安徽省蚌埠市2025~2026学年高二下册期末学业水平监测数学试卷【附解析】

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.下列函数在定义域上既是增函数又是奇函数的是（）A. B. C. D.3.随机变量服从正态分布，，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.44.设非零向量和的夹角为，则“”是“为钝角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.已知函数，则（）A. B. C. D.6.某学校数学社团从包含甲、乙的5名成员中选出4人，分别负责数据采集、模型训练、算法优化、成果展示四项实践任务，每项任务安排1人．其中甲、乙两名同学不负责成果展示，则不同的安排方案种数为（）A.36 B.60 C.72 D.1207.已知正数x，y满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.8.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在人工智能（AI）领域中，神经网络是模拟生物神经系统结构与信息处理机制，用于学习数据规律、提取特征、完成预测与决策任务的数学模型．神经网络中的激活函数通过对线性加权和进行非线性映射，为网络引入非线性表达能力．是最常用的激活函数，下面关于表述正确的是（）A. B.是减函数C. D.10.对于随机事件A，B，若，，，则（）A. B. C. D.11.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．若在坐标系中，，，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.展开式中含项的系数是_________（用数字作答）13.将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象．若的图象关于轴对称，则的最小值为_________．14.现给蚌埠市四区三县区域示意图涂色，有4种颜色供选择，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，且蚌山区、龙子湖区、禹会区、淮上区四区颜色各不相同，则不同的涂色方法有_________种．（用数字作答）四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出说明文字、演算式、证明步骤．15.如图，已知中，，，，延长至点，连接．（1）求的长；（2）若，求的面积．16.已知函数．（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最值；（3）若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围．17.2026年4月26日以“淮河明珠，智造之城”为主题的蚌埠马拉松激情开跑．此次赛事设置马拉松、半程马拉松两个项目，其中半程马拉松项目10000人．与此前三年相比，此次半程马拉松项目人数显著提升，既体现了赛事影响力的持续扩大，也彰显了全民健身热潮在珠城大地的蓬勃兴起．为调查某小区群众爱好慢跑是否与年龄有关，随机抽取100名小区居民统计结果如下：组别年龄爱好慢跑不爱好慢跑合计40岁及以下154040岁以上4060合计

100（1）求a，b的值，并依据小概率值的独立性检验，分析该小区群众爱好慢跑是否与年龄有关；（2）在40岁以上调查者中，按是否“爱好慢跑”进行分层，用随机抽样方法抽取6人作进一步调查．再从这6人中随机抽取2人进行访谈，记这2人中“爱好慢跑”的人数为，求的分布列及数学期望．附：，其中．0.10.010.0012.7066.63510.82818.已知函数，，其中实数且．（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围．19.“分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算效率的计算机系统．在一个分布式计算系统中，若一次计算中发生故障的计算机数不超过总计算机数的20%，则称这次计算是“优质计算”，某科技公司采购了一批共计台计算机用于搭建分布式计算系统，每台计算机的故障率均为．（1）若，，记为一次计算中正常运行的计算机数量，求的分布列和数学期望；（2）若，，（ⅰ）在一次计算中，正常运行的计算机数量最有可能是多少?（ⅱ）若该公司计划再购入3台完全相同的计算机，在原有基础上组成新的分布式计算系统，请判断该计算系统“优质计算”的概率是否有提升？

