2027年高考数学一轮复习：基本不等式及其应用

第4讲基本不等式及其应用

知识梳理

1、基本不等式

如果a>0,b>0»那么4ab<-―,当且仅当〃=/?时，等号成立.其中，"+"叫作a,b

22

的算术平均数，，而叫作4"的几何平均数.即正数的算术平均数不小于它们的几何平

均数.

基本不等式I：若u,bsR,则/+从之勿〃，当且仅当时取等号;

基本不等式2：若a/eP,则竺^2，石（或〃疯），当且仅当〃二人时取等

2

号.

注意（1）某本不等式的前樨是•“一正”“二定、三相等”：其中“一正”指正数，“二定”指求

最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一

致.

【解题方法总结】

1、几个重要的不等式

2

（1）a>0（4/GR）,yja>0（a>0｝同NO（aeR）.

（2）基本不等式：如果则仁也之必（当且仅当“〃=力”时取

2

特例：a>0,a+—>2,—+—>2（a,Z?同号）.

aba

（3）其他变形:

@a2+b2>3"）（沟通两和a+〃与两平方和cr+b~的不等关系式）

2

②外《史巨（沟通两积而与两平方和/+〃的不等关系式）

2

③时K（等J（沟通两积而与两和8的不等关系式）

④重要不等式串：告4疝工一力eR+）即

-d--

ah

调和平均值4几何平均值4算数平均值工平方平均值（注意等号成立的条件）.

2、均值定理

已知尤ywR+.

(1)如果x+y=S(定值)，贝ijxyj早)=y(当且仅当“x=)，”时取“=”).即

“和为定值，积有最大值

(2)如果=P(定值)，则x+”2历=2四〔当且仅当“x=y”时取即积

为定值，和有最小值

3、常见求最值模型

模型一：mx+—>>0,n>0),当且仅当x=时等号成立：

模型二：nvcH———=m[x一。)+n+ma>2\[mn+ma(m>0,/?>0),当且仅当

x-ax-a

”-a=C时等号成立;

模型三：———=—!一<—^=—(a>0,c>0),当且仅当工=/时等号成

ax~+bx+cax+b+£_2yjac+b\a

x

立；

母制加.、nvc(n-nix)1nix+n-inx.n2.„八八〃、土口

模型四：x(n-nix)=---------《一•(z----------)2=—(/«>0,/?>0,0<x<—),当且

mm24/〃in

仅当x=」-时等号成立.

2m

必考题型全归纳

题型一：基本不等式及其应用

【解题方法总结】

熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号

是否成立进行验证.

例1.(2024•辽宁•校联考二模)数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种

方式.现有如图所示图形，在等腰直角三■角形A6C'中，点O为斜边43的中点，点。为

斜边A8上异于顶点的一个动点，设人力=〃，BD=b,用该图形能证明的不等式为

).

c

B.<：4ab(a>0,/?>0)

a+b

D.a2+b:>2yfcib(a>0,b>0)

【答案】C

【解析】由图知：OC=；AB=?.OQ=|O8_BD|=?-b=—

在用△OCZ)中，CD=y]oC2+OD2

所以OCWOD,即伫2g

(«>0,^>0)»

2

故选：C

例2.（2024•全国•高三专题练习）已知x,），都是正数，且xxy,则下列选项不恒成立

的是（）

A.B.—+—>2

2yx

C.^-v而D.孙+上>2

x+y召

【答案】D

【解析】襄y都是正数，

由基本不等式，中？历，,+二22,三忘苧二而，这三个不等式都是当且仅

2Yxyx+y2g

当x=y时等号成立，而题中工工九因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；

冲+,22中当且仅当外=1时取等号，如x=：,y=2即可取等号，D中不等式不恒成立.

X）'2

故选：D.

