甘肃省陇南市康县第一中学、第二中学、永兴中学2025~2026学年高二下册期末考试数学试卷【附解析】

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合.1.已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.2.已知，，且和的分布密度曲线如图所示，则（）A. B.C. D.3.一个直线运动的质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（）A. B. C. D.4.若，则（）A.1 B.-1 C.6078 D.-60785.如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上，则下列结论错误的是（）A.解释变量和响应变量线性相关 B.相关系数C.决定系数 D.残差平方和等于16.甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（）A. B. C. D.7.已知事件的概率均不为0，下列说法正确的是（）A.若，则事件与为对立事件B.若，则事件与为相互独立事件C.若，则D.若，则8.已知，则（）A. B.C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（）A.所有项的二项式系数和为128 B.所有项的系数和为C.系数最大项为第2项 D.有理项共有4项10.甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（）A.5人站成一排，若甲、乙必须相邻，共有48种排法B.5人站成一排，若甲、乙不能相邻，共有72种排法C.5人站成一排，若甲不能站在两端，共有72种排法D.5人站成两排，若甲、乙站前排，丙、丁、戊站后排，共有120种排法11.已知，，，设的最小值为N，且（为自然对数的底数），则下列说法正确的是（）A. B.的最大值是C. D.若且，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则________.13.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.14.已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，则______．四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）当时，比较与的大小；（2）讨论的单调性；（3）当时，证明．16.在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行5局3胜制，根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是．（1）求中国队以的比分获胜的概率；（2）设事件“韩国队先胜第一局”，设事件“中国队获得最终的胜利”，求；（3）假设全场比赛的局数为随机变量，在韩国队先胜第一局的前提下，求的分布列和数学期望．17.2024年某公司推出高、中、低3个价位的S型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为3∶3∶4，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为80%，60%，70%．（1）求用户对S型新能源汽车的满意率；（2）从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，求此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率．18.为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示.（1）用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数；（2）将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），已知样本的标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量，求的数学期望；（3）从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率.参考数据：若，则，.19.已知函数，直线与曲线相切.（1）求的值；（2）若对任意，存在，使得不等式成立，求的最大值；（3）若，求证：对任意，有.

数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合.1.已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题设，因为定义域为，不等式两边同乘，得到，令或.因为二次函数开口向上，所以的解为或.因为的定义域为，所以最后不等式的解集为.2.已知，，且和的分布密度曲线如图所示，则（）A. B.C. D.答案：C解析：思路：由密度曲线结合正态分布性质求解即可.解答过程：由题图可知，，则，即，所以A错误；根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误；由图可知，，所以C正确；由图可知，，所以D错误．3.一个直线运动的质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该质点在时的瞬时速度为（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：求导，得到，由导数的物理意义得到瞬时速度.解答过程：由题意得，所以，即该质点在时的瞬时速度为．故选：A．4.若，则（）A.1 B.-1 C.6078 D.-6078答案：D解析：思路：先求导，再令即可求解.解答过程：由，两边同时求导得，令，则.5.如果散点图中所有的散点都落在一条斜率不为0的直线上，则下列结论错误的是（）A.解释变量和响应变量线性相关 B.相关系数C.决定系数 D.残差平方和等于1答案：D解析：思路：根据散点图得这两个变量线性相关，由此判断各选项.解答过程：直线对应的函数为一次函数，故解释变量和响应变量是一次函数关系，故A正确.因为样本点都落在直线上，所以样本相关系数，所以，所以B正确。决定系数和残差平方和都能反映模型的拟合程度，故决定系数，残差平方和为0，故C正确，D错误故选：D6.甲同学参加综合素质测试，该测试共有6个项目．已知甲同学每个项目合格的概率均为，合格得3分，不合格扣2分，且各项目是否合格相互独立．设6个项目测试完后甲的总得分为Y，期望为，方差为，当最大时，（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式，结合、方差的性质列式求出最大值.解答过程：依题意，合格项目的个数，则，，由每个项目合格得分，不合格扣2分，得甲的总得分，因此，，则，又，所以当时，取得最大值.故选：C7.已知事件的概率均不为0，下列说法正确的是（）A.若，则事件与为对立事件B.若，则事件与为相互独立事件C.若，则D.若，则答案：D解析：思路：由概率加法公式，条件概率公式，对立事件和独立事件的定义可选答案.解答过程：对于A：因为，由，只能得到，并不能得到事件与为对立事件，故A错误；对于B：因为，由，只能得到，并不能得到，从而不能得出事件与为相互独立事件，故B错误；对于C：由可得或，当时不能得出，故C错误；对于D：因为，又，所以，故D正确.故选：D.8.已知，则（）A. B.C. D.