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：思路：根据交集定义直接计算即可．解答过程：．2.下列函数在定义域上既是增函数又是奇函数的是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先求出函数的定义域，根据解析式特征判断其单调性，利用奇偶性定义判断其奇偶性即可逐一判断．解答过程：对于A，的定义域为，且在每一个区间上单调递增，但不能说函数在定义域上单调递增，A错误；对于B，的定义域为，显然为增函数，非奇非偶函数，B错误；对于C，的定义域为，显然为增函数，奇函数，C正确；对于D，的定义域为，为奇函数在和上单调递增，在和上单调递减，但整个定义域上不单调，D错误．3.随机变量服从正态分布，，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4答案：A解析：解答过程：.4.设非零向量和的夹角为，则“”是“为钝角”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：B解析：思路：将两边平方，利用数量积公式化简为，再与等价转化即可.解答过程：因为均为非零向量，所以等价于.又，，所以等价于，即.因为，且，所以等价于，即为钝角或平角,所以，若为钝角可以推出，反之则不一定，有可能为平角.因此“”是“为钝角”的必要不充分条件.5.已知函数，则（）A. B. C. D.答案：A解析：解答过程：由二倍角公式得，则，可得，故A正确.6.某学校数学社团从包含甲、乙的5名成员中选出4人，分别负责数据采集、模型训练、算法优化、成果展示四项实践任务，每项任务安排1人．其中甲、乙两名同学不负责成果展示，则不同的安排方案种数为（）A.36 B.60 C.72 D.120答案：C解析：思路：先从除甲、乙外的人中选人负责成果展示的方法数，然后从剩下的人中选出人负责另外三项任务的方法数，结合分步乘法计数原理求结论.解答过程：因为甲、乙不负责成果展示，则需要从另外人中选出人负责成果展示，共有种情况，然后从剩下的人中选出人负责另外三项任务，共有种情况，再根据分步乘法计数原理可得符合要求的安排方案种数为种.7.已知正数x，y满足．若不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：通过均值不等式求解出范围后通过恒成立条件求解范围.解答过程：因为，所以.所以对于，可以看作，因为，当且仅当时成立，所以，解得.8.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由分段函数在上单调递增可得各段函数在其定义域上单调递增，即各段函数的导数在其定义域上大于等于0恒成立，再结合左段终点不高于右段起点，可求出实数的取值范围.解答过程：时，，要使单调递增，若，则，要在上递增，需，则时，，时，不满足在上单调递增，故.若，抛物线开口向下，在上不可能单调递增.若，抛物线开口向上，对称轴为，要使单调递增，则对称轴在的左侧（或重合），即，同时，在处的导数.时，，要使在上单调递增，需对恒成立.当时，，此时，即.当时，，此时，即.则必须满足.当时，，恒成立.，还需满足，，，即，综上所述，，C正确.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在人工智能（AI）领域中，神经网络是模拟生物神经系统结构与信息处理机制，用于学习数据规律、提取特征、完成预测与决策任务的数学模型．神经网络中的激活函数通过对线性加权和进行非线性映射，为网络引入非线性表达能力．是最常用的激活函数，下面关于表述正确的是（）A. B.是减函数C. D.答案：ACD解析：思路：利用对数运算求函数值可判断A；通过分析复合函数的单调性判断B；通过求指数型复合函数的值域可判断C；通过指数式的运算可判断D.解答过程：对于A，，故A正确；对于B，因为的定义域为，且在上单调递减，所以是上的增函数，故B不正确；对于C，恒成立，故，则，故，故C正确；对于D，，故D正确.10.对于随机事件A，B，若，，，则（）A. B. C. D.答案：BD解析：思路：由条件概率及概率乘法公式进行求解．解答过程：对于选项A：因为，，所以，故A项错误；选项B：因为，，所以，故B项正确；选项C：因为，，，所以，故C项错误；选项D：因为，，，所以，故D项正确.11.如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标．若在坐标系中，，，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.答案：ABD解析：思路：根据平面向量基本定理和平面向量的线性运算与数量积运算，注意向量的模长公式，结合题目给的坐标定义逐个选项计算即可.解答过程：A选项：由题意得，，，因为，所以，若，则，，，，故选项A正确；B选项：若，则，，所以，故选项B正确；C选项：若，则，，，与不垂直，故选项C错误；D选项：由题意得，，则，，，所以，，故选项D正确.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.展开式中含项的系数是_________（用数字作答）答案：84解析：解答过程：由二项式定理得展开式的通项为，令，解得，则含项的系数是.13.将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象．