第1课时 代数式

第三章代数式3.1列代数式表示数量关系第1课时代数式教学目标课题3.1第1课时代数式授课人素养目标借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义，体验用数学符号表达数量关系的过程，发展学生的抽象能力与符号意识，感受数学与生活的密切联系.教学重点代数式的概念及意义，用代数式表示实际问题中的数量和数量关系.教学难点相同代数式在不同实际问题中的意义不同.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，新课导入设计意图设置具体的问题情境使学生思考，在解决问题的过程中接触代数式.【情境导入】在小学，我们学过用字母表示数，知道可以用字母或含有字母的式子表示数和数量关系.我们来看下面的问题.表中的这些式子，每个只能表示某一年爸爸的年龄，你能用一个式子简明地表示任何一年爸爸的年龄吗？若赵红的年龄为ɑ岁，则爸爸的年龄为（ɑ+30）岁.可以看到，这样的式子在数学中有重要作用，并在解决实际问题中有着广泛的应用.今天我们一起来学习下！【教学建议】教师先引导学生回忆小学时学过的用字母表示数的方法，然后结合后面的实际问题使学生自行思考，调动学生学习的主动性与积极性.活动二：交流合作，探究新知设计意图通过用含字母的式子表示实际问题中的数量和数量关系，归纳引入代数式的概念，并明确代数式的书写规范.探究点1代数式的概念问题1（教材P68引言）智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一.某品牌苹果采摘机器人平均每秒可以完成5m2范围内苹果的识别，并自动对成熟的苹果进行采摘，它的一个机械手平均8s可以采摘一个苹果.根据这些数据回答下列问题：（1）①你知道本题中工作量、工作效率、工作时间之间的关系吗？工作量=工作效率×工作时间.②该机器人10s能识别多大范围内的苹果？60s呢？ts呢？你能得到什么启示？启示：用字母代替数使我们的表达从一个具体问题推广到一类问题，更具有一般性.（2）该机器人识别nm2范围内的苹果需要多少秒？eq\f(n,5)s.（3）若该机器人搭载了m个机械手（m＞1），它与采摘工人同时工作1h，已知工人平均5s可以采摘一个苹果，则机器人可比工人多采摘多少个苹果？分析提问：根据上面的分析，最终我们可以列出如下的式子：问题2（1）某工程队负责铺设一条长2km的地下管道，经过d天完成，用式子表示这支工程队每天铺设的管道长度.（2）一个正方形的边长是ɑ，这个正方形的周长l是多少？面积S呢？这里的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方.开方将在以后学习.上述问题中列出的式子5t，n5，450m-720,2d，4ɑ，ɑ2，它们都是用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.这里的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方.开方将在以后学习.注意：单独的一个数或字母也是代数式，例如，5，t都是代数式.【对应训练】判断下列式子是否符合代数式的书写规范，不符合的请改正.x×y，2eq\f(5,6)ɑb,-1n,x3,m÷3.解：均不符合，改正如下：x×y2eq\f(5,6)ɑb-1nx3m÷3xyeq\f(17,6)ɑb-n3xeq\f(m,3)【教学建议】教学时通过设置的情境使学生明白，探究用字母代替数从而将数和数量关系一般而又简明地表达出来是必要的，能使应用更加广泛，从而为描述和研究问题带来方便.并通过这两个问题进一步引导学生归纳写出的式子的共性.提醒学生解题时注意单位要换算成一致.跟学生明确代数式的书写规范，这里尤其注意跟学生强调代数式中的运算符号不是关系符号，比如用“=”“>”“<”，抑或是以后将要学到的“≥”“≤”“≠”这些符号连接而成的式子不是代数式.有关代数式书写的具体要求教师可参看后面的解题大招，讲解时根据情况选讲即可.教学步骤师生活动设计意图通过例题使学生掌握用代数式表示简单实际问题中的数量或数量关系的方法，并明确相同的代数式在不同实际问题中的含义不同.探究点2用代数式表示数量关系例1（教材P70例1）（1）苹果原价是p元/kg，现在按九折优惠出售，用代数式表示苹果的售价；（2）一个长方形的长是0.9m，宽是pm，用代数式表示这个长方形的面积；（3）某产品前年的产量是n件，去年的产量比前年产量的2倍少10件，用代数式表示去年的产量；（4）一个长方体水池底面的长和宽都是ɑm，高是hm，池内水的体积占水池容积的三分之一，用代数式表示池内水的体积.