2024-2026年高考数学试题分类汇编 立体几何与空间向量（原卷版）

考点oi点、直线、平面之间的位置关系

1.（2026・天津・高考真题）正方体A8CO-A4GA中，错误的是（）

A.ACHACB.CQ±®ABCC.AC。//面/\。乃D.ADD.

2.（2025・天津・高考真题）若〃?为直线，d夕为两个平面，则下列结论中正确的是（）

A.若mHa,nua,则〃?//〃B.若机_La,"7_L尸，则a_L/

C.若，_L/7,则a_L〃D.若“iua,a10,则，〃_L〃

3.（2024.上海.高考真题）空间中有两个不同的平面。，"和两条不同的直线〃，则下列说法中正确

的是（）

A.若a1•6，m±a»m±n,则〃~L4

B.若aJ■夕,m±a>n工。，则mJL〃

C.若a〃夕,mlla,n!Ift,则加〃〃

D.若a〃4，m!la>tn//n1则〃"夕

4.（2024•全国甲卷•高考真题）设。、夕为两个平面，，小〃为两条直线，且a〃=〃].下述四个命题:

①若帆〃%则〃//a或〃〃夕②若〃」〃，则〃_La或〃

③若〃//a且则相〃〃④若〃与。力所成的角相等，则机

其中所有真命题的编号是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①@④

5.（2024・天津・高考真题）已知科〃是两条直线，。是一个平面，下列命题正确的是（）

A.若〃，/a,mln,则〃_LaB.若〃71。,/〃_1〃，则〃J_a

C.若m!/a,〃_La,则〃zJL〃D.若〃z_Za,〃J_a,则加_L〃

6.（2026•全国I卷高考真题）（多选）在空间中，A、8为两个定点，动点C到直线AB的距离为2,动

点D到直线A8的距离为1.若二面角C-AB—。为60。，则（）

A.ZC4D>60°B.CD>y[3

2

C.当人6，。£）时，CZ）_L平面A/3DD.当A〃_L平面工8时，AC±AD

7.（2025•上海・高考真题）已知P是一个圆锥的顶点，R4是母线，PA=2,该圆锥的底面半径是1.B、C

分别在圆锥的底面上，则异面直线总与8c所成角的最小值为.

8.（2024全国甲卷•高考真题）如图，AB//CD,CD//EFtAB=DE=EF=CF=2,CO=4,4。=8C=疝J,

为C。的中点.

AB

EF

⑴证明：EM〃平面

（2）求点M到/U次的距离.

9.（2024新课标I卷高考真题）如图，四棱锥夕一4?8中，/%_1底面4?。。，PA=AC=2,BC=\,AB=6.

（2）若AQ_LDC,且二面角A-CP—Q的正弦值为汉，求AO.

7

考点02空间立体几何

1.（2026•全国II卷•高考真题）已知棱台的上下底面均为有一个角为60。的菱形，且上下底面的边长分别

为2和3,若该楼台的高为则该棱台的体积为（）

19„19「19n19

AA.—B.—C.—D・—

12642

2.（2025•上海•高考真题）如图，ABCO-A4GR是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是

).

3

A.48和。田；B.AR和CG；C.BQ和4。；D.AR和AB.

3.（2024•北京•高考真题）如图，在四棱锥Q-/WC。中，底面ABC。是边长为4的正方形，PA=PB=4,

PC=PD=2叵,该棱锥的高为（）.

A.1B.2C.&D."

4.（2024•天津•高考真题）在如图五血体ABC-。所中，棱A",.互相平行，且两两之间距离均为

A.叵B.旦，C,2D.辿」

642242

5.（2024•新课标II卷•高考真邈）已知正三棱台A8C-A[B£的体积为?52，AB=6,A圈=2,则A4

与平面A8C所成角的正切值为（）

A.jB.1C.2D.3

6.（2024•新课标I卷•高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为G，

则圆锥的体积为（）

A.2拒虱B.3&C.6G兀D.%/5兀

7.（2026•北京•高考真题）已知三棱锥A—8cO,AQ=4B=AC=2&,BD=BC=2,DC=2也,则

它的底面BCD的面积为,体积为

4

A

8.（2026•全国H卷•高考真题）已知球。的体积为4=46兀，点A,B,C,。均在球表面上，若VAAC

为正三角形，且DA=DB=DC=M，则S,sc=.

9.（2025•北京•高考真题）某科技兴趣小组用3。打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，

其中ABCQE尸是一个平面多边形，平面平面46C,平面CD"平面48C,

ABLBC,ABIIEF//RSI/CD,BC"DE”ST。〃AF.若AB=BC=8,AF=CD=4、RA=RF=T*C=T0D=三,

则该多面体的体积为.

10.（2025•上海•高考真题）如图，在正四棱柱ABC。-AMGR中，"。=40,。4=9,则该正四棱柱

的体积为_________

11.（2025•全国0卷•高考真题）一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略

不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm.

12.（2024•北京•高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是命、合、升、斗-、斛五量合一的标准量器，其

中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直

径依次为65mm,325mm,325mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为mm,升量器的高为

_________mm.

5

13.(2。24•全国甲卷•高考真题)已知圆台甲、乙的上底面半径均为彳，下底面半径均为与，圆台的母线

长分别为2(5f),3(弓-/；),则圆台甲与乙的体积之比为.

14.(2026•上海•高考真题)如图所示正四棱台ABC。-其中A4=4,A4=2.

(1)当明=2时，求AA和平面AB©。所成角；

(2)证明：AA〃平面8G。；若棱台高为3,求三棱锥A-BG。的体积.

15.(2025,上海,高考真题)如图，P是圆锥的顶点，。是底面圆心，A8是底面直径，且/4B=2.