例3.（2024•江苏•高三专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是

()

①已知而。，求常的最小值•,解答过程：卜2

=2；

2弓/

②求函数y=*巨的最小值；解答过程：可化得）'二夕7+了-22：

Jk+4〃一+4

27

③设x〉l,求丁=工+的最小值；解答过程：y=x+—>

x-\x-1

9

当且仅当F即x=2时等号成立，把x=2代入2.得最小值为4.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A

【解析】对①：基本不等式适用于两个正数，当,而<0,9与均为负值，

ba

此时—+—=—ci

ba

当且仅找《即叫/”。时等号成立，故①的用法有误，故①错误;

对②：）—+4+J>2,

，r+4

当且仅当=

+4J，即&+4=1时取等号,

但则等号取不到，故②的用法有误;

22

对③：x>l,x-l>0,y=x+=X-1+^^+1>2>/2+1,

x-\x-\

当且仅当.r—1=夜，即X=夜+1时取等号，故③的用法有误;

故使用正确的个数是。个，

故选：A.

题型二：直接法求最值

【解题方法总结】

直接利用基本不等式求解，注意取等条件.

例4.（2024•河北•高三学业考试）若%，）eR+,且x+2y=3,则孙的最大值为

【答案】|9

【解析】由题知，x,ywR.,且X+2），=3

因为x+2/2yjx-2y，

所以32玷可，

9

所以928外，即

8

当且仅当x=2y,即x=：y=］时，取等号，

乙4

9

故答案为：—

O

例5.（2024•重庆沙坪坝•高三重庆南开中学校考阶段练习）若“，>0,且

ab=a+b+3,则〃/?的最小值是.

【答案】9

【解析】因为a十〃=必-322疝（当且仅当aiB寸，等号成立），

所以（府）2—2而一3N0,

所以（点-3）（疝+1）之0,所以而23,所以而29,

所以油的最小值为9.

故答案为：9

例6.（2024•天津南开•统考一模）已知实数〃>。/>0"+b=1,则2"十2”的最小值为

【答案】20

【解析】•・5>（）,b>Ota+h=l,

:.2“+2'22sx2b=2亚才=2&，当且仅当2"=2"即。=沙=g时取等号.

故答案为：2庭.

题型三：常规凑配法求最值

【解题方法总结】

1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式.

2、注意验证取得条性.

例7.（2024•全国•高三专题练习）若x>—2,则/（x）=x+±的最小值为

【答案】0

【解析】由”>一2,得x+2>0,-^>(),

x+2

所以/(x)=x+—!—=x+2+——-2>2J(x+2)x--2=0,

x+2x+2Vx+1

当且仅当工+2=工即x=-1时等号成工

x+2

故答案为：0

4

例8.(2024•全国•高三专题练习)已知x>0,贝­；的最小值为_________.

2x4-1

【答案】3

【解析】2%+—5—=2x4-1+——-l>2j(2x+l)^--l=3,当且仅当2x+l=2,即

2x4-12x4-1V72x+l

X=g时，等号成立.

故答案为：3.

例9.(2024•全国•高三专题练习)若大〉1,则2的最小值为

x-\

【答案】26+4/4+2石

【解析】由上〉1,则x—l>0.

因为d+2x+2=(x-iy+4(x—l)+5,

所以"+2"+2=(X—])+_g_+422，(“一1)工+4=2遥+4,

x1x1Vx-1

当且仅当工-1=3,即》=6+1时等号成立，

X-1

故厂+2X+2的最小值为2石+4.

x-1

故答案为：26+4.

例10.(2024•上海浦东新-高三华师大二附中校考阶段练习)若关于x的不等式

I+2/]+4c

X2+bx+c>0(b>l)的解集为R，则―――的最小值为_________.

b-\

【答案】8

人2

【解析】因为不等式/+5x+cN0(/?>1)的解集为R,R|JA=/?2-4c<0=>c>—，

因为〃>1,所以〃一l>0,

・1+26+4。、从+24+10-1）2+40-1）+4

••--------->---------=------------------

b-lb-lb-l

=（力-1）+片+422，（方一1）乂六+4=8.

