2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市某中学校高一（下）期末数学试卷（含答案）

2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市南岗区松雷中学高一(下)期末数

学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。

1.已知QWR,bER,且『l+2i,则|。+可=()

14-w

A.v/2B.2C.D.10

2.在△48C中，若。=3,b=yG，<=彳，则8的大小为()

■5

£■*7T5777r27r

A.-B-仁仄或D.：j或〒

366b7r.5.1

3.Token是//大模型处理信息的最小单元，2026年3月国家数据局正式确定Token的中文译名为“词

元”，已知2024年-2029年中国“词元”调用数量及预测调用数量(单位：百万亿次)依次为9,246,

1117,2875,8509,25033,则这组数据的75%分位数为()

A.2875B.5692C.8509D.16771

4.已知向量力(l.l),~b(八-2)，若H_L(27T-了)，则|7?+了|=()

A.2\/2B.5C.5、历D.8

5.已知a,p,y是三个不同的平面:/，叽〃是三条不同的直线.下冽四个命题：

①若〃力则w||a；

②若aClp=加，川|a,川|p,则w||«;

③若a_L。，aly,则［kLy：

④若anp=/,pnY=/%an尸〃，则三条交线“明〃的交点个数为o或i,其中，真命题的个数为()

A.IB.2C.3D.4

6.已知O为坐标原点，若4(1,3),B(m-5,1),C(3,m+1)三点共线，则。工在说上的投影向

量的坐标为()

A.(-1,-1)B.(1,-1)C.(1,1)D.(-1,1)

7.已知4、B、C是半径为1的球面上三个定点，且力8=>fC=8C=l,高为的三棱锥尸-48。的顶点尸位

2

于同一球面上，则动点尸的轨迹所围成的平面区域的面积是()

1115

A.-71B.-71C.7TD.-7T

6320

4+n

8.已知△44C的内角力,B,。所对的边分别是〃力©若c=l,s加。=%心丁厂，角。的角平分线交力8

于点。，则线段CO的最大值为()

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A.迪B・逛C・逛D.逛

241263

二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。

9.已知样本数据修，也，…，格的平均数是3,方差是2,样本数据州，”，…，”的平均数是1,方差是

4,则下列结论正确的是（）

A.数据2xi+l,2x1+1,…,As+l的平均数是7

B.数据2y-l,2加，…,2g・1的方差是16

C.数据X|,X2，…，X5，A，”，75的平均数为3

D.数据力，X2，…，X5，V，丁2，…，J，5的方差为4

10.已知直四棱柱力小EC。］中，所有棱长均为2,乙4BC=60°,点忆N,G,"分别为AC，

小U，AD,。。的中点，则下列结论正确的是（）

A.51C1J1G

B.若点尸在4N上运动，则三楂锥G-PCiDi的体枳不变

C.异面直线JCi与所成的角的余弦值为'11

28

D.平面G//M被直四棱柱所截的多边形周长为R①-2\&

11.一个盒子中装有标号为1，2,3,4,5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张.事

件公“第一次取到标号为1或2的号签"，事件8="第二次取到标号为5的号签"，事件。=”两张号签

标号之和为5"，则（）

91,1

A.,4与8独立B.8与。对立C.P（AC）;D.+

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.如图，用K,4,4三个不同的元件连接成一个系统.当元件K正常工作_~

且元件小，4至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K,小，色正常-LZl——

MTl~

工作的概率依次为0.8,0.6,0.6,则系统正常工作的概率为一.

13.已知向量H=（-1,2）,廿：2,3）,若注入了与1的夹角为钝角，则实数，的取值范围

是______.P

14.圆锥PO的底面直径是4,其侧面展开图是一个顶角为2：的扇形，如/：\

图，过的中点。作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为

底面的圆柱05,则剩下几何体的体积为一.\：：\

/一+…彳…小

A6••…W三边二〉B

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

在2026年“五一”假期期间，全国多地博物馆出现“一票难求”的盛况.某市文旅部门为了解游客在市博

物馆某特展厅的参观体验，随机抽取了100名游客，统计了他们在该展厅的停留时长（单位：分钟），得

（1）根据频率分布直方图，估计这100名游客停留时长的平均数及中位数（结果精确到0.1）：

（2）根据往年数据统计，停留时间在（50,60]的游客第二年五一假期再来的概率为:；停留时间在

9

（6（）,70]的游客第二年五一假期再来的概率为;，现利用分层随机抽样的方法，从停留时长在（5（）,70]

分钟之间的游客中抽取4人，这4人第二年是否再来彼此互不影响.求笫二年这4人中至少有1人再来的概

率.