分析提问：想一想各小题中的数量关系是怎样的？试着填写下表：解：（1）苹果的售价是0.9p元/kg；（2）这个长方形的面积是0.9pm2；（3）去年的产量是（2n-10）件；（4）由长方体的体积=长×宽×高，得这个长方体水池的容积是ɑ·ɑ·hm3，即ɑ2hm3，故池内水的体积为eq\f(1,3)ɑ2hm3.追问（1）观察（1）（2）小题的结果，你有什么发现？它说明了什么问题？所列代数式一样，0.9p既可以表示苹果的售价，也可以表示长方形的面积.它说明：用字母表示数后，同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系.（2）0.9p还可以表示什么？请你再举出一个例子.某人走路的速度为0.9m/s，若他行走ps，则走了0.9pm.（答案不唯一）【对应训练】教材P71练习第1题.【教学建议】（1）教师提问，学生自主作答，在经历上一环节的学习后，学生不难得出这些问题的答案，目的在于通过例题使学生掌握代数式的书写规范，能从实际问题中抽象出数学问题，写出简单的代数式，感受数学建模的过程.（2）在用同一个代数式表示不同实际问题中的数量或数量关系时，尽可能让学生多举些实例.设计意图使学生能透过代数式了解到其中所蕴含的运算，明确数学意义，并能发挥想象给代数式赋予实际意义.活动三：随堂训练，课堂总结探究点3代数式的意义例2（教材P71例2）说出下列代数式的意义：（1）2ɑ+3；（2）2（ɑ+3）；（3）eq\f(c,ɑb)；（4）x2+2x+8.解：（1）2ɑ+3的意义是ɑ的2倍与3的和；（2）2（ɑ+3）的意义是ɑ与3的和的2倍；（3）eq\f(c,ɑb)的意义是c除以ɑ，b的积的商；（4）x2+2x+8的意义是x的平方，x的2倍，与8的和.问题举例说明2ɑ+3，2（ɑ+3）所表示的实际问题中的数量关系.在相同情境下：李明买了一些水果，其中橘子有ɑ个，李子的数量比橘子的2倍还多3，则李子买了（2ɑ+3）个；若再多买3个橘子，买到橙子的数量就刚好是橘子数量的2倍，则橙子买了2（ɑ+3）个.在不同情境下：李明买了一些橘子和李子，其中橘子有ɑ个，李子的数量比橘子的2倍还多3，则李子买了（2ɑ+3）个；小宝今年3岁，爸爸今年ɑ岁，爷爷的年龄是小宝和爸爸的年龄和的2倍，则爷爷今年的年龄是2（ɑ+3）岁.（答案不唯一）【对应训练】教材P71练习第2，3题.【随堂训练】见《创优作业》“随堂小练”册子相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：1.什么是代数式？你能用代数式表示简单实际问题中的数量或数量关系吗？2.同一个代数式在不同实际问题中表示的数量或数量关系相同吗？举例说明.3.你能说出某个代数式的数学意义吗？能赋予它实际意义吗？【知识结构】【作业布置】1.教材P76习题3.1第2,6,7,8题.2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.【教学建议】教师引导学生自主探究，可选取学生代表回答代数式的数学意义，重点在于对代数式用运算符号连接的各部分进行“拆解”，从而明确采用的是何种运算，比如分数线所代表的除法意义等.在探究代数式的实际意义时，注意若两个式子在同一个情境下，则相同字母必须代表同一个量.板书设计3.1列代数式表示数量关系第1课时代数式1.代数式的概念：用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子2.用代数式表示简单实际问题中的数量或数量关系3.代数式的意义数学意义实际意义教学反思通过本节课的教学使学生初步了解代数式，让学生在真实情境中去理解、感悟、体会，发展学生的符号感.由于小学已经学过用字母表示数，这节课对于学生并不难，重点在于应用和熟练掌握.本节课主旨在于承上启下，为后面逐步学会用代数的思想方法分析和解决问题打好基础.用代数式简明地表示数量和数量关系，是后续学习方程、不等式、函数的基础，重要性不言而喻.解题大招一根据实际问题写出代数式（1）根据实际问题写出代数式的方法：①抓住关键性词语，如“大”“小”“多”“少”“和”“差”“商”“倍”等，弄清题目中的量及各个量之间的关系；②厘清运算顺序，通常遵循“先读先写”的顺序列式.（2）代数式的书写规范：例1填空题.（1）温度由t℃下降2℃后是（t-2）℃；（2）如果手机通话每分钟收费m元，那么通话nmin收费mn元;（3）ɑ个人n天完成一项工作，那么平均每人每天完成的工作量为eq\f(1,ɑn)；（4）李明和张华都是集邮爱好者，已知李明收集了x张邮票，张华收集的邮票张数比李明收集的邮票张数的一半多5，则张华收集了eq\f(x,2)+5张邮票.