4

当且仅当〃-1=三，即b=3时，取到等号.

b-\

故答案为：8

题型四：消参法求最值

【解题方法总结】

消参法就是对■应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式

进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！

例11.（2024・全国•高三专题练习）已知正实数m〃满足加一2=0,则4a+〃的最小

值是（）

A.2B.4及-2C.4G-2D.6

【答案】B

2

【解析】由出?+2々-2=0,得。=；--,

b+2

所以44+b=±+b=-^-+S+2）-2..2j±・S+2）-2=4x/i-2,

b+2b+2V/?+2

当且仅当〃，工=〃+2,即"正为=20-2取等号.

b+2b+22

故选：B.

例12.（2024♦全国•高三专题练习）若乂yw/T,（x-y）2=（p）3,则'的最小值为

【答案】2

【解析】

因为（x-），）2=（xy）3且x,ye*,则两边同除以（个）2,得乙」）2=个，

yx

又因为（，+_1）2=（L）2+4-L=不，+4-122、k・4'-=4,当且仅当9=4-!-,即

xyyxxy刁，yxyxy

x=2+四,y=2-五时等号成立，所以，+,之4=2.

x.v

故答案为：2

例13.（2024・全国•高三专题练习）已知x>0,）>0,满足f+2芽-2=0,则2x+y的最

小值是______.

【答案】瓜.

【解•析】由炉+2冷,_2=0,得.re（0,V2）

2xx2''

所以2.1+），=24+95=£+卜2.^^=2.4=%

当且仅当当=■!■即1=好时等号成立，

2x3

所以2x+y的最小值是遍.

故答案为：限.

题型五：双换元求最值

【解题方法总结】

若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运

用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系.

1、代换变量，统一变量再处理.

2、注意验证取得条件.

例14.（2024•浙江省江山中学高三期中）设a>0,b>0,若/+廿一百ab=l,则

石”2-〈心的最大值为（）

A.3+73B.2GC.1+6D.2+G

【答案】D

【解析】解：法一：（基本不等式）

设c=-b,则&『-帅=a（\fia-b）=ac,

条件/+从一yj3ab=1=/+c2-&ac=1，

所以\f3ac+l=a2+c2>2ac»即W2+石.

故选：D.

法二：（三角换元）由条小（4一9。）2+2■6=1,

a=cosC+\/5sin夕

故可设/，即,

2=sin。匕=2sin。

2

由于心。，心。，故卜夕:氐由。＞。，解得（）＜八招

2Sin8〉06

"一”=cos0+J5sin〃小„5乃、

所以，,(0<6^<—),

Z?=2sin。6

所以石/一"=有+24112042+后,当且仅当。=£时取等号.

4

故选：D.

例15.(2024•天津南开•一模)若a>0,Z?>0,c>0,a+b+c=2,则'y+土也的最

a+bc

小值为.

【答案】2+2加

【解析】由题意，a>0,b>0,c>0»a+0+c=2得：a+b=2-c,

设2—。=〃?,c=〃,(/〃>(),〃>0),则"?+〃=2,

“4a+b42-c42,42,

故----+----=----+----=----+——1=—+——1

a+bc2-cc2-ccmn

m+n,42、,2nm,、八八I2nm八八6

=------x(—।—)-1=3H-------1------1>2+2./--------=2+25/2,

2mnmnVmn

当且仅当苏=2/,即m=4-2衣…=2&-2时取得等号,

故」y+史女的最小值为2+20，

故答案为：2+2叵

例16.(2024.全国•高三专题练习)已知〃>0,b>0,〃+2方=1.则」取到

3。+4〃a+3b

最小值为.

【答案】三逑.

【解析】令a+2Z>=4(3a+4/?)+〃(a+3Z?)=(3/l+〃)a+(44+3〃)〃，

2=-

3A+//=15

{=

4/l+3〃=22

11,11八、2〃、]3*2(。+3份3a+44

------+-----=(------+-----)--(36/+4Z?)+-(tZ/+3/?)=-+-[—------+-------

3a+4ba+3b3。+肪a+3b55553a+4ba+3b

a+2b=\

、32l2(a+3b)3a+4b3+2近

2一+—I当且仅当{2(a+3b)3a+4〃时,等号成立,

-55V3a+4ba+3b5

3a+4ba4-3b

的最小值是三逑

即-------+------

3a+4/?a+3b

题型六：的代换求最值

【解题方法总结】

1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为

定值，凑的过程中要特别注意等价变形.

