一2,1H4,则线/的方程为£=三月，整理得y=%+2，

所以直线/的方程为y=x+2.

故选：D.

【例1.2]（2023秋・安徽阜阳•高二安徽省颍上第一中学校考期末）过点4（-2,2）和点以4,-1）的直线在y上

的截距为（）

A.IB.2C.-1D.-2

【解题思路】求出直线八笈的方程，解出直线在y上的截距

【解答过程】过点火一2,2）和点8（4,-1）的直线方程为三=等即y=x+1,

X—4-Z—4L

故直线在y上的截距为1,

故选：A.

【变式1.1]（2022秋•高二校考课时练习）已知△ABC的三个顶点分别为4（1,1）,8（3,1）,C（4,5）,M为A8的

中点，则中线CM所在直线的方程为（）

A.Zx+y-3=0B.Zx-y+3=0

C.2x4-y+3=0D.2x—y—3=0

【解题思路】求得点M的坐标，由直线的两点式方程求解.

【解答过程】点M的坐标为（2,1）,由直线的两点式方程得出=咨，SP2x-y-3=0.

5—14—2

故选:D.

【变式1.2]（2022•全国•高二专题练习）已知直线/经过（一2,-2）、（2,4）两点，点（1348,m）在直线/上，则

的值为（）

A.2021B.2022C.2023D.2024

【解题思路】根据直线的两点式方程即可求解.

【解答过程】由题意知，不与％y轴平行，故由直线，的两点式方程可得黑;二言言，解得：仇=2023,

1348+21348-2

故选：C.

【考点2直线的截距式方程及辨析】

【例2.1]（2022•高二课时练习）在x轴，y轴上的截距分别是一3,4的直线方程是（）

C.王”1D.

-344-3

【解题思路】根据直线方程的截距式判断.

【解答过程】由截距式方程可得，所求直线方程为吃+3=1.

-34

故选:A.

【例2.2]（2023秋•高二课时练习）过点（3,-4）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（）

44

A.y=—x—1B.y=-4xC.y=—xD.y=—%或y=-%—1

333

【解题思路】根据直线的截距式方程分析运算，注意讨论截距是否为0.

【解答过程】设直线在X,），轴上的截距分别为a,b,贝=

若a=b=O,即直线过原点，设直线为y=A%,

代人（3,-4）,即一4=3鼠解得k=-g

故直线方程为y=-gx；

若。=6右0,设直线为毛+［=1,

ab

代人（3,-4）,即:一（=1,解得°=一1,

故直线方程为—x—y=l,g|Jy=-x-l；

综上所述：直线方程为y=-：％或丫=一无一1.

故选:D.

【变式2.1］（2023秋・安徽六安•高二校考期末）已知直线（过力（-2,1）,且在两坐标轴上的截距为相反数，

那么直线!的方程是（）.

A.x+2y=0或x-y+3=0B.x-y-1=0或x-y+3=0

C.x-y-l=0或x+y-3=0D.x+2y=0或x+7-3=0

【解题思路】根据直线在两坐标轴上的截距为相反数，可以分两种情况来讨论，两坐标轴上的截距都为0

时和两坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，即可求解.

【解答过程】（1）当坐标轴上的截距都为。时，直线过原点，设直线方程为y=kx

把点（-2,1）代入求出k=—%即直线方程为“十2y=0

（2）当坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线方程为±+工=1,

a-a

把点（一2,1）代入求出。=-3,即直线方程为x-y+3=0

综上，直线方程为x+2y=0或x-y+3=0

故选：A.

【变式2.2］（2022•全国•高三专题练习）过点尸（1,4）在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【解题思路】考虑截距为0,截距相等且不为0,截距互为相反数且不为0,求出相应的方程，得到答案.

【解答过程】当截距为。时，设直线方程为y=kx,将P（l,4）代入y=依，

求得々=4,故方程为y=4x；

当截距不为0时，

①截距相等时，设力程为工+丫=1,

aa

将P。，4）代入，即解得：。二5,

故方程为x+y=5；

②截距互为相反数时，设直线方程为

将P（L4）代入，即解得：。=一3,

故方程为x-y+3=0；

一条是截距为0,一条是截距相等（不为0）,一条是截距互为相反数（不为0）,共3条.

故选：C.

1.直线的一般式方程

（1）直线的一般式方程的定义：

在平面直角坐标系中，任何一个关于-y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于x,y的二元一次方

程Q+By+C=0（其中4/3不同时为0）叫作直线的一般式方程.

对于方程Ar+3.v+C=0（4,3不全为0）,

当存0时，方程人x+By+C=0可以写成尸-第一,它表示斜率为在），轴上的截距为-5的直线.

t5r>£>t5

特别地，当A=0时，它表示垂直于），轴的直线.

c

当B=0时，A,0,方程Ar+B.y+C=0可以写成x=-7，它表示垂直于x轴的直线.