解题大招二代数式的意义代数式的意义主要从以下三个方面考虑：（1）从运算的角度考虑，即代数式的数学意义，如x-y可理解为x与y的差；（2）从实际的角度考虑，联系生活情境对代数式中的字母赋予实际意义；（3）从几何的角度考虑，某些特殊类型代数式可看成几何图形的周长、面积或体积等.例2（1）说出下列代数式的意义：①0.2x-8；②10%（m+5）；③ɑ2+b2；④eq\f(n+1,n-1)．解：①0.2x-8的意义是x的0.2倍与8的差；②10%（m+5）的意义是m与5的和的10%；③ɑ2+b2的意义是ɑ的平方与b的平方的和；④eq\f(n+1,n-1)的意义是n与1的和除以n与1的差的商.（2）代数式0.5x+12可以表示不同实际问题中的数量或数量关系，请举例说明.解：①一根弹簧长12cm，在弹性限度内，所挂物体质量每多1kg，弹簧伸长0.5cm，则所挂物体质量为xkg时，弹簧长度为（0.5x+12）cm.②某件衣服的标价是x元，现在打五折后又提价12元出售，则现在的售价为（0.5x+12）元.培优点根据实际问题写出代数式例如图，快递员工将快递包裹装进无人物流配送车车厢内，轻点显示屏操作后，无人车按照系统预设线路自动上路行驶，并将快递投送到指定快递自提点．已知某天甲配送车投送了m件快递，乙配送车比甲配送车多投送6件，丙配送车投送的快递件数比乙配送车的eq\f(1,2)多2.（1）乙配送车这天投送了多少件快递？（2）丙配送车这天投送了多少件快递？解：（1）根据甲配送车投送了m件快递，乙配送车比甲配送车多投送6件，可知乙配送车这天投送了（m+6）件快递.根据丙配送车投送的快递件数比乙配送车的eq\f(1,2)多2，且由（1）知乙配送车这天投送了（m+6）件快递，则丙配送车这天投送了[eq\f(1,2)（m+6）+2]件快递.综合训练一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1.下列是代数式的是()A.0<2 B.x2-1≠0 C.-3 D.x+y=12.已知语句“b比a的3倍多1”,下列关于甲、乙的判断正确的是()甲:用a表示b的代数式是3a+1;乙:用b表示a的代数式是b+1A.甲、乙都对 B.甲、乙都错 C.甲对,乙错 D.甲错,乙对3.一个三位数,百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这个三位数为()A.abc B.a+b+c C.100a+10b+c D.100abc4.已知甲、乙两数的和为30,若甲数为x,则甲数的3倍与乙数的23的和用含有x的式子表示正确的是(A.3(30-x)+23 B.23(3x+30C.3x+23(30-x) D.3(30-x)+5.代数式a2+b2可以表示不同实际问题中的数量关系,下列举例恰当的是()A.长是a,宽是b的长方形的周长B.购买(a+b)本单价为(a+b)元的笔记本的总价钱C.买a支单价为a元的钢笔和b支单价为b元的铅笔的总价钱D.边长是a+b的正方形的面积6.下列四个说法:①书的总页数一定,未读的页数与已读的页数成正比例;②如果圆的半径不变,圆的周长与圆周率成正比例;③小麦的总产量一定,每公顷产量与公顷数成反比例;④圆柱的体积一定,圆柱的底面积与高成反比例.其中正确说法的个数是()A.1 B.2 C.3 D.47.规定新运算:x◎y=xy-y2,则12◎(-2)=(A.-5 B.3 C.-3 D.18.若2024×7=x,则下列代数式可以表示2024×5的是()A.x+4048 B.x-2024 C.x-2 D.579.某商场针对一款服装给出两个调价方案:①先提价10%,再降价10%;②先降价20%,再提价20%.下列说法正确的是()A.①②两种方案的调价结果相同B.方案①的售价比方案②的售价低C.方案①的售价比方案②的售价高D.无法比较,调整后的售价高低取决于服装原售价10.某窗户的形状如图所示,其上部是半圆形,下部是由两个相同的长方形和一个正方形构成.已知半圆的半径为acm,长方形的长和宽分别为bcm和ccm.给出下面四个结论:①窗户外围的周长是(πa+3b+2c)cm;②窗户的面积是(πa2+2bc+b2)cm2;③b+2c=2a;④b=3c.上述结论中,所有正确结论的序号是()A.①② B.①③ C.②④ D.③④二、填空题(将结果填在题中横线上)11.一支铅笔的价格是a元,一块橡皮的价格是b元,买3支铅笔和7块橡皮应付元.

