初一数学下册 解二元一次方程组 教案

解二元一次方程组

!4、代人消元法解二元一次方程组

5、加减消元法解二元一次方程组

--II--■—--

教学目标1、用代入法、加减法解二元一次方程组.

2、了解解二元一次方程组时的"消元思想"，”化未知为已知"的化归思

想.

教学重点用代入法、加减法解二元一次方程组.

教学难点会用二元一次方程组解决实际问题.

【知识导图】

【教学建议】

作为数学的一个重要分支，方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.在

七年级上学期学生已经学习了一元一次方程，并积累了一些利用方程解决实际

问题的经脸.本章将进一步研究二元一次方程组的有关概念、解法和应用等.它

是一元一次方程的继续和发展.同时也是今后学习一次函数、线性方程组及平面

解析几何等知识的基础.

七年级(3)班在上体育课时，进行投篮比赛,体育老师做好记录，并统计了在规定时间内投进

n个球的人数分布情况，体育委员在看统计表时,不慎将墨水沾到表格上(如卜.表).

进球数n012345

投进球的人数127••2

同时，已知进球3个和3个以上的人平均每人投进3.5个球;进球4个和4个以下的人平均

每人投进2.5个球，你能把表格中投进3个球和投进4个球对应的人数补上吗？

二元一次方程及二元一次方程组

二元一次方程的概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二

元一次方程.

二元一次方程组的概念：把两个共含有两个未知数的一次方程合在一起，就组成了一个二

元一次方程组.

加减消元法

当二元一次方程组的两个方程中有一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分

别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，

简称加减法.

代入消元法

用代入法解二元一次方程组的一般过程：

1、从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有X（或者y）的代数式表示y）

（或者x）,即变成y=ax+b（或x=ay+b）的形式；

2、将y=ax+b（或x=ay+b）代入另一个方程（不能代入原变形的方程），消去y（或x）,得

到一个关于x（或者y）的一元一次方程；

3、解这个一元一次方程，求出x（或者y）的值；

4、把求出的值代入y=ax+b（或x=ay+b）中，求y（或者x）的值；

5、用大括号联立这两个未知数的值，就是这个方程组的解.

加减法解二元一次方程组的一般过程

用加减法解二元一次方程组的一般过程：

1、根据等式的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式.

2、将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程.

3、解这个一元一次方程，求出一个未知数的解.

4、把这个未知数的值代入原方程组中，求出另一个未知数的值.

5、用大括号联立这两个未知数的值，就是这个方程组的解.

解二元一次方程组

1、当某一个未知数的系数的绝对值相等时，若符号不同，用加法消元，若符号相同，用减

法消元.

2、当某一个未知数的系数成倍数关系时，将系数较小的方程两边同乘这个倍数，把该未知

数的系数变为相等或互为相反数，再用加减法解方程组.

3、当相同的未知数的系数都不相同时，找出某一个未知数的系数的最小公倍数，同时对两

个方程进行变形，把该未知数的系数化为绝对值相等的数，再用加减消元法.

【例题1】

如果1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，那么2台大收

割机和5台小收割机1小时收割小麦公顷,3台大收割机和2台小收割机1小时收割

小麦_______公顷.

【答案】

解：设1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦x公顷和y公顷.根据两种工作方式

J2(2x+5y)=3.6

中的相等关系,得方程组15(31+2y)=8

4x+10y=3.6

去括号，得115x+S=8

②-①，得Ux=4.4

解这个方程,得x=0.4

把x=0.4代入①,得y=0.2

x=0.4

V

这个方程组的解是［)'二°2

答：1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦0.4公顷和0.2公顷.

【解析】根据已知条件找到等量关系解决问题，同时注意计算问题.

【例题2】

用代入法解方程

），二21-3

3x4-2^=8

【答案】将1式代入2式可得3W2（2x3）=8

解得x=2

将x=2代入1式可得y=l

・•・原二元一次方程组的解为《x=2

[y=]

【解析】代入法的目的是消除一个未知数，将方程变成一个一元一次方程进行计算.

【例题3】

下列方程是二元一次方程的是（）

A.2xy+l=2xB.2x-3y2=8

1

C.—+y=3D.2x+y=3y

x

【答案】D.

【解析】因为选项A、B中含有的项“2xy”“-3y2”的次数都是二次，选项C中,不是整式,

x

所以A、B、C都不是二元一次方程，只有选项D符合二元一次方程的要求.

【例题4】

在方程3x+4y-2=0中，若y分别取2,0,-1,-4,求相应的x的值.

4

【答案】将3x+4y-2=()变形，得乂二工三.把已知的y值依次代入方程的右边，计算对应

的X值，得

y20-1-4

4

_2-4y2

x-226

333

【解析】将对应的y值分别代入方程中进行计算即可.

【例题5】

卜列方程组是二元一次方程组的有()

X-)'

①42x②-―2x+y=1

x+y=2y+z=2

3(x-y)=y-2

x+y=3

x=0x=3

2x-y=2⑤©

)'=2y=2+x

x-2y=0

A.6个B.5个C.4个D.3个

【答案】D-

【解析】②中的方程右边xy的次数是2；③中含有三个未知数；④是由三个方程组成的;

因此它们都不是二兀一次方程组.①⑤⑥符合二兀一次方程组的要求.