1、根据条件,凑出“1”,利用乘力”法.

2、注意验证取得条彳匕.

例17.（2024•安徽蚌埠•统考二模）若直线土+；=1（。>0,〃>0）过点（2,3）,则2。十》的

ab

最小值为.

【答案】7+4名/4百+7

［解析】•・•直线土+：=1（〃>08>0）过点（2,3）,

ab

.-.2fl+Z?=(2«+Z?)f-+1l=7+—+y>7+4^^=7+4>/3,当且仅当0=即

。=2+&，方=2>/5+3时取等号.

•••加+〃的最小俏为7+4#.

故答案为：7+46.

例18.（2024•河北•高三校联考阶段练习）已知。>0力>0,々+2）=3,则4上-2卫Z?+士1的

a2b

最小值为.

【答案】；7

【解析】a>0,b>0,a+2b=3,

4-2/?Ia+\1=14l±(”+2〃)=臼22ba},47

--------+—=------4--+2+一十一>1H—=—

a2ba2b3\a2ba2b)33

34-2b17

当且仅当〃=劝=5时取等号,则丁+元的最小值为十

故答案为：y

例19.（2024•湖南衡阳•高三校考期中）已知工•＞；,）＞2,且3x+y=7,则

丁二+」式的最小值为_____.

3x-ly-2

【答案】1

【解析】因为3x+y=7,所以3x-l+y-2=4,

即包[+匕2=],

44

3r—1V—2

因为…，所以丁

+」3A-1y-2

+------=()()

3x-1y-23x-ly-244

1y-23x-11、IJy-23x-l

44(3x-l)4(y-2)42\4(3x-l)4(y-2)

y-2_3x-\

当且仅当,即x=l,y=4时取等号.

4(3x-l)4(y-2)

11

所以--------h-----的-最小值为I.

3x-ly-2

故答案为：1

例20.（2024•山东青岛・高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知正实数。⑦满

41

足不+如=1'则"乃的最小值为-----------

【答案】8

41

【解析】因为aT而八

所以"2,,=（左+看）［（"小他叫一”

.114(/?+1)a+b(4(/?+1)a+b

=4+1-1+-^——L+----->4+2J———L---------=8，

a+bb+\Ya+bb+\

当且仅当业口=土也，即。=4,力=2时，取等号,

a+bb+\

所以的最小值为8.

故答案为：8.

题型七：齐次化求最值

【解题方法总结】

齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用

基本不等式进行求解.

℃3c3

例21.（2024・全国•高三专题练习）已知正实数a,b,c,a+b=3,则=+丁+―7的最

babc+l

小值为.

【答案】26-2/-2+276

【解析】由正实数小b,。+〃=3,可得3="二,

/，（〃+:）2

所以ac3c3c333,3

babc+lbabc+1abc+\

4a2+2ab+h23Aa+b2,3

=ex--------------------+=ex（—+—+—）+-------

3abc+l3b3a3c+l

而竺+2之2、隹士」,当且仅当当=2即〃=鼻力=。时取等号，

3Z?3aY3A3。3ba33

,,ac3c3、，42、3〜3.

to—+—+-->c（-+-）+--=2（c+l）+---2

babc+l33c+lc+l

>2y/6-2，

当且仅当29+1）=二时，即c•二如-1时取等号，

c+l2

故答案为：2"-2

例22.（2024・全国•高三专题练习）已知m2为正实数，且2。十〃=1,则』+三的最小值

a2b

为.

【答案】6

【解析】由已知条件得，2+三=+上殳+三=（竺+2]+4之2区三+4=6,

a2ba2b\a2b）\a2b

当且仅当丝=胃，BP67=|,〃=!时取等号.

a2b55

故答案为：6.