16.（本小题15分）

②示/=竽

在①(sinB-sinC)2=sin2/l-sin5sinC»S,③cos24-3cos(B+C)=1»三个条件中任选一

个补充在下面的横线上，并加以解答.（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.）

在△力8c中,△48C的面积为S,角力，B,C,所对的边分别为。也c,且选条件:

（I）求角力的大小：

（2）若E为BC中点,M.4/?>48=3,求力C的值.

2

17.（本小题15分）

如图，在正三棱柱48cdsG中，。为48的中点，/1.4]=』。=4,'0=3而.

（I）证明：CD工AiE；

（2）证明：8Gli平面4CD

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B

18.（本小题17分）

记△NBC的内角4B,C的对边分别为a,b,c.已知c=l,以w.，l+■加〃/12,且△4BC为锐角三角形.

（1）求，:

（2）求b的取值范围.

19.（本小题17分）

如图，四棱锥P-48c。中，侧面尸力。为等边三角形且垂直于底面48CQ,.1〃BC''\D2,

乙以。=乙48c=90°,。是/1Q的中点.

（1）求证：平面4UL平面PO以

（2）点M在棱PC上，满足尸MMPC（0（入＞1）,且三棱锥P-48W的体积为EL求入的值及二面角M-

3

力工。的正切值.

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1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】ABD

10.【答案】BCD

II.【答案】ACD

12.【答案】0.672

13.【答案】入V9,且九*1

14.【答案】

3

15.【答案】41.0；41.4

23

21

16.【答案】4=1

AC=2

17.【答案】因为△/BC为正三角形，。为44的中点，

所以CDMA,

因为884平面48C,CQu平面

所以88118,

因为月5u平面月5田山，38iu平面466|小，

所以CDL平面4小.

因为4Eu平面439出,

所以CDUiE

连接4G,设力G与4c交于点尸，则尸为4G的中点，连接。凡

因为。为力”的中点，所以。尸为AABC的中位线，

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则DFWBCi,

又D/7u平面小CD,8GC平面小8,

所以3Gli平面小CO

18.【答案】解：(1)根据c=l,可得一乩，IC(MAy/2ainA2»

7T7T

所以2W〃/l(毋('(MA/iiji-)2,

66

———

解得7114--)=sinAcos-+cosAsm-)=1,

因为《是锐角，与，所以解得

()()3()2.5

0<C<-

(2)因为△力〃。是锐角三角形，所以＜，).77，解得K<CVw，

“=黑7r。£呜)62

由正弦定理得^

cjiinB1xsin(A4-C)sinAcosC4-cosAainC

可得b=

sinCsinCsinC

='MC+]*IC瓜1

2tanC+2

ainC

因为产”?可得MO《所以M焉Vg,可得％

19.【答案】解：(1)证明：连接OC,

因为底面48c。中，.4〃BC2,

乙B.4D=^ABC=90°,

所以四边形四边形力OC8为正方形，得力CLOB,

因为侧面口。为等边三角形，。是力力的中点，所以PO14。，

因为平面PAD垂直于底面ABCD,平面尸月。n平面ABCD=AD,

所以〃O平面力8CQ,

因为力Cu平面力8CQ,所以POL1C,

因为POC()B=O,所以4CJ■平面POB,

因为/Cu平面PAC,所以平面HiCL平面POB；

(2)因为底面48c。中，侧面P,4。为等边三角形且垂直于底面48CD,ABBC).1。2,

4840=乙48c=90°,。是力。的中点.

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所以4O=OD=4B=BC=OC=2,PA=AD=PD=4,PO=24，0B=AC=2八,

因为尸。平面48CQ,OB,OCu平面力8CO,

所以尸O_LO8,PO1OC,

以PB2=po2+o82=2(),

因为力不+产力2=20,

所以产亦=/辟+尸不，所以NP』〃=g,

设点C、M到平面的距离分别为4、必，由％w=".c，

即*口。=；Sy,w・di,；x：x2x2x2vzs=；x5x2xId1,

JJ/J/

解得小=、耳.

因为三棱锥A