1.下列方程组中是二元一次方程组的是（）.

5x—2y=32x+z=0「x=5

xy=\

A.BJ*=3CJ1DJx,y—

一+—=7

x+y=23L尸§[23

2x-y=l,(1)

2.方程组<的解为（)

x+2y=-4(2)

x=-3x=1

A.B.

[y=2)，=一5

x=Ox=2

C.D.4

y=-2

4x+7>=-19

3.对于二元一次方程组l4x-5）=17用加减法消去x,得到的方程是（）

A、2y=-2B、2y=-36C、12y=-36D、12y=-2

答案与解析

1.【答案】D.

【解析】解：A项中最高次数为，2次，B项中有分式，C项中有3个未知数.

2.【答案】D.

【解析】将各选择项中的每对数值分别代入原方程组中的两个方程，既满足方程①，又

满足方程②的才是原方程组的解，否则就不是.只有D中未知数的值既满足方程①,又满足

方程②，所以选I).

3.【答案】C.

【解析】两方程相减即可得到答案.

1.二元一次方程3x+2y=ll().

A.任何一对有理数都是它的解B.只有一个解

C.只有两个解D.有无数个解

x+y=3,

2.方程组，的解是（）.

x-y=—\

x=\,x=l,[x=2,x=0,

BJCJD.«

尸2y=­2[y=l[y=­1

x+m=4,

3.由方程组,可得出*与y之间的关系是().

y-3=m

A.x+y=lB.y=—1C.x+y=7D.x+y=~7

答案与解析

1.【答案】D.

【解析】给一个x的值就有一个y的值与之相对应.

2.【答案】A.

【解析】本题可用加减法求出方程组的,解.

3.【答案】C.

【解析】通过代入消去未知数m即可，或两个方程相加，也可消去加，得x与p的关系.

2x+y=・,x=2,

1.方程组的解为则被遮盖的两个数分别为（）.

x+y=3

A.1,2B.5,1C.2.3D.2,4

x+'2y=m,

2.已知关于的方程组的解为3x+2y=14的一个解，那么勿的值为（）.

x—y=\m

A.1B.-1C.2D.-2

4/+3y=7,

3.二元一次方程组的解x,y的值相等，求k.

"+("l)y=3

1.【答案】B.

x=2,

【解析】把*=2代入/+y=3中，.求出y=l,再把，代人方程组中，得2>+y

匕=1

=5.

2.【答案】C.

【解析】先解关于人『的方程组得再将其代入3x+2y=14中，得9加一2m=

y=—如

从而求出勿=2.

3.【答案】由题意可知x=y,

:.4x+3y=7可化为4x+3x=7.

:.x=l,y=l.

将x=l,y=l代入kx+(kT)y=3中，得k+k-l=3,

k=2.

本节课主要讲解利用代入法和加减消元法解二元一次方程组，本节课的重点内容就是

解二元一次方程组的方法和技巧，注意选取正确的解题方法.

1.下列哪组数是二元一次方程组

x=3x=\x=5x=2

>'=0y=2），二一2

2.解方程组:

4x-3y=ll,①

2x+y=13.②

3.己知F11'T=1是方程1^7=3的解，那么k的值是（）

A.2B.-2C.1D.-1

答案与解析

1.【答案】D.

【解析】先解出x的值，再代入求出y的值.

2.【答案】解：①+②X3,得10x=50,

解得x=5.

把x=5代入②，

得2X5+y=13,解得y=3.

x==5

于是，得方程组的解为

k=3J.

3.【答案】A.

【解析】将方程的解代入计算，即可得到k值.

IV♦"!,=、,+

1.已知关于”的方程组卜―的解是一对正数，求a的取值范围.

2.解方程组:

-,y=5

I，+4v=2

>17(v=i

3.已知关于x,y的方程组/,、「■•=j的解为［=、，求加，n的值.

答案与解析

fx+>=3a+90

'x-y=Sa-1②

1.【答案】解:

①+②得：2x=8a+8,

x=4a+4,

①-②得：2y=-2a+10,

y=-a+5,

=3。+9

«

••・关于X、y的方程组〔"-J的解是一对正数,

・・・4a+4>0且・a+5>0,

解得：-lVaV5

.,2x->=50

2.【答案】解：<c，①X4得，8x-4y=20③,

3x+4>=2（2）

②+③得，llx=22,

解得x=2,

把x=2代入①得，4-y=5,

解得y=-1,

所以，方程组的解是{:

x=l加+6=r

3.【答案】将11・=2代入方程组中，得Sm・&?=」，

厚=5

解得：

所以m=5,n=l.

[2x+3y—(it

工方程组的解'与，’的和是2,则。=——

2.甲、乙两人共同解方程组[6+5,="，£由于甲看错了方程①中的得到方程组的

to4x-Z?，y=_2.②

解为J'"一'乙看错了方程②中的b,得到方程组的解为,""I试计算a2OI3+(__Lb)2。"

>=-1;j