12.一个长方体容器的底面是长为a,宽为b的长方形,将体积为V的水倒入这个长方体容器,则水面的高度为.(用含a,b,V的式子表示)

13.若比-2大3的数为x,-5的绝对值为y,-14的4倍为z,则x+y+z=.14.已知甲、乙两种书的售价分别为12元/本、20元/本,现购买a本甲书和b本乙书,共付款W元.(1)W=;(用含a,b的式子表示)

(2)若|a-2|+(b-1)2=0,则W的值为.

15.一组数-2,5,-8,11,-14,17……按这样的规律排列下去,则第10个数为.

16.某超市以m元/袋的价格购进了200袋相同的酱料,加价50%卖出了180袋,剩余每袋比进价增加n元后全部卖出,卖完这批酱料该超市可获得利润元.(用含m,n的代数式表示)

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.用代数式表示:(1)长为x,宽为y的长方形的面积;(2)棱长为a的正方体的表面积;(3)某班总人数为m,女生人数是男生人数的35(4)a的相反数与b的倒数的和(b≠0);(5)x,y两数的平方和减去它们积的2倍;(6)底面半径为r,体积为V的圆锥的高.18.下图是一个“数值转换机”的示意图.输入x→乘4→减6→除以2→输出(1)输出的结果用含x的代数式表示为;

(2)当输入x=13时,求输出的值19.已知m是6的相反数,n比-m的相反数大3.(1)直接写出m=,n=.

(2)求-n-m+7的值.20.某服装厂生产一种西装和领带,西装每套定价300元,领带每条定价40元.厂方在开展促销活动期间,向客户提供两种优惠方案.方案一:买一套西装送一条领带;方案二:西装和领带的定价打九折付款.现有某客户要到该服装厂购买西装50套,领带x条(x>50).(1)若该客户按方案一购买,需付款元.(用含x的代数式表示)

若该客户按方案二购买,需付款元.(用含x的代数式表示)

(2)若该客户购买西装50套,领带60条,请通过计算说明按哪种方案购买较为合算.(3)若该客户购买西装50套,领带200条,请通过计算说明按哪种方案购买较为合算.21.观察、探究、应用(1)在下列横线上用含有a,b的代数式表示相应图形的面积.①②③④

(2)通过拼图,你发现前3个图形的面积与第4个图形的面积之间有什么关系?请用数学式子表示:(用含字母a,b的等式表示).

(3)利用(2)的结论计算:①172+2×17×3+32;②1992+398+1的值.综合训练1.C2.C3.C4.C5.C6.B7.A解析:因为x◎y=xy-y2,所以12◎(-2)=12×(-2)-(-2)2=-1-4=-8.D9.C10.B解析:根据题干图形,可知窗户的周长是12×2π×a+b+c+b+c+b=(πa+3b+2c)cm,故①正确窗户的面积是12πa2+2bc+b2,故②错误由题干图