若的图象关于轴对称，则的最小值为_________．答案：##解析：思路：根据三角函数图像平移规则求出的解析式，结合偶函数的相位特征推导的表达式，进而求解的最小值.解答过程：∵将的图像向左平移个单位长度，遵循“左加右减”的平移规则，平移时仅对自变量进行变换，∴.∵的图像关于轴对称，即为偶函数，对于正弦型函数，若其为偶函数，则相位，∴，解得.当时，取得最小值.14.现给蚌埠市四区三县区域示意图涂色，有4种颜色供选择，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，且蚌山区、龙子湖区、禹会区、淮上区四区颜色各不相同，则不同的涂色方法有_________种．（用数字作答）答案：192解析：思路：根据分步乘法和分类加法计算原理进行计算．解答过程：先涂四个区，要求颜色各不相同，共有种涂法；再涂三个县：怀远县：与禹会区，淮上区相邻，两个区颜色不同，故怀远县可选的颜色有2种；固镇县：与淮上区，怀远县相邻，两个区颜色不同，故固镇县可选的颜色有2种；五河县：与淮上区，固镇县相邻，两个区颜色不同，故五河县可选的颜色有2种；根据分步乘法计数原理可知：共有种涂色方法．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出说明文字、演算式、证明步骤．15.如图，已知中，，，，延长至点，连接．（1）求的长；（2）若，求的面积．答案：（1）2（2）解析：思路：（1）在中，利用正弦定理求；（2）在中，利用余弦定理求，再根据三角形面积公式计算即可.（1）在中，由正弦定理得：，又，，．所以．（2）在中，由余弦定理得：，代入得，（负数舍），故的面积为．16.已知函数．（1）求的单调区间；（2）求在区间上的最值；（3）若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围．答案：（1）单调递增区间为和，单调递减区间为（2）最大值为3，最小值为-3（3）解析：（1）由函数，得，当或时，，当时，，故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．（2），，又，，故函数在区间上的最大值为3，最小值为-3．（3）由（1）题根据函数的单调性及第（2）题得，，，如图所示，当方程有三个不同的实数根时，实数的取值范围为．17.2026年4月26日以“淮河明珠，智造之城”为主题的蚌埠马拉松激情开跑．此次赛事设置马拉松、半程马拉松两个项目，其中半程马拉松项目10000人．与此前三年相比，此次半程马拉松项目人数显著提升，既体现了赛事影响力的持续扩大，也彰显了全民健身热潮在珠城大地的蓬勃兴起．为调查某小区群众爱好慢跑是否与年龄有关，随机抽取100名小区居民统计结果如下：组别年龄爱好慢跑不爱好慢跑合计40岁及以下154040岁以上4060合计

100（1）求a，b的值，并依据小概率值的独立性检验，分析该小区群众爱好慢跑是否与年龄有关；（2）在40岁以上调查者中，按是否“爱好慢跑”进行分层，用随机抽样方法抽取6人作进一步调查．再从这6人中随机抽取2人进行访谈，记这2人中“爱好慢跑”的人数为，求的分布列及数学期望．附：，其中．0.10.010.0012.7066.63510.828答案：（1），，小区群众爱好慢跑与年龄无关（2）分布列为012期望为解析：思路：（1）求出参数值并完善表格，根据公式计算的值后可得正确判断；（2）先根据分层抽样的比例，确定抽取的6人中爱好、不爱好慢跑的人数，再确定的所有可能取值，根据超几何分布计算概率后结合期望公式可求.（1）由表中数据可得，，表格完善如下：组别年龄爱好慢跑不爱好慢跑合计40岁及以下25154040岁以上402060合计6535100零假设为：爱好慢跑与年龄无关，则，依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，故爱好慢跑与年龄无关．（2）抽取的6人中爱好慢跑的有人，不爱好慢跑的有人，故的所有可能取值为0，1，2，，，，即所求分布列为012所以的期望．18.已知函数，，其中实数且．（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，讨论函数的单调性；（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围．答案：（1）（2）在上单调递减，在上单调递增（3）解析：思路：(1)代入值后求解不等式.(2)通过导数求解单调性.(3)通过化简后两函数关于对称这一性质求解范围.（1）当时，，，，∴函数在上单调递增，又，的解集为．（2）函数，定义域为，，令，得，又，解得；令，解得；函数在上单调递减，在上单调递增．（3）由题意，化简得，此不等式对恒成立．指数函数与对数函数互为反函数，图象关于直线对称，要使对恒成立，只需指数函数的图象完全位于直线的上方，即对恒成立，对两边取自然对数得，，因为，所以对恒成立，令，只需即可，显然：，令得，当时，，递增；当时，，递减；故在处取得最大值，只需，即，因此的取值范围是．19.“分布式计算系统”是由多台计算机组成的用以提高计算