例23.（2024.天津红桥.高三天津市复兴中学校考阶段练习）已知4>0,）>。，则

号+4的最大值是_____________.

r+4y-x+y-

【答案】正

3

2.।孙二21

2222

【解析】x+4yx+y4yxyt设「=一。＞0）,

yxyx

-+2/13（八2力3"+［）

所以原式二4

J+4r2+1r4+5r2+4£

+7/2+5+

令〃=/+—(7>0),「.〃22yj2.

t

3〃=3/3=3=2夜

所以原式二不二二一备工二乐:亍•

〃2V24

(函数y=〃+』在[2VI,+8)上单调递增)

U

故答案为：巫

3

题型八：利用基本不等式证明不等式

【解题方法总结】

类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得

证明.

例24.(2U24•全国•高二专题练习)利用基本不等式证明：已知a”,c都是正数，求证：

(a+b)(b+c)(c+a)>Sabc

【解析】都是正数，,〃+此2疯>0(当且仅当。=匕时取等号)；

HcN2痴>0(当且仅当人二c时取等号)；c+aN2而>0(当且仅当c=a时取等

号)；

:.(a+b)(b+c)(c+a)>2\ab-2\fbc2\[ca=Sabc(当且仅当4=〃=(;时取等号)，

即(a+b)(b+c)(c+a)N8abe.

例25.(2024•河南•高三校联考阶段练习)已知x,户z为正数，证明：

(1)若芝yz=2,则++

xyz2

(2)若2x+y+2z=9,则/+〉，+2229.

【解析】(1)因为芝\，z=2,所以2=5，zWy+z

X2

同理可得;“三，冶二，

222y--+>z<-><x>~+>>z-x->>+y-，,,111x~+y-+z-

所以±+±+------+-----+-----

xyz222叱+7+L一^

当且仅当x=y=z时等号成立.

(2)r2+y2-+-71=i(?.2+12+2,(/++产)>《(2丫+了+

因为2x+)，+2z=9,所以Y+V+z?29,当且仅当x=2y=z时等号成立.

例26.(2024•四川广安•高三校考开学考试)已知函数/("=|2x+l|+k+M，若

/(»43的解集为［〃』.

⑴求实数川，〃的值：

|2

(2)己知出方均为正数，且满足丁卜丁12"?=0,求证：16a2十〃2之8.

2ab

【解析】⑴因为〃工)《3的解集为［”』，所以/⑴W3,即3+|1+"心3,所以

|l+w|<0,

又|1+/九色0,所以1+771=0,即,〃=一1.

所以f(x)=|2x+l|+|x-l|,

当XV—；时，/(A-)=-2x-l-x+1=-3x<3,W-1,则—14xv-g,

当—工xW1时，f(X)—2x+1—x+l=x+2W3,得—<x<1,

22

当x>l时，/(x)=2x+l+x-l=3x<3,得xWl,不成立，

综上所述：/(x)K3的解集为［7,1］,

因为的解集为［〃［］.所以〃=T.

12

(2)由(1)知，m=—\,所以1—=2(6/>0,Z?>0),

2ab

所以2=」-+222、/卫二义，当且仅当。=:,。=2时，等号成立，

2abV2ab疯2

所以就N1,

所以16/+〃N2加而=&活？8,当且仅当〃=；，。=2时，等号成立.

题型九：利用基本不等式解决实际问题

【解题方法总结】

1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题.

2、注意定义域，验记取得条件.

3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等.

例27.（2024•全国•高三专题练习）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节

能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工

艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最

多为600吨，月处理成本）（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为

y=-200X+80000，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为10（）元.

⑴该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

⑵该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多

少元才能使单位不亏损？

【解析】（I）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为

y180000…6~~80000……

-=-x+-------200>2.i-x--------200=200；

x2AV2X

当且仅当?x=%"，即x=400时等号成立，

故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.

（2）不获利，设该单位每个月获利为5元，则

S=100,v-y=100x-1X2-200x+80000）=-1x2+300A-80000=-l（x-300）2-35000,

因为x£[400,600],则S4-80000,-40000],

故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.