（2）一-般式方程的使用方法：

直线的一般式方程是直线方程中最为一般的表达式，它适用于任何一条直线.

2.辨析直线方程的五种形式

方程形式直线方程局限性选择条件

不能表示与X轴垂①已知斜率；②已知

点斜式y-y（）=k（x—如）

直的直线一占，、、、

不能表示与X轴垂①已知在y轴上的截

斜截式y=kx+b

直的直线距;②已知斜率

不能表示与工轴、①已知两个定点；②已

两点式n-yi=2一©

y轴垂直的直线知两个截距

3/2-yix2—皿

不能表示与x轴垂①已知两个截距；②已

F=1

截距式ab直、与y轴垂宜、知直线与两条坐标轴

过原点的直线围成的三用形的面积

求直线方程的最后结

A^+By+C=O

一般式表示所有的直线果均可以化为一般式

（A,8不全为0）

方程

考点剖析

【考点1直线的一般式方程及辨析】

【例1.1](2023秋•高二课时练习)经过点且倾斜角为60。的直线的一般式方程为()

A.\[3x—y-1=0B.V3x—y+1=0C.x-V3y4-1=0D.x—y/3y-1=0

【解题思路】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程.

【解答过程】由直线的倾斜角为60。知，直线的斜率k=K，

因此，其直线方程为y-(-1)二百。-0),EPV3x-y-1=0.

故选：A.

[ft1.2](2023・全国•高二专题练习)在直角坐标系中，直线x—2y+3=0经过()

A.一、二、三象限B.一、二、四象限

C.一、三、四象限D.二、三、四象限

【解题思路】根据直线方程得到其与坐标轴的交点，从而可得出结果.

【解答过程】由x-2y+3=0,令％=0可得，y=|；令y=0可得为=-3；

即直线%—2y+3=0过点(()1),(-3,0),

所以直线％-2、+3=0经过一、二、三象限.

故选：A.

【变式1.1](2023•高二课时练习)若直线(a-l)x-y-a=0不通过第二象限，则实数Q的取值范围是()

A.口,+8)B.(l,+oo)C.(-oo,0)U[l,+oo)D.(0,1)

【解题思路】由直线不过第二象限，讨论。-1=0、a-1>0,Q—lV0求a的取值范围即匕.

【解答过程】由直线(。一1)%-、一。=0不通过第二象限，知：

当a—1=0,Q=1时，y=-1符合题意；

当。一1>0,Q>1时，宜线上的点(0,-a)一定不在y轴上半部分，所以QZ0,即Q>1；

当a-1V0时，直线定过第二象限，不合题意；

•■•综上有：a€[1,+00）

故选：A.

【变式1.2]（2023秋•四川成都・高二统考期末）已知直线，:Ax+8y+C=0（A,8不同时为0）,则下列

说法中错误的是（）

A.当8=0时，直线/总与x轴相交

B.当C=0时，直线/经过坐标原点O

C.当力=C=O时，直线/是x轴所在直线

D.当48,0时，直线/不可能与两坐标轴同时相交

【解题思路】根据直线的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【解答过程】依题意，直线，:Ax+8y+C=0（A,8不同时为0）.

A选项，当8=0时，4工0,直线方程川化为％=一£,

A

此时直线I总与％轴有交点，A选项正确.

B选项，当C=0时，直线方程为,4x+By=0,

此时直线!经过原点。，B选项正确.

C选项，当i4=C=0时，B*0,直线方程可化为y=0,

此时直线/是大轴所在直线，C选项正确.

D选项，当时，如X-y+1=0,

直线，过点（-L0）,（0,1），即直线I与两坐标轴同时相交，D选项错误.

故选：D.

【考点2直线一般式方程与其他形式之间的互化】

【例2.1]（2023春・新疆塔城•高二统考开学考试）过点且斜率为3的直线’的方程是（）

A.3x+2y-7=0B.2x+y-4=0

C・x-2y—3=0D・x-2y+3=0

【解题思路】先求出直线的点斜式方程，再化为一般式即可.

【解答过程】过点（1,一1）且斜率为前勺直线，的方程是y-（-1）=1（x-1）,

即%-2y—3=0.

故选：C.

【例2.2］（2023•全国•高三专题练习）过点（4,0）和（0,-3）的直线方程为（）

A.3x-4y-1=0B.--^=0

J43

C.^—^—1=0D.y=g%+3

【解题思路】设直线的方程为y=上工-3,求出k即得解.

【解答过程】设直线的方程为y=kx-3,

又直线经过点（4,0）,

所以0

=4k-3,k=-4,

所以直线的方程为y=—3,

所以直线方程为；-5-1=0.

43

故选：C.

【变式2.1］（2023秋・河南商丘•高二校联考期末）直线m:遮x-3y+l=0与直线〃:x=0的夹角为（）

A.120°B.60°C.45。D.30°

【解题思路】根据题意求出直线优的倾斜角a=