安徽省合肥市六校联盟2025~2026学年高一下册期末教学质量检测数学试卷【附解析】

数学满分：150分一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.每个选项中只有一个符合题目要求）1.复数，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.2.已知向量，若，则实数的值为（）A. B. C. D.3.在中，已知，，且的面积为，则的长为（）A.4 B. C.2 D.4.在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.某校高一年级“物理方向”有“物化生、物化地、物化政”三种常见的选科组合，选物化生、物化地、物化政的学生期中考试数学成绩的平均数分别为84，81，78，按不同选科组合的人数比例采用分层随机抽样的方法抽取一个样本，抽到选物化生、物化地、物化政的学生人数分别为60，40，20，则估计该校高一年级“物理方向”的学生期中考试数学成绩的平均数为（）A.83 B.82 C.81 D.806.已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱的中点，沿平面将正方体截成两块，则较小的一块体积为（）A. B. C.3 D.27.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投，且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙至多投了1次球的概率为（）A. B. C. D.8.已知在中，，且的最小值为3，则（）A. B. C. D.二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，全部选对6分，部分选对得部分分数，有选错的得0分）9.某学习小组共7人，他们各自统计了自己每天的数学作业所花费的平均时间（单位：min）分别为45，58，45，64，48，40，50，则下列说法正确的是（）A.该组数据的众数是45，极差是24 B.该组数据的平均数是50C.去掉64和40后，剩余数据的平均数会变大 D.去掉50后，剩余数据的方差会变大10.已知复数和在复平面内对应的点分别为和，且满足，则（）A. B. C. D.11.直三棱柱中，，底面的直观图如图所示，为棱的中点，为内（含边界）的一动点，下列说法正确的是（）A.B.若平面，则四棱锥的体积为定值C.若在线段上，直线与平面所成角的余弦最大值为D.若，则的轨迹长度一定大于三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12.若，则_____．13.若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则该圆锥的侧面积为_____．14.已知四边形中，，设与的面积分别为，则的最大值为__________.四、解答题15.合肥市第六中学工会为了迎接端午节，特举办一次端午趣味答题竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成五组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求的值，并估计竞赛成绩的第80百分位数；（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的竞赛成绩在内的概率．16.如图，在正三棱柱中，，点为的中点．（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离．17.已知向量，记函数．在中，若．（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．18.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，为等边三角形，，平面平面．（1）求证：平面；（2）若是线段上任一点且，求二面角余弦值的取值范围．19.给定两组数据与，称为这两组数据之间的“差异量”.在一次比赛中，n位选手的实际排名为.同学们在不知道选手实际排名的前提下，根据自己的经验预测选手们的排名为，其中集合.记，用A与I的差异量来反映预测的准确程度.（1）当时，写出满足的A的所有可能情况；（2）甲、乙两位同学同时预测，甲的预测结果为A，乙的预测结果为B，已知，，则是否可能大于?若可能，请给出一个例子，若不可能，请说明理由：（3）证明：对于任意，的值一定为偶数.