例28.（2024•贵州安顺•高一统考期末）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧

化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600

吨，月处理成本人工）（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为

/（X）=1X2-200A+8（X）（X].

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？

（2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本

最低是多少元？

【解析】(I)该单位每月的月处理成本：

2

/(.r)=；A-2()()x+80000=；(X-200)2+6()(K)(),

因100KXK600,函数/⑶在区间［100.200］上单调递减，在区间(200,600］上单调递增，

从而得当无=200时，函数/(外取得最小值，即/(x)min=，(200)=60000.

所以该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是6000()元.

(2)由题意可知：/(x)=gd—20(h+800(X)(100<x<600),

每吨二氧化碳的平均处理成本为：犯=-+色吧-200>2、日&叵-200=200

x2xV2x

当且仅当;=码图，即x=400时，等号成立.

2x

所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元.

例29.(2024•湖北孝感•高一统考开学考试)截至2022年12月12H,全国新型冠状病毒

的感染人数突破44200000人•疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.

(I)我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段

・已知这种新药在注射停止后的血药含量(单位：mg/L)随着时间，(单位：h).的

变化用指数模型c(/)=c°e-仃描述，假定某药物的消除速率常数攵=0.1(单位：h-D，刚注

射这种新药后的初始血药含量Co=2OOOmg/L,且这种新药在病人体内的血药含量不低于

1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人

有疗效的时长大约为多少小时？(精确到0.01,参考数据：加2^0.693,M3=1.099)

⑵为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，旦有一面靠墙，底面积为

48a平方米(。>0),侧面长为K米，且x不超过8,房高为4米.房屋正面造价400元/平方

米，侧面造价150元/平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总

价最低？

,4,lf

【解析】(1)由题意得,c(/)=coe-*=2OOOe-,

设该药在病人体内的血药含量变为lOOOmg/L时需要是时间为《，

由eg)=2OOOe-o,Z|>1OOO,得e"」”>g,

故—0.I，N—In2,t<——=6.93h.

U・I

该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h.

(2)由题意，正面长为暨米，故总造价)，=400x4x至^+2xl50x4x,即

XX

y=768°°。+1200x(0<A<8).

X

由基本不等式有=7680("+]200]2乂1200x,当且仅当皆也=1200x,即

尸8&时取等号.

故当8人48，即“K1,.1=86时总价最低；

当8&>8,即”>1时，由对勾函数的性质可得，x=8时总价最低；

综上，当OvaKl时，x=86时总价最低；当时，x=8时总价最低.

题型十：与a+〃、平方和、。〃有关问题的最值

【解题方法总结】

利用基本不等式变形求解

例30.(多选题)(2024•重庆•统考模拟预测)若实数〃，力满足。2+/=,由+1,则

()

A.a-h>-\B.a-b<---

3

C.ab>~—D.ab<-

33

【答案】BC

(解析】•.a1+b2=ah+1,

当。〃>0时，a1+b2>lab=>ab+\>lab=>ah<\>当且仅当。=〃=1或。=。=一1时等号

成立，得

当cib<0时，cr+/?,->—2(ib=>(ib+12-2cib=>(ib>—,当且仅当〃=,b=—或

333

"-立力=无时等号成立，得-枭而<0,

333

当。〃=0时，由er+〃-=a〃+l可得々=。，〃=土1或〃=0，"=土1

综合可得-故C正确，D错误；

a2+b2-2ab=\-ab=>(a-b)2=\-ab=>\-(a-b)2=ab,

当aZ?之一；时，1—(tz—^)2>——=>(a—b)2<—=>—<a—b<♦故A错误，B正确:

33333

故选：BC.

I

-

例31.（多选题）（2024•全国•高三专题练习）已知〃＞（）/＞（）,〃

A.一+方的最小值为4B.的最小值为了

a

c.3的最大值为!

D.。的最小值为&-1

b4

【答案】ACD

【解析】当且仅当血-1,即

时取等号，则A正确;

b=2