答案：B解析：思路：构造函数，由导数判断单调性后比较大小，解答过程：设，则，当时，，故在上单调递减，而，故，故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知展开式中共有8项．则该展开式结论正确的是（）A.所有项的二项式系数和为128 B.所有项的系数和为C.系数最大项为第2项 D.有理项共有4项答案：AD解析：思路：先根据展开式的项数确定的值，根据二项式系数的性质判断A；令可得所有项的系数和从而判断B，利用二项展开式的通项公式求解系数最大项及有理项可判断CD．解答过程：A项，因为的展开式共有8项，所以．故所有项的二项式系数和为，故A正确；B项，令，可得所有项的系数和为，故B错误；因为二项展开式的通项公式为：．.C项，当，设项系数最大，由，解得，则，且，第3项系数为.当时，，系数为1；当时，，系数为；由，故第3项的系数最大；故C错误；D项，由为整数，且可知，的值可以为：0，2，4，6，所以二项展开式中，有理项共有4项，故D正确．故选：AD.10.甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（）A.5人站成一排，若甲、乙必须相邻，共有48种排法B.5人站成一排，若甲、乙不能相邻，共有72种排法C.5人站成一排，若甲不能站在两端，共有72种排法D.5人站成两排，若甲、乙站前排，丙、丁、戊站后排，共有120种排法答案：ABC解析：思路：A选项，利用捆绑法进行求解；B选项，利用插空法进行求解；C选项，先从中间3个位置选一个给甲，其余4人全排列，根据分步乘法计数原理求出答案；D选项，考虑甲、乙，再考虑丙、丁、戊，根据分步乘法计数原理求出答案.解答过程：选项A：把甲、乙看成一个整体与其余3人全排列，有种排法，甲、乙两人之间有种排法，所以共有种排法，A正确.选项B：先排丙、丁、戊有种排法，丙、丁、戊形成4个空，从4个空中选2个排甲、乙，有种排法，所以共有种排法，B正确.C选项：先从中间3个位置选一个给甲，有种方法，其余4人全排列，有种方法.根据分步乘法计数原理，共有种排法，C正确.D选项：甲、乙站前排有种排法，丙、丁、戊站后排有种排法，根据分步乘法计数原理，共有种排法，D错误.故选：ABC11.已知，，，设的最小值为N，且（为自然对数的底数），则下列说法正确的是（）A. B.的最大值是C. D.若且，则答案：BD解析：思路：根据基本不等式“1”的妙用求出即可判断A；，利用导数求出的最值即可判断B；令，根据单调性可得，进而推导判断C；作差证明即可判断D．解答过程：解：，当且仅当即，时取等号，故A错误；因为且，所以，设，，时，的解为，的解为，则在单调递增，单调递减，故最大值为，则的最大值是，故B正确；令，，则，，，所以在区间上单调递增，又，，即，即，，即，故C错误；由，，，，，，即，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则________.答案：7解析：思路：结合排列组合公式解方程即可解答过程：因为，故，即，解得故答案为：13.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.答案：解析：思路：根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原理得解.解答过程：4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种故答案为：.方法提示：本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.14.已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且，则______．答案：解析：解答过程：因为数列为等比数列，且各项均为正数，设公比为，所以，，由得，即，解得或（舍），所以．四、解答题本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）当时，比较与的大小；（2）讨论的单调性；（3）当时，证明．答案：（1）（2）时在上单调递增；时在上单调递增，在上单调递减（3）证明：由（2）知，当时，在取得最大值，最大值为，所以等价于，即，设，则，当时，，当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值，最大值为，所以当时，，从而当时，，即．解析：思路：（1）求导判断单调性，根据单调区间比较大小即可；（2）求导后分子因式分解，按的正负讨论单调区间；（3）利用最大值点代入，转化为恒成立即可得证.（1）当时，，的定义域为，则，故当时，；当时，．故在上单调递增，在上单调递减；又，故．（2）的定义域为，．若，则当时，，故在上单调递增，若，则当时，；当时，．故在上单调递增，在上单调递减；（3）略16.在某次世界乒乓球锦标赛的团体比赛中，中国队将对阵韩国队．比赛实行5局3胜制，根据以往战绩，中国队在每一局中获胜的概率都是．（1）求中国队以的比分获胜的概率；（2）设事件“韩国队先胜第一局”，设事件“中国队获得最终的胜利”，求；（3）假设全场比赛的局数为随机变量，在韩国队先胜第一局的前提下，求的分布列和数学期望．答案：（1）（2）（3）的分布列为：345解析：思路：（1）由题意可知中国队前三局都获胜，根据公式计算即可；（2）由题意，有两种情况：①中国队连胜3局，②中国队在2到4局中胜2局，再胜第5局，利用公式计算即可；（3）由题意知，分别求出对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可.（1）设中国队以的比分获胜的事件为，则.（2）在韩国队先胜第一局的前提下，中国队获得最终的胜利有2种情况：①中国队连胜3局，此时的概率为：；②中国队在2到4局中胜2局，再胜第5局，此时概率为：；所以.（3）由题意知，则，，，所以的分布列为：345则.17.2024年某公司推出高、中、低3个价位的S型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为3∶3∶4，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为80%，60%，70%．（1）求用户对S型新能源汽车的满意率；（2）从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，求此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率．答案：（1）0.7（2）0.4解析：思路：（1）由全概率公式求解即可；（2）由贝叶斯公式求解．（1）设“用户购买的是高价位的S型新能源汽车”，“月用户购买的是中价位的S型新能源汽车”，“用户购买的是低价位的S型新能源汽车”，“用户对S型新能源汽车满意”，则，，两两互斥，且，，，，，，由全概率公式得．（2）从对S型新能源汽车满意的用户中随机抽取1人，此用户购买的是低价位S型新能源汽车的概率，就是在B发生的条件下，发生的概率，18.为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示.（1）用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的平均数；（2）将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），已知样本的标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量，求的数学期望；（3）从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率.参考数据：若，则，.答案：（1）（2）（3）解析：思路：（1）根据平均数的计算公式求