数学满分：150分一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.每个选项中只有一个符合题目要求）1.复数，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：先化简给定复数，再求出其共轭复数，最后根据复数虚部的定义求解即可.解答过程：由题意可知，，则的共轭复数，虚部为，故D正确.2.已知向量，若，则实数的值为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：利用平面向量共线的坐标表示列方程，求解得到实数的值.解答过程：因为，，且，所以，化简得，解得.因此实数的值为.3.在中，已知，，且的面积为，则的长为（）A.4 B. C.2 D.答案：B解析：思路：先通过正弦定理，将角的正弦关系转化为边的关系，再代入三角形面积公式计算得到的长度.解答过程：在中，记角的对边分别为，其中为角的对边，即.因为，根据正弦定理，得，又，的面积为，所以，解得，所以.4.在空间中，是不重合的直线，是不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则答案：D解析：思路：根据空间中线线、线面、面面的平行与垂直的判定定理和性质定理，逐项判断正误可得.解答过程：对于A选项：若，，则与的位置关系可能为平行、相交或异面，无法推出，故A错误；对于B选项：若，，，则与的位置关系可能为平行或异面，无法推出，故B错误；对于C选项：根据面面垂直的性质定理，仅当且垂直于与的交线时，才有，仅满足（）无法推出，故C错误；对于D选项：由且，根据线面垂直的性质可得，又，根据面面平行的性质可得，故D正确.5.某校高一年级“物理方向”有“物化生、物化地、物化政”三种常见的选科组合，选物化生、物化地、物化政的学生期中考试数学成绩的平均数分别为84，81，78，按不同选科组合的人数比例采用分层随机抽样的方法抽取一个样本，抽到选物化生、物化地、物化政的学生人数分别为60，40，20，则估计该校高一年级“物理方向”的学生期中考试数学成绩的平均数为（）A.83 B.82 C.81 D.80答案：B解析：思路：利用分层抽样平均数公式计算可得结果.解答过程：依题意，样本平均数为，所以估计该校高一年级“物理方向”的学生期中考试数学成绩的平均数为82.6.已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱的中点，沿平面将正方体截成两块，则较小的一块体积为（）A. B. C.3 D.2答案：A解析：思路：先找到正方体的截面，确定沿平面将正方体截成的较小的一块为棱台，应用棱台的体积公式求棱台的体积即可.解答过程：连接，如图所示，则.因为分别是棱的中点，所以,,所以,，所以点平面，则沿平面将正方体截成的较小的一块为棱台，可知，，则.7.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．甲先投，且先投中者获胜，约定有人获胜或每人都已投球2次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙至多投了1次球的概率为（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：结合对立事件和独立事件的概率公式求解.解答过程：设，分别表示甲、乙在第次投篮时投中,则，，记“投篮结束时,乙投了2个球”为事件C,，则投篮结束时，乙至多投了1次球的概率.8.已知在中，，且的最小值为3，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：设，结合二次函数的值域，可求角.解答过程：由题意，，.由，因为的最小值为3，所以的最小值为.因为，则，所以，故当时，.所以，解得.又，所以.二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，全部选对6分，部分选对得部分分数，有选错的得0分）9.某学习小组共7人，他们各自统计了自己每天的数学作业所花费的平均时间（单位：min）分别为45，58，45，64，48，40，50，则下列说法正确的是（）A.该组数据的众数是45，极差是24 B.该组数据的平均数是50C.去掉64和40后，剩余数据的平均数会变大 D.去掉50后，剩余数据的方差会变大答案：ABD解析：思路：由众数、极差、平均数、方差的概念依次判断各选项即可.解答过程：A选项，该组数据的众数是45，极差是，故A正确；B选项，该组数据的平均数是，故B正确；C选项，去掉64和40后，剩余数据的平均数是，故C错误；D选项，原始7个数据的方差，去掉50后，剩余6数据的平均数依然是50，而方差，分子相同，分母大者小，所以，即去掉50后，剩余数据的方差会变大，故D正确.10.已知复数和在复平面内对应的点分别为和，且满足，则（）A. B. C. D.答案：BD解析：思路：设，则，则，，然后根据复数的运算和向量的模长与坐标运算即可判断选项正误.解答过程：由题意可设，则，则，，对于A，，当且仅当时成立，无满足条件的，故A错误；对于B，故B正确；对于C，，所以，故C错误；对于D，，所以，故D正确；11.直三棱柱中，，底面的直观图如图所示，为棱的中点，为内（含边界）的一动点，下列说法正确的是（）A.B.若平面，则四棱锥的体积为定值C.若在线段上，直线与平面所成角的余弦最大值为D.