(1)若直线以与圆锥底面的所成角为。，求圆锥的侧面积；

(2)已知。是母线以的中点，点C、。在底面圆周上，且弧AC的长为5，CD//AI3.设点”在线段OC

上，证明：直线QM〃平面产BD.

16.(2024•上海•高考真题)如图为正四棱锥尸一A8CRO为底面ABCD的中心.

(1)若从2=5,4。=3&,求POA绕夕。旋转一周形成的几何体的体积；

⑵若AP=AD,E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小.

考点03空间向量与立体几何

1.(2026•上海•高考真题)已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与x轴、》轴、z轴重合,

6

顶京A与坐标原点重合，点C是正方体底面中与A相对的对角顶点，点G在点C的正上方.将正方体绕直

线AG旋转一周，试问点C的运动轨迹会经过几个空间卦限（）.

A.1B.3C.4D.7

2.（2024•上海•高考真题）定义一个集合C,集合中的元素是空间内的点集，任取外鸟,6£。，存在不

全为0的实数4,4,4,使得十十4。6=0.已如（L0,0）wC,贝1］（0,0,1）£^的充分条件是（）

A.（0,0,0）eQB.（-1,0,0）eQ

C.（0J,0）GQD.（0,0,-1）GQ

3.（2025•全国1卷•高考真题）（多选）在正三棱柱A8C-A罔G中，。为8c的中点，则（）

A.ADl^CB.用弓,平面人人。

C.ADIIA\B\D.CCJ/平面AAQ

4.（2026•上海•高考真题）已知向量是两两不平行的向量，且（〃+3板）〃伍+3）,（2d+W〃0+c）,

则上的值为.

5.（2024•上海•高考真题）在棱柱A3CO-A与CQ中，底面A4CD为平行四边形，|胡|=3,忸。=4,

ABiBC-ADcDC-5，设异面直线从入与8。的夹角为〃，贝Ucos6=.

6.（2026•全国I卷•高考真题）如图，在直三棱柱A8C-A4G中，ZACB=90°,AC=8C,D,七分

别为人B,Ag的中点.

7

(2)没CG=2,直线OE与平面ACGA所成的角为45。，求直线DE到平面的距离.

7.(2026•北京•高考真题)已知直三棱柱A阮1―A4G，NBAC=90°,AB=AC=2,E、D

分别为A4、AC的中点.

(1)证明：DE〃平面BB£C；

(2)点P在平面A片G内，且EP//B©,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使

得P唯一确定，求平面八4。与平面PDE的夹角的余弦值.

①PA=PD；

②E4_L3C；

③B8J/平面PDE.

注：如果选择条件①、条件②、条件③分别解答，按第一个解答计分.

8.(2026•天津•高考真题)在长方体A8CO—A8CR中，AB=2,M=3,AD=4,A,E=3EDif2C.F=FC.

(1)求证：BD上面CEF：

8

(2)求面AEF与面CEF的夹角的余弦值；

(3)求三棱锥A-CE产的体积.

9.(2026•全国H卷•高考真题)如图，在三棱锥A-8。中，点E在8。上，AE上CE,AE±DE，CD1AD.

(1)求证：CDA.AB；

(2)若OE=2,BE=\,AE=BCD=2X/3.求直线A。与平面ABC所成角的正弦值.

10.(2026•上海•高考真题)已知四棱锥八区6,底面/WCD为矩形，P“_1_底面人8。。，垂足〃在AO

(1)求证：HCLPBx

(2)若四棱锥尸一月股力的体积为山底,求二面角C-依-，的大小.

3

11.(2025•北京•高考真题)幻图，在四棱锥夕-48C。中，AAOC与84C均为等腰直角三角形,

Zz4£>C=9O°,ZBAC=90°,E为BC的中点.

(1)若EG分别为PDPE的中点，求证：FG//平面以B；

(2)若E4J_平面ABC。，PA=AC,求宜线48与平面PCO所成角的正弦值.

12.(2025•天津•高考真题)正方体ABCQ-A4CQ的棱长为4,E、〃分别为4口<4中点，CG=3GC).

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⑴求证：GF工平面FBE；

(2)求平面F8E与平面EBG夹角的余弦值；

(3)求三棱锥O-F3E的体积.

13.(2025•全国H卷•高考真题)如图，在四边形八AC力中，AB//CD^DAB=90°,产为CO的中点,

点E在4B上，EF//AD,A8=34O,CE>=24。.将四边形耳工乂沿所翻折至四边形£77%V,使得面E")W

与面E/C8所成的二面角为60。.

(1)证明：A8//平面8'厂;

⑵求面8CZT与面EFD'A所成的二面角的正弦值.

14.(2025•全国I卷•高考真题)如图，在四棱锥P-AHCQ中，PA_L底面"CO,ABA.AD,BC//AD.

(1)证明：平面E4BJL平面P4。；

(2)女幺=43=&,8。=2,/1。=1+石，且点P,B,C,。均在球。的球面上.

(i)证明：点。在平面48co内；

(ii)求直线AC与PO所成角的余弦值.

15.(2025•上海•高考真题)在三棱锥，—A3C中，平面A4C_L平面ABC,PA=AC=CP=2,AB=BC=g，

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(1)若。是极AC的中点，证明：801平面尸AC,并求三棱锥B-OPA的体枳;

(2)求二面角4—PC—A的大小.

16.(2024•上海•高考真题)如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，AB=AC.

(1)证明:B4_L8C；

⑵若圆锥侧面积为石KBC为底面直径，BC=2,求二面角A-PA-C的大小

17.(2024•北京•高考真题)如图，在四棱锥