若，则的轨迹长度一定大于答案：ABD解析：思路：根据直观图还原图形判断A，根据面面平行、线面平行性质及棱锥体积公式判断B，根据线面角及正余弦函数的关系判断C，利用球的性质及弧长公式、不等式性质判断D.解答过程：由底面直观图可知，为直角三角形，，所以，故A正确；取的中点，连接，如图，由可得，所以四边形为平面四边形，又，平面，平面，所以平面，同理可得平面，又平面，所以平面平面，因为平面，所以点轨迹为线段，设到平面的距离为，由可得，所以点到平面的距离为，所以四棱锥的体积为，故B正确；取中点，连接，如图，在直三棱柱中，由，可知平面，所以平面，所以即为直线与平面所成角，,当最大，即与重合时，有最小值,此时有最大值，故C错误；若，则的轨迹为以为球心，为半径的球与所在平面截得圆的一部分，设圆的半径为，因为平面，所以为圆的圆心，所以，设圆弧与分别交于，如图，设，则由余弦定理可得，解得或（舍去），所以，由正弦定理，，所以，设，所以弧的长，故D正确.三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12.若，则_____．答案：##解析：解答过程：，解得：13.若一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则该圆锥的侧面积为_____．答案：解析：思路：作出截面图形，由圆锥的侧面积公式结合题意计算可得.解答过程：如图：过圆锥的旋转轴作轴截面，因为圆锥的内切球与外接球的球心重合，所以圆锥的轴截面为等边三角形，设为.取中点，连接，则点在线段上，且.由题意，，所以，所以，所以，.所以该圆锥的侧面积为.14.已知四边形中，，设与的面积分别为，则的最大值为__________.答案：14解析：思路：根据余弦定理可得，继而根据面积公式可得表达式，结合二次函数的性质即可求解最值.解答过程：四边形中，，，则，．在中，利用余弦定理：，所以：．在中，利用余弦定理：，所以：．所以：．则当时，最大值，最大值为14，故答案为：14．四、解答题15.合肥市第六中学工会为了迎接端午节，特举办一次端午趣味答题竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成五组，制成如图所示的频率分布直方图．（1）求的值，并估计竞赛成绩的第80百分位数；（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的竞赛成绩在内的概率．答案：（1）第80百分位数为88（2）解析：思路：（1）根据频率分布直方图中各小矩形的面积和为1列方程求解；根据频率分布直方图中中位数左右两侧的矩形面积相等，均为0.5，列方程求解；（2）根据频率之比，确定各组内应抽取的人数，然后根据古典概型的概率计算公式求解.（1）频率分布直方图中，所有组的频率之和为1，组距为10，因此，所以，解得.前3组频率之和为，前4组频率之和为，所以第80百分位数在区间内，设第80百分位数为，则，解得.（2）成绩在内的频率为0.1，成绩在内的频率为0.2，频率之比为.所以成绩在内应抽取的人数为人，成绩在内应抽取的人数为人.记成绩在内的2人为，成绩在内的4人为，从6人中抽取2人，基本事件有，共15个，其中至少有1人的竞赛成绩在内的基本事件有，共9个，所以，从这6人中随机抽取2人，至少有1人的竞赛成绩在内的概率为.16.如图，在正三棱柱中，，点为的中点．（1）证明：平面；（2）求点到平面的距离．答案：（1）证明：连接，交于点，连接，如图所示.则点为的中点.因为点为的中点，所以.又因为平面，平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）先证线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）利用等体积法求解即可.（1）略（2）因为三棱柱是正三棱柱，点为的中点，所以平面平面，.又因为平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.在中，，在中，，则.设点到平面的距离为，则，又，则，解得，即点到平面的距离为.17.已知向量，记函数．在中，若．（1）求角的大小；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先通过向量数量积的坐标运算，结合二倍角公式，将化简为正弦型函数的形式.代入，结合为三角形内角的范围，解三角方程求.（2）利用正弦定理将边比转化为对角正弦比，再根据锐角三角形的条件，解出角的精确范围，最后利用三角函数单调性求出值域.（1）由题意，数量积为：，化简得：，利用辅助角公式合并：.因为，所以：，在中，，故.在此范围内满足正弦值为的解为：（另一解得舍去，得舍去），解得.（2）由（1）知，则,即.因为为锐角三角形，所以且.代入得：,解得：.由正弦定理得：，展开分子：，因为，单调递减，取值范围为.所以：，故.18.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，为等边三角形，，平面平面．（1）求证：平面；（2）若是线段上任一点且，求二面角余弦值的取值范围．答案：（1）证明：取棱的中点，连接，因为为等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，，，平面，所以平面.（2）解析：思路：（1）根据面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理求证即可；（2）作出二面角的平面角并证明，利用余弦定理及换元法，结合二次函数的单调性求解.（1）略（2）取的中